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重庆八中 2025 届高三高考热身训练
数学试题
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项 中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 若 ,其中 , 为虚数单位,则复数 的虚部为
A. 1 B. i C. -2 D.
2. 已知 均为单位向量. 若 ,则 与 夹角的大小是
A. B. C. D.
3. 已知数列 满足 ,则
A. -8 B. -1 C. D.
4. 若 ,则
A. 0 B. 1 C. 4 D. 8
5. 中华人民共和国国家标准(GB11533-2011)中的《标准对数视力表》采用的是五
分视力记录方式 (缪氏记录法): ,其中, 为被测试眼睛的视力, 为该眼
睛能分辨清楚的最低一行 “E” 形视标笔划宽度 (单位: 毫米), 为眼睛到视标的距离
(单位: 米),如图 1 所示, 是与 无关的常量.
图 2 是标准视力表的一部分, 一个右眼视力值为 5.0 的人在距离视力表 5 米处进行
检测, 能分辨的最低一行视标为图 2 中虚线框部分. 因条件所限, 小明在距离该视力
表 3 米处进行检测, 若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图 2 中虚线框部分,
不考虑其它因素的影响,则与小明右眼的实际视力值最接近的为 (参考数据:
, )
A. 4.5 B. 4.6 C. 4.8 D. 5.0
6. 在正三棱台 中, 分别为棱 的中点, ,四边形 为菱形,则 与平面 所成角的正弦值为
A. B. C. D.
7. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知函数 .若 在区间(a, b)上既有最大值,又有最小值,
则下列说法正确的是
A. 有最小值 B. 有最大值 C. 有最小值 D. 有最大值
二、多选题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分
9. 甲、乙两名篮球运动员连续 5 场比赛的得分如图所示,则
A. 甲得分的极差大于乙得分的极差
B. 甲得分的方差小于乙得分的方差
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数
D. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数
10. 已知圆 与直线 和 都相切,且圆心 在 轴上,直线 与
轴相交于点 ,过点 作圆 的两条切线.切点分别为 ,直线 与 交于点 , 则
A. 圆 的方程是 B. 当 时,四边形 的面积为
C. 的取值范围为 D. 若点 ,则 为定值
11. 已知曲线 . 下列结论正确的是
A. 曲线 为中心对称图形
B. 曲线 与直线 有两个交点
C. 曲线 恰好经过两个整点 (即横、纵坐标均为整数的点)
D. 曲线 上任意两点 ,当 时,
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知集合 . 若 ,则 的取值范围为 _____.
13. 已知函数 的定义域为 ,对任意 ,则
的解集为_____.
14. 设正方体 的棱长为 2, 为正方体表面上一点,且点 到直线
的距离与它到平面 的距离相等,记动点 的轨迹为曲线 ,则曲线 的
周长是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说昭,证明过程或演算 步骤.
15. (本小题满分 13 分) 在 中,角 的对边分别为 ,已知
, 且 .
(1)求证: 是钝角；
(2)若 , ,求 的面积.
16. (本小题满分 15 分)如图 1,五边形 中, ,
. 将三角形 沿 翻折,使得平面 平面 .如图 2.
(1)求证: 平面 ；
(2)记直线 与平面 所成角为 . 若 ,求 长.
17. (本小题满分 15 分) 已知函数 有两个不同的零点 .
(1) 证明: ;
(2)当 时,求 的最大值；
18. (本小题满分 17 分)甲乙两人参加单位组织的知识答题活动,每轮活动由甲乙各 答一个题,已知甲、乙第一轮答对的概率都为 . 甲如果第 轮答对,则他第
轮也答对的概率为 ,如果第 轮答错,则他第 轮也答错的概率为 ; 乙
如果第 轮答对,则他第 轮也答对的概率为 ,如果第 轮答错,则他第 轮
也答错的概率为 . 在每轮活动中,甲乙答对与否互不影响.
(1)若前两轮活动中第二轮甲乙都答对,求两人第一轮也都答对的概率；
(2)如果在每一轮活动中至少有一人答对,游戏就可以一直进行下去,直到他们都答错 为止.
(i) 设事件 “甲在第 轮活动中答对”,求 ；
(ii)设停止游戏时进行了 轮游戏,求 .
19. (本小题满分 17 分)造型 可以看作图中曲线 的一部分,已知 过坐标原点
,且 上的点满足横坐标大于-1,到点 的距离与到定直线 的距 离之积为 1 .
(1)求 的值；
(2)当点 在 上时,求证: ;
(3)如图,过点 作两条互相垂直的弦,分别交曲线 于 , ,
,其中 ,求四边形 面积的最小值.

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