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第12章 二次根式 单元复习提升卷
一、单选题
1．下面与 是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D． +2
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（　　）
A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2
4．若 =10，则x的值等于（　　）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
5．下列等式正确是 　　
A． B．
C． D．
6．与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
7．若=x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞5
8．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示那么化简的结果（　　）
A． B．b C． D．3b
9．现有一个体积为252cm3的长方体纸盒，若该纸盒的长为：，宽为2cm，则该纸盒的高为（　　）
A． B． C． D．
10．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x B．x C．x D．x
二、填空题
11．等式 = 成立的条件是　 　
12．计算：=　 　
13．在△ABC中，BC边上的高h= cm，它的面积恰好等于边长为 cm的正方形的面积，则BC的长为　 　．
14．在函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
15．设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，则 的值是　 　．
16．若1＜x＜4，则化简 =　 　
三、综合题
17．综合题
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
18．计算下列各题
（1）
（2）（3 ﹣2 + ）÷2
（3）先化简，再求值： 其中a= +1．
19．已知，，求下列各式的值．
（1）和；
（2）．
20．（1）求代数式的值，其中.
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：____（填字母）.
A． B．
（2）化简：.
21．先化简，再求值：
（1） ﹣ +x ，并将你喜欢的值代入计算
（2） ，其中a= ，b= ．
22．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，
∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，求的最小值．
（2）当时，求的最大值．
（3）当时，求的最小值．
23．观察下列各式：
；；
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：　 　；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整）表示的等式，并验证；
（3）利用上述规律计算．
24．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝ ．
∴a﹣2＝﹣ ．
∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ＝　 　；
（2）计算： +…+ ；
（3）若a＝ ，求2a2﹣8a+1的值．
25．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　）2；
（3）化简
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第12章 二次根式 单元复习提升卷
一、单选题
1．下面与 是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D． +2
【答案】B
【解析】【解答】解：A． =2 ，与 不是同类二次根式；
B． =2 ，与 是同类二次根式；
C． =3，与 不是同类二次根式；
D． +2与 不是同类二次根式；
故答案为：B．
【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
3．若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是（　　）
A．a＝1 B．a＝－1 C．a＝2 D．a＝－2
【答案】A
【解析】【解答】∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式
∴a+1=2a
解得：a=1
故答案为：A
【分析】根据题意先求出a+1=2a，再计算求解即可。
4．若 =10，则x的值等于（　　）
A．4 B．±2 C．2 D．±4
【答案】C
【解析】【解答】解：3 + + ＝10，
5 ＝10，
＝2，
则2x＝4，
x＝2，
故答案为：C
【分析】由二次根式的性质“、、”可将方程左边化简得：3 + + ＝10，再合并同类二次根式得，5 ＝10，把方程两边同时平方可去掉根号，然后按照一元一次方程的解题步骤计算即可求解。
5．下列等式正确是 　　
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】 、原式 ，不符合题意；
、原式 ，不符合题意；
、原式没有意义，不符合题意；
、原式 ，符合题意.
故答案为： .
【分析】原式利用平方根定义及二次根式的性质判断即可得到结果.
6．与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 不是同类二次根式，不符合题意；
与 是同类二次根式，符合题意；
故答案为： D.
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可.
7．若=x﹣5，则x的取值范围是（　　）
A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵=x﹣5，
∴5﹣x≤0
∴x≥5．
故选：C．
【分析】因为=﹣a（a≤0），由此性质求得答案即可．
8．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示那么化简的结果（　　）
A． B．b C． D．3b
【答案】C
【解析】【解答】解：由数轴可得，，，
∴
＝
＝
故答案为：C．
【分析】根据所给的数轴求出，，，再化简求值即可。
9．现有一个体积为252cm3的长方体纸盒，若该纸盒的长为：，宽为2cm，则该纸盒的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：长方体的它的高为cm；
故答案为：D.
【分析】根据长方体的体积公式即可列出算式，结合二次根式的除法进行计算即可求解.
10．要使二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x B．x C．x D．x
【答案】B
【解析】【解答】解：依题意得3﹣2x≥0，
解得x．
故选：B．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
二、填空题
11．等式 = 成立的条件是　 　
【答案】x＞1
【解析】【解答】由题意可得：
解得：
故答案为
【分析】利用公式 成立的条件（ ）列出不等式即可.
12．计算：=　 　
【答案】6
【解析】【解答】解：原式=（+2）×
=3×
=6．
故答案为6．
【分析】先把化简，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可．
13．在△ABC中，BC边上的高h= cm，它的面积恰好等于边长为 cm的正方形的面积，则BC的长为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：根据题意得 h BC=（3 ）2，
即 ×6 ×BC=（3 ）2，
所以BC=2 （cm）．
故答案为2 ．
【分析】根据三角形面积公式和正方形面积公式得到 ×6 ×BC=（3 ）2，然后利用二次根式的乘除运算求BC．
14．在函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≤1且x≠﹣2
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
15．设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，则 的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣3=0，b﹣1=0，
解得：a=3，b=1，
∴ = = ．
【分析】根据平方的非负性得到a、b的值，代入二次根式化简二次根式即可.
16．若1＜x＜4，则化简 =　 　
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
原式
.
故答案为： .
【分析】利用二次根式的性质得出，然后结合x的范围去绝对值，再合并同类项，即可得出结果.
三、综合题
17．综合题
（1）试比较 与 的大小；
（2）你能比较 与 的大小吗？其中k为正整数.
【答案】（1）解： ，
，
故 ＜
（2）解： ，
，
故 ＜
【解析】【分析】（1）比较两个二次根式的大小，用分母有理化的法则先将其化为最简二次根式，再比较大小即可；（2）方法同（1）.
18．计算下列各题
（1）
（2）（3 ﹣2 + ）÷2
（3）先化简，再求值： 其中a= +1．
【答案】（1）解：原式=4 ﹣ +9﹣（2 ）2
=4 ﹣ +9﹣12
=4 ﹣ ﹣3
（2）解：原式=（6 ﹣ +4 ）
= ÷2
=
（3）解：原式=（ ﹣ ）÷a
= ×
= ，
当a= +1时，
原式= = =
【解析】【分析】（1）先化简各二次根式，再根据混合运算的顺序依次计算可得；（2）先化简括号内的二次根式并合并同类二次根式，再计算除法即可得；（3）先化简分式，再代入计算可得．
19．已知，，求下列各式的值．
（1）和；
（2）．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减法则，平方差公式计算求解即可；
（2）利用完全平方公式计算求解即可。
20．（1）求代数式的值，其中.
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：____（填字母）.
A． B．
（2）化简：.
【答案】（1）A
（2）解：，
∴当时，原式；
当时，原式．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质可得答案；
（2）根据，分情况进行化简即可．
21．先化简，再求值：
（1） ﹣ +x ，并将你喜欢的值代入计算
（2） ，其中a= ，b= ．
【答案】（1）解：原式=3 ﹣ + = ，
当x=4时，原式=7；
（2）解：原式= ÷ = =﹣ ，
当a=1+ ，b=1﹣ 时，原式=﹣ =﹣ ．
【解析】【分析】（1）原式化简后，合并同类二次根式得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值；（2）原式括号中通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
22．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，
∵，∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
（1）当时，求的最小值．
（2）当时，求的最大值．
（3）当时，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，，
当时，的最小值是2；
（2）解：当时，，
，
，
当时，的最大值是；
（3）解：，
，
的最小值是8，
的最小值是11，
当时，的最小值是11．
【解析】【分析】（1）根据题意运用二次根式的性质即可求解；
（2）根据题意运用二次根式的性质即可求解；
（3）先根据题意得到，进而运用二次根式的性质结合题意即可求解。
23．观察下列各式：
；；
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：　 　；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整）表示的等式，并验证；
（3）利用上述规律计算．
【答案】（1）
（2）解：.
验证：等式左边＝＝＝等式右边
（3）解：＝
【解析】【解答】解：（1）由题可得 =；
故答案为：.
【分析】（1）观察各个等式可得，计算即可；
（2）根据发现的规律可得，对左边的式子的分子进行化简，然后利用二次根式的性质进行化简，与右边的式子比较即可；
（3）可变形为，然后利用规律进行计算.
24．小明在解决问题：已知a＝ ，求2a2﹣8a+1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝ ．
∴a﹣2＝﹣ ．
∴(a﹣2)2＝3，即a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2(a2﹣4a)+1＝2×(﹣1)+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ＝　 　；
（2）计算： +…+ ；
（3）若a＝ ，求2a2﹣8a+1的值．
【答案】（1）
（2）解：原式
；
（3）解： ，
，
．
答： 的值为3．
【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
【分析】（1）利用平方差公式计算求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）先化简求出a的值，再计算求解即可。
25．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2.设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn.这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法.请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　.
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　 　+　 　＝（　 　+　 　）2；
（3）化简
【答案】（1）m2+3n2；2mn
（2）21；4；1；2
（3）解：
＝-
＝-
＝-
＝-
＝++-
＝
【解析】【解答】解： （1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn；
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2；
【分析】（1）将等号右边展开，比较即可得到答案；
（2）取一组m、n的值，结合（1）算出a、b的值即可；
（3）根据（1）提供的方法分别将各个二次根式的被开方数变形，进而根据“”进行化简，接着利用分母有理数化简，最后合并同类项即可.
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