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第四章 因式分解 单元同步真题检测卷
一、单选题
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）2=x2+2x+1 D．x2﹣x=x（x﹣1）
2．已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．篮子里有若干苹果，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示苹果数量不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若 ，则mn的值为（　　）
A．5 B．-5 C．10 D．-10
6．下列因式分解中：① ；② ；③ ；④ ；正确的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．下列因式分解正确的是（　　）
A．15x2﹣12xz=3xz（5x﹣4） B．x2﹣2xy+4y2=（x﹣2y）2
C．x2﹣xy+x=x（x﹣y） D．x2+4x+4=（x+2）2
8．下列因式分解中，正确的个数为（　　）
①x3+2xy+x=x(x2+2y)．
②x2+4x+4=(x+2)2．
③-x2+y2=(x+y)(x-y)．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
9．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．12
10．计算(-2)1999+(-2)2000等于(　　)
A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999
二、填空题
11．已知，，则　 　．
12．在实数范围内因式分解：2y3﹣6y＝　 　.
13．因式分解：x3﹣10x2﹣24x=　 　．
14．因式分解：9a2－81＝　 　．
15．分解因式：　 　．
16．对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是　 　；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是　 　．
三、综合题
17．
（1）用简便方法计算：
（2）若是整数，一定能被整除吗？说明理由．
18．
（1）因式分解：（x-y）（3x-y）+2x（3x-y）；
（2）设 y=kx，是否存在实数 k，使得上式的化简结果为 x2？求出所有满足条件的 k 的值．若不能，请说明理由．
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
20．分解因式
（1） ；
（2） ．
21．若一个三位或三位以上的整数A分成左、中、右三个数后满足：①中间数=左边数2-右边数2，则称中间数是A的“吉祥数”.如231的“吉祥数”是3，4122的“吉样数”是12；②中间数=（左边数-右边数）2，则称中间数是A的“如意数”.如143的“如意数”是4，5161和1165的“如意数”是16.
（1）若一个三位数的“吉祥数”是5，则这个数是　 　，若一个四位数的“如意数”是81，则这个数是　 　，
（2）一个“吉祥数”与一个“如意数”的左边数均为m，右边数均为n，且这个“吉祥数”比这个“如意数”大12，求满足条件的“吉样数”.
22．下面是某同学对多项式am+an+bm+bn进行因式分解的过程.
原式=(am+an)+(bm+bn)=a (m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘方公式时，我们往往可以尝试将一个多项式分组后，再运用提取公因式或运用乘法公式继续分解的方法是分组分解法。
再如：x2-y2+x-y=(x2-y2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)
根据上述文字与例题，回答下列问题：
（1）将下列多项式进行分解：
①ax-ay-bx+by=　 　，
②a2+2ab+b2-1=　 　。
（2）分解下列因式：
①ab-ac+b-c；②4a2-4ac+c2-9b2．
23．将两个大小不一的等腰直角三角形按如图①，②的方式摆放，设两个三角形的直角边长分别为 ， ，图②中阴影部分的面积为 .
（1）用含 ， 的代数式表示图②中阴影部分的面积；
（2）将（1）中的代数式因式分解；
（3）若 ， ，用含 ， 的式子表示图②中阴影部分的面积.
24．分解因式：
（1）
（2）
25．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 　　（填写序号即可）；
（2）若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 　　；
（3）在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式，
小娟：原式，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
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第四章 因式分解 单元同步真题检测卷
一、单选题
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）2=x2+2x+1 D．x2﹣x=x（x﹣1）
【答案】D
【解析】【解答】A、是整式的乘法，故A不符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义“把一个多项式分解成几个因式的积的形式就叫做因式分解”可判断求解.
2．已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．下列分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，右边不是整式乘积形式，故A项不合题意；
B、中，不是整式，故B项不合题意；
C、的右边不是乘积形式，故C项不合题意；
D、，D项符合因式分解的定义，
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义及因式分解的计算方法逐项判断即可。
4．篮子里有若干苹果，可以平均分给名同学，也可以平均分给名同学（x为大于3的正整数），用代数式表示苹果数量不可能的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，包含和，故本选项可能表示苹果数量，
B、不能因式分解，故苹果数量不可能是此代数式，
C、包含和，故本选项可能表示苹果数量，
D、，包含和，故本选项可能表示苹果数量．
故答案为：B．
【分析】利用整式的整除判断即可。
5．若 ，则mn的值为（　　）
A．5 B．-5 C．10 D．-10
【答案】C
【解析】【解答】（ x+ 3 ） （ x+n ） = x2 +(n+3)x+3n= x2 +mx- 15，
则
解得
则mn=(-2)×（-5）=10.
故选C.
【分析】化简（ x+ 3 ） （ x+n ），合并后，将每项分别与x2 +mx- 15中的每项对应，即可求出m，n的值，则可求出mn的值.
6．下列因式分解中：① ；② ；③ ；④ ；正确的个数为（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【解析】【解答】解：① ，故①不符合题意；② ，故②不符合题意；③ ，符合题意，④ ，故④不符合题意，
所以正确的只有③，
故答案为：C．
【分析】根据因式分解的方法逐个判断即可．
7．下列因式分解正确的是（　　）
A．15x2﹣12xz=3xz（5x﹣4） B．x2﹣2xy+4y2=（x﹣2y）2
C．x2﹣xy+x=x（x﹣y） D．x2+4x+4=（x+2）2
【答案】D
【解析】【解答】解：A、15x2﹣12xz=3x（5x﹣4z），故错误；
B、x2﹣2xy+4y2不能分解，故错误；
C、x2﹣xy+x=x（x﹣y+1），故错误；
D、符合完全平方公式，正确．
故选D．
【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．
8．下列因式分解中，正确的个数为（　　）
①x3+2xy+x=x(x2+2y)．
②x2+4x+4=(x+2)2．
③-x2+y2=(x+y)(x-y)．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【解析】【解答】解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故①错误；
②x2+4x+4=（x+2）2；故②正确；
③-x2+y2=（x+y）（y-x），故③错误；
故正确的有1个；
故答案为：C.
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可.
9．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．12
【答案】A
10．计算(-2)1999+(-2)2000等于(　　)
A．-23999 B．-2 C．-21999 D．21999
【答案】D
二、填空题
11．已知，，则　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：
故答案为：4
【分析】提公因式进行因式分解，再整体代入即可求出答案.
12．在实数范围内因式分解：2y3﹣6y＝　 　.
【答案】2y（y+ ）（y﹣ ）
【解析】【解答】解：原式＝ ，
故答案为：
【分析】观察已知多项式的特点：有两项，两项的符号相反，且含有公因式2y，因此先提取公因式，再利用平方差公式进行分解因式。
13．因式分解：x3﹣10x2﹣24x=　 　．
【答案】x（x﹣12）（x+2）
【解析】【解答】解：x3﹣10x2﹣24x
=x（x2﹣10x﹣24）
=x（x﹣12）（x+2）．
故答案为：x（x﹣12）（x+2）．
【分析】先提公因式，再利用十字相乘法分解因式．
14．因式分解：9a2－81＝　 　．
【答案】9（a+3）（a-3）
【解析】【解答】9a2－81＝9（a2－9）
＝9（a+3）（a-3）
【分析】观察此多项式的特点：含有公因数9，因此提取公因式，再利用平方差公式分解因式。
15．分解因式：　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
＝
＝
故答案为：．
【分析】先提取公因式4n，再利用平方差公式因式分解即可。
16．对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且，则最小的“义渡数”是　 　；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是　 　．
【答案】213；978
【解析】【解答】解：由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213，
故答案为：213．
，
，
，
，
，
当时，，若最大，则，
当时，，若最大，则，
当时，，若最大，则，
的最大是978．
故答案为：978．
【分析】由“义渡数”定义得最小的“义渡数”是213．先求出F（n）=x-y，进一步可得F（n）+2x=20得y=3x-20，结合y三、综合题
17．
（1）用简便方法计算：
（2）若是整数，一定能被整除吗？说明理由．
【答案】（1）解：原式
（2）解：能
∵
若为偶数，则必为奇数
若为奇数，则必为偶数
在中，，必有一个是偶数
∴一定能被2整除
【解析】【分析】（1）本题考查了提公因式法进行因式分解进行简单计算；
（2））本题先考查了提公因式法，然后又考查了分类讨论思想。
18．
（1）因式分解：（x-y）（3x-y）+2x（3x-y）；
（2）设 y=kx，是否存在实数 k，使得上式的化简结果为 x2？求出所有满足条件的 k 的值．若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：原式=（3x-y）（x-y+2x）=（3x-y）（3x-y）
=（3x-y）2
（2）解：将 y=kx 代入上式得：（3x-kx）2=[（3-k）x]2=（3-k）2 x2；令（3-k）2=1，3-k=±1，解得：k=4 或 2．
【解析】【分析】（1）将3x-y看着整体，利用提公因式法可得结果。
（2）将y=kx代入，再根据使化简的结果为x2，由此可建立关于k的方程，解方程求出k的值。
19．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“和谐数”.
（1）36和2020这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？
【答案】（1）∵36＝102﹣82，2020＝5062﹣5042，
∴36和2020是“和谐数”；
（2）这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.理由如下：
∵ ；
∴两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数.
【解析】【分析】(1)按照新定义的概念进行验算即可；
(2)读懂题目意思，应用因式分解，把 化成4与整数的乘积的形式即可.
20．分解因式
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先提取公因式a，再利用完全平方公式因式分解即可；
（2）利用平方差公式因式分解即可。
21．若一个三位或三位以上的整数A分成左、中、右三个数后满足：①中间数=左边数2-右边数2，则称中间数是A的“吉祥数”.如231的“吉祥数”是3，4122的“吉样数”是12；②中间数=（左边数-右边数）2，则称中间数是A的“如意数”.如143的“如意数”是4，5161和1165的“如意数”是16.
（1）若一个三位数的“吉祥数”是5，则这个数是　 　，若一个四位数的“如意数”是81，则这个数是　 　，
（2）一个“吉祥数”与一个“如意数”的左边数均为m，右边数均为n，且这个“吉祥数”比这个“如意数”大12，求满足条件的“吉样数”.
【答案】（1）352；9810
（2）由题意得 ，
，
，
， ， ， ，
， ， ， ，
求满足条件的“吉样数”是7481，5212，5163，7136.
【解析】【解答】解：（1）一个三位数的“吉祥数”是5，设左边数为m，右边数为n，m、n均为正整数，
，
，
，
则这个数是352，
一个四位数的“如意数”是81，
设左边数为m，右边数为n，
，
，
m=9，n=0，
则这个数是9810，
故答案为：352，9810；
【分析】（1）设左边数为m，右边数为n，m、n均为正整数，由“吉祥数”的定义可得，由平方差公式分解因式可得m、n的值，可得结果，设左边数为m，右边数为n，根据“如意数”的定义可得 ，可得结果；
（2）根据题意可得 ，分解因式分别讨论n与m-n都被6整除的m、n的值，可得结果.
22．下面是某同学对多项式am+an+bm+bn进行因式分解的过程.
原式=(am+an)+(bm+bn)=a (m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)
当因式分解中，无法直接运用提取公因式和乘方公式时，我们往往可以尝试将一个多项式分组后，再运用提取公因式或运用乘法公式继续分解的方法是分组分解法。
再如：x2-y2+x-y=(x2-y2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)
根据上述文字与例题，回答下列问题：
（1）将下列多项式进行分解：
①ax-ay-bx+by=　 　，
②a2+2ab+b2-1=　 　。
（2）分解下列因式：
①ab-ac+b-c；②4a2-4ac+c2-9b2．
【答案】（1）(a-b)(x-y)；(a+b+1)(a+b-1)
（2）解：①ab-ac+b-c
=a(b-c)(b-c)
=(a+1)(b-c)．
②4a2-4ac+c2-9b2
=(2a-c)2-(3b)2
=(2a-c+3b)(2a-c-3b)．
【解析】【分析】（1）①将多项式ax-ay-bx+by的前两项分成一组，后两项分成一组，则分别出现公因式a，b，各自提公因式后，又出现新的公因式（x-y），再提公因式（x-y）即可；
②将多项式a2+2ab+b2-1的前三项分成一组，用完全平方公式因式分解后，再利用平方差公式因式分解。
（2）①将ab-ac+b-c的前两项分成一组，后两项分成一组，第一组提公因式a后，出现新的公因式（b-c），再提公因式（b-c）即可；
②将4a2-4ac+c2-9b2的前三项分成一组，用完全平方公式因式分解后，再利用平方差公式因式分解。
23．将两个大小不一的等腰直角三角形按如图①，②的方式摆放，设两个三角形的直角边长分别为 ， ，图②中阴影部分的面积为 .
（1）用含 ， 的代数式表示图②中阴影部分的面积；
（2）将（1）中的代数式因式分解；
（3）若 ， ，用含 ， 的式子表示图②中阴影部分的面积.
【答案】（1）解：如图，
由题意，
即图②中阴影部分的面积为 ；
（2） ；
（3）由图可知， ， ，
∴图②中阴影部分的面积为 .
【解析】【分析】（1） 图②中阴影部分的面积 =大等腰直角三角形的面积-小等腰直角三角形的面积，据此计算即可；
（2）先提取，再利用平方差公式分解即可；
（3） 由图可知 ， ，代入（2）的结论即得结果.
24．分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
＝
（2）解：
＝
＝
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式进行因式分解即可；
(2)先提取公因式2，再利用平方差公式继续分解即可.
25．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．
（1）下列分式：①；②；③，其中是“和谐分式”的是 　　（填写序号即可）；
（2）若为整数，且为“和谐分式”，写出满足条件的的值为 　　；
（3）在化简时，小明和小娟分别进行了如下三步变形：
小明：原式，
小娟：原式，
你比较欣赏谁的做法？先进行选择，再根据你的选择完成化简过程，并说明你选择的理由．
【答案】（1）②
（2）或5
（3）解：我欣赏小娟的做法，
原式
，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
我欣赏小娟的做法，
原式
，
理由：小娟利用了和谐分式，通分时找到了最简公分母．
【解析】【解答】解：（1）①分式 ，分子或分母都不可以因式分解，不符合题意；
②分式 ，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，符合题意；
③分式 ，分式可以约分，不符合题意；
故答案为：②；
(2)由题意可得： 或，
∴a=±4或x=5，
故答案为：a=±4或x=5.
【分析】（1）根据分式的性质和“和谐分式”的定义判断求解即可；
（2）根据题意先求出 或，再求解即可；
（3）根据“和谐分式”的定义判断求解即可。
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