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第四章 三角形 单元全真模拟卷
一、单选题
1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（　　）的木条．
A．3cm B．5cm C．12cm D．17cm
2．如图，线段把分成面积相等的两部分，则线段是（　　）
A．的中线 B．的高
C．的角平分线 D．以上都不对
3．如图所示，五边形ABCDE中， ， 分别是 的补角，若 ，则 等于（　　）
A．92° B．88° C．98° D．无法确定
4．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=45°，∠1=65°，则∠2的度数为 （　　）
A．45° B．65° C．70° D．110°
5．已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．1
6．如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：AD是（　　）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．3：4
7．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A=∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE B．DF∥AC C．∠E＝∠ABC D．AB∥DE
8．如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　）
A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG
9．如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（　　）
A．AB＝DE B．∠ACB＝∠DCE
C．∠ACD＝∠BCE D．∠B＝∠E
10．如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
二、填空题
11．如图，已知直线AB∥CD，∠FCD＝110°且AE＝AF，则＝　 　°．
12．在△ABC中，AC=5，AB=7，则中线AD的范围是　 　．
13．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=　 　．
14．如图所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是 　 　．
15．如图，△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，∠DAC＝20°，则∠BAD＝　 　
16．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB、B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1、C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，经过2015次操作后△A2015B2015C2015的面积为　 　．
三、综合题
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
18．王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ），点 在 上，点 和 分别与木墙的顶端重合.

（1）求证： ；
（2）求两堵木墙之间的距离.
19．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点．
（1）如果CFBE，说明：△BDE≌△CDF；
（2）若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由．
21．如图，在中，，射线平分，交于点，点在边的延长线上，，连接．
（1）求证：≌．
（2）若，求的度数．
22．如图，在四边形 中， ， 为 的中点，连接 并延长，交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
23．如图，△ABC中，AB=AC，作AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD和CE相交于点F，若已知AE=CE.
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）求证：AF=2CD
24．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小．
（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．
25．
（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是　 　；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是　 　．
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第四章 三角形 单元全真模拟卷
一、单选题
1．小芳有两根长度为4cm和9cm的木条，她想钉一个三角形木框，桌上有下列长度的几根木条，她应该选择长度为（　　）的木条．
A．3cm B．5cm C．12cm D．17cm
【答案】C
2．如图，线段把分成面积相等的两部分，则线段是（　　）
A．的中线 B．的高
C．的角平分线 D．以上都不对
【答案】A
3．如图所示，五边形ABCDE中， ， 分别是 的补角，若 ，则 等于（　　）
A．92° B．88° C．98° D．无法确定
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，延长AE，CD相交于点F.
又 ，
，
故答案为：B.
【分析】延长AE，CD相交于点F，根据平行线的性质求出∠4的度数，然后在△DEF中，根据三角形内角和定理求∠FED，则由对顶角的性质求∠2的度数即可.
4．如图，直线l1∥l2，且分别与△ABC的两边AB、AC相交，若∠A=45°，∠1=65°，则∠2的度数为 （　　）
A．45° B．65° C．70° D．110°
【答案】C
【解析】【解答】如图所示，
∵l1∥l2，
∴∠4=∠1=65°，
∵∠A=45°，
∴∠3=180°-∠4-∠A=180°-65°-45°=70°，
∴∠2=∠3=70°.
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行同位角相等得出∠4=∠1=65°，根据三角形的内角和得出∠3的度数，再根据对顶角相等得出∠2=∠3=70°.
5．已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：∵此三角形且两边为3和4，
∴第三边的取值范围是：1＜x＜7，
在这个范围内的都符合要求．
故选D．
【分析】根据三角形三边关系得出，任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
6．如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：AD是（　　）
A．2：3 B．1：2 C．1：3 D．3：4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG=2DG，
∴AD=AG+DG=3DG，
∴．
故选A．
【分析】根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得AG=2DG，那么AD=AG+DG=3DG，代入即可求得AG：AD的值．
7．如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB＝CF，∠A=∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB＝DE B．DF∥AC C．∠E＝∠ABC D．AB∥DE
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，
∴，即．
再由和两个条件不能证明，故A符合题意；
∵，
∴．
∵，
∴，故B不符合题意；
∵，，，
∴，故C不符合题意；
∵，
∴．
又∵，，
∴，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三角形全等的判定定理，结合平行线的性质逐一分析判断．
8．如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（　　）
A．△AEG B．△ADF C．△DFG D．△CEG
【答案】C
【解析】【解答】设小正方形的边长为1，则AB=3，AC= ，BC= ，AE= ，AF= ，DF=3，DG= BC= ，GF= AC= ，CE=
先从三角形的最长边分析，A. △AEG，B. △ADF，D. △CEG都不可能与△ABC全等；只有C. △DFG符合SSS形式.
故答案为：C
【分析】根据全等三角形的判定进行分析即可.
9．如图，AC＝DC，BC＝EC，添加一个条件，不能保证△ABC≌△DEC的是（　　）
A．AB＝DE B．∠ACB＝∠DCE
C．∠ACD＝∠BCE D．∠B＝∠E
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AC＝DC，BC＝EC，
∴AB=DE，满足SSS，故可保证△ABC≌△DEC；
∠ACB＝∠DCE，满足SAS， 故可保证△ABC≌△DEC；
∵∠ACD＝∠BCE
∴∠ACD+∠BCD＝∠BCE+∠BCD，即∠ACB＝∠DCE，满足SAS， 故可保证△ABC≌△DEC；
由∠B＝∠E，AC＝DC，BC＝EC，满足的是SSA，不能判定△ABC≌△DEC．
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定方法逐项判断即可。
10．如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④
【答案】B
二、填空题
11．如图，已知直线AB∥CD，∠FCD＝110°且AE＝AF，则＝　 　°．
【答案】40
12．在△ABC中，AC=5，AB=7，则中线AD的范围是　 　．
【答案】0＜AD＜6
【解析】【解答】解：延长AD到E，使AD=DE，连结BE．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB﹣AE＜AE＜AB+BE，
∴AB﹣AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=7，AC=5，
∴0＜AD＜6．
故答案为：0＜AD＜6．
【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．
13．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=　 　．
【答案】40°
【解析】【解答】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A，
而∠BOC=110°，
∴90°+ ∠A=110°
∴∠A=40°．
故答案为40°．
【分析】利用角平分线的定义及三角形内角和定理求出∠BOC=180°﹣ （∠ABC+∠ACB），再在△ABC中利用三角形内角和定理，可得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，代入可得出∠BOC=90°+ ∠A，将∠BOC=110°，代入求出∠A的度数。
14．如图所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是 　 　．
【答案】AC＝AE
【解析】【解答】添加的条件：AC=AE，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
故答案为：AC=AE，
【分析】添加条件AC=AE，再利用“SAS”证出△ABC≌△ADE即可.
15．如图，△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，∠DAC＝20°，则∠BAD＝　 　
【答案】40°
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠DAE＝60°，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∵∠BAD＝∠BAC ∠DAC，
∴∠BAD＝40°
故答案为：40°
【分析】根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE＝60°利用∠BAD＝∠BAC ∠DAC即得结论.
16．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB、B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1、C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，经过2015次操作后△A2015B2015C2015的面积为　 　．
【答案】142015
【解析】【解答】连结A1C、B1A、BC1，
S△AA1C=2S△ABC=2，
∴S△A1BC=1，S△A1B1C=2，S△CC1B1=6，
S△AA1C1=2S△AA1C=4.
∴S△A1B1C1=6+4+4=14；
同理得△A2B2C2的面积=14×14=361；
S△A3B3C3=196×14=6859，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的14倍，所以延长第n次后，得到△AnBnCn，
则其面积S△AnBnCn=14n·S1=14n，
∴△A2015B2015C2015的面积为142015.
故答案为：142015
【分析】根据题意得到S△AA1C=2S△ABC，同理得到其它三角形的面积，得出规律延长各边后得到的三角形是原三角形的14倍，得到延长第n次后的结论.
三、综合题
17．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．
（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；
（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．
【答案】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC，BE=AF．
∴EF=EB+CF．
（2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△AFC中，
∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC．
∴EA=FC=3，BE=AF=10．
∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．
【解析】【分析】（1）根据题意证明△BEA≌△AFC，继而由全等三角形的对应边相等求出答案即可；
（2）根据（1）中三角形全等的结论，由对应边相等，求出EF的长度即可。
18．王强同学用10块高度都是 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（ ），点 在 上，点 和 分别与木墙的顶端重合.

（1）求证： ；
（2）求两堵木墙之间的距离.
【答案】（1）证明：由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
在 和 中
，
∴
（2）解：由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答：两堵木墙之间的距离为
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等可证 ，然后利用AAS即可证出 ；（2）根据题意即可求出AD和BE的长，然后根据全等三角形的性质即可求出DC和CE，从而求出DE的长.
19．如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，
（1）求CD的取值范围
（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．
【答案】（1）解：根据三角形三边关系可得：5-4＜CD＜5+4，
即1＜CD＜9.
（2）解：∵AE∥BD， ∠BDE=125°.
∴∠AEC=180°-125°=55°.
∴∠C=180°-55°-55°=70°.
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系得出DC的取值范围即可.
（2）利用平行线的性质得出∠AEC的度数，再利用三角形内角和定理得出答案即可.
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F，E分别是AD及其延长线上的点．
（1）如果CFBE，说明：△BDE≌△CDF；
（2）若CF，BE是△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F，请猜想BF与CE的位置关系？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵CFBE，∴∠FCD﹦∠EBD．∵AD是BC边上的中线，∴．在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF．
（2）解：BFCE．理由如下：如图，连接BF，CE．
∵ CF⊥AD于F，BE⊥AD于E，∴CFBE．由（1）的结论可知△BDE≌△CDF，∴．∵AD是BC边上的中线，∴BD =CD．在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE．∴，∴BFCE．
【解析】【分析】（1）利用“ASA”证明△BDE≌△CDF即可；
（2）利用“SAS”证明△BDF≌△CDE，可得，再利用平行线的判定可得BF//CE。
21．如图，在中，，射线平分，交于点，点在边的延长线上，，连接．
（1）求证：≌．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：射线平分，
，
在和中，
，
≌；
（2）解：≌，
，
，
，
，
，
为．
【解析】【分析】(1)先利用角平分线的定义得到相等，再通过边角边SAS判定与全等.
(2)已知，通过领补角的定义可得到的度数，再利用全等三角形的性质得到的度数，进而求得的度数．
22．如图，在四边形 中， ， 为 的中点，连接 并延长，交 于点 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵ ，
∴ ， ．
∵ 为 的中点，
∴ ．
在 和 中，
∴ ．
∴ ．
（2）解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）先求出 AE=CE ，再利用AAS证明三角形全等，最后证明求解即可；
（2）先求出AD=CF=12，再求出BF=8，最后求BC的值即可。
23．如图，△ABC中，AB=AC，作AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD和CE相交于点F，若已知AE=CE.
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）求证：AF=2CD
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠B+∠BAD=90°，∵CE⊥AB，∴∠B+∠BCE=90°，∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB
（2）证明：∵△AEF≌△CEB，∴AF=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，BC=2CD，
∴AF=2CD
【解析】【分析】(1)根据同角的余角相等可得∠EAF=∠ECB，在△AEF和△CEB中，用角边角可证得△AEF≌△CEB；
（2）由（1）知△AEF≌△CEB，所以AF=BC，根据已知条件AB=AC，AD⊥BC可得CD=BD，BC=2CD，所以AF=2CD。
24．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．
（1）若∠B=20°，∠C=80°，求∠EAC和∠EAD的大小．
（2）若∠C＞∠B，由（1）的计算结果，你能发现∠EAD与∠C﹣∠B的数量关系吗？写出这个关系式，并加以证明．
【答案】（1）解：∵∠B=20°，∠C=80°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=80°，
∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD=40°﹣10°=30°
（2）解：结论：∠EAD= （∠C﹣∠B）．
理由：∵三角形的内角和等于180°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC= ∠BAC= （180°﹣∠B﹣∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°﹣∠C，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠CAD= （180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）
= ∠C﹣ ∠B= （∠C﹣∠B）
【解析】【分析】（1）根据题意，结合角平分线的性质即可得到∠EAC的度数，根据三角形的内角和计算得到∠EAD的度数即可；
（2）根据三角形的内角和以及角平分线的性质即可得到∠EAC，计算得到∠EAD的度数即可。
25．
（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．
（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．
（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是　 　；
（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是　 　．
【答案】（1）解：180°，180°，
．
，
；
（2）解：，分别平分，，设，，
则有，
，
（36°+16°）=26°
（3）90°
（4）180°-
【解析】【解答】解：（3）直线平分，平分的外角，
，，
∴180°-，
∴180°
∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D
∴
∴
∴180°，
即90°．
（4）连接PB，PD
直线平分的外角，平分的外角，
，，
∵180°，180°
∴360°
同理得到：360°
∴720°
∴720°
∵180°，180°
∴360°，
180°-
【分析】（1）根据三角形的内角和可得 ，，再结合，即可得到；
（2）设，，利用“8字形”的性质可得，即可得到，再化简和计算可得；
（3）根据角平分线的定义可得，，再利用“8字形”可得，再结合∠P+∠PAD=∠PCD+∠D，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，可得，最后利用角的运算和等量代换可得；
（4）连接PB，PD，先证明，，再结合，，可得，因此。
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