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第4章 因式分解 单元综合真题检测卷
一、单选题
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　　)。
A． B． C． D．
2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列四个多项式是完全平方式的是
A． B． C． D．
4．如果二次三项式 是一个完全平用式，那么 的值是（　　）
A．7 B． C．49 D．
5．多项式与多项式的公因式是(　　)
A． B． C． D．
6．多项式中，各项的公因式为（　　）
A．a2b B． C．4a2b D．
7．下列因式分解结果正确的是（　　）
A．xy2-3x2y+xy=xy（y-3x） B．x4+7x2-8=x2（x2+7）-8
C．4x2-16xy+16y2=（2x-4y）2 D．x3-2x2+x=x（x-1）2
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
9．对于①；②-3 ， 从左到右的变形， 表述正确的是 （　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解， ②是乘法运算
D．①是乘法运算， ②是因式分解
10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　）
A．56 B．60 C．62 D．88
二、填空题
11．分解因式：　 　．
12．在实数范围内因式分解：　 　.
13．因式分解：﹣3x3+12x＝　 　．
14．分解因式：=　 　．
15．因式分解：ax2﹣4a= 　 　．
16．对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到，规定．已知A、B均为“2阶等差中项数”，其中，（，，m，，且x，y，m，n均为正整数）．令则 k 用 y和n 表示为 　 　； 当 为完全平方数时，则满足条件的所有 k 之和为 　 　．
三、综合题
17．分解因式：
（1）a2b2﹣2ab+1
（2）9（a+b）2﹣25（a﹣b）2．
（3）a2﹣2a+1﹣b2
（4）x2+y2+m2﹣2xy+2my﹣2mx．
18．因式分解：
（1）3a2﹣27；
（2）m3﹣2m2+m．
19．按要求完成下面两个小题：
（1）计算：( － ＋ )÷(－ )
（2）分解因式：x3－4x
20．一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：① ；② ；③ ；④
（1）小红做错的或不完整的题目是　 　（填序号）；
（2）把（1）题中题目的正确答案写在下面．
21．分解因式
（1）x4﹣9x2
（2）m2（m﹣1）+4（1﹣m）
（3）x3+2x2y+xy2．
22．因式分解
（1）2x2﹣8
（2）（x2+1）2﹣4x2
（3）3x2+9x﹣162．
23．因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
24．分解因式
（1）4x2－9；
（2）3a－6a2＋3a3
25．综合与实践
下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程：
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了________．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式 D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为　 　．
（3）请你模仿上述方法，对多项式 进行因式分解．
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第4章 因式分解 单元综合真题检测卷
一、单选题
1．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　　)。
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、此题的二项式中，两项都不能在实数范围内写成一个整式的完全平方，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、此题的二项式中，两项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，能使用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
D、此题的二项式中，虽然两项都能写成一个整式的完全平方，但两项的符号相同，不能使用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】一个二项式中，如果每一项都能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，则这个二项式能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
2．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
3．下列四个多项式是完全平方式的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是完全平方式，故本选项不符合题意；
B、不是完全平方式，故本选项不符合题意；
C、不是完全平方式，故本选项不符合题意；
D、是完全平方式，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用完全平方公式计算求解即可。
4．如果二次三项式 是一个完全平用式，那么 的值是（　　）
A．7 B． C．49 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2-14x+m2是一个完全平方式，
∴-14x=2mx或-14x=-2mx，
∴m=-7或m=7，
故答案为：B.
【分析】根据二次三项式的结构特征得出-14x=2mx或-14x=-2mx，即可得出m的值.
5．多项式与多项式的公因式是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
∴多项式与多项式的公因式是
故答案为：A．
【分析】根据公因式的定义求解。先利用完全平方公式因式分解，再寻找公因式．
6．多项式中，各项的公因式为（　　）
A．a2b B． C．4a2b D．
【答案】C
【解析】【解答】解：=，各项的公因式为4a2b.
故答案为：C.
【分析】多项式中各项的公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．结合题中多项式求解即可．
7．下列因式分解结果正确的是（　　）
A．xy2-3x2y+xy=xy（y-3x） B．x4+7x2-8=x2（x2+7）-8
C．4x2-16xy+16y2=（2x-4y）2 D．x3-2x2+x=x（x-1）2
【答案】D
【解析】【解答】解：A、原式=xy（y-3x+1），不符合题意；
B、原式=（x2-1）（x2+8）=（x+1）（x-1）（x2+8），不符合题意；
C、原式=4（x2-4xy+4y2）=4（x-2y）2，不符合题意；
D、x3-2x2+x=x（x-1）2，符合题意，
故答案为：D．
【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．
8．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、不是因式分解；
B、不是因式分解；
C、是因式分解；
D、不是因式分解；
故答案为：C．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做这个多项式的因式分解，据此判断即可.
9．对于①；②-3 ， 从左到右的变形， 表述正确的是 （　　）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解， ②是乘法运算
D．①是乘法运算， ②是因式分解
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：①是因式分解， ②是乘法运算
故答案为：C
【分析】根据因式分解的定义即可求出答案.
10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此 4，12，20 都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（　　）
A．56 B．60 C．62 D．88
【答案】B
二、填空题
11．分解因式：　 　．
【答案】
12．在实数范围内因式分解：　 　.
【答案】
13．因式分解：﹣3x3+12x＝　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为
【分析】先提取公因式-3x，再利用平方差公式因式分解即可。
14．分解因式：=　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：原式==．
故答案为：
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
15．因式分解：ax2﹣4a= 　 　．
【答案】a（x﹣2）（x+2）
【解析】【解答】解：ax2﹣4a
=a（x2﹣4）
=a（x﹣2）（x+2）．
故答案为：a（x﹣2）（x+2）．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
16．对于任意一个三位自然数M，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到，规定．已知A、B均为“2阶等差中项数”，其中，（，，m，，且x，y，m，n均为正整数）．令则 k 用 y和n 表示为 　 　； 当 为完全平方数时，则满足条件的所有 k 之和为 　 　．
【答案】；
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵A是“2阶等差中项数”，
∴，
整理得：；
∵，且B是2阶等差中项数”，
而B=100m+70+n=100m+10×7+n
∴，
整理得：；
∵将三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到，
∴，，
∴，
，
∴，
，即，
∴；
；
∵，
∴，
∵是完全平方数，且，
∴该完全平方数一定是3的倍数，
∴或，
∴或，
∵，x、y都为正整数，
∴一定是3的倍数，
∴y的值为3或6或9，
∴，
当时，则，此时，
∴；
当时，则，此时，
∴；
当时，则，此时，不符合题意；
综上所述，足条件的所有k之和为，
故答案为：；．
【分析】根据“2阶等差中项数”的定义可得，；根据“将三位自然数M的百位数字和个位数字互换位置，得到”可将A 、B 表示出来，由规定“”可将F(A)和F（B）表示出来，则可得；然后由并结合为完全平方数可得：或，则或，再由，x、y都为正整数，得到y的值为3或6或9，则，再分别根据"①时，②当时，③ 当时，"三种情况计算即可求解．
三、综合题
17．分解因式：
（1）a2b2﹣2ab+1
（2）9（a+b）2﹣25（a﹣b）2．
（3）a2﹣2a+1﹣b2
（4）x2+y2+m2﹣2xy+2my﹣2mx．
【答案】（1）解：a2b2﹣2ab+1=（ab﹣1）2
（2）解：原式=[3（a+b）+5（a﹣b）][3（a+b）﹣5（a﹣b）]
=4（4a﹣b）（﹣a+4b）
（3）解：a2﹣2a+1﹣b2
=（a﹣1）2﹣b2
=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）
（4）解：x2+y2+m2﹣2xy+2my﹣2mx
=（x﹣y）2﹣2m（x﹣y）+m2
=（x﹣y﹣m）2
【解析】【分析】（1）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（3）将前三项利用完全平方公式分解因式进而结合平方差公式分解因式得出答案；（4）利用分组分解法以及结合完全平方公式分解因式得出答案．
18．因式分解：
（1）3a2﹣27；
（2）m3﹣2m2+m．
【答案】（1）解：原式=3（a2-9）
=3（a+3）（a-3）；
（2）解：原式=m（m2-2m+1）
=m（m-1）2．
【解析】【分析】（1）先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式m，再利用完全平方公式因式分解即可。
19．按要求完成下面两个小题：
（1）计算：( － ＋ )÷(－ )
（2）分解因式：x3－4x
【答案】（1）-39
（2）x (x＋2)(x－2)
【解析】【解答】(1)
(2)x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(x-2.)
【分析】根据有理数的运算法则运算；分解因式时，先提取公因式，再采取公式法或者十字相乘法.
20．一次课堂练习，小红做了如下四道因式分解题：① ；② ；③ ；④
（1）小红做错的或不完整的题目是　 　（填序号）；
（2）把（1）题中题目的正确答案写在下面．
【答案】（1）②④
（2）解：① ；
② ；
③ ，
④ ；
【解析】【解答】解：（1）① ，符合题意；
② ，故②不符合题意；
③ ，符合题意；
④ ，故④不符合题意；
故答案为②④；
【分析】（1）提取公因式和公式法因式分解进行判断即可；
（2）根据提取公因式和公式法因式分解对（1）中错误的因式分解即可。
21．分解因式
（1）x4﹣9x2
（2）m2（m﹣1）+4（1﹣m）
（3）x3+2x2y+xy2．
【答案】（1）解：x4﹣9x2
=x2（x2﹣9）
=x2（x+3）（x﹣3）
（2）解：m2（m﹣1）+4（1﹣m）
=（m﹣1）（m2﹣4）
=（m﹣1）（m+2）（m﹣2）
（3）解：x3+2x2y+xy2
=x（x2+2xy+y2）
=x（x+y）2
【解析】【分析】（1）首先提取公因式x2，进而利用平方差公式分解因式得出答案；（2）首先提取公因式（m﹣1），进而利用平方差公式分解因式得出答案；（3）首先提取公因式x，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
22．因式分解
（1）2x2﹣8
（2）（x2+1）2﹣4x2
（3）3x2+9x﹣162．
【答案】（1）解：2x2﹣8=2（x2﹣4）
=2（x+2）（x﹣2）
（2）解：（x2+1）2﹣4x2
=（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
=（x+1）2（x﹣1）2
（3）解：3x2+9x﹣162
=3（x2+3x﹣54）
=3（x+9）（x﹣6）
【解析】【分析】（1）首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出答案；（2）直接利用平方差公式分解因式进而，结合完全平方公式分解因式得出答案；（3）首先提取公因式3，进而利用十字相乘法分解因式得出答案．
23．因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
（3）解：
=
=
=
（4）解：
=
=
=
【解析】【分析】（1）直接运用平方差公式进行因式分解即可；
（2）直接运用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）先提取公因式xy，再运用完全平方公式进行因式分解即可；
（4）先提取公因式（x+y），再运用平方差公式进行因式分解即可．
24．分解因式
（1）4x2－9；
（2）3a－6a2＋3a3
【答案】（1）解；4x2-9
=（2x）2-32
=（2x+3）（2x-3）
（2）解；3a-6a2+3a3
=3a（1-2a+a2）
=3a（1-a）2
【解析】【分析】（1）利用平方差公式因式分解即可；
（2）先提取公因式3a，再利用完全平方公式因式分解即可。
25．综合与实践
下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程：
解：设 ，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）．
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了________．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数差的完全平方公式 D．两数和的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为　 　．
（3）请你模仿上述方法，对多项式 进行因式分解．
【答案】（1）D
（2）不彻底；
（3）解：设 ，
原式
．
【解析】【解答】解：（1）第二步到第三步的过程运用了两数和的完全平方公式，
答案为：D；（2） 仍可进行因式分解，故分解不彻底；
答案为：不彻底； ；
【分析】（1）观察分解过程发现利用了完全平方公式；（2）分解不彻底，最后一步还能利用完全平方公式分解；（3）仿照题中方法将原式分解即可.
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