资源简介

2024-2025学年第二学期初三二模联考
九年级数学
本试卷共5页，共25题，满分120分．考试用时120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场和座位号填写在答题卡上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，回收答题卡。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．下列几何体中，主视图和左视图都是矩形的是（ ）
A． B． C． D．
4．“爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，3，4，3，3，2，4．则对这组数据说法错误的是（ ）
A．众数是3 B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是3
5．抛物线中的x，y的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 7 0 0 …
关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为和
6.如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=3，AC=4，则sin∠ABD的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）
A． B． C． D．
如图，过正五边形的顶点A作射线，若，
则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，△ABC中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C．10 D．
10.新定义：在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，……，这样依次得到点，，，，…，，若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分18分）
11.若二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12.分解因式： = ．
13.圆锥的底面半径是3cm，母线长9cm。则它的侧面展开图的面积是 ．
14. 若a2﹣3a+2＝3，则3a2﹣9a+2022的值是　 　 ．
15．如图，在平行四边形中，为上一点，且，与相交于点，若，则　 　 ．
16.如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号）
解答题（本大题共9小题，满72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（本小题满分4分）
解不等式组：
（本小题满分4分）
已知：如图，AB∥ED，点F、点C在AD上，AB=DE，AF=DC．
求证：BC=EF．
（本小题满分6分）
已知
(1)化简 P;
(2)若点(a,b)在一次函数 的图象上，求P 的值.
（本小题满分6分）
为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀），（良好），（一般），（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中所给信息解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，C等所在扇形圆心角度数为____________；
(2)学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中， 随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好有甲的概率．
（本小题满分8分）
如图，在坡顶如图，小红同学为了测量小河对岸某塔的高度，他在与塔底B同一水平线上的点C处测得塔的顶端A的仰角为，接着他沿着坡度的斜坡向上行走10米到达点D处（点A、B、C、D、E、F在同一平面内），此时测得塔的顶端A的仰角为．（参考数据：，，，，）
(1)求点D到的距离；
(2)求塔的高度．（结果精确到0.1米）
（本小题满分10分）
如图，∠BAC=90°，以为直径的交的斜边于点D，连接．点E在上，．
(1)求作满足条件的点E，并求证：DE是的切线.（要求尺规作图，保留作图痕迹）
(2)请在（1）的条件下，延长交的延长线于点F，若，，求的长．
（本小题满分10分）
如图，一次函数与反比例函数交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，其中A的坐标为，且满足．
(1)求，的表达式；
(2)反比例函数图象上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（本小题满分12分）
四边形是边长为5的菱形，连接．将绕点按顺时针方向旋转得到，点，旋转后的对应点分别为，．旋转角为．
(1)如图1，连接，当点第一次落在对角线上时，__________．
(2)如图2，当，且时，与交于点．试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)如图3，连接．在旋转过程中，当与菱形的一边平行时，且，请求出线段的长．
（本小题满分12分）
已知二次函数（m为常数）．
(1)当时．求函数顶点坐标；
(2)若点和都在该二次函数的图象上，且不论n取何值总有成立，求m的值；
(3)已知点，若二次函数图象与线段只有一个交点，请求出m的取值范围．
2024-2025学年第二学期初三二模联考 九年级数学参考答案及评分标准（讨论稿）
一、 选择题：共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D C D B A B C
二、 填空题：共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分.
题号 11 12 13 14 15 16
答案 a ≤ 3 2 (x y)2 27π cm2 2025 24 ①②③
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17 ．（本题满分 4 分）
解：
解不等式3x 2 ≤ x ，得：x ≤ 1 ，… … … … … … 1分
解不等式，得：x > 3 ，… … … … … …3分
则不等式组的解集为 3 < x ≤ 1… … … … … …4分
18．（本题满分 4 分）
解：证明： ∵AB∥ED，
∴ ∠A= ∠D ， … … … … … … 1分
又∵AF=DC，
∴AC=DF， … … … … … …2分
在△ABC与△DEF中 ，
∴△ABC≌△DEF． … … … … … …3分
∴BC=EF． … … … … … …4分
19．（本题满分 6 分）
解： … … … … … …2分
（2） ∵点（a，b）在一次函数y = x 3 的图像上
∴b = a 3 ，… … … … … …5分
………………6分
20 ．（本题满分 6 分）
（1）解： 由统计图可得，这次抽样调查共抽取： 16 ÷
32% = 50（人） ，等级为A： 50 × 24% = 12人
C等所在扇形圆心角的度数为： 360 ° × = 108 ° .
… … … … … …2分（说明：画图得1分，圆心角度数得1
分）
（2）树状图如下所示：
由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好有甲的可能性有6种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为 = ． … … … … … …6分
（说明列表格或树状图正确得2分，等可能的语言表述1分，求概率得1分）
21．（本题满分 8 分）
（1）解：过点D作DG 丄 CF 于点G . 在Rt△CDG 中，
3 ， … … … … … … 1分
: tan ZDCG = 3 ，即ZDCG = 30O ， … … … … … …2分
∵ CD = 10 米，
:DG = CD = 5 米， … … … … … …3分
答：点D到FC 的距离为5米；
（2）解：过点D作DH 丄 AB 于点H，则四边形DGBH 是矩形.
:BH = DG = 5 米， … … … … … …4分
设 AB = x ，则 AH = AB - BH = (x - 5) 米，
在Rt△ACB 中， ZACB = 45O ， :AB = BC = x ，
在Rt△CDG 中， CG = 3DG = 53 米，
:DH = BG = CG + BC = (x + 5、i3 ) 米， … … … … … …5分
在Rt△AHD 中，
tan上ADH = tan31。= ，
: x 一 5 ≈ 0.60 ． … … … … … …6分
解得x ≈ ≈ 25.5米， … … … … … …7分
答：塔 AB 的高度约为25.5 米． … … … … … …8分
22．（本题满分 10 分）
（1）解：如图，点E即为所求； … … … … … …2分
在△OEA 和 △OED 中，
〔OE = OE
l OA = OD
∴ △OEA≌△OED(SSS) ， … … … … … …3分
∴ 上ODE = 上OAE = 90。， … … … … … …4分
∴ DF 是ΘO 的切线； … … … … … …5分
（2）解：过点D作DH 丄 AB 于点H.
∵ AB 是直径， ∴ 上ADB = 90。，
∴ 上ADH + 上HDB = 90。， ∵ 上B + 上HDB = 90。，
∴ 上ADH = 上B ， … … … … … …6分
∴ tanB = tan上ADH = = = ，
∴ = = ， … … … … … …7分
∴ BH = 4AH ，
∴ AH = ， DH = ，
∴ OH = OA一 AH = 3 一 = ，
∵ 上ODF = 上DHO = 90。， 上FOD = 上DOH ，
∴ △FOD ∽△DOH ， … … … … … …8分
DF 3 =
∴ 12 9 ， … … … … … …9分
5 5
∴ DF = 4 ． … … … … … … 10分
（第二问一共5分，有多种解法， 由阅卷题组老师根据解法适当赋分）
23．（本题满分 10 分）
（1）解：过点A 作 AH Ⅱ y 轴，交x 轴于点H ， ∴ AH Ⅱ OC ，
∴ △DOC∽△DHA ， … … … … … … 1分
∴ = ，
∵A的坐标为(1, 4) ， CD = 3AC ，
∴ AH = 4，OH = 1 ， = = ，
∴ OC = 3,
∴ C(0, 3) ， … … … … … …2分
把 A(1, 4) 代入y2 = ，得： k2 = 4 ；
: y2 = , ………………3分
把 A(1, 4), C(0, 3) ，代入y1 = k1x +b ，得： { 1 + b , ………………4分
解得： ，
: y1 = x + 3; … … … … … …5分
（2）存在；理由如下： ∵ y1 = x + 3 ，
∴当y = 0 时， x = 一3 ∴D(一3, 0) ，
∴ OD = 3，
联立y1 = x + 3 ， y2 = ，
〔x = 1 〔x = 一4
∴ B(一4, 一1) ， … … … … … …6分
∴ S△AOB = S△BOC + S△AOC = × 3 × 5 = ， … … … … … … 7分
∴ 3S△POD = 3 × , 8分
: yP = ,
当yP = 时， xP = ，当yP = 一 时， xP = 一
: P (|( , ), 或(|(一 , 一 ), ; … … … … … … 10分
24 ．（本题满分 12 分）
（1）解：直接写出答案为： 60O ． … … … … … … 1分
如图所示，连接DF ，
∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AC 垂直平分DB ，
∴ FD = FB ，
∵将△BCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到△BEF ， ∴ BD = BF ，
∴ BD = BF = DF ，
∴ △DBF 是等边三角形，
∴ 上DBF = 60O ，即 α=60O ，
（2）四边形BDGF 是菱形，
证明： ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ ADⅡBC ，
∴ 上ADB = 上CDB ，
由旋转可得上BFE = 上BDC ， BF = BD ，
∴ 上BFE = 上ADB ， … … … … … …2分
∵ EF Ⅱ BD ，
∴ 上BFE + 上FBD = 180O ，
∴ 上ADB +上FBD = 180O ，
∴ ADⅡBF ， 3分
∴四边形BDFG 是平行四边形， 4分
∵ BF = BD ，
∴四边形BDFG 是菱形； … … … … … …5分
（3）
①当EF ⅡBC 时，如图所示，设CE, BF 交于点G ，过点D 作DH丄 AB于点H ，
设DH = 3k ，则 AH = 4k ， ∴ AD = 5k ，
∵ AD = 5 ，
∴ k = 1 ， DH = 3, AH = 4 ， ∴ BH = AB 一 AH = 5 一 4 = 1，
∵ EF ⅡBC ，
∴ 上F = 上FBC ，
∵ EB = EF = BC = 5 ，
∴ 上F = 上EBF ，
∴ 上EBF = 上CBF ，
∴ BG 丄 CE ， EG = CG =
又EB = EF ， DB = BF ，
∴ BG = ，
∴ EC = 2EG = 3 10 ，
②如图所示，当EF∥AB 时，
∴ 上E = 上ABE， ∵ ABⅡCD ，
∴ 上ABD = 上BDC ， ∵ 上BDC = 上F ，
∴ 上F = 上ABD ，
∴ 上ABD + 上ABE + 上EBF = 上F + 上E + 上EBF = 180O， ∴E, B, C 三点共线，
∴ CE = BC + BE = 5 + 5 = 10 ；
③如图，当EF ⅡBC ，且EF 在BC 上方时，过点E作EG 丄 BC 于点G ∴ 上EBG = 上BEF
∴ tan 上EBG = tan 上BEF = tan 上DAB = =
∴设EG = 3m ， BG = 4m
∵ BE2 = BG2 + EG2 ，即52 = (4m)2 + (3m)2 ∴ m = 1
∴ EG = 3 ， BG = 4
∴ CG = BC - BG = 1
∴ CE = ·EG2 - CG2 = ·
∴综上所述， CE 的长为310 或10 或-10 .
（第3问问7分，三个答案各2分，过程较为完整再给1分）
25 ．（本题满分 12 分）
（1）解：当m = 2 时， y = x2 - mx - 2m = x2 - 2x - 4 = (x -1)2 - 5 ，
∴此时函数顶点坐标为(1, -5) ； … … … … … … 1分
（2）解： ∵点P(n +1, y1 )和Q(2n -1, y2 ) 都在该二次函数y = x2 - mx - 2m 的图象上， ∴ y1 = (n +1)2 - m (n +1) - 2m ， y2 = (2n -1)2 - m (2n -1) - 2m ，
∴ y2 - y1 = (2n -1)2 - m(2n -1)- 2m - (n +1)2 - m(n +1)- 2m7」= 3n2 - (6 + m)n + 2m ，
… … … … … …2分
∵不论n取何值总有y1 ≤ y2 成立，
∴不论n取何值总有y2 - y1 = 3n2 - (6 + m)n + 2m ≥ 0 成立，
∴关于n 的二次函数y3 = 3n2 - (6 + m)n + 2m与x 轴只有一个交点或没有交点， … … … … … …3分
∴ Δ = (6 + m)2 - 4× 3 × 2m ≤ 0 ， … … … … … …4分
整理得Δ = (6 - m)2 ≤ 0 ， ∵ (6 - m)2 ≥ 0 ，
∴ 6 - m = 0 ，
解得m = 6 ； … … … … … …6分
（3）解：
设直线MN 解析式为y = kx +b ，
把M (-3, 1), N(3, 4) 代入得b ，解得
∴直线MN 解析式为y = x + ，
当直线MN 与抛物线有且只有一个交点时，
即方程 x + = x2 - mx - 2m有两等根，
整理得x - |(m + 2 , x - 2m - 2 = 0 ， … … … … … …7分
∴ Δ = |((m + ), 2 - 4|((-2m - ), = 0 ，两等根x1 = x2 =
解得m = ± 10 … … … … … …8分
∵二次函数图象与线段MN只有一个交点， ∴ 3 ≤ m + ≤ 3
答案第 7页，7 共 7页
解得 只有符合条件； … … … … … …9分
当直线MN 与抛物线有两个交点时，
即方程 = x2 - mx - 2m 有两不等根， 整理得x - 2m -
m < - - ·i10 或m > - + ， … … … … … … 10分
∵ y = x2 - mx - 2m = x2 - m(x + 2) ， ∴当x = -2 时， y = x2 - m(x + 2) = 4 ，
∴不论m取何值，函数y = x2 - mx - 2m 的图象必过一个定点(-2, 4) ； … … … … … … 11分
∴当x = -2 时， y = 即定点(-2, 4) 在直线MN 上方，
∵二次函数图象与线段MN只有一个交点，
∴直线x =3 与抛物线的交点位于直线MN 下方，即32 - 3m - 2m <
解得m > 1，
此时m > 1 ， … … … … … … 12分
综上所述，二次函数图象与线段只有一个交点，m 的取值范围为m > 1或m = - ， 故答案为： m >1或m = - .

展开更多......

收起↑