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第19章 四边形 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．如图，在菱形中，M、N分别是和的中点，于点P，连接，若，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，在正方形ABCD中，E是对角线上一点，连接AE，CE，若，则的度数为（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
4．如图，在中，，点在上，平分．已知，，点为的中点，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥AB，垂足为点E，连接OE，若OE=3，AE=7则AC的长为（　　）
A．5 B．16 C．10 D．12
6．如图①，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，把△ADE沿线段DE向下折叠，使点A落在BC上的点A'处，得到图②，则下列四个结论中，不一定成立的是（　　）
A．DB＝DA B．∠B＋∠C＋∠1＝180°
C．△ADE≌△A'DE D．BA＝CA
7．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　）
A．7 B．8 C． D．
9．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点E，点F在边上，，连接分别交和于点G，H，动点P在上，于点Q，连接.则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值是
二、填空题
11．在平行四边形中，若，则　 　．
12．如图，平行四边形，、是它的对角线，其中，，亲爱的同学，你已经学习了勾股定理，平行四边形的性质和判定，请你用你所学的知识研究平行四边的一组邻边、与对角线、之间数量的关系，并直接写出的值是　 　．
13．在中，，将沿底边上的高剪成两个直角三角形（图1）．把剪出的两个直角三角形的边重合拼成平行四边形（图2），则拼成的平行四边形的对角线长为　 　．
14．在中，，，，点D为斜边的中点，那么　 　．
15．如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则　 　．
16．如图，平行四边形纸片 中， ，将平行四边形纸片 折叠，使点A与点C重合，则下列结论正确的是　 　.
① ；② ；③ ；④
三、综合题
17．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
18．已知：如图，点 在 的边 上，CF//AB， 交 于 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，请直接写出和 面积相等的三角形．
19．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB 于点 E，作DF⊥BC 于点F，连接EF。求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）∠BEF＝∠BFE.
20．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F是AC上两点，AE=CF， DF∥BE，DF=BE。
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形。
（2）当AC平分∠BAD时，求证：AC⊥BD。
21．图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，且，连接AF、BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分，，，求BF的长．
22．如图，四边形 中， ， ，过点A作 ，垂足为E，且 ．连接 ，交 于点F．
（1）探究 与 的数量关系，并证明；
（2）探究线段 ， ， 的数量关系，并证明你的结论．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
24．如图，在 ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．
（1）求证：△BEF≌△CEH；
（2）求DE的长．
25．已知为直角三角形，，作，平分，点M、N分别为、的中点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）请你连接，并求线段的长.
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第19章 四边形 单元综合能力突破卷
一、单选题
1．如图，在菱形中，M、N分别是和的中点，于点P，连接，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2．如图，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
3．如图，在正方形ABCD中，E是对角线上一点，连接AE，CE，若，则的度数为（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴AB=AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，
∵DE=AB，
∴DE=AD，∴∠DAE=∠DEA=，
在Rt ADE和Rt CDE中，，
∴ ADE≌ CDE（SAS）
∴∠AED=∠CED，
则∠AEC=2∠DEA=135°.
故答案为：135°.
【分析】由正方形的性质可得AB=AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，结合已知可得DE=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠DAE=∠DEA的度数，用边角边可证 ADE≌ CDE，由全等三角形的性质得∠AED=∠CED，根据角的构成得∠AEC=2∠DEA可求解.
4．如图，在中，，点在上，平分．已知，，点为的中点，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
5．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥AB，垂足为点E，连接OE，若OE=3，AE=7则AC的长为（　　）
A．5 B．16 C．10 D．12
【答案】D
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，BO=DO，AO=CO，AD=AB，AC⊥BD，
∵ DE⊥AB ，∴∠DEB=∠AED=90°，
∴BD=2OE=6，即OB=OD=3，
设AD=AB=x，则BE=AB-AE=x-7，
在Rt△ADE中，DE2=x2-72，在Rt△BDE中，DE2=62-（x-7）2，
∴x2-72=62-（x-7）2，
解得x=9或-2（负值舍去），即AD=9，
∴AO==，
∴AC=2AO=12，
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AO=CO，AD=AB，AC⊥BD，根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=2OE=6，设AD=AB=x，则BE=AB-AE=x-7，利用勾股定理可得AD2-AE2=BD2-BE2，据此建立关于x方程并解之，即得AD的长，再利用勾股定理求出AO的长，即得AC的长，
6．如图①，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，把△ADE沿线段DE向下折叠，使点A落在BC上的点A'处，得到图②，则下列四个结论中，不一定成立的是（　　）
A．DB＝DA B．∠B＋∠C＋∠1＝180°
C．△ADE≌△A'DE D．BA＝CA
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵点D是AB的中点，
∴DB=DA，故A不符合题意；
B、∵把△ADE沿线段DE向下折叠，使点A落在BC上的点A'处，得到图②，
∴∠A=∠1，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠B+∠C=180°，故B不符合题意；
C、把△ADE沿线段DE向下折叠，使点A落在BC上的点A'处，
∴△ADE≌△A'DE，故C不符合题意；
D、∵△ABC时任意三角形，不能证明BA=CA，故D符合题意
故答案为：D.
【分析】利用线段中点的定义，可对A作出判断；利用折叠的性质可证得∠A=∠1，再利用三角形的内角和定理可对B作出判断；利用折叠的性质可证得△ADE≌△A'DE，可对C作出判断；根据△ABC时任意三角形，不能证明BA=CA，可对D作出判断.
7．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　）
A．7 B．8 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接DF，DE，如图所示：
∵，
∴F 是中点，
∵，∴，△BEC是直角三角形，
∴，
同理：，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∴．
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形三线合一先证出F是BC的中点，再由垂直得到△BEC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，同理求得DF，DE，在△DEF中，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得DM的长即可.
9．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
10．如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点E，点F在边上，，连接分别交和于点G，H，动点P在上，于点Q，连接.则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值是
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=AB，.
又∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，即，故A正确，不符合题意；
∵的平分线交边于点E，
∴.
又∵，，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∴，故B正确，不符合题意；
如图，连接EH，
∵DE=DE，，，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，故C错误，符合题意；
如图，过点P作于点M，过点H作于点N.
∵的平分线交边于点E，
∴，
∴，
∴的最小值为HN的长.
∵，
∴为等腰直角三角形.
∵，
∴，
∴的最小值为，故D正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得DA=AB，∠DAE=∠AEF，证明△DAE≌△ABF，得到∠ADE=∠BAF，结合∠ADE+∠AEG=90°可得∠AGE=90°，据此判断A；根据角平分线的概念可得∠ADG=∠HDG，证明△ADG≌△HDG，得到AD=HD，由等腰三角形的性质可得∠DAH=∠DHA，由对顶角的性质可得∠BHF=∠DHA，推出∠BHF=∠DAH，根据平行线的性质可得∠DAH=∠BFH，推出BF=BH，AE=BH，进而判断B；连接EH，证明△ADE≌△HDE，得到AE=HE，∠DHE=∠DAE=90°，推出△BEH为等腰直角三角形，据此判断C；过点P作PM⊥AD于点M，过点H作HN⊥AD于点N，根据角平分线的性质可得PM=PQ，则PH+PQ的最小值为HN的长，易得△NDH为等腰直角三角形，求出HN，据此判断D.
二、填空题
11．在平行四边形中，若，则　 　．
【答案】50°
12．如图，平行四边形，、是它的对角线，其中，，亲爱的同学，你已经学习了勾股定理，平行四边形的性质和判定，请你用你所学的知识研究平行四边的一组邻边、与对角线、之间数量的关系，并直接写出的值是　 　．
【答案】50
13．在中，，将沿底边上的高剪成两个直角三角形（图1）．把剪出的两个直角三角形的边重合拼成平行四边形（图2），则拼成的平行四边形的对角线长为　 　．
【答案】
14．在中，，，，点D为斜边的中点，那么　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：由勾股定理得：，
∵点是的中点，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和勾股定理求解。先用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求CD的长．
15．如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则　 　．
【答案】
16．如图，平行四边形纸片 中， ，将平行四边形纸片 折叠，使点A与点C重合，则下列结论正确的是　 　.
① ；② ；③ ；④
【答案】②④
【解析】【解答】解：∵将平行四边形纸片 折叠，使点A与点C重合
∴根据翻折的性质可知，
∴ ， ，
∴在 和 中，
∴ ，
∴
∴ （故②正确）
∴ （故③错误）
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ （故④正确）
∵折痕 与对角线 没有重合，
∴对角线 和 不垂直
∴ 不是菱形
∴
∴
∴ （故①错误）.
故答案是：②④
【分析】根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解.
三、综合题
17．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明：四边形AHBG是菱形；
（3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
【答案】（1）解：△ABC≌△BAD．证明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．
（2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABD=∠BAC．
∴GA=GB．
∴平行四边形AHBG是菱形．
（3）解：需要添加的条件是AB=BC．
【解析】【分析】（1）用边角边易证得△ABC≌△BAD；
（2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）知△ABC≌△BAD，所以∠ABD=∠BAC，由等角对等边可得GA=GB，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形AHBG是菱形；
（3）要使四边形AHBG是正方形，添加条件AB=BC即可。理由：由（1）知△ABC≌△BAD，所以∠ABD=∠BAC，因为AB=BC，∠ABC=90°，所以∠BAC=∠ACB=，则∠ABD=∠BAC=，所以∠AGB=90°，由（2）知平行四边形AHBG是菱形，所以根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形AHBG是正方形。
18．已知：如图，点 在 的边 上，CF//AB， 交 于 ， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ，请直接写出和 面积相等的三角形．
【答案】（1）证明：∵
∴ ，
又∵
∴
∴
又∵
∴四边形 为平行四边形
∴ （有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）
（2）解： ， ， ，
∵AD=BD，
∴ (等底等高面积相等)
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴ (等底等高面积相等) ．
故与 面积相等的三角形为： ， ， ， ．
【解析】【分析】（1）根据AAS证明得到△ADE≌△CFE，即可得到AD=CF，可以证明四边形ADCF为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质求出答案即可。
19．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB 于点 E，作DF⊥BC 于点F，连接EF。求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）∠BEF＝∠BFE.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=DC，∠A=∠C
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEA=∠CFD=90°
∴ΔADF≌ΔCDF（AAS）
（2）解：∵ΔADF≌ΔCDF，
∴AE=CF
∵AB=BC，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE
【解析】【分析】（1）由菱形的四条边都相等可知AD=DC，菱形的对角相等可知∠A=∠C，再由已知条件中给出的DE⊥AB，DF⊥BC，可知∠ADE=∠CFD=90°，由三角形的全等判定条件AAS可知ΔADE≌ΔCDF；
（2）由（1）中的ΔADF≌ΔCDF可知对应边相等，即AE=EC，再由AB=BC，可知BE=BF，由等腰三角形的等边对等角即可证得∠BEF=∠BFE。
20．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F是AC上两点，AE=CF， DF∥BE，DF=BE。
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形。
（2）当AC平分∠BAD时，求证：AC⊥BD。
【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF
∴∠DFC=∠BEA，
在△DFC和△BEA中，
∴△DFC≌△BEA(SAS)
∴∠DCF=∠BAE，∴DC=BA
∴DC∥BA
∴四边形ABCD是平行四边形
（2）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC
∵DC∥BA
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴DC=DA
∴平行四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
【解析】【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，可证得∠DFE=∠BEF，利用等角的补角相等，可证 ∠DFC=∠BEA，再利用SAS证明△DFC≌△BEA，利用全等三角形的性质，易证∠DCF=∠BAE，DC=AB，从而可证DC∥BA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论。
（2）利用角平分线的定义及平行线的性质，去证明∠DCA=∠DAC，再利用等角对等边，可证AD=CD，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得四边形ABCD是菱形，然后利用菱形的对角线互相垂直，可证得结论。
21．图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，且，连接AF、BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分，，，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∵DF∥EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵，
∴，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△AED中，，
由勾股定理得：，
由（1）得四边形DEBF是矩形，
∴．
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形先证四边形DEBF是平行四边形， 再证 ， 则平行四边形DEBF是矩形；
（2）先求得，在Rt△AED中，根据勾股定理得：，由（1）得四边形DEBF是矩形，。
22．如图，四边形 中， ， ，过点A作 ，垂足为E，且 ．连接 ，交 于点F．
（1）探究 与 的数量关系，并证明；
（2）探究线段 ， ， 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∠DAE+∠CAE=90°，
理由：设∠CAE= ，
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA=45°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB=45°+ ，
∵AC=AD，
∴∠DCA=∠ADC=45°+ ，
∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2 ，
∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2 + + =90°；
（2）解：AF=EF+CE，
理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG，
∵CD∥AB，
∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°，
∴CE=EG，AE=BE，
又∵∠CEA=∠GEB=90°，
∴△CEA≌△GEB，
∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE，
∴∠CAE=∠GBE，
∵∠GEB=90°，
∴∠AGB+∠GBE=90°，
∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，
∴∠DAE=∠AGB，
∴AD∥BG，
∵DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴AF=GF，
∵GF=EF+GE=EF+CE，
∴AF=EF+CE．
【解析】【分析】（1）设∠CAE= ，根据AE⊥BE，得出∠AEB=90°，再根据AE=BE，CD∥AB，得出∠EAB=∠EBA=45°，∠DCA=∠CAB=45°+ ，∠DCA=∠ADC=45°+ ，由∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2 ，即可得出结论；
（2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，根据平行线的性质得出CE=EG，AE=BE，证出△CEA≌△GEB，得出∠CAE=∠GBE，由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，得出∠DAE=∠AGB，证出四边形ABGD是平行四边形，推出AF=GF，再根据GF=EF+GE=EF+CE，即可得出结论。
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，D是BC的中点，
∴AE＝DE，BD=CD，
∵AF//BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
∴AF＝DC
又∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6．
【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证明△AEF≌△DEB可得AF=DB，再证明四边形ADCF是平行四边形，然后结合AD＝BC＝CD，可得平行四边形ADCF是菱形；
（2）根据“ 菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积 ”，再将数据代入计算即可。
24．如图，在 ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H．
（1）求证：△BEF≌△CEH；
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BEF和△CEH中， ，
∴△BEF≌△CEH（AAS）；
（2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE= BC= AD=2．
∴BF=1，EF= ．
∵△BEF≌△CEH，
∴BF=CH=1，EF=EH= ，DH=4，
∵∠CHE=90°，
∴DE2=EH2+DH2．
∴DE= = ．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可；（2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH= CE=1，求出EH= CG= ，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．
25．已知为直角三角形，，作，平分，点M、N分别为、的中点，且.
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）请你连接，并求线段的长.
【答案】（1）证明：∵ ，
∵
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，连接 ，
由（1）可知 是等腰三角形，
∵N为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵M是 的中点，
∴ .
∵
∴ ，
∴ .
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长 交 于点G，连接 ，
∵ ，M是 的中点，
∴N是 的中点，
∴ ，
在 中， ；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
即： ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）根据余角的性质、对顶角相等及角平分线的定义可推出，利用等角对等边即得结论；
（2）连接CN，根据等腰三角形性质可得，即得△ACN为直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质AM=MN，利用等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠MNA=∠MAN=∠NAD，根据平行线的判断即得结论；
（3）延长交于点G，连接，根据勾股定理先求出AB的长，再根据三角形的面积可求出CD的长，利用三角形中位线 定理可得， 可得AC=AG=6，由勾股定理求出CG，利用直角三角形斜边中线的性质可得 ，继而得解.
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