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广西示范性高中2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1．（2024高二下·广西壮族自治区期末）春暖花开，某学校组织学生春游，每个班级可以在周一到周六任选一天出游，则甲、乙两班不在同一天出游的概率为(　　)
A． B． C． D．
2．（2024高二下·广西壮族自治区期末）对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，y的估计值为（　　）
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A．210 B．210.5 C．211.5 D．212.5
3．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知在等差数列中，，，则公差等于(　　)
A． B． C． D．
4．（2024高二下·广西壮族自治区期末）从含有件次品的件新产品中，任意抽取件进行检验，抽出的件产品中恰好有件次品的抽法种数为(　　)
A． B． C． D．
5．（2024高二下·广西壮族自治区期末）下列导数运算错误的是(　　)
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
6．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知的二项展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为(　　)
A． B． C． D．
7．（2024高二下·广西壮族自治区期末）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是(　　)
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·广西壮族自治区期末）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口为了解推动出口后的亩收入单位：万元情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则 若随机变量服从正态分布，
A． B．
C． D．
10．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是(　　)
A． B．
C．为递减数列 D．的前项和为
11．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知函数，则(　　)
A．的定义域为
B．的图像在处的切线斜率为
C．
D．有两个零点，，且
12．（2024高二下·广西壮族自治区期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取件则取到这件产品是次品的概率为　 　．
13．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知数列满足，，则　 　．
14．（2024高二下·广西壮族自治区期末）若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
15．（2024高二下·广西壮族自治区期末）将，，，这个小球放入个不同的盒子中．
（1）若，要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子最多只能放个小球，有多少种不同的放法？
16．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值．
17．（2024高二下·广西壮族自治区期末）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
　 多于5本 少于5本 合计
活动前 35 65 100
活动后 60 40 100
合计 95 105 200
（1）试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望.
参考公式：.
临界值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18．（2024高二下·广西壮族自治区期末）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
19．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知函数．
（1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；
（2）若，，，求的单调区间．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件；概率的应用；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲乙两班出游共有种情况，甲乙两班同一天出游共有六种情况，所以甲乙两班不在同一天出游的概率为
故答案为：A
【分析】本题主要考查概率的实际应用，首先分析甲乙两班一起出游的不同情况，然后再利用1减去一起出游的概率即可得到答案。
2．【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可知：，
．
∵回归直线方程经过样本中心，∴，，
回归直线方程为：，
当时，的估计值为：．
故答案为：C．
【分析】先求出样本中心（5，54），确定回归直线方程，把代入即可求解．
3．【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，
所以，即
所以
故答案为：A
【分析】本题主要考查等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式直接求解即可。
4．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
从3件次品中取出2件次品，共有种取出方法，
从5件正品中取出3件次品，共有种取出方法，
所以一共有种取出方法.
故答案为：C
【分析】本题主要考查组合及其组合公式，分不同情况讨论，最终把结果相乘即可。
5．【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题意得：对于A：，则，故A正确。
对于B：，则，故B错误。
对于C：，则，故C正确。
对于D：，，故D正确。
故答案为：B
【分析】本题主要考查复合函数的求导运算，把上述选项运用求导公式计算即可得到结果。
6．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可得，
则二项式的展开式的通项公式为
令，解得，则展开式的常数项为
故答案为：A
【分析】本题主要考查二项式的性质以及二项式的系数，首先写出二项式的通项公式，再利用二项式系数的性质求解得到常数项即可。
7．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，，得
即，解得
因为，所以，，
两式相减可得，
即，又因为，，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
.
故答案为：D
【分析】本题主要考查等比数列以及等比数列和的相关运算，首先由递推关系得到，再根据与其项和的关系求出以及即可。
8．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
合并得，
令，
可得为上的增函数，
所以恒成立，分离参数得，
而当时，，
当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】化简已知不等式，构造函数，由已知条件可得为上的增函数，从而可得恒成立，即，参变分离可求的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：依据题意，，，所以，
故，
故C正确，D错误。
因为
所以，
因为，所以
，
而，
故B正确，A错误。
故答案为：BC
【分析】本题主要考查正态分布的原则以及考查其对称性知识，把上述选项分别代入公式计算即可。
10．【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 等差数列中，，解得，而，
因此公差，通项，
对于A，，A错误，
对于B，，B正确，
对于C，， 为递减数列 ，C正确，
对于D，，所以
的前项和为，D错误。
故答案为：BC
【分析】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和的相关性质，对于本题应先求出公差和通项公式，接着利用求出结果分别验证上述选项即可。
11．【答案】B,C,D
【知识点】复合函数的单调性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由可得，的定义域为，故A错误。
对于B，因为，所以，即，所以的图像在处的切线斜率为，故B正确。
对于C，，所以，故C正确。
对于D，因为，所以在上单调递增。
因为，所以在(0，1)上有且仅有一个零点，
同理在上有且仅有一个定点，即有两个零点，，
由得， ，
又因为，所以，
设，则是在上的零点，而是在上的唯一零点，
所以，即，故D正确。
故答案为：BCD
【分析】本题主要考查函数求导的运用以及利用导数研究曲线上某点切线方程和函数的零点的问题，对于本题应先判断函数的定义域，接着对此函数进行求导，求出在某点的斜率，最后利用函数单调性，进行零点的取值判断即可。
12．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设“任取1件产品是次品”，“产品取自第i批规格”，i=1，2，
则，且，互斥，
由题意得，
由全概率公式可得，
故答案为：0.043
【分析】本题主要考查全概率公式的实际应用，分别求出每一事件发生的概率，利用全概率公式求解即可。
13．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得，因为，
所以，
则，
即<
所以
故答案为：
【分析】本题主要考查数列的前n项和，对于本题，首先应判断数列之间的关系，通过求和公式解出结果即可。
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程化为，
令，
则问题转化为的图像与直线由2个交点，
因为
当，则，单调递减，
当，，单调递增，
易知，
当正向无限趋近0时，的取值无限趋近于正无穷大，
当
故方程 有两个不等的实数根时，
故答案为：
【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，对于本题，应先转化方程，接着转换为函数图象的零点关系，接着对此函数进行求导，判断其单调性，进而求出取值范围即可。
15．【答案】（1）若，要放入同一个盒子中，根据捆绑法，可看成将个不同的小球放入个不同的盒子中，不同的放法有种．
（2）第一种情况：个小球各自放入个不同的盒子中，共有种放法．
第二种情况：有个小球放入同一个盒子中，剩余个小球同时放入另一个盒子中，共有种放法．
第三种情况：有个小球放入同一个盒子中，剩余个小球各自放入一个盒子中，共有种放法．
故不同的放法有种．
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）由题意得，把，看成一个整体，把3个不同的球放入4个盒子，即代入数据即可。
（2）本题主要考查排列与组合的实际应用，对于本题，首先应分情况讨论，利用排列组合相关公式分别求解，最后利用求和公式，把不同的情况相加即可。
16．【答案】（1），，，
所以在处的切线方程为，即；
（2），令，得，
单调递减
单调递增
所以在区间上的最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，首先对此函数进行求导，把此点的横坐标代入，求出再此点的导数，最后代入此点坐标求出方程即可。
（2）本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对于本题应利用第一问的导数，判断出其单调区间，接着求出极值，进而判断极值和端点纵坐标大小，即可判断结果。
17．【答案】（1）解：由题意可知，，
所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）解：由题意可知，的可能取值为，
则，
，
所以.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由表中数据计算卡方，对比临界值即可求解；
（2）的可能取值为，利用古典概型概率公式结合组合数公式求出对应概率，再利用数学期望公式即可求解.
（1）由表中数据可知，，
所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）由题意可知，的可能取值为，
则，
，
所以.
18．【答案】（1）设的公差为，则，，
解得，．
故．
（2）由可得，
所以，
则，
，得
，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的应用；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）本题主要考查等差的求和公式，解方程可得出首项和公差，进而得到所求。
（2）本题由数列的错位相减法求和，首先求出数列的通项公式， 结合等比数列的求和公式，即可求得结果，。
19．【答案】（1）由题意得函数的定义域为，
，
则，解得：，
所以，
令，解得：或，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则当时，函数取得极小值，为，
当时，函数取得极大值，为；
（2），，
，，
当时，，在单调递增，
当时，，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增，
当时，，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为．
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，首先判断函数的定义域为，利用导数的几何意义，接着对此函数求导，在上单调递增，在上单调递减，接着求出极值即可。
（2）本题主要考查函数单调性相关知识，根据单调性的判断方法，首先写出，进而对其求导，判断单调性，最后可求出单调区间问题转化为求导函数对应的不相等问题即可。
1 / 1广西示范性高中2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
1．（2024高二下·广西壮族自治区期末）春暖花开，某学校组织学生春游，每个班级可以在周一到周六任选一天出游，则甲、乙两班不在同一天出游的概率为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率与独立事件；概率的应用；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：甲乙两班出游共有种情况，甲乙两班同一天出游共有六种情况，所以甲乙两班不在同一天出游的概率为
故答案为：A
【分析】本题主要考查概率的实际应用，首先分析甲乙两班一起出游的不同情况，然后再利用1减去一起出游的概率即可得到答案。
2．（2024高二下·广西壮族自治区期末）对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到回归直线方程，据此模型预测当时，y的估计值为（　　）
x 2 4 5 6 8
y 20 40 60 70 80
A．210 B．210.5 C．211.5 D．212.5
【答案】C
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：由题意可知：，
．
∵回归直线方程经过样本中心，∴，，
回归直线方程为：，
当时，的估计值为：．
故答案为：C．
【分析】先求出样本中心（5，54），确定回归直线方程，把代入即可求解．
3．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知在等差数列中，，，则公差等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为是等差数列，
所以，即
所以
故答案为：A
【分析】本题主要考查等差数列的通项公式，利用等差数列的通项公式直接求解即可。
4．（2024高二下·广西壮族自治区期末）从含有件次品的件新产品中，任意抽取件进行检验，抽出的件产品中恰好有件次品的抽法种数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
从3件次品中取出2件次品，共有种取出方法，
从5件正品中取出3件次品，共有种取出方法，
所以一共有种取出方法.
故答案为：C
【分析】本题主要考查组合及其组合公式，分不同情况讨论，最终把结果相乘即可。
5．（2024高二下·广西壮族自治区期末）下列导数运算错误的是(　　)
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
【答案】B
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由题意得：对于A：，则，故A正确。
对于B：，则，故B错误。
对于C：，则，故C正确。
对于D：，，故D正确。
故答案为：B
【分析】本题主要考查复合函数的求导运算，把上述选项运用求导公式计算即可得到结果。
6．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知的二项展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：由题意可得，
则二项式的展开式的通项公式为
令，解得，则展开式的常数项为
故答案为：A
【分析】本题主要考查二项式的性质以及二项式的系数，首先写出二项式的通项公式，再利用二项式系数的性质求解得到常数项即可。
7．（2024高二下·广西壮族自治区期末）设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由，，得
即，解得
因为，所以，，
两式相减可得，
即，又因为，，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，
.
故答案为：D
【分析】本题主要考查等比数列以及等比数列和的相关运算，首先由递推关系得到，再根据与其项和的关系求出以及即可。
8．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为，
所以，即，
合并得，
令，
可得为上的增函数，
所以恒成立，分离参数得，
而当时，，
当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】化简已知不等式，构造函数，由已知条件可得为上的增函数，从而可得恒成立，即，参变分离可求的取值范围.
9．（2024高二下·广西壮族自治区期末）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口为了解推动出口后的亩收入单位：万元情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则 若随机变量服从正态分布，
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：依据题意，，，所以，
故，
故C正确，D错误。
因为
所以，
因为，所以
，
而，
故B正确，A错误。
故答案为：BC
【分析】本题主要考查正态分布的原则以及考查其对称性知识，把上述选项分别代入公式计算即可。
10．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是(　　)
A． B．
C．为递减数列 D．的前项和为
【答案】B,C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解： 等差数列中，，解得，而，
因此公差，通项，
对于A，，A错误，
对于B，，B正确，
对于C，， 为递减数列 ，C正确，
对于D，，所以
的前项和为，D错误。
故答案为：BC
【分析】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和的相关性质，对于本题应先求出公差和通项公式，接着利用求出结果分别验证上述选项即可。
11．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知函数，则(　　)
A．的定义域为
B．的图像在处的切线斜率为
C．
D．有两个零点，，且
【答案】B,C,D
【知识点】复合函数的单调性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由可得，的定义域为，故A错误。
对于B，因为，所以，即，所以的图像在处的切线斜率为，故B正确。
对于C，，所以，故C正确。
对于D，因为，所以在上单调递增。
因为，所以在(0，1)上有且仅有一个零点，
同理在上有且仅有一个定点，即有两个零点，，
由得， ，
又因为，所以，
设，则是在上的零点，而是在上的唯一零点，
所以，即，故D正确。
故答案为：BCD
【分析】本题主要考查函数求导的运用以及利用导数研究曲线上某点切线方程和函数的零点的问题，对于本题应先判断函数的定义域，接着对此函数进行求导，求出在某点的斜率，最后利用函数单调性，进行零点的取值判断即可。
12．（2024高二下·广西壮族自治区期末）两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取件则取到这件产品是次品的概率为　 　．
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：设“任取1件产品是次品”，“产品取自第i批规格”，i=1，2，
则，且，互斥，
由题意得，
由全概率公式可得，
故答案为：0.043
【分析】本题主要考查全概率公式的实际应用，分别求出每一事件发生的概率，利用全概率公式求解即可。
13．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知数列满足，，则　 　．
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意得，因为，
所以，
则，
即<
所以
故答案为：
【分析】本题主要考查数列的前n项和，对于本题，首先应判断数列之间的关系，通过求和公式解出结果即可。
14．（2024高二下·广西壮族自治区期末）若方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：方程化为，
令，
则问题转化为的图像与直线由2个交点，
因为
当，则，单调递减，
当，，单调递增，
易知，
当正向无限趋近0时，的取值无限趋近于正无穷大，
当
故方程 有两个不等的实数根时，
故答案为：
【分析】本题主要考查函数零点与方程根的关系，对于本题，应先转化方程，接着转换为函数图象的零点关系，接着对此函数进行求导，判断其单调性，进而求出取值范围即可。
15．（2024高二下·广西壮族自治区期末）将，，，这个小球放入个不同的盒子中．
（1）若，要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子最多只能放个小球，有多少种不同的放法？
【答案】（1）若，要放入同一个盒子中，根据捆绑法，可看成将个不同的小球放入个不同的盒子中，不同的放法有种．
（2）第一种情况：个小球各自放入个不同的盒子中，共有种放法．
第二种情况：有个小球放入同一个盒子中，剩余个小球同时放入另一个盒子中，共有种放法．
第三种情况：有个小球放入同一个盒子中，剩余个小球各自放入一个盒子中，共有种放法．
故不同的放法有种．
【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）由题意得，把，看成一个整体，把3个不同的球放入4个盒子，即代入数据即可。
（2）本题主要考查排列与组合的实际应用，对于本题，首先应分情况讨论，利用排列组合相关公式分别求解，最后利用求和公式，把不同的情况相加即可。
16．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）求在区间上的最小值．
【答案】（1），，，
所以在处的切线方程为，即；
（2），令，得，
单调递减
单调递增
所以在区间上的最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，首先对此函数进行求导，把此点的横坐标代入，求出再此点的导数，最后代入此点坐标求出方程即可。
（2）本题主要考查利用导数研究函数的单调性，对于本题应利用第一问的导数，判断出其单调区间，接着求出极值，进而判断极值和端点纵坐标大小，即可判断结果。
17．（2024高二下·广西壮族自治区期末）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
　 多于5本 少于5本 合计
活动前 35 65 100
活动后 60 40 100
合计 95 105 200
（1）试通过计算，判断是否有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量，求的数学期望.
参考公式：.
临界值表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）解：由题意可知，，
所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）解：由题意可知，的可能取值为，
则，
，
所以.
【知识点】独立性检验的应用；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由表中数据计算卡方，对比临界值即可求解；
（2）的可能取值为，利用古典概型概率公式结合组合数公式求出对应概率，再利用数学期望公式即可求解.
（1）由表中数据可知，，
所以有的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用；
（2）由题意可知，的可能取值为，
则，
，
所以.
18．（2024高二下·广西壮族自治区期末）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）设的公差为，则，，
解得，．
故．
（2）由可得，
所以，
则，
，得
，
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的应用；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）本题主要考查等差的求和公式，解方程可得出首项和公差，进而得到所求。
（2）本题由数列的错位相减法求和，首先求出数列的通项公式， 结合等比数列的求和公式，即可求得结果，。
19．（2024高二下·广西壮族自治区期末）已知函数．
（1）若函数在点处的切线与直线平行，求函数的极值；
（2）若，，，求的单调区间．
【答案】（1）由题意得函数的定义域为，
，
则，解得：，
所以，
令，解得：或，
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
则当时，函数取得极小值，为，
当时，函数取得极大值，为；
（2），，
，，
当时，，在单调递增，
当时，，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增，
当时，，，在上单调递增，
，，在上单调递减，
，，在上单调递增，
综上所述，当时，的单调递增区间为，
当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为，
当时，的单调递增区间为，，的单调递减区间为．
【知识点】函数的单调性及单调区间；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，首先判断函数的定义域为，利用导数的几何意义，接着对此函数求导，在上单调递增，在上单调递减，接着求出极值即可。
（2）本题主要考查函数单调性相关知识，根据单调性的判断方法，首先写出，进而对其求导，判断单调性，最后可求出单调区间问题转化为求导函数对应的不相等问题即可。
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