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第9章 轴对称、平移与旋转 单元专项培优卷
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，竖直放置一等腰直角三角板，直角顶点C紧靠在桌面， ．垂足分别为D，E．下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图1，D，E，F分别为△ABC边AC，AB，BC上的点，∠A=∠1=∠C，DE=DF.下面的结论一定成立的是（　　）
A．AE=FC B．AE=DE C．AE+FC=AC D．AD+FC=AB
5．如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E.若∠A=70°，∠B=50°，则∠1等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图，在平面直角坐标系中，由绕点P旋转得到，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，射线a，b分别与直线l交于点，，，，将射线a沿直线l向右平移过点B时，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则
下列结论，其中正确的是（　　）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
9．如图，，下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则 ∠A 与 ∠1+∠2 之间有始终不变的关系是（　　）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
二、填空题
11．把一个图形绕着某一点旋转　 　，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或　 　，这个点叫做它们的　 　.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的　 　.
12．如图所示，三角形ABC沿射线XY的方向平移一定距离后成为三角形DEF，找出图中相等的三条线段：　 　.
13．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1＝75°，则∠2的度数为　 　．
14．如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D点，BE⊥CE于E点．AD=5，DE=3，则BE= 　 　．
15．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△BCE的面积为10，则△ACD的面积为 　 　.
16．如图，在 中， ，将 平移5个单位长度得到 1，点P、Q分别是 、 的中点， 的最小值等于　 　．
三、综合题
17．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
18．在中，，在上截取，连接．在的外部作，且交的延长线于点E．
（1）作图与探究：
①小明画出图1并猜想．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件： ▲ °．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想．他证明的简要过程如下：
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；
（2）证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明；
②延长到F，使，连结．补全图形，猜想与的数量关系并加以证明．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．
按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为　 　，B1的坐标为　 　，C1的坐标为　 　；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．
20．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DE，∠A=∠D，AB=DF.
（1）试说明：△ABC≌△DFE；
（2）若BF=13，EC=7，求BC的长.
21．如图，已知△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
22．数轴上点 表示 ，点 关于原点的对称点为 ，设点 所表示的数为 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
23．如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE.
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠C＝70°，求∠BED的度数.
24．小明家所在的小区有一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．
（1）你能说明小明这样做的根据吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？
25．如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于B，l⊥BC于C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA交直线l于点Q．
（1）求证：∠A=∠QPC；
（2）当点P运动到何处时，PA=PQ？并说明理由．
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第9章 轴对称、平移与旋转 单元专项培优卷
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．如图，竖直放置一等腰直角三角板，直角顶点C紧靠在桌面， ．垂足分别为D，E．下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°，
∵△ACB是等腰直角三角形，直角顶点为C，
∴AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠DCA+∠BCE=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=DC+CE=AD+CD=CE+BE=AD+BE，
故答案为：A．
【分析】先利用“AAS”证明△DAC≌△ECB，再利用全等三角形的性质逐项判断即可。
4．如图1，D，E，F分别为△ABC边AC，AB，BC上的点，∠A=∠1=∠C，DE=DF.下面的结论一定成立的是（　　）
A．AE=FC B．AE=DE C．AE+FC=AC D．AD+FC=AB
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠1+∠CDF=180°，∠A=∠1，
∴∠AED+∠ADE=∠ADE+∠CDF，
∴∠AED=∠CDF，
又∵∠A=∠C，AE=CD，
∴△ADE≌△CFD，
∴AE=CD，AD=CF，
又∵AD+CD=AC，
∴AE+FC=AC，
∴上述四个结论中，正确的是C中的结论，其余三个结论都是错误的，
故答案为：C.
【分析】根据三角形的内角和及平角的定义，得出∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠ADE+∠1+∠CDF=180°，又∠A=∠1，故∠AED=∠CDF，然后利用AAS判断出△ADE≌△CFD，根据全等三角形对应边相等得出AE=CD，AD=CF，然后滚局线段的和差及等量代换即可得出结论。
5．如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E.若∠A=70°，∠B=50°，则∠1等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，
则∠C=180°-∠A-∠B=180°-70°-50°=60°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠1=∠C=60°，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的内角和定理求出∠C的度数，利用全等三角形的对应角相等，可求出∠1的度数.
6．如图，在平面直角坐标系中，由绕点P旋转得到，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
7．如图，射线a，b分别与直线l交于点，，，，将射线a沿直线l向右平移过点B时，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如下图所示，
∵射线a沿直线l平移前后平行，则∠1=∠4=44°（两直线平行，同位角相等），
又∵∠4+∠3+∠2=180°，
∴∠3=180°-∠2-∠4=180°-66°-44°=70°.
故答案为：C.
【分析】对图形进行角标注，根据平移的性质以及平行线的性质可得∠1=∠4=44°，根据平角的概念可得∠4+∠3+∠2=180°，据此计算.
8．如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则
下列结论，其中正确的是（　　）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AF＝AE，AB＝AC，
∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确，
∴BF＝EC，故②正确，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵∠BDF＝∠ADC，
∴∠BFD＝∠DAC，
∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，
无法判断AB＝BC，故④错误，
故答案为：A．
【分析】由∠EAF=∠BAC，减去公共角∠BAE可得∠FAB=∠EAC，再加上已知中AF=AE，AB=AC，根据SAS可判断△FAB≌△EAC；由全等三角形的对应边相等，对应角相等，可得BF=CE，∠AFB=∠AEC；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可知，∠AEC=∠AFE+∠FAE，∠AFB=∠AFE+∠BFC，所以∠BFC=∠EAF，而AB与BC相等却无法判断。
9．如图，，下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
10．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则 ∠A 与 ∠1+∠2 之间有始终不变的关系是（　　）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2
C．3∠A=∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意得：∠1+2∠AED=180°，∠2+2∠ADE=180°，
∴∠1+2∠AED+∠2+2∠ADE=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2=360°-2∠AED-2∠ADE
=2（180°-∠AED-∠ADE）
=2∠A.
故答案为：B.
【分析】先利用折叠的特点，结合平角的定义分别列出含有∠1和∠2的关系式，两式联立得出∠1+∠2的表达式，然后提取公因数2，利用三角形内角和定理可得∠1+∠2=2∠A.
二、填空题
11．把一个图形绕着某一点旋转　 　，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或　 　，这个点叫做它们的　 　.这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的　 　.
【答案】180°；中心对称；对称中心；对称点
【解析】【解答】根据中心对称的定义可得：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.
故答案为：180°；中心对称；对称中心；对称点
【分析】根据对称中心的定义及与之相关的定义，可解答此题。
12．如图所示，三角形ABC沿射线XY的方向平移一定距离后成为三角形DEF，找出图中相等的三条线段：　 　.
【答案】AD=CF=BE
【解析】【解答】解：∵点A、B、C的对应点分别为点D、E、 F，
∴AD∥CF，AD=CF=BE.
故答案为：AD=CF=BE.
【分析】先找准对应点，然后根据平移的性质可得出平行且相等的线段，即可解答.
13．如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1＝75°，则∠2的度数为　 　．
【答案】30°
14．如图所示，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D点，BE⊥CE于E点．AD=5，DE=3，则BE= 　 　．
【答案】2
【解析】【解答】 ∠ACB=90°
BE⊥CE
在△ADC和△CEB中
故填：2
【分析】从已知条件入手，根据等角的余角相等得到证明全等的一个条件，由AAS定理可判断全等，从而得到两组对应边相等，求线段BE转化为求线段CD，观察图中线段关系，等量代换可求CD，即BE可求。
15．如图，将△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，连接CD、CE，若△BCE的面积为10，则△ACD的面积为 　 　.
【答案】20
【解析】【解答】解：∵△ABC沿直线AB向右平移后到达△BDE的位置，
∴AB=BD=CE，BC∥DE，
∴S△BCE=S△BCD，△BCE的面积为10，
∴S△ACD=2S△BCD=20.
故答案为：20.
【分析】根据平移的性质可得AB=BD=CE，BC∥DE，则S△BCE=S△BCD，推出S△ACD=2S△BCD，据此计算.
16．如图，在 中， ，将 平移5个单位长度得到 1，点P、Q分别是 、 的中点， 的最小值等于　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：取 的中点M， 的中点N，连接 ， ， ， ，
∵将 平移5个单位长度得到 ，
∴ ， ，
∵点 、 分别是 、 的中点，
∴ ，∴ ，
即 ，
∴ 的最小值等于 ，
故答案为： ．
【分析】取 的中点M， 的中点N，连接 ， ， ， ，根据平移的性质和三角形的三边关系即可得到结论．
三、综合题
17．如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）若∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
【答案】（1）证明： 在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解： ∵△ABE≌△DCE，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50°，
∴∠EBC=25°．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”即可证明三角形全等；
（2）利用全等三角形的性质求解即可。
18．在中，，在上截取，连接．在的外部作，且交的延长线于点E．
（1）作图与探究：
①小明画出图1并猜想．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件： ▲ °．”
请写出小亮所说的条件；
②小明重新画出图2并猜想．他证明的简要过程如下：
请你判断小明的证明是否正确并说明理由；
（2）证明与拓展：
①借助小明画出的图2证明；
②延长到F，使，连结．补全图形，猜想与的数量关系并加以证明．
【答案】（1）解：①36
②小明的证明错误．他证明时所使用的中的三个条件“，，”不是“两角和它们的夹边”的关系，不能使用“”来证明；
（2）解：①证明：如图．
∵，
∴．
∵，，，
∴．
∴．
②补全图形见图．
．
证明：作于点G，如图．
∵，
∴，即．
∵，
∴．
在与中，，
∴．
∴．①
∵，于点G，
∴．
∵，
∴，即．
又∵于点G，
∴．
∴．②
由①②得，即．
【解析】【解答】解：（1）①增加，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故增加时，成立，
故答案为：36；
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法求解即可；
（2）①利用角的运算求出，即可得到；
②利用全等三角形的判定方法可得，可得，再求出，证出，即可得到。
19．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．
按下列要求画图：以O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：
（1）顶点A1的坐标为　 　，B1的坐标为　 　，C1的坐标为　 　；
（2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形），写出符合要求的变换过程．
【答案】（1）（﹣2，0）；（﹣6，0）；（﹣4，﹣2）
（2）解：如图，把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向下平移1个单位，使B2C2与DE重合，
或者：把△A1B1C1绕点O顺时针旋转90°，再向右平移6个单位，向上平移3个单位，使A2C2与EF重合，都可以拼成一个平行四边形．
【解析】【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求作的三角形，
A1（﹣2，0）B1（﹣6，0）C1（﹣4，﹣2）；
【分析】（1）延长AO到A1，使A1O=2AO，延长BO到B1，使B1O=2BO，连接CO并延长到C1，使C1O=2CO，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（2）先绕点O顺时针旋转90°，然后向右平移再向下（或向上）平移，使△A2B2C2的直角边与△DEF的直角边重合即可．
20．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DE，∠A=∠D，AB=DF.
（1）试说明：△ABC≌△DFE；
（2）若BF=13，EC=7，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，
∴BE=CF，
∵BF=13，EC=7，
∴BE+CF=BF﹣EC=6，
∴BE=CF=3，
∴BC=BE+EC=3+7=10.
【解析】【分析】（1）由题意用角角边可证△ABC≌△DEF；
（2）由（1）中的全等三角形可得BC=EF，由等量减等量其差相等可得BE=CF，结合已知可求得BE=CF的值，则根据线段的构成得BC=BE+EC可求解.
21．如图，已知△ABC≌△DEF，点B、E、C、F在同一直线上，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
【答案】（1）解：∵∠A=85°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°，∵△ABC≌△DEF，AB=8，
∴∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，
∵EH=2，∴DH=8-2=6
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，∴∠DEF=∠B，
∴AB∥DE
【解析】【分析】（1）首先根据三角形的内角和算出∠ACB的度数，根据全等三角形对应角相等，对应边相等得出∠F=∠ACB=35°，DE=AB=8，再根据线段的和差即可算出答案；
（2）根据全等三角形的对应角相等得出∠DEF=∠B，根据同位角相等，两直线平行得出AB∥DE。
22．数轴上点 表示 ，点 关于原点的对称点为 ，设点 所表示的数为 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1）解：∵数轴上点A表示 ，点A关于原点的对称点为B，
∴数轴上表示点B表示- ，即x=-
（2）解：由（1）得，x=-
将x=- 代入原式，
则 =（-2 ）2+ =8-2=6．
【解析】【分析】（1）根据题意，关于原点对称的两个点的坐标，互为相反数，即可得到x的值；
（2）将x的值代入式子，计算得到答案即可。
23．如图，点E在边BC上，∠1＝∠2，∠C＝∠AED，BC＝DE.
（1）求证：AB＝AD；
（2）若∠C＝70°，求∠BED的度数.
【答案】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠EAD，
又∵∠C＝∠AED，BC＝DE.
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴AB＝AD；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，
∴∠C＝∠AEC＝70°，
∵∠AED＝∠C＝70°，
∴∠BED＝180°﹣70°﹣70°＝40°.
【解析】【分析】（1）由等量加等量和相等可得∠CAB＝∠EAD，结合已知用角角边可证△ABC≌△ADE，由全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得AC=AE，由等边对等角可得∠C=∠AEC，再用三角形内角和定理即可求解.
24．小明家所在的小区有一个池塘，如图，A、B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在BD的中点C处有一个雕塑，小明从A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后他测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A、B两点之间的距离．
（1）你能说明小明这样做的根据吗？
（2）如果小明未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助他确定AB的长度范围吗？
【答案】（1）证明：在△ACB和△ECD中
∵ ，
∴△ACB≌△ECD（SAS），
∴DE=AB
（2）解：如图，连接AD，
AD=200米，AC=120米，
∴AE=240米，
∴40米＜DE＜440米，
∴40米＜AB＜440米
【解析】【分析】（1）利用两边切夹角相等的两三角形全等，即可得出答案；（2）利用CE=CA，得出AE=240米，再利用DE=AB即可得出答案．
25．如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于B，l⊥BC于C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA交直线l于点Q．
（1）求证：∠A=∠QPC；
（2）当点P运动到何处时，PA=PQ？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵PQ⊥AP，
∴∠ABP=90°
∴∠APB+∠QPC=90°，
∵AB⊥BC于点B，
∴∠A+∠APB=90°，
∴∠A=∠QPC；
（2）解：当P运动到离C处距离为2时，PA=PQ，
证明：当PC=2时，PC=AB，
在△ABP与△PCQ中，
∵ ，
∴△ABP≌△PCQ（ASA），
∴PA=PQ；
同理，BP=7时，PC=2也符合，
所以，点P运动到与点C距离为2时，PA=PQ
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的两内角互余以及∠A+∠APB=90°，根据同角的余角相等，即可证得；（2）P运动到离C处距离为2时，PA=PQ，此时易证△ABP≌△PCQ，即可证得．
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