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第5章 分式 单元集中强化训练卷
一、单选题
1．迅速发展的5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率，设4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．在代数式，，，中，是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．分式方程 = 的解是（　　）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
4．某公司为增加员工收入，提高效益．今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（利润率= ×100%）较去年翻一番，则今年该公司产品的利润率为（　　）
A．40% B．80% C．120% D．160%
5．我市某中学为了打造书香校园，营造良好的读书氛围，培养学生良好的阅读习惯，并属“读书好、读好书、好读书”阅读活动，活动开展后，“双减”政策落地实施，学生课外作业量减少，自主活动时间增加，小智同学实际每天比原计划每天多阅读30页课外书．实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同，设原计划每天阅读课外书x页．则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如果 ， ，那么 等于（　　）
A．4 B． C．0 D．-4
7．下列分式运算中，正确的是（　　）
A． ÷(x+y)=1 B．2x2· · =
C．x2÷ ÷ = D．(2a2-2b2)÷ =
8．下列等式变形正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
10．已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作）
操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，）
操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）；
操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推）
将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论：
①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）·
以上说法中，正确的个数为（　　）·
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
11．计算： 　 　．
12．当　 　时，分式的值为零．
13．若关于x的方程无解，则a的值为　 　．
14．若分式有意义，则实数x的取值范围是　 　；分式约分的结果是　 　.
15．若方程 无解，则m的值为　 　．
16．当　 　，关于的分式方程有增根.
三、综合题
17．已知实数x，y，a，b满足a﹣b＝x﹣y＝3，ax+by＝7．
（1）求ay+bx的值；
（2）求 的值．
18．某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
19．已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值；
20．某快递仓库原来是人工分拣货物，为提高工作效率，现使用机器人分拣货物．已知一台机器人的工作效率相当于一名工人工作效率的20倍，且用一台机器人分拣6000件货物，比原来30名工人分拣这些货物多用小时．
（1）一台机器人每小时可分拣多少件货物？
（2）此仓库元旦前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了20台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15台机器人进行增授，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．
21．列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
22．杭州亚运会期间，某商店用3600元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3600元购进的数量比第一次少了10个．
（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元
（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元
23．“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？
24．“端午节”是我国的传统节日之一，为传承中华优秀传统文化，某班准备开展“粽香情浓，温暖端午”活动．下表是生活委员购买粽子的相关信息：
白水粽 腊肉粽
购买费用：105元单价：a元/斤购买数量：①斤 购买费用：225元单价：元/斤购买数量：②斤
（1）请补全表中的购买数量（用含a的式子表示）；
（2）已知购买白水粽的数量与购买腊肉棕的数量相等，求白水棕和腊肉棕的单价．
25．有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
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第5章 分式 单元集中强化训练卷
一、单选题
1．迅速发展的5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的 10 倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G 网络比4G网络快45秒，求这两种网络的峰值速率，设4G 网络的峰值速率为每秒传输 x 兆数据，依题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是：
，
故答案为：B
【分析】根据题意，设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，根据5G网络比4G网络快45秒，可列出分式方程.
2．在代数式，，，中，是分式的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
3．分式方程 = 的解是（　　）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
【答案】D
【解析】【解答】解：两边都乘以x（x+1）得：3（x+1）=4x，
去括号，得：3x+3=4x，
移项、合并，得：x=3，
经检验x=3是原分式方程的解，
故选：D．
【分析】观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．
4．某公司为增加员工收入，提高效益．今年提出如下目标，和去年相比，在产品的出厂价增加10%的前提下，将产品成本降低20%，使产品的利润率（利润率= ×100%）较去年翻一番，则今年该公司产品的利润率为（　　）
A．40% B．80% C．120% D．160%
【答案】C
【解析】【解答】设去年产品出厂价为a，去年产品成本为b，根据题意，
100%= ×2×100%，
即整理得： =2a﹣2b，
解得：a= b，
所以把a= b，代入 ×2中得 ×2= ×2=120%．
故答案为：C．
【分析】根据题意列出分式方程，再进行计算求值，即可得到所求结论.
5．我市某中学为了打造书香校园，营造良好的读书氛围，培养学生良好的阅读习惯，并属“读书好、读好书、好读书”阅读活动，活动开展后，“双减”政策落地实施，学生课外作业量减少，自主活动时间增加，小智同学实际每天比原计划每天多阅读30页课外书．实际阅读350页所需的时间与原计划阅读200页所需时间相同，设原计划每天阅读课外书x页．则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
6．如果 ， ，那么 等于（　　）
A．4 B． C．0 D．-4
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式可以得到，再将m、n的值代入计算即可。
7．下列分式运算中，正确的是（　　）
A． ÷(x+y)=1 B．2x2· · =
C．x2÷ ÷ = D．(2a2-2b2)÷ =
【答案】B
【解析】【解答】解 ：A、；故A不符合题意；
B、；故B符合题意；
C、 ；故C不符合题意；
D、 ；故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据分式的除法法则，除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数，将分式除法转变为分式的乘法，能分解因式的分子分母分别分解因式，然后约分化为最简形式，即可进行判断。
8．下列等式变形正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
9．若，的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项符合题意；
B、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意；
C、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意；
D、用3a、3b分别替换原分式中的a、b，得，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别用3a、3b分别替换原分式中的a、b，然后分子、分母能分解因式的分别分解因式，进而约分化简，然后与原分式比较即可得出答案.
10．已知两个分式：，进行以下运算操作：（为方便描述，将记作，将记作）
操作一：将两分式相加结果记作，相减结果记作；（即，）
操作二：将，相加结果记作；，相减结果记作（即，）；
操作三：将，相加结果记作；，相减结果记作…（以此类推）
将每一次的操作结果再不断进行相加、相减操作，通过操作，有以下结论：
①；②恒成立；③恒成立；④，⑤当时，；（注：以上结论中n均为正整数）·
以上说法中，正确的个数为（　　）·
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
二、填空题
11．计算： 　 　．
【答案】
12．当　 　时，分式的值为零．
【答案】
13．若关于x的方程无解，则a的值为　 　．
【答案】3或4
14．若分式有意义，则实数x的取值范围是　 　；分式约分的结果是　 　.
【答案】；b
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
解得，x≠3.
故答案为：x≠3；b.
【分析】（1）分式有无意义主要看分式的分母，①当分式的分母等于零时，分式无意义；②当分式的分母不等于零时，分式有意义；
（2）约分就根据分式的基本性质是把分子、分母中的公因式约去.
15．若方程 无解，则m的值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：去分母得：
∵分式方程式 无解，
∴ ，
解得：
把 代入
解得：
故答案为：2．
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
16．当　 　，关于的分式方程有增根.
【答案】6或30
【解析】【解答】解：(x+2)(x+5)+x m=(x 2)×2（将公式两边同时乘以 (x 2)(x+2) 的最小公倍数 x 2，x 22 4，x+2.）
x2+7x+10+x m=(x 2)×2（使用分配律将 x+2 乘以 x+5，并组合同类项.）
x2+8x+10 m=(x 2)×2（合并 7x 和 x，得到 8x.）
x2+8x+10 m=2x 4（使用分配律将 x 2 乘以 2.）
8x+10 m=2x 4 x2（将方程式两边同时减去x2.）
8x+10 m=2x 4 x2 8x（将方程式两边同时减去 8x.）
10 m=2x 4 x2（合并 2x 和 8x，得到 6x.）
m= 6x 4 x2 10（将方程式两边同时减去 10.）
m= 6x 14 x2（将 4 减去 10，得到 14.）
m=x2+6x+14（方程两边同除以-1.）
∵由题意，x-2≠0，x+2≠0，x2-4≠0，
∴x≠±2
把x=2，x=-2分别代入m=x2+6x+14，得m=6或30.
故答案为：6或30.
【分析】本题先通过x表示m，再根据分母不为零求出x不能取得值，将其代入，求出m不能取的值，最终得出答案.
三、综合题
17．已知实数x，y，a，b满足a﹣b＝x﹣y＝3，ax+by＝7．
（1）求ay+bx的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）解：∵a－b＝x－y＝3，
∴(a－b)(x－y)＝ax－ay－bx＋by＝(ax＋by)－(ay＋bx)＝9，
∵ax＋by＝7，
∴ay＋bx＝－2.
（2）解：
【解析】【分析】(1)将a-b和x-y相乘展开后，从新组合，利用已知条件，即可求得ay+bx的值；
(2)将分式中的3代换成x-y，展开后合并同类项，即可求解.
18．某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．
（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？
（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？
【答案】（1）解：设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，
根据题意得： = ，
解得：x=35，
经检验，x=35是原方程的解，
∴x﹣9=26．
答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条
（2）解：设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，
根据题意得：26a+35（200﹣a）=6280，
解得：a=80．
答：购买了80条A型芯片
【解析】【分析】（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，则用3120元购进A型芯片的数量是条，用4200元购进B型芯片的数量是条，根据用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．列出方程，求解并检验即可；
（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，根据购进A型芯片的钱数+购进A型芯片的钱数=6280，列出方程，求解即可。
19．已知关于x的方程
（1）已知，求方程的解；
（2）若该方程无解，试求m的值；
【答案】（1）解：把m=4代入原方程得
方程两边同时乘以，去分母并整理得
，
解得
经检验，是原方程的解；
（2）解：方程两边同时乘以，
去分母并整理得，
∵原分式方程有无解，
∴或，
当时，得；
当时，
解得：或，
当时，得；
当时，得；
所以m的值可能为1、或6．
【解析】【分析】（1）将m=4代入方程，再利用解分式方程的解法求解即可；
（2）先去分母，再利用整式方程的解法求解即可。
20．某快递仓库原来是人工分拣货物，为提高工作效率，现使用机器人分拣货物．已知一台机器人的工作效率相当于一名工人工作效率的20倍，且用一台机器人分拣6000件货物，比原来30名工人分拣这些货物多用小时．
（1）一台机器人每小时可分拣多少件货物？
（2）此仓库元旦前夕收到货物68万件，为了在6小时内分拣完所有货物，公司调配了20台机器人和20名工人，工作3小时后，又调配了15台机器人进行增授，该公司能否在规定的时间内完成任务？请说明理由．
【答案】（1）解：设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x件货物，
根据题意，得
解得x= 200．
经检验，x= 200是原分式方程的解，且符合题意．
∴20x = 4000．
答：一台机器人每小时可以分拣4000件货物．
（2）解：该公司能在规定的时间内完成任务，理由如下：
根据题意知，前3小时20台机器人和20名工人分拣，后3小时35台机器人和20名工人分拣，则6小时一共能分拣3×(20×200+ 20×4000)+(6-3) ×(35×4000+20×200)=252000+432000=684000(件)货物．
∵684000>680000，
∴该公司能在规定的时间内完成任务．
【解析】【分析】（1）设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x件货物，根据工作总量除以公式效率=工作时间分别表示出一个机器人与30名工人分别分拣6000件货物的工作时间，进而根据用一台机器人分拣6000件货物，比原来30名工人分拣这些货物多用小时建立方程，求解即可；
（2）该公司能在规定的时间内完成任务，理由如下：由题意知，前3小时20台机器人和20名工人分拣，后3小时35台机器人和20名工人分拣，根据工作效率×工作时间等于工作总量，分别算出这六小时机器人与工人共分拣的货物数量，然后与总数量比大小即可得出结论.
21．列方程解应用题
无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？
【答案】件
22．杭州亚运会期间，某商店用3600元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了，同样用3600元购进的数量比第一次少了10个．
（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元
（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元
【答案】（1）第一次购进的每个吉祥物的进价为60元
（2）该商店两次购进吉祥物的总利润为3360元
23．“金山银山，不如绿水青山”．在今年植树节期间，某地“青年志愿团”决定义务植树120棵．开工后，附近居民主动参加到义务劳动中，使得植树的速度比原计划提高了，结果提前2小时完成了任务，求“青年志愿团”原计划每小时植树多少棵？
【答案】“青年志愿团”原计划每小时植树棵
24．“端午节”是我国的传统节日之一，为传承中华优秀传统文化，某班准备开展“粽香情浓，温暖端午”活动．下表是生活委员购买粽子的相关信息：
白水粽 腊肉粽
购买费用：105元单价：a元/斤购买数量：①斤 购买费用：225元单价：元/斤购买数量：②斤
（1）请补全表中的购买数量（用含a的式子表示）；
（2）已知购买白水粽的数量与购买腊肉棕的数量相等，求白水棕和腊肉棕的单价．
【答案】（1）解：购买费用：105元，单价：a元/斤，购买数量：斤；
购买费用：225元单价：元/斤购买数量：斤；
白水粽 腊肉粽
购买费用：105元单价：a元/斤购买数量：斤 购买费用：225元单价：元/斤购买数量：斤
（2）解：根据题意可列方程为：，
解得：，
经检验是原方程的根，
腊肉棕的单价为（元），
答：白水棕的单价为7元/斤，腊肉棕的单价为元/斤．
【解析】【分析】（1）利用题中信息进行解答；
（2）根据购买白水粽的数量与购买腊肉棕的数量相等，列出方程求出白水棕的单价，再求出腊肉棕的单价．
（1）解：购买费用：105元，单价：a元/斤，购买数量：斤；
购买费用：225元单价：元/斤购买数量：斤；
白水粽 腊肉粽
购买费用：105元单价：a元/斤购买数量：斤 购买费用：225元单价：元/斤购买数量：斤
（2）解：根据题意得：
，
解得：，
经检验是原方程的根，
（元），
答：白水棕的单价为7元/斤，腊肉棕的单价为元/斤．
25．有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
【答案】（1）解：由题可知：，
（2）解：①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：，
，
；
②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，
将代入得：，
，即舍去，
．
【解析】【分析】（1）观察图2，利用矩形的长线段，可得到关于a，b的方程，然后解方程求出b.
（2）①利用图形分别表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长，再求出两个阴影部分的周长比，化简即可；②利用图形可表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，再将b代入，根据阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可.
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