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2024-2025学年第二学期浙江省绍兴市七年级数学模拟试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1 .要使分式有意义，x的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，
一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．已知是方程的一个解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
为调查某校3000名学生的兴趣爱好情况，随机抽取部分学生进行调查，
并结合调查数据作出如图所示的不完整扇形统计图．根据统计图提供的信息，
可估算出该校喜爱跳舞的学生共有（ ）

A．300名 B．400名 C．500名 D．600名
如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，
白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，
买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，
红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则的值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
如图，将两个正方形并列放置，其中B、C、E三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上，
已知，，则阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
只用圆规来验证纸片的两边是否平行的探究活动中，小明的方法是：在纸片的一边上取线段，
用圆规在另一边上截取，使，如图1．用圆规比较和的长度，
若相同则平行．小刚的方法是：折叠纸条，使和重合，交于点F，
折痕为和，如图2．用圆规比较，，的长度，
若，则平行．则正确的是（ ）

A．小明的方法正确，小刚的方法错误
B．小明和小刚的方法都正确
C．小明的方法错误，小刚的方法正确
D．小明和小刚的方法都错误
填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．要使多项式是一个完全平方式，则实数的值是 ．
12．将一张长方形纸条折叠成如图形状，若，则 ．

13．已知，．则 ．
在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，
运用长度比的琴弦时，进行敲击，会发出、、这三个调和的乐音．
从数学角度看，会发现这样一个规律，我们把、、称之为一组调和数，
若以下有一组调和数：x、5、，那么x= ．
15．已知是方程组的解，那么的值为 ．
16．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
(1)．
(2)．
18．分解因式：
(1)．
(2)．
19．解方程（组）：
(2)
20．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，为了弘扬航天精神，
某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理．
数据分成五组，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．
根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度；
规定本次航天知识竞赛活动成绩在80分及以上的成绩为优秀，全校共有1750名学生，
请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
21．如图，点、、分别在直线、、上，交于点，已知，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若，求的度数．
如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，
一块是边长为的正方形（）．
(1)观察图形，代数式可因式分解为______；
(2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
① 用含的代数式表示；
② 若，求的值．
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．
某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，
据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；
3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），
请你帮助该公司设计购买方案；
若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，
在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
24．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
求的度数．
如图②，若将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），
设旋转时间为．
① 在旋转过程中，若边，求t的值．
② 若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转
（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应t的值．
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2024-2025学年第二学期浙江省绍兴市七年级数学模拟试卷解答
全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟.
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1 .要使分式有意义，x的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．据此列式求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴．
故选C．
“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，
一个水分子的直径约为，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
3．已知是方程的一个解，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将代入方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得；
故选D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了整式的混合运算，利用多项式除以单项式法则、同底数幂的乘法、完全平方公式、单项式乘单项式法则逐个计算得结论．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
为调查某校3000名学生的兴趣爱好情况，随机抽取部分学生进行调查，
并结合调查数据作出如图所示的不完整扇形统计图．根据统计图提供的信息，
可估算出该校喜爱跳舞的学生共有（ ）

A．300名 B．400名 C．500名 D．600名
【答案】D
【分析】先求出该校喜爱跳舞的学生所占的百分比，再用全校人数乘以这个百分比即可求解．
【详解】解：（名），
故选：D．
如果分式中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍
C．不变 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质．根据分式的基本性质进行解答即可．
【详解】解：分式中的x，y都扩大为原来的2倍，变为
，
所以分式的值扩大为原来的2倍，
故选：A．
五月枇杷韵黄金，白玉如蜜味芳华，德清枇杷品种以红种和白沙为最佳，
白沙枇杷因味甜汁鲜更受消费者青睐，故其价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，
买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元．若设白沙枇杷的价格为x元/斤，
红种枇杷的价格为y元/斤，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键．
由白沙枇杷价格比红种枇杷的价格贵3元/斤，可得；买5斤白沙枇杷比买7斤红种枇杷还贵1元，可得，进而可得二元一次方程组．
【详解】解：设白沙枇杷的价格为x元/斤，红种枇杷的价格为y元/斤，
依题意得，，
故选：A．
8．已知，，则的值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式的变形求值，根据已知可得，得出，进而根据完全平方公式变形求值即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴
∴
故选：D．
如图，将两个正方形并列放置，其中B、C、E三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上，
已知，，则阴影部分的面积是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【分析】本题考查整式乘法的几何应用，完全平方公式的应用，设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，则，，根据几何图形得到阴影部分的面积等于，列出式子，利用完全平方公式变形，计算即可．
【详解】解：设小正方形的边长为x，大正方形的边长为y，
，，
，，
则阴影部分的面积等于，
即，
，
故选：C．
只用圆规来验证纸片的两边是否平行的探究活动中，小明的方法是：在纸片的一边上取线段，
用圆规在另一边上截取，使，如图1．用圆规比较和的长度，
若相同则平行．小刚的方法是：折叠纸条，使和重合，交于点F，
折痕为和，如图2．用圆规比较，，的长度，
若，则平行．则正确的是（ ）

A．小明的方法正确，小刚的方法错误
B．小明和小刚的方法都正确
C．小明的方法错误，小刚的方法正确
D．小明和小刚的方法都错误
【答案】B
【分析】在图1中，连接，可证明，得，所以，可知小明的方法正确；在图2中，由，得，由折叠得，则，所以，可知小刚的方法正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，连接，

在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴小明的方法正确；
如图2，∵，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴小刚的方法正确，
故选：B．
填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．要使多项式是一个完全平方式，则实数的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式的特征，即可求解．
【详解】解：∵多项式是一个完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：
12．将一张长方形纸条折叠成如图形状，若，则 ．

【答案】/70度
【分析】此题考查了邻补角互补，折叠的性质和平行线的性质，首先求出，然后由折叠的性质和平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，

∵
∴
由折叠可得，
由平行可得，．
故答案为：．
13．已知，．则 ．
【答案】7
【分析】将所求式子利用完全平方公式变形后，把a+b与ab的值代入即可求出值．
【详解】∵a+b=3，ab=1，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2=9-2=7；
故答案为：7.
在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，
运用长度比的琴弦时，进行敲击，会发出、、这三个调和的乐音．
从数学角度看，会发现这样一个规律，我们把、、称之为一组调和数，
若以下有一组调和数：x、5、，那么x= ．
【答案】
【分析】根据题中的新定义和x的取值范围列分式方程并求解即可．
【详解】解：由题意得：，
整理得：，
解得：，
经检验是分式方程的解且符合题意，
故答案为：15．
15．已知是方程组的解，那么的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了二元一次方程组的解以及加减消元法，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组得：，即可确定出，，再代入求解即可．
【详解】解：将代入方程组得：，
由得：，则，
由得：，
，
故答案为：．
16．如图所示，两个正方形的边长分别为和，如果，，那么阴影部分的面积是 ．
【答案】20
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意列出阴影部分面积的表达式是解题的关键．由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可．
【详解】解：根据题意可知，
代入，，得：
故答案为：20．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，单项式的乘除：
（1）先根据零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解；
（2）先计算乘方，再计算乘除，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．分解因式：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
（1）利用提公因式和平方差公式分解因式即可；
（2）利用提公因式和完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）
19．解方程（组）：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握相关方程的解法步骤是解答的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再解整式方程的解，最后检验即可求解．
【详解】（1）解：方程组
由得，解得
将代入①，得，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得
检验：当时，，
∴该分式方程的解为．
20．2024年4月25日，神舟十八号载人飞船成功发射，为了弘扬航天精神，
某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理．
数据分成五组，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．
根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度；
规定本次航天知识竞赛活动成绩在80分及以上的成绩为优秀，全校共有1750名学生，
请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
【答案】(1)50，画图见解析
(2)36
(3)估计全校取得优秀成绩的同学约有805名．
【分析】此题考查了频数（率）分布直方图，全面调查与抽样调查，用样本估计总体，扇形统计图，弄清题中的数据是解本题的关键．
（1）根据组的人数除以占的百分比，求出本次调查的学生总数，进而求出组的学生数，补全条形统计图即可；
（2）求出组占的百分比，乘以360求出组在所在扇形的圆心角度数即可；
（3）根据样本中优秀的百分比，乘以1750估计出全校成绩优秀的学生数即可．
【详解】（1）解：根据题意得：（名），
组的学生为（名），
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50；
（2）解：根据题意得：，
则扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为36度；
故答案为：36；
（3）解：根据题意得：（名，
则估计全校取得优秀成绩的同学约有805名．
21．如图，点、、分别在直线、、上，交于点，已知，．
(1)与平行吗？请说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）先证明，得到，进而得到，即可证明；
（2）根据，可得，最后即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
，
；
（2），
，
由（1）知，
．
如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为的正方形，
一块是边长为的正方形（）．
(1)观察图形，代数式可因式分解为______；
(2)图中阴影部分面积之和记作，非阴影部分面积之和记作．
① 用含的代数式表示；
② 若，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②1
【分析】本题主要考查了整式的乘法运算与图形，完全平方公式的应用，分式的约分：
（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解；
（2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再代入，即可求解．
【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形，
所以长方形纸片的面积为，
∵长方形纸片的长为，宽为，
∴长方形纸片的面积为，
∴，
即代数式可因式分解为；
故答案为：
（2）解：①根据题意得：；
②∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴，即，
∴
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．
某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，
据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；
3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），
请你帮助该公司设计购买方案；
若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，
在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
(2)共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
(3)购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润．
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
24．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
求的度数．
如图②，若将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），
设旋转时间为．
① 在旋转过程中，若边，求t的值．
② 若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转
（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边互相平行时，请画出相应图形并写出对应t的值．
【答案】(1)
(2)①秒；②，，，，
【分析】题目主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键．
（1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解；
（2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解；
②分三种情况：当时，当，当，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴秒
②当时，分别延长和，交于点I，交于点J，交于点O，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：
延长，交于点O，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
解得：；
当，
同理得
当
同理得
同理得
综上可得：t的值为．
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