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2024-2025 学年广东省清远市华侨中学等四校联考高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在四边形 中， // ，若 = +

( , ∈ ) | |，且 + = 3，则 =( )| |
A. 13 B. 3 C.
1
2 D. 2
2.下列命题中，正确命题的个数是( )
①四边相等的四边形为菱形；
②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；
④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
3.若 = 1 + i 则 i + 3 =( )
A. 4 5 B. 4 2 C. 2 5 D. 2 2
4 2+i.已知复数 = 3+4i，则 在复平面内所对应的点位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
5.已知平面四边形 ， ⊥ , = = = 1, = 3，若 = + ，则 =( )
A. 34 B. 1 C.
5 D. 34 2
6.如图，在平面四边形 中，∠ = 90 , = = 2, △ 为等边三角形，当点 在对角线 上运动
时， 的最小值为( )
A. 32 B. 1 C.
1
2 D. 2
7 π.在平行四边形 中， = 2 = 4，∠ = 3， ， 分别为 ， 的中点，将 沿直线 折
起，构成如图所示的四棱锥 ’ ， 为 ′ 的中点，则下列说法不正确的是( )
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A.平面 //平面 ′
B.四棱锥 ’ 体积的最大值为 3
C.无论如何折叠都无法满足 ′ ⊥
D.三棱锥 ’ 表面积的最大值为 2 3 + 4
8.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 ，点 ， ， ， ， 分别为线段 1 1， 1 1， 1 ， ，
1 1的中点，连接 1， 1 1， 1 ， ， ， ，则下列正确结论的个数是( )
①点 ， ， ， 在同一个平面上；
②平面 1 1//平面 ；
③直线 ， ， 交于同一点；
10
④直线 与直线 1 所成角的余弦值为 5 ．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面关于空间几何体的表述，正确的是( )
A.棱柱的侧面都是平行四边形
B.直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥
C.正四棱柱一定是长方体
D.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
10.下列命题中，正确的是( )
A.对于任意向量 , ，有 + ≤ + B.若 = 0，则 = 0或 = 0
C.对于任意向量 , ，有 ≤ D.若 , 共线，则 =±
11.正方体 1 1 1 1中， 是正方形 的中心，则下列说法正确的是( )
A. 1 ⊥ 1 1
B. 1 与平面 的成角大于 60°
C.平面 1 1 ⊥平面 1 1
D. 1三棱锥 1 的体积是正方体体积的12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.设平面向量 = (5, )， = (2,8)，若 ⊥ ，则实数 = ．
13.若 = 2，向量 在 方向上的数量投影为 1，则向量 与 的夹角 , = ．
14.在 3中，三边长分别为 2, , + 2，最大角的正弦值为 2 ，则 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 在复平面上对应点在第四象限，且| | = 2， 2的虚部为 2．
(1)求复数 ；
(2)设复数 、 、 2在复平面上对应点分别为 、 、 ，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形， 是 上的点．
(1)若 、 分别是 和 中点，求证： //平面 ；
(2)若 //平面 ，求证： 是 中点．
17.(本小题 15 分)
在面积为 的 中，内角 , , sin sin ，所对的边分别为 , , ，且 sin = + ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2 3, = 2 3，求 的周长；
(3)若 为锐角三角形，且 边上的高 为 2，求 面积的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = ln( + )，曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 2 + 2ln2 1 = 0．
(1)求 ， 的值；
(2) 设函数 ( ) = ( ) +1，求 ( )的单调区间；
(3)求证：当 ≥ 0 时，有 ( ) ≥ e ．
19.(本小题 17 分)
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如图，已知四面体 中， ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组(( , )和( , )视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为 1；任取两
个面作为一组(( , )和( , )视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为 2；任取一个面和不在此面上的一条
棱作为一组(( , )和( , )视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为 3，试求 1 + 2 + 3的值；
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中， = 1， = =
1，有一根彩带经过平面 与平面 ，且彩带的两个端点分别固定在点 和点 处，求彩带的最小长度．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 54/ 1.25
13.2π3 /120°
14.5
15.【详解】(1)设 = + i ∈ R, ∈ R ，
2 = + i 2 = 2 2 + 2 i，| |2 = 2 + 2，
2
由题意得 +
2 = 2 ,
2 = 2
= 1 = 1
解得 = 1或 = 1 ,
又因为复数 在复平面上对应点在第四象限，所以 = 1 i．
(2) = 1 i， = 1 + i， 2 = 1 i 2 = 2i，
所以对应的点 (1, 1)， (1,1)， (0, 2)，
从而 = (0,2)， = ( 1, 1)， = 2．
16.【详解】(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
在 中，因为 ， 分别为所在边的中点，所以 // 1，且 = 2 ，
又因为底面 为平行四边形， 为 的中点，
所以 // 1，且 = 2 ，
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所以 // ，且 = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)连接 ，交 于 ，连接 ，
因为 //平面 ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ，在 中， 为 中点，
所以 为 中点．
17.【详解】(1) sin sin 由正弦定理得 sin = ，所以 =

+ ，
2 2 2 2 = 2 cos = +
2 1
所以 ，由余弦定理， 2 = 2 = 2，
因 ∈ 0, π ，则 = π3．
(2)由余弦定理， 2 + 2 2 cos = 2，即 2 + 2 = 12，
又 = 12 sin =
3
4 ，由条件知 = 2 3，所以 = 8，
所以 2 + 2 = 20，( + )2 = 36， + = 6．
所以 周长为 2 3 + 6．
(3) 1 1由 = 2 = 2 sin 可得：4 = 3
3 2 2
由正弦定理，sin = sin = sin = 3 = 2，即得： =4× sin
, = sin ，
2
1 1 2 2则 = 2 sin = 2 × sin × sin ×
3 3
2 = sin sin 2π3
3 3 4 3
= = = π ,
sin 32 cos +
1
2sin
3
4 sin2 +
1
4 1 cos2
2sin 2 6 + 1
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0 < < π
2 π < < π由 为锐角三角形可得， 2π π，解得：6 2，0 < 3 < 2
π < 2 π则6 6 <
5π 1
6，2 < sin 2
π 4 3
6 ≤ 1，故得 3 ≤ < 2 3，
4 3即 面积的取值范围为 3 , 2 3 ．
18.【详解】(1)由 ( ) = ln( + ) 可得 ′( ) = + ，
1 1
根据切线方程可得其斜率为2，因此
′(1) = + = 2，解得 = ；
又 (1) = ln( + ) = ln2，
所以可得 = 1, = 1．
(2)由(1)可知 ( ) = ln( + 1)，
所以可得 ( ) = ln( + 1) +1，易知其定义域为( 1, + ∞)；
1 +1
则 ′( ) = +1 ( +1)2 = ( +1)2，
令 ′( ) = ( +1)2 = 0，解得 = 0；
所以当 > 0 时， ′( ) > 0；当 1 < < 0 时， ′( ) < 0；
因此 ( )的单调递增区间为(0, + ∞)，单调递减区间为( 1,0)．
(3)证明：令函数 ( ) = ( ) e ( ≥ 0)，
2
可得 ′( ) = 1 1 = e + 1 +1 e ( +1)e ( ≥ 0)，
令 ( ) = e + 2 1, ( ≥ 0)，
因此可得 ′( ) = e + 2 > 0 恒成立，所以 ( )在[0, + ∞)上单调递增，
2
可得 ( ) ≥ (0) = 0，即 ′( ) = e + 1( +1)e ≥ 0 恒成立，
所以 ( ) = ( ) e ( ≥ 0)在[0, + ∞)上单调递增，可得 ( ) ≥ (0) = 0，
即 ( ) = ( ) e ≥ 0，所以 ( ) ≥ e ；
因此当 ≥ 0 时，有 ( ) ≥ e ．
19.【详解】(1)因为 ⊥平面 ， , , 平面 ，则 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
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因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)由(1)可知： ⊥ , ⊥ , ⊥ ， ⊥ ，
且 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，
且其余各棱均不垂直，可得 1 = 5；
由 ⊥平面 ，且 平面 ， 平面 ，
可得平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ，
同理：由 ⊥平面 可得：平面 ⊥平面 ，
且其余各面均不垂直，可得 2 = 3；
由 ⊥平面 ， ⊥平面 ，且其余各线面均不垂直，可得 3 = 2；
综上所述： 1 + 2 + 3 = 10．
(3)将平面 与平面 沿 展开成如图 2 所示的平面图形，连接 ，
所以彩带的最小长度为图 2 平面图中 的长，
．
由(1)知∠ = 90°，
在图 1 中，因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 = = = 1，所以∠ = 45°，
故在图 2 中，∠ = 135°，
所以在图 2 中，在 中，由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos∠ =
12 + 12 2 × 22 = 2 + 2，
所以彩带的最小长度为 2 + 2．
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