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第5章 特殊平行四边形 单元专项突破测试卷
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，OA＝2，OC＝4，D为OC边的中点，E是OA边上的一个动点，当线段BE+DE的值最小时，E点坐标为（　　）
A．（0，） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，）
2．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相垂直 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量是否有三个角是直角
3．如图，下列条件中能证明是矩形的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E．过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BF于点F，连接AF，若，则AF的长为（　　）
A． B． C． D．3
6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则BP的最小值为（　　）
A．3 B．3 C． D．
7．如图，点，，分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点．有下列四个结论：①；②③当时，点到四边形四条边的距离相等；④当时，点到四边形四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
8．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．△AOB的面积等于△AOD的面积 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当OA=OB时，它是矩形 D．△AOB的周长等于△AOD的周长
9．如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
10．将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全等，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．如图，在正方形的外侧，作等边，则　 　．
12．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点D落在点M处，AM与BC交于点E，已知，，则BE＝　 　．
13．如图，在 ABCD中，再添加一个条件　 　（写出一个即可）， ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）
14．如图，在正方形中，，、分别为、边上的动点，且，与交于点，则线段的最小值为 　 　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为　 　．
16．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1， A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 　 　
三、综合题
17．（1）、（2）题选做一题.
（1）在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，若 ，过点 作 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .求 的长.
（2）如图，在正方形 中， ， 分别为边 和 上的点，且 ，连接 ， 交于点 .
求证： .
18．如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，AD∥BC，BC AD，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求菱形BCDE的面积．
19．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且 ．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．
20．已知正方形ABCD，点E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE，求证：BE＝DE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，BF⊥BE，DF交AB于点G，求证：∠FBG＝∠FGB；
（3）如图3，F是DE延长线上一点，BF⊥BE，DF交AB于点G，BF＝BE，求证：GE＝（﹣1）DE．
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
22．已知：如图1，线段 线段 ．
求作：菱形 使其两条对角线的长分别等于线段 的长．
作法：①如图1，作线段 的垂直平分线 ，交线段 于点 ；
②如图2，作射线 ，在 上截取线段 ；
③作线段 的垂直平分线 交线段 于点 ；
④以点 为圆心，线段 的一半为半径作弧，交直线 于点 ；
⑤连接 ．
四边形 就是所求作的菱形．
问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明： ，
四边形 是_
四边形 是菱形．（　 　）（填推理的依据）．
23．下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：　 　；
（2）如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为．设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明．
24．
（1）方法探索：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．（根据所给的铺助线完成证明）
（2）方法拓展：如图②．在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．并证明你的猜想．
（3）知识应用：如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝5，AD＝4，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，求AE的长度．
25．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF．
（1）试说明：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
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第5章 特殊平行四边形 单元专项突破测试卷
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，OA＝2，OC＝4，D为OC边的中点，E是OA边上的一个动点，当线段BE+DE的值最小时，E点坐标为（　　）
A．（0，） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，）
【答案】A
2．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相垂直 B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等 D．测量是否有三个角是直角
【答案】D
【解析】【解答】解：A、 对角线互相垂直是菱形的判定条件，而非矩形的必要条件，矩形的对角线相等且平分，但不一定垂直，故此不正确；
B、矩形的对角线相等，但仅凭对角线相等无法确定四边形一定是矩形（如等腰梯形的对角线也相等），故此选项不正确；
C、两组对边相等的四边形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，故此选项不正确；
D、四边形中有三个角为直角，则第四个角必为直角，从而该四边形一定为矩形，故此选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定方法：①三个角是直角的四边形是矩形，②有一个内角为直角的平行四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形，据此逐一判断得出答案.
3．如图，下列条件中能证明是矩形的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A.
四边形
是平行四边形，
，则
，则四边形
是菱形，不符合题意；
B.
四边形
是平行四边形，
，则四边形
是菱形，不符合题意；
C.
四边形
是平行四边形，
，则四边形
是矩形，符合题意；
D.
四边形
是平行四边形，
，则四边形
是菱形，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据矩形的判定方法逐项判断即可。
4．如图，正方形的对角线、相交于点O，平分交于点E．过点E作，交于点F，若四边形的面积为1，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BF于点F，连接AF，若，则AF的长为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵DF垂直平分OC
∴
∴
∴△ODC是等边三角形，
在中，由勾股定理可得，
∵
∴
∴
∵是等边三角形，，
∴
在中，，由勾股定理可得
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质可得AO=BO=CO=DO，根据垂直平分线的性质可得OD=DC，推出△ODC为等边三角形，AC=2CD，根据勾股定理可得OD=DC=OC=，则AC=2，根据等边三角形的性质可得∠CDE=∠ODE=30°，则DF=2CF，利用勾股定理可得DC，然后求出CF、BF，接下来根据勾股定理进行计算.
6．如图，正方形ABCD的边长为3，点P为对角线AC上任意一点，PQ⊥AB，垂足分别是E，Q，则BP的最小值为（　　）
A．3 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接BP，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴AC=
，
当BP⊥AC时，
BP的最小值= AC= ，
故答案为：C．
【分析】连接BP，先利用勾股定理求出AC的长，再根据当BP⊥AC时，BP的值最小，再求出BP的长即可。
7．如图，点，，分别是的边，，的中点，分别连接，，，，与相交于点．有下列四个结论：①；②③当时，点到四边形四条边的距离相等；④当时，点到四边形四个顶点的距离相等．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②③ D．①④
【答案】C
8．如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．△AOB的面积等于△AOD的面积 B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当OA=OB时，它是矩形 D．△AOB的周长等于△AOD的周长
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由平行四边形的性质可得BO=DO，根据等底等高的三角形面积相等可得：△AOB的面积等于△AOD的面积，A不符合题目要求；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵AC⊥BD，
∴AB2=BO2+AO2，
AD2=DO2+AO2，
∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B不符合题目要求；
C、∵OA=OB，∴AC=BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
D、∵AB≠AD，BO=DOAO=AO，
∴△AOB的周长不等于△AOD的周长，故D符合题目要求，
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质以及邻边相等的平行四边形是菱形；对角线相等的平行四边形是矩形分析即可．
9．如图，在矩形纸片中，，，点是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：设AE=x，则EG=BE=6-x，
∵ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=8，
∵点G是AD的中点，
∴AG=4，
在Rt△AEG中，EG2=AE2+AG2，
∴（6-x）2=x2+42，
∴x=，
即AE的长为.
故答案为：B。
【分析】设AE=x，则EG=BE=6-x，再根据矩形的性质得出AG=4且△AEG是直角三角形，然后根据勾股定理列出方程式，解方程即可求得答案。
10．将一个边长为4的正方形 分割成如图所示的9部分，其中 ， ， ， 全等， ， ， ， 也全等，中间小正方形 的面积与 面积相等，且 是以 为底的等腰三角形，则 的面积为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图，连接EG并延长分别交AB于M，交CD于N，设ME=GN=x，EG=y，
∴ME+EG+GN=MN=AD，即得2x+y=4①，
∵△ABE与正方形EHGF的面积相等，∴AB·ME=EN2，即得4x=y2②，
联立①②解得x=1，y=2，
∴△ABE的面积：AB·ME=×4×1=2，
∴阴影部分的面积：5×2=10，
∴△AEH的面积=（4×4-10）÷4=.
故答案为：C.
【分析】如图，连接EG并延长分别交AB于M，交CD于N，设ME=GN=x，EG=y，由ME+EG+GN=MN，可得2x+y=4①，由△ABE与正方形EHGF的面积相等，可得4x=y2②，联立①②，求出x，y的值，从而求出△ABE的面积，由△AEH的面积=(正方形的面积-阴影部分的面积)即得结论.
二、填空题
11．如图，在正方形的外侧，作等边，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】判断是顶角为的等腰三角形，求出的度数即可求解．
12．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点D落在点M处，AM与BC交于点E，已知，，则BE＝　 　．
【答案】3
13．如图，在 ABCD中，再添加一个条件　 　（写出一个即可）， ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）
【答案】AC=BD
【解析】【解答】添加的条件是AC=BD，
理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为AC=BD
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形进行解答.
14．如图，在正方形中，，、分别为、边上的动点，且，与交于点，则线段的最小值为 　 　．
【答案】
15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为　 　．
【答案】
16．如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1， A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 　 　
【答案】 ．
【解析】【解答】由题意可得阴影部分面积等于正方形面积的 ，即是 ，
5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×4，
n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为 ×（n-1）= cm2．
【分析】根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的 ，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．
三、综合题
17．（1）、（2）题选做一题.
（1）在等边 中，点 ， 分别在边 ， 上，若 ，过点 作 ，过点 作 ，交 的延长线于点 .求 的长.
（2）如图，在正方形 中， ， 分别为边 和 上的点，且 ，连接 ， 交于点 .
求证： .
【答案】（1）解： 是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 中， ， ， ，
，
.
（2）证明： 四边形 是正方形，
， .
，
，
在 和 中
，
，
，
在 和 中，
，
，
.
【解析】【分析】（1）先证明 是等边三角形，再在 中求出 即可解决问题；
（2）根据正方形的性质，可得 ， ，根据全等三角形的判定与性质，可得答案.
18．如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，AD∥BC，BC AD，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求菱形BCDE的面积．
【答案】（1）证明：∵ E为AD的中点，
∴ DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：如图，连接AC，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1＝∠2，
∵AD∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AB＝BC＝1，
∵AD＝2BC＝2，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
，
∴ ，
∵BE是△ABD的中线，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）由DE=BC，DE//BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；
（2）证明AB=BC=1，再由勾股定理求出BD的长，然后由菱形的性质和三角形面积关系即可求解。
19．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、G分别是AB、CD的中点，点F在边BC上，且 ．
（1）求证：四边形AEFG是平行四边形；
（2）若四边形AEFG是矩形，求证：AG平分∠FAD．
【答案】（1）证明：连接EG交AF于点O，
∵E、G分别是AB、CD的中点，
∴EG是梯形ABCD的中位线，
∴EG= （AD+BC），EG∥AD∥BC，
∵BF= （AD+BC），
∴EG=BF，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∴BE=GF，BE∥GF，
∵AE=BE，
∴AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形
（2）解：∵四边形AEFG是矩形，
∴OA=OG，
∴∠OAG=∠OGA，
∵AD∥EG，
∴∠DAG=∠OGA，
∴∠OAG=∠DAG，即AG平分∠FAD．
【解析】【分析】（1）先求出 四边形BEGF是平行四边形， 再求出 AE=GF， 最后证明求解即可；
（2）先求出 ∠OAG=∠OGA， 再求出 ∠OAG=∠DAG， 最后求解即可。
20．已知正方形ABCD，点E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE，求证：BE＝DE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，BF⊥BE，DF交AB于点G，求证：∠FBG＝∠FGB；
（3）如图3，F是DE延长线上一点，BF⊥BE，DF交AB于点G，BF＝BE，求证：GE＝（﹣1）DE．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE；
（2）证明：∵BF⊥BE，
∴∠EBF＝90°，
∴∠FBG+∠EBG＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠ADG+∠AGD＝90°，
由（1）可知，△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴∠FBG＝∠AGD，
∵∠FGB＝∠AGD，
∴∠FBG＝∠FGB；
（3）证明：∵BF⊥BE，BF＝BE，
∴EF＝BE，
∵BE＝DE，
∴EF＝DE，
由（2）可知，∠FBG＝∠FGB，
∴FG＝BF，
∴FG＝DE，
∴GE＝EF﹣FG＝DE﹣DE＝（﹣1）DE．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，证明△ABE≌△ADE，据此可得结论；
（2）根据垂直的概念可得∠EBF＝90°，由全等三角形的性质可得∠ABE＝∠ADE，由等角的余角相等可得∠FBG＝∠AGD，根据对顶角的性质可得∠FGB＝∠AGD，据此证明；
（3）由题意可得EF＝BE，结合BE＝DE可得EF＝DE，由（2）可知∠FBG＝∠FGB，则FG＝BF，进而推出FG＝DE，据此证明.
21．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O， ， ，OE与AB交于点F.
（1）求证：四边形AEBO为矩形；
（2）若OE＝10，AC＝16，求菱形ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴四边形AEBO为平行四边形，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形AEBO为矩形；
（2）解：∵四边形AEBO为矩形，
∴AB＝OE＝10，
又∵四边形ABCD为菱形，
∴AO＝ AC＝8，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝2BO＝12，
∴菱形ABCD的面积＝ .
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEBO为平行四边形，根据菱形的性质可得∠AOB=90°，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明；
（2）根据矩形的性质可得AB＝OE＝10，根据菱形的性质可得AO＝AC＝8，利用勾股定理可得BO，由BD＝2BO可得BD，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算.
22．已知：如图1，线段 线段 ．
求作：菱形 使其两条对角线的长分别等于线段 的长．
作法：①如图1，作线段 的垂直平分线 ，交线段 于点 ；
②如图2，作射线 ，在 上截取线段 ；
③作线段 的垂直平分线 交线段 于点 ；
④以点 为圆心，线段 的一半为半径作弧，交直线 于点 ；
⑤连接 ．
四边形 就是所求作的菱形．
问题：
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图2（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明： ，
四边形 是_
四边形 是菱形．（　 　）（填推理的依据）．
【答案】（1）解：如图，四边形 即为所求作．
（2）解： ， ， 四边形 是平形四边形． ， 四边形 是菱形（对角线垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
【解析】【分析】
（1）根据题意画图
（2）由于对角线相互平分得到四边形ABCD为平行四边形，根据对角线相互垂直得到四边形为菱形。
23．下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．）
（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：　 　；
（2）如图1，若点是边上任意一点（不与、重合），其他条件不变．求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，过点作，垂足为．设，当为何值时，四边形是平行四边形，并给予证明．
【答案】（1）AG=CE
（2）证明：取AG=EC，连接EG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°．
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°．
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠FEC=90°．
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF；
（3）解：当时，四边形PECF是平行四边形．
如图．
由（2）得，△GAE≌△CEF，
∴CF=EG．
设BC=x，则BE=kx，
∴，．
∵EP⊥AC，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠PEC=45°，
∴∠PEC+∠ECF=180°，．
∴，
当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形，
∴，
解得．
【解析】【解答】(1)解：∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
∵点G是AB的中点，
∴BG=AG，
∴AG=CE．
故答案为：AG=CE；
【分析】（1）根据E是BC的中点和点G是AB的中点可得BG=AG；
（2）取AG=EC，连接EG． 证明△BGE是等腰直角三角形，再证△GAE≌△CEF， 可得答案；
（3）设BC=x，则BE=kx， 则，，利用等腰直角三角形的性质可得PE，利用平行四边形的判定可得当PE=CF时，四边形PECF是平行四边形， 即 ， 解之即可。
24．
（1）方法探索：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证：DE+BF＝EF．（根据所给的铺助线完成证明）
（2）方法拓展：如图②．在四边形ABCD中，AB＝AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF＝∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF＝EF．并证明你的猜想．
（3）知识应用：如图③，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝5，AD＝4，E是边AB上一点，且∠DCE＝45°，求AE的长度．
【答案】（1）证明：如图①中，延长CB到点G．使BG=DE．连接AG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=∠DAB=∠ABG=90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ADE≌△ABG（SAS），
∴AE=AG，∠DAE=∠BAG，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=BG+BF=DE+BD，
∴EF=DE+BF；
（2）解：当∠ABC+∠D=180°时，结论EF=DE+BF．成立．
理由：如图②中，延长CB到点G．使BG=DE．连接AG．
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABG=180°，
∴∠D=∠ABG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ADE≌△ABG（SAS），
∴AE=AG，∠DAE=∠BAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠BAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=BG+BF=DE+BD，
∴EF=DE+BF；
（3）解：如图③中，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G．
由（1）知：DE=DG+BE，
设BE=x，则AE=5-x，DE=x+1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2，
∴（5-x）2+42=（x+1）2，
解得x=．
∴AE=5-=．
【解析】【分析】（1）延长CB到点G．使BG=DE．连接AG，先利用“SAS”证出△ADE≌△ABG和△AEF≌△AGF，可得AE=AG，EF=FG，再结合FG=BG+BF=DE+BD，可得EF=DE+BF；
（2）延长CB到点G，使BG=DE，连接AG，先证出△ADE≌△ABG和△AEF≌△AGF，可得AE=AG，EF=FG，再结合FG=BG+BF=DE+BD，可得EF=DE+BF；
（3）过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，设BE=x，则AE=5-x，DE=x+1，利用勾股定理可得（5-x）2+42=（x+1）2，求出x的值，再求出AE=5-=即可。
25．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，且AG平分∠BAF．
（1）试说明：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AD=AB= BC=CD，∠D=∠B=∠C= 90°．
因为将△ADE沿AE折叠至△AFE，所以AD=AF，DE= FE，
∠D=∠AFE=90°．所以AB=AF，∠B=∠AFG= 90°．
又因为AG平分∠BAF，所以∠BAG=∠FAG．
所以△ABG≌△AFG(ASA)．
（2）解：因为△ABG≌△AFG，所以BG= FG．
设BG= FG=x，则GC=6-x．因为E为CD的中点，
所以CE= EF=DE=3．所以EG=3+x．
所以在Rt△CEG中，32+(6-x)2=(3+x)2，解得x=2．
所以BG= 2．
【解析】【分析】(1)根据折叠的性质，得出 AD=AF，DE= FE， 结合正方形的性质和角平分线的定义，利用 ASA证明△ABG≌△AFG即可；
(2)由三角形全等的性质得出BG= FG，设BG= FG=x， 根据选段间的和差关系把EG和CE表示出来，在Rt△CEG中，根据勾股定理构建方程求解，即可解答.
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