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第12章 定义 命题 证明 单元综合能力测评卷
一、单选题
1．如图，在中，、的平分线，交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．中，如果，那么的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
4．下列命题是假命题的是（　　）
A．同角（或等角）的余角相等
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的内角和为180°
D．两直线平行，同旁内角相等
5．如图， ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（　　）
A．130° B．180° C．230° D．260°
7．下列说法错误的是（　　）
A．1是绝对值最小的数 B．0既不是正数，也不是负数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．0的绝对值是0
8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（　　）
A．80° B．30° C．40° D．50°
9．如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点O，且∠FOE=121°，则∠A的度数是（　　）
A．52° B．62° C．64° D．72°
10．如图，，与的角平分线交于点G，且，已知，若，，则下列等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．叙述三角形内角和定理并将证明过程填写完整.
定理：　 　.
已知： ，求证： .
证明：作边 的延长线 ，过 点作 .
∴ (直线平行，内错角相等)，
(　 　)，
∵ (平角定义)，
∴ (　 　).
12．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为　 　．
13．如图1，将扳手中某些部位抽象成点，并画出如图2所示的平面图形，其中， ，若，，，则　 　．
14．如图是一个长方形纸片，将纸片沿、折叠，点A对应点，点对应点，并且点在线段上，若，则的大小为　 　．
15．如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=90°+ ∠A= ×180°+ ∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C= ×180°+ ∠A，∠BO2C= ×180°+ ∠A．根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示）∠BOn﹣1C=　 　．
16．举反例说明下面的命题是假命题，命题：若 ，则 且 ，反例：　 　
三、综合题
17．下列各组命题是否是互逆命题：
（1）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；
（2）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（3）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．
18．如图，已知直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100 ， 回答下列问题：
（1）试说明AB∥OC
（2）若点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.则∠EOB的度数为　 　°
（3）在（2）的条件下，∠OFC：∠OBF=　 　.
19． 2022年3月30日，陕西首趟中老铁路从陕西宝鸡开往老挝首都万象.为了确保安全，在陕西境内某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A、B，如图所示，假定主道路 ，且 ，
（1）如图①， 　 　，理由是：　 　；
（2）若探照灯A发出的光线射线（AM'）从AM的位置顺时针旋转到AN并立即回转，探照灯B发出的光线射线（BA'）从BA的位置逆时针旋转至BP并立即回转，两灯不停照射巡视，若灯A转动的速度是每秒3°，灯B转动的速度是每秒1°，两灯同时转动，设转动的时间为t秒 ；
①如图②，当t为何值时，两灯发出的光线（射线AM'，射线BA'）互相垂直？
②如图③，灯A发出的光线（射线AM'）从AB的位置转动到AM'的过程中，两灯发出的光线交于点C，过C作 ，交PQ于点D，设 ， ，那么y与x的数量关系是否发生变化？若不变，求出y与x的关系式；若改变说明理由.
20．如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.
（1）如图①，求证：DE∥BC；
（2）若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.
21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F．
（1）若∠A＝62°，∠ACD＝36°，∠ABE＝20°，则∠BFD的度数为 　 　°；
（2）若∠ADF+∠AEF＝180°，∠FBC＝∠FCB，试判断∠A与∠FBC之间的数量关系，并说明理由．
22．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.
（1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性.
23．取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角 （0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示.试问：
（1）当α为多少度时，能使得图2中AB∥DC.
（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明.
24．已知三角形三个内角的度数之和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°.
（1） 当AB∥CD时，如图①，求∠DCB的度数；
（2）当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）如图③，当∠DCB= 　 　时，AB∥CE.
25．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
（1）观察“规形图”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ， ，则 　 　；
②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数；
③如图4， ， 的 等分线相交于点 ， ， ， ，若 ， ，求 的度数．
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第12章 定义 命题 证明 单元综合能力测评卷
一、单选题
1．如图，在中，、的平分线，交于点O．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．将一幅三角板如图所示摆放，若BC∥DE，那么∠1的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】延长DF交BC于点G，
∵BC∥DE，
∴∠D=∠CGD=45°，
∵∠B+∠GFB=∠CGD=45°，∠B=30°，
∴∠GFB=15°，
∴∠1=90°-15°=75°.
故答案为：C.
【分析】延长DF交BC于点G，∠D和∠CGD互为内错角，∠D=∠CGD=45°；根据三角尺的特点，∠B=30°；再根据三角形的外角定理，可得∠GFB=∠CGD-∠B=15°；最后根据∠EFG=90°，计算∠1=∠EFG -∠GFB即可得到答案.
3．中，如果，那么的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C
∴∠C=180°÷2=90°
∴△ABC是直角三角形
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理和直角三角形的判定解题即可.
4．下列命题是假命题的是（　　）
A．同角（或等角）的余角相等
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的内角和为180°
D．两直线平行，同旁内角相等
【答案】D
【解析】【解答】A、同角（或等角）的余角相等，是真命题；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，是真命题；
C、三角形的内角和为180°，是真命题；
D、两直线平行，同旁内角互补，是假命题，
故答案为：D．
【分析】根据余角的性质、三角形三边的关系、三角形的内角和及平行线的判定逐项判定即可。
5．如图， ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵DE⊥CE，
∴∠CED＝90°，
∵∠DCE＝56°，
∴∠CDE＝180° 90° 56°＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠CDE＝34°，
故答案为：A．
【分析】由垂直的定义得到∠DEC＝90°，根据三角形的内角和得∠CDE的度数，最后根据平行线的性质得到∠CDE＝∠1＝34°，即可得到结论．
6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果∠A＝50°，那么∠1+∠2的大小为（　　）
A．130° B．180° C．230° D．260°
【答案】C
【解析】【解答】∵∠1＝∠A+∠ADE，∠2＝∠A+∠AED，
∴∠1+∠2
＝∠A+∠ADE+∠A+∠AED
＝∠A+（∠ADE+∠A+∠AED）
＝50°+180°
＝230°．
故答案为：C．
【分析】根据三角形的外角性质可得∠1＝∠A+∠ADE，∠2＝∠A+∠AED，再根据已知和三角形内角和等于180°即可求解．
7．下列说法错误的是（　　）
A．1是绝对值最小的数 B．0既不是正数，也不是负数
C．一个有理数不是整数就是分数 D．0的绝对值是0
【答案】A
【解析】【解答】绝对值最小的数是0，A符合题意；
0既不是正数，也不是负数，B不符合题意；
整数和分数统称为有理数，C不符合题意；
0的绝对值是0，D不符合题意..
故答案为：A.
【分析】根据绝对值，正数，负数，有理数对每个选项一一判断即可。
8．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（　　）
A．80° B．30° C．40° D．50°
【答案】C
9．如图，△ABC的角平分线BE，CF相交于点O，且∠FOE=121°，则∠A的度数是（　　）
A．52° B．62° C．64° D．72°
【答案】B
【解析】【解答】∵∠BOC=∠EOF=121°，
∴∠OBC+∠OCB=59°，
∵△ABC的角平分线BE，CF相交于点O，
∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=118°，
∴∠A=180°-118°=62°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和得到∠OBC+∠OCB=59°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+∠OCB）=118°，由三角形的内角和即可得到结论.
10．如图，，与的角平分线交于点G，且，已知，若，，则下列等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点D作DP∥EF，连接CG并延长，∵AB∥EF，∴AB∥EF∥DP，
∴∠ACD=∠BAC+∠PCD=90°，
∵∠ACD=∠GAC+∠HGD+∠CDG=90°，∴∠GAC+∠CDG=90°-∠AGD=90°-α，
∵， ∴∠EDP=∠F=β，
∵与的角平分线交于点G ，
∴∠BAC=2∠GAC，∠CDG=∠EDG，
∴2∠GAC+∠CDG+（∠EDG-∠EDP）=2∠GAC+∠CDG+（∠EDG-β）=90°，
∴2∠GAC+2∠CDG-β=90°，
即2（90°-α）-β=90°，
∴2α+β=90°，
故答案为：B.
【分析】过点D作DP∥EF，连接CG并延长，则AB∥EF∥DP，根据平行线的性质、三角形外角的性质及角的和差进行解答即可.
二、填空题
11．叙述三角形内角和定理并将证明过程填写完整.
定理：　 　.
已知： ，求证： .
证明：作边 的延长线 ，过 点作 .
∴ (直线平行，内错角相等)，
(　 　)，
∵ (平角定义)，
∴ (　 　).
【答案】三角形的内角和为 ；两直线平行，同位角相等；等量替换
【解析】【解答】定理：三角形的内角和为 .
已知： ，求证： .
证明：作边 的延长线 ，过 点作 .
∴ (直线平行，内错角相等)，
(两直线平行，同位角相等)，
∵ (平角定义)，
∴ (等量替换).
【分析】要证三角形内角和等于180°，因此添加辅助线，过点C作CE∥AB，利用两直线平行，同位角相等，内错角相等，可证得∠1=∠A，∠2=∠B，再利用平角的定义，可证得结论。
12．如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为　 　．
【答案】
13．如图1，将扳手中某些部位抽象成点，并画出如图2所示的平面图形，其中， ，若，，，则　 　．
【答案】28
14．如图是一个长方形纸片，将纸片沿、折叠，点A对应点，点对应点，并且点在线段上，若，则的大小为　 　．
【答案】
15．如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC=90°+ ∠A= ×180°+ ∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C= ×180°+ ∠A，∠BO2C= ×180°+ ∠A．根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示）∠BOn﹣1C=　 　．
【答案】 ×180°+ ∠A
【解析】【解答】解：根据题中所给的信息，总结可得：∠BO1C= ×180°+ ∠A，
∠BOn﹣1C= ×180°+ ∠A．
故答案为： ×180°+ ∠A
【分析】根据已知中的特例，观察两部分前边的倍数和n等分线间的关系，从而写出结论．
16．举反例说明下面的命题是假命题，命题：若 ，则 且 ，反例：　 　
【答案】 ， ，则 且 ，
【解析】【解答】解：因为当 ， 时，原条件ab＞0仍然成立，
所以反例为： ， ，则 且 ， ．
故答案为： ， ，则 且 ， .
【分析】根据题意，举出反例证明即可。
三、综合题
17．下列各组命题是否是互逆命题：
（1）“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”；
（2）“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”；
（3）“同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行”．
【答案】（1）解：“等于同一个角的两个角相等”与“如果两个角都等于同一个角，那么这两个角相等”； 是同一个命题，不是互逆命题；
（2）解：“对顶角相等”与“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， 是互逆命题；
（3）解：“同位角相等，两直线平行” 的互逆命题是两直线平行，同位角相等，所以 “同位角相等，两直线平行”与“同位角不相等，两直线不平行” 不是互逆命题.
【解析】【分析】在两个命题中，若果一个命题的题设和结论刚好是另一个命题的结论与题设，我们则称这两个命题是互逆命题，根据定义即可一一判断得出答案.
18．如图，已知直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100 ， 回答下列问题：
（1）试说明AB∥OC
（2）若点E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.则∠EOB的度数为　 　°
（3）在（2）的条件下，∠OFC：∠OBF=　 　.
【答案】（1）解：理由如下：∵CB∥OA，∴∠ABC+∠OAB=180 ∵∠C=∠OAB=100 ，
∴∠C+∠OAB=180 ，
∴AB∥OC.
（2）40
（3）2：1.
【解析】【解答】解：(2) ∵∠C=∠OAB=100 ， ∴∠COA=80°，
∵∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.
∴∠EOB=40°.
( 3 )∵∠FOB=∠AOB，∠AOB=∠FBO，
∴∠FOB=∠FBO，
∴∠OFC：∠OBF=2：1.
【分析】（1）根据二直线平行同旁内角互补得出∠ABC+∠OAB=180 ，再根据等量代换得出∠C+∠OAB=180 ，根据同旁内角互补，两直线平行得出AB∥OC；
（2）根据二直线平行同旁内角互补得出∠COA=80°，根据角平分线的定义得出∠COE=∠EOF，又∠FOB=∠AOB，又∠AOC=∠COE+∠EOF+∠FOB+∠AOB=2∠EOF+2∠FOB=2(∠EOF+∠FOB)=2∠EOB，从而得出答案；
（3）根据二直线平行内错角相等得出∠AOB=∠FBO，又∠FOB=∠AOB，故∠FOB=∠FBO，根据三角形外角的定义得出∠OFC=∠FOB+∠FBO=2∠FBO，从而得出答案。
19． 2022年3月30日，陕西首趟中老铁路从陕西宝鸡开往老挝首都万象.为了确保安全，在陕西境内某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A、B，如图所示，假定主道路 ，且 ，
（1）如图①， 　 　，理由是：　 　；
（2）若探照灯A发出的光线射线（AM'）从AM的位置顺时针旋转到AN并立即回转，探照灯B发出的光线射线（BA'）从BA的位置逆时针旋转至BP并立即回转，两灯不停照射巡视，若灯A转动的速度是每秒3°，灯B转动的速度是每秒1°，两灯同时转动，设转动的时间为t秒 ；
①如图②，当t为何值时，两灯发出的光线（射线AM'，射线BA'）互相垂直？
②如图③，灯A发出的光线（射线AM'）从AB的位置转动到AM'的过程中，两灯发出的光线交于点C，过C作 ，交PQ于点D，设 ， ，那么y与x的数量关系是否发生变化？若不变，求出y与x的关系式；若改变说明理由.
【答案】（1）120°；两直线平行，内错角相等
（2）解：①由题可知：
（ⅰ）在 转到 的过程中： ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，解之得： ，
（ⅱ）在 转到 之后再返回的过程中： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，即 ，解之得： ，
综上所述： 或 ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即： ，
∴y与x的数量关系不发生变化，两者满足 .
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ，理由是：两直线平行，内错角相等；
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BAM=∠PBA，据此计算；
（2）①在AM′转到AN的过程中，∠ABC=t°，∠BAC=3t°-120°，然后根据∠ABC+∠BAC=90°就可求出t；在AM′转到AN之后再返回的过程中，∠ABC=t°，∠M′AN=3t°-180°，∠BAC=240°-3t°，然后根据∠ABC+∠BAC=90°就可求出t；
②根据∠BAC=3t=x表示出t，易得∠BCA=180-x，然后根据∠BCA+∠BCD=∠ACD=120°可得y与x的关系式.
20．如图，∠EAC＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠1＝∠3，∠2＝∠4.
（1）如图①，求证：DE∥BC；
（2）若将图①改变为图②，其他条件不变，(1)中的结论是否仍成立？请说明理由.
【答案】（1）证明：如图1，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°；
∵∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360°，
∴∠D+∠B=180°，
∴DE∥BC.
（2）解：成立.
如图2，连接EC；
∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°；
∵∠EAC=90°，
∴∠AEC+∠ACE=180°-90°=90°，
∴∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，
∴DE∥BC，
即（1）中的结论仍成立.
【解析】【分析】（1）由已知可推出∠2+∠4+∠1+∠3=180°，由三角形的内角和定理可推出∠D+∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，得DE∥BC；
（2） （1）中的结论是否仍成立 ，理由如下，由已知易得∠3+∠4=90°，根据三角形的内角和定理推出∠AEC+∠ACE=90°，由等式的性质可得∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°， 即∠DEC+∠BCE=180°，由同旁内角互补，两直线平行，得出DE∥BC.
21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F．
（1）若∠A＝62°，∠ACD＝36°，∠ABE＝20°，则∠BFD的度数为 　 　°；
（2）若∠ADF+∠AEF＝180°，∠FBC＝∠FCB，试判断∠A与∠FBC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）62
（2）解：在四边形ADFE中，
又∠ADF+∠AEF＝180°，
又∠DFE=∠BFC，
在△BFD中，
又∠FBC＝∠FCB，
∴∠A=2∠FBC ．
【解析】【解答】解：（1）在△ACD中，∵∠A=62°，∠ACD=36°，
∴∠BDC=∠ACD+∠A=62°+36°=98°，
在△BDF中，∠BFD=180°-∠ABE-∠BDF=180°-20°-98°=62°．
故答案为：62
【分析】（1）利用三角形外角的性质可得∠BDC=∠ACD+∠A=98°，根据三角形内角和求∠BFD=180°
-∠ABE-∠BDF=62°；
（2） 在四边形ADFE中 利用四边形内角和等于360°，可得由∠DFE=∠BFC，可得在△BFD中， 利用三角形内角和及∠FBC＝∠FCB，可得出
从而得出∠A=2∠FBC ．
22．如图，点D在AB上，点E在AC上，BE、CD相交于点O.
（1）若∠A=50°，∠BOD=70°，∠C=30°，求∠B的度数；
（2）试猜想∠BOC与∠A+∠B+∠C之间的关系，并证明你猜想的正确性.
【答案】（1）解：∵∠A=50°，∠C=30°，
∴∠BDO=80°；
∵∠BOD=70°，
∴∠B=30°.
（2）解：∠BOC=∠A+∠B+∠C.
理由：∵∠BOC=∠BEC +∠C，∠BEC=∠A+∠B，
∴∠BOC=∠A+∠B+∠C.
【解析】【分析】（1）利用三角形外角和定理即可求得∠B的度数；
（2）用三角形外角和定理求出∠BOC，∠BEC的两角之和，最后得出结论.
23．取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC，将三角板ABC绕点A依顺时针方向旋转一个大小为α的角 （0°＜α≤45°）得到△ABC′，如图所示.试问：
（1）当α为多少度时，能使得图2中AB∥DC.
（2）连接BD，当0°＜α≤45°时，探寻∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小变化情况，并给出你的证明.
【答案】（1）解：由题意∠CAC′=α，要使AB∥DC，须∠BAC=∠ACD，∴∠BAC=30°，∴α=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=45°﹣30°=15°，即α=15°时，能使得AB∥DC
（2）解：连接BD，
∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化，总是105°.理由如下：
当0°＜α≤45°时，总有△EFC′存在.
∵∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠CAC′=α，∠FEC′=∠C+α.
又∵∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°，∴∠BDC+∠DBC′+∠C+α+∠C′=180°.
又∵∠C′=45°，∠C=30°，∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°.
【解析】【分析】（1）由内错角相等两直线平行可知，∠BAC=∠ACD=30°， 由此可得 ∠CAC′=15°，即 α=15° .（2） 连接BD， 根据三角形的外角的性质可得∠EFC′=∠BDC+∠DBC′，∠FEC′=∠C+α，在△△EFC′ 中，由三角形的内角和定理可得∠EFC′+∠FEC′+∠C′=180°， 利用等量代换即可求出 ∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即∠DBC′+∠CAC′+∠BDC的值的大小没有变化 .
24．已知三角形三个内角的度数之和是180°，如图是两个三角板不同位置的摆放，其中∠ACB=∠CDE=90°，∠BAC=60°，∠DEC=45°.
（1） 当AB∥CD时，如图①，求∠DCB的度数；
（2）当CD与CB重合时，如图②，判断DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）如图③，当∠DCB= 　 　时，AB∥CE.
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠B=180° 90° 60°=30°，∵AB∥DC，
∴∠DCB=∠B=30°
（2）解：DE∥AC.当CD与CB重合时，∠CDA=∠CBA=30°，∴∠ADE=∠CDE+∠CDA=90°+30°=120°，∵∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAC=180°，
∴DE∥AC；
（3）15°
【解析】【解答】(3)当AB∥CE时，∠B=∠ECB=30°，
又∵∠DCE 45°，
∴∠DCB=45° 30°=15°
故答案为：15°
【分析】（1）根据三角板的特点，得到∠ACB=90°，∠BAC=60°，由AB∥DC，根据两直线平行，内错角相等，得到∠DCB=∠B的度数；（2）当CD与CB重合时，得到∠CDA=∠CBA=30°，根据同旁内角互补，两直线平行，得到DE∥AC；（3）当AB∥CE时，根据两直线平行，内错角相等；得到∠B=∠ECB，求出∠DCB的度数.
25．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
（1）观察“规形图”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ， ，则 　 　；
②如图3， 平分 ， 平分 ，若 ， ，求 的度数；
③如图4， ， 的 等分线相交于点 ， ， ， ，若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）解：∠BDC=∠A+∠B+∠C，理由如下：
如图（1），连接AD并延长．
图1
根据外角的性质，可得∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，
又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF，∠BAC=∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC=∠A+∠B+∠C；
（2）50°；解：②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB， ∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°， ∴ （∠ADB+∠AEB）=90°÷2=45°， ∴∠DCE= （∠ADB+∠AEB）+∠DAE =45°+40°=85°； ③设 ， ． 则 ， ， 则 ， 解得 所以 即 的度数为50°．
【解析】【解答】（2）解：①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，
∵∠A=40°，∠BXC=90°，
∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°，
故答案为50°
【分析】（1）首先连接AD并延长，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC=∠A+∠B+∠C．（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的值．②由（1）可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根据∠DAE=40°，∠DBE=130°，求出∠ADB+∠AEB的值；然后根据∠DCE= （∠ADB+∠AEB）+∠DAE，即可求出∠DCE的度数．③设 ， 结合已知可得 ， ，再根据（1）可得 ， ，即可判断出∠A的度数．
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