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四川省南充市2023-2024学年高二下学期期末学业质量监测数学试题
1．（2024高二下·南充期末）从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意，从A村经B村再去C村，不同路线的条数是条.
故答案为：B.
【分析】由已知条件和分步乘法计数原理，从而得出从A村经B村再去C村的不同路线的条数.
2．（2024高二下·南充期末）在等差数列中，，则（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和等差数列的性质，从而计算得出等差数列第七项的值.
3．（2024高二下·南充期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以正态密度曲线关于对称，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出对称轴为直线，再结合对称性得出的值.
4．（2024高二下·南充期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知，第1，3图表示的正相关，
且第3个图中的点比第1个图中的点分布更为集中，
所以，
因为第2，4图表示的负相关，且第4个图中的点比第2个图中的点分布更为集中，
所以，
所以，
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】根据散点图中点的分布的特征，从而确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，从而找出正确的选项.
5．（2024高二下·南充期末）二项式的展开式中常数项为（　　）
A．6 B．12 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为二项式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中常数项为.
故答案为：C.
【分析】根据二项式定理求出展开式的通项公式，再结合常数项的定义，令其中的指数等于0，从而可得的值，再代入展开式的通项公式，从而得出二项式的展开式中常数项.
6．（2024高二下·南充期末）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件，
则，，
所以．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件结合条件概率公式，从而得出在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率．
7．（2024高二下·南充期末）为了研究某校学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其经验回归方程为．已知，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为（　　）
A．162 B．164 C．168 D．170
【答案】A
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得．
所以回归方程为，
当时，．
故答案为：A．
【分析】利用回归直线过样本中心点，从而求出的值，再把代入回归方程计算，从而估计某学生的身高．
8．（2024高二下·南充期末）定义在的函数满足，且当时，．设在上的最大值为，其数列的前项积为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，
定义在的函数满足，即，
当时，，
则当，函数，
则当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为，
所以，
可得，
当时，可得，所以，
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，
由指数函数的性质，可得，所以，
则，
所以的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，则当时，得到，从而得出，进而得出，再结合指数函数的性质，从而得到，进而得出的最大值.
9．（2024高二下·南充期末）把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（　　）
A．服从超几何分布 B．服从二项分布
C． D．若，则
【答案】B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【解答】解：对于A、B，
根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为，
所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，
则随机变量服从二项分布，所以A错误、B正确；
对于C，因为，
所以，所以C错误；
对于D，因为，
所以，
所以，所以D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据超几何分布的定义判断出选项A；根据二项分布的定义判断出选项B；根据二项分布求概率公式求解，则判断出选项C；根据二项分布的数学期望公式求出的值，进而求出的值，则判断出选项D，则找出结论正确的选项.
10．（2024高二下·南充期末）已知，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为
，
所以，
又因为
，
，
所以选项A、选项B、选项D正确；选项C错误.
故答案为：ABD.
【分析】由二项式定理得出的展开式，从而得出各项的系数，进而逐项判断找出结论正确的选项.
11．（2024高二下·南充期末）已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．当时，恒成立
B．若，使得成立，则实数的取值范围为
C．若，则必有两个不同的零点
D．若有两个不同的零点，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以A正确；
对于B，，使得成立，
则，使成立，
令，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则，所以B错误；
对于C，由，得，
令，
由选项B可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
当时，；当时，，
所以的大致图象如图所示，
由图可知当时，与的图象有两个不同的交点，
则有两个不相等的零点，所以C正确；
对于D，不妨设，
因为有两个不同的零点，
所以，
则，
所以，
要证，
只要证，
即证，
所以，只需证，
则，
令，则，
所以，只需证，
令，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用求出的最大值判断出选项A；由得，构造函数，再利用导数求出其最大值，则判断出选项B；利用得出，令，再转化为与的交点，从而画出函数图象，再结合函数的图象分析判断出选项C；利用已知条件和函数的零点定义，再结合分析法判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．（2024高二下·南充期末）已知，若三个数成等比数列，则　 　．
【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为三个数成等比数列，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】由已知条件和等比中项公式，从而列出方程解出b的值.
13．（2024高二下·南充期末）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为　 　．
【答案】
【知识点】导数的四则运算；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，
由，
得，
则，
得，
所以，
因为，所以，
所以，得，
所以在区间上的“新不动点”为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和“新不动点”的定义，从而列方程求解得出函数在区间上的“新不动点”.
14．（2024高二下·南充期末）某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有　 　种．
【答案】150
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当甲乙两位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为；
当甲乙和另外一名共三位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为；
当甲乙和另外两名共四位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为，
则不同的分配方案种数共有．
故答案为：150．
【分析】由排列数公式、组合数公式结合分组分配问题求解方法以及分步乘法计数原理和分类加法计数原理，从而得出不同的安排方案种数．
15．（2024高二下·南充期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：.
【答案】（1）解：由于则，
则，因此，
故数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，则，
则，即.
，
由于，则，故成立.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可；
（2）先求出，再求出，后裂项相消，求出，结合不等式性质证明即可.
（1）由于则，
则，因此，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
则，即.
，
由于，则，故成立.
16．（2024高二下·南充期末）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值．
【答案】（1）解：因为，所以切点是，
由，得，
所以，切线方程是：，
则.
（2）解：，
令，解得：或x=2，
，，的变化如下：
2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
因为，，，，
所以，函数的最大值是，最小值是．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和代入法和导数的几何意义，从而求出的值，再由点斜式求出函数在处的切线方程.
（2）先求出函数的导数，再结合导数判断函数的单调性，从而得到函数的极值，再结合比较端点处的函数值，从而求出函数在区间上的最值．
（1），故切点是，
由得，
故切线方程是：，即
（2），
令，解得：或2，
，，的变化如下：
2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
而，，，，
故函数的最大值是，最小值是．
17．（2024高二下·南充期末）已知是数列的前项和，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明：因为，
当时，，解得，
当时，，，
两式相减得，，
所以，
则是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）可知，，
所以，
，
则，
两式相减得，
，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由可得，从而可得，再结合等比数列的定义证出数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，则，再利用错位相减求和法得出数列的前项和．
（1），
当时，，解得，
当时，，，
两式相减得，，
所以，
故是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，
所以，
，
则，
两式相减得，
，
所以.
18．（2024高二下·南充期末）为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理错题 40 20 60
不经常整理错题 20 20 40
合计 60 40 100
（1）依据的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？
（2）用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．
①用表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求的分布列和数学期望及方差；
②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率．
附：．其中．
独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：零假设为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题无关.
根据列联表中数据，得到：
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
所以能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联.
（2）解：①由等比例的分层抽样知，
随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，
则的可能取值为.
则的分布列为
0 1 2
则数学期望.
方差为：
②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()，
“这2 名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀”
则
，
由全概率公式得：
所以这2名同学中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀的概率为.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由列联表中数据计算卡方，再进行独立性检验得出能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联.
（2）①由的可能取值结合超几何分布计算相应的概率，从而列出随机变量X的分布列，进而计算出数学期望和方差.
②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()， “这2 名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀”，由条件概率公式计算出，再由全概率公式计算得出抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率.
（1）零假设为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题无关.
根据列联表中数据，经计数得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，所以能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联.
（2）①由等比例的分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人.
的可能取值为.
，
则的分布列为
0 1 2
数学期望.
方差；
②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()，
“这2 名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀”
则
，
据全概率公式得：.
所以这2名同学中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀的概率为.
19．（2024高二下·南充期末）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间；
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，
则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么
①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；
②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有
其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数．
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数的凹的区间和凸的区间；
（2）若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围；
（3）证明：．
【答案】（1）解：，
令，解得或；
令，解得，
因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是.
（2）解：因为，
在区间上图象是凹的，
，
则.
所以，
则.
令，
则函数在上单调递减.
所以，
因此，实数的取值范围是.
（3）证明：因为，
构造函数，
令，解得，
易知函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因此，，当且仅当时取等号.
构造函数，
令，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此，当且仅当时取等号，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据题意，先求二阶导，再判断导数的正负，从而得出函数的凹的区间和凸的区间.
（2）由凹凸性得出，再分离参数，则将问题转化为，再利用导数得出函数的最值，从而得出实数的取值范围.
（3）利用已知条件等价变形为，构造函数和，利用导数证出，，从而证出不等式成立.
（1），
令，解得或；令，解得.
因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是.
（2），
在区间上图象是凹的，，即.
所以，即.
令，
即函数在上单调递减.
所以，
因此，实数的取值范围是.
（3），
构造函数，
令，解得，
易知函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因此，，当且仅当时取等号.
构造函数，
令，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此，当且仅当时取等号.
综上，
1 / 1四川省南充市2023-2024学年高二下学期期末学业质量监测数学试题
1．（2024高二下·南充期末）从A村去B村的道路有2条，从B村去C村的道路有3条，则从A村经B村再去C村，不同路线的条数是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．（2024高二下·南充期末）在等差数列中，，则（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2024高二下·南充期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
4．（2024高二下·南充期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，则关于其相关系数的比较，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024高二下·南充期末）二项式的展开式中常数项为（　　）
A．6 B．12 C．15 D．30
6．（2024高二下·南充期末）袋子中有10个除颜色外完全相同的小球，其中有4个白球，6个黑球，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·南充期末）为了研究某校学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位；厘米）的关系，从该校随机抽取20名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其经验回归方程为．已知，若该校某学生的脚长为23，据此估计其身高为（　　）
A．162 B．164 C．168 D．170
8．（2024高二下·南充期末）定义在的函数满足，且当时，．设在上的最大值为，其数列的前项积为，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·南充期末）把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（　　）
A．服从超几何分布 B．服从二项分布
C． D．若，则
10．（2024高二下·南充期末）已知，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·南充期末）已知函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．当时，恒成立
B．若，使得成立，则实数的取值范围为
C．若，则必有两个不同的零点
D．若有两个不同的零点，则
12．（2024高二下·南充期末）已知，若三个数成等比数列，则　 　．
13．（2024高二下·南充期末）已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为　 　．
14．（2024高二下·南充期末）某城区学校派出甲、乙等六名教师去三所乡村学校支教，根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求甲乙两名教师必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有　 　种．
15．（2024高二下·南充期末）已知数列是等差数列，且是数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和，求证：.
16．（2024高二下·南充期末）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最值．
17．（2024高二下·南充期末）已知是数列的前项和，且满足．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前项和．
18．（2024高二下·南充期末）为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们本期期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表：
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理错题 40 20 60
不经常整理错题 20 20 40
合计 60 40 100
（1）依据的独立性检验，能否认为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题有关？
（2）用频率估计概率，在该市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．
①用表示抽取的2人中经常整理错题的人数，求的分布列和数学期望及方差；
②求抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率．
附：．其中．
独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（2024高二下·南充期末）函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降．但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性．函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的【图1】，区间为凹的区间；
设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，
则称在区间上的图形是凸的【图2】．区间为凸的区间；
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：
设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么
①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；
②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有
其中是的导函数，为的一阶导数：是的导函数，为的二阶导数．
根据以上内容，完成如下问题：
（1）求函数的凹的区间和凸的区间；
（2）若在区间上图象是凹的，求实数的取值范围；
（3）证明：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意，从A村经B村再去C村，不同路线的条数是条.
故答案为：B.
【分析】由已知条件和分步乘法计数原理，从而得出从A村经B村再去C村的不同路线的条数.
2．【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和等差数列的性质，从而计算得出等差数列第七项的值.
3．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以正态密度曲线关于对称，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出对称轴为直线，再结合对称性得出的值.
4．【答案】C
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知，第1，3图表示的正相关，
且第3个图中的点比第1个图中的点分布更为集中，
所以，
因为第2，4图表示的负相关，且第4个图中的点比第2个图中的点分布更为集中，
所以，
所以，
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】根据散点图中点的分布的特征，从而确定四个图对应的相关系数的正负以及大小关系，从而找出正确的选项.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为二项式的通项公式为，
令，解得，
则展开式中常数项为.
故答案为：C.
【分析】根据二项式定理求出展开式的通项公式，再结合常数项的定义，令其中的指数等于0，从而可得的值，再代入展开式的通项公式，从而得出二项式的展开式中常数项.
6．【答案】D
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记第一次摸到白球为事件，第二次摸到黑球为事件，
则，，
所以．
故答案为：D．
【分析】根据已知条件结合条件概率公式，从而得出在第一次摸到白球的条件下，第二次摸到黑球的概率．
7．【答案】A
【知识点】线性回归方程；回归分析的初步应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，解得．
所以回归方程为，
当时，．
故答案为：A．
【分析】利用回归直线过样本中心点，从而求出的值，再把代入回归方程计算，从而估计某学生的身高．
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意，
定义在的函数满足，即，
当时，，
则当，函数，
则当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为，
所以，
可得，
当时，可得，所以，
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，
由指数函数的性质，可得，所以，
则，
所以的最大值为.
故答案为：B.
【分析】根据题意，则当时，得到，从而得出，进而得出，再结合指数函数的性质，从而得到，进而得出的最大值.
9．【答案】B,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布；二项分布
【解析】【解答】解：对于A、B，
根据题意可知掷一次骰子相当于一次独立重复试验，且每次试验出现点数为奇数点的概率为，
所以连续试验四次骰子相当于4次独立重复试验，
则随机变量服从二项分布，所以A错误、B正确；
对于C，因为，
所以，所以C错误；
对于D，因为，
所以，
所以，所以D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据超几何分布的定义判断出选项A；根据二项分布的定义判断出选项B；根据二项分布求概率公式求解，则判断出选项C；根据二项分布的数学期望公式求出的值，进而求出的值，则判断出选项D，则找出结论正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：因为
，
所以，
又因为
，
，
所以选项A、选项B、选项D正确；选项C错误.
故答案为：ABD.
【分析】由二项式定理得出的展开式，从而得出各项的系数，进而逐项判断找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；分析法的思考过程、特点及应用；函数的零点与方程根的关系；函数极限
【解析】【解答】解：对于A，当时，，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以A正确；
对于B，，使得成立，
则，使成立，
令，
则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
则，所以B错误；
对于C，由，得，
令，
由选项B可知在上单调递增，在上单调递减，
则，
当时，；当时，，
所以的大致图象如图所示，
由图可知当时，与的图象有两个不同的交点，
则有两个不相等的零点，所以C正确；
对于D，不妨设，
因为有两个不同的零点，
所以，
则，
所以，
要证，
只要证，
即证，
所以，只需证，
则，
令，则，
所以，只需证，
令，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
所以，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用求出的最大值判断出选项A；由得，构造函数，再利用导数求出其最大值，则判断出选项B；利用得出，令，再转化为与的交点，从而画出函数图象，再结合函数的图象分析判断出选项C；利用已知条件和函数的零点定义，再结合分析法判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：因为三个数成等比数列，
所以，
则.
故答案为：.
【分析】由已知条件和等比中项公式，从而列出方程解出b的值.
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算；二倍角的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，
得，
由，
得，
则，
得，
所以，
因为，所以，
所以，得，
所以在区间上的“新不动点”为.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和“新不动点”的定义，从而列方程求解得出函数在区间上的“新不动点”.
14．【答案】150
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：当甲乙两位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为；
当甲乙和另外一名共三位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为；
当甲乙和另外两名共四位教师到一所学校时，
则不同的分配方案种数为，
则不同的分配方案种数共有．
故答案为：150．
【分析】由排列数公式、组合数公式结合分组分配问题求解方法以及分步乘法计数原理和分类加法计数原理，从而得出不同的安排方案种数．
15．【答案】（1）解：由于则，
则，因此，
故数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，，则，
则，即.
，
由于，则，故成立.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【分析】（1）运用等差数列的公式和性质求解即可；
（2）先求出，再求出，后裂项相消，求出，结合不等式性质证明即可.
（1）由于则，
则，因此，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
则，即.
，
由于，则，故成立.
16．【答案】（1）解：因为，所以切点是，
由，得，
所以，切线方程是：，
则.
（2）解：，
令，解得：或x=2，
，，的变化如下：
2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
因为，，，，
所以，函数的最大值是，最小值是．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用已知条件和代入法和导数的几何意义，从而求出的值，再由点斜式求出函数在处的切线方程.
（2）先求出函数的导数，再结合导数判断函数的单调性，从而得到函数的极值，再结合比较端点处的函数值，从而求出函数在区间上的最值．
（1），故切点是，
由得，
故切线方程是：，即
（2），
令，解得：或2，
，，的变化如下：
2
0 0
递增 极大值 递减 极小值 递增
而，，，，
故函数的最大值是，最小值是．
17．【答案】（1）证明：因为，
当时，，解得，
当时，，，
两式相减得，，
所以，
则是首项为，公比为的等比数列.
（2）解：由（1）可知，，
所以，
，
则，
两式相减得，
，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由可得，从而可得，再结合等比数列的定义证出数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可得，则，再利用错位相减求和法得出数列的前项和．
（1），
当时，，解得，
当时，，，
两式相减得，，
所以，
故是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）可知，，
所以，
，
则，
两式相减得，
，
所以.
18．【答案】（1）解：零假设为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题无关.
根据列联表中数据，得到：
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
所以能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联.
（2）解：①由等比例的分层抽样知，
随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人，
则的可能取值为.
则的分布列为
0 1 2
则数学期望.
方差为：
②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()，
“这2 名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀”
则
，
由全概率公式得：
所以这2名同学中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀的概率为.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）由列联表中数据计算卡方，再进行独立性检验得出能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联.
（2）①由的可能取值结合超几何分布计算相应的概率，从而列出随机变量X的分布列，进而计算出数学期望和方差.
②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()， “这2 名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀”，由条件概率公式计算出，再由全概率公式计算得出抽取的这2名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率.
（1）零假设为该市中学生数学成绩优秀与经常整理数学错题无关.
根据列联表中数据，经计数得到
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，所以能认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联.
（2）①由等比例的分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，不经常整理错题的有2人.
的可能取值为.
，
则的分布列为
0 1 2
数学期望.
方差；
②设“这2名学生中经常整理错题的人数为i人”()，
“这2 名学生中恰有1名次同学经常整理错题且数学成绩优秀”
则
，
据全概率公式得：.
所以这2名同学中恰有1名同学经常整理错题且数学成绩优秀的概率为.
19．【答案】（1）解：，
令，解得或；
令，解得，
因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是.
（2）解：因为，
在区间上图象是凹的，
，
则.
所以，
则.
令，
则函数在上单调递减.
所以，
因此，实数的取值范围是.
（3）证明：因为，
构造函数，
令，解得，
易知函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因此，，当且仅当时取等号.
构造函数，
令，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此，当且仅当时取等号，
综上所述，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）根据题意，先求二阶导，再判断导数的正负，从而得出函数的凹的区间和凸的区间.
（2）由凹凸性得出，再分离参数，则将问题转化为，再利用导数得出函数的最值，从而得出实数的取值范围.
（3）利用已知条件等价变形为，构造函数和，利用导数证出，，从而证出不等式成立.
（1），
令，解得或；令，解得.
因此，函数的凹的区间是和，凸的区间是.
（2），
在区间上图象是凹的，，即.
所以，即.
令，
即函数在上单调递减.
所以，
因此，实数的取值范围是.
（3），
构造函数，
令，解得，
易知函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，
因此，，当且仅当时取等号.
构造函数，
令，则，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此，当且仅当时取等号.
综上，
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