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第18章 等腰三角形 单元同步真题检测卷
一、单选题
1．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．16 B．20 C．16或20 D．18
2．如果等腰三角形的一个角为，则它的底角度数为（　　）
A． B．或 C．或 D．
3．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
5．在△ABC中，已知∠A=∠B，且该三角形的一个内角等于100°．现有下面四个结论：①∠A=100°；②∠C=100°；③AC=BC；④AB=BC．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（　　）
A．BF＝EF B．DE＝EF
C．∠EFC＝45° D．∠BEF＝∠CBE
7．如图，中，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则的度数为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
9．如图，在边长为3的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另两个顶点在正方形ABCD边上的等腰三角形，且有一条边长为2．满足条件的等腰三角形有（　　）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
10．如图是由11个等边三角形拼成的六边形.若最小等边三角形的边长为 ，最大等边三角形的边长为 ，则 与 的关系为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若等腰三角形一腰上的中线将其周长分成9和6两部分则这个等腰三角形的三边长分别为 　 　.
12．如图，在 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ．若 的周长为7， 的周长是12，则 的长度为　 　．
13．已知等腰三角形的两个内角之和为，顶角度数为　 　 ．
14．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为　 　．
15．如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接BD，CE，点F是BD的中点，过点A，F的直线交CE于点G，若，，则的面积为　 　．
16．如图所示，在四边形中，，，，，则　 　．
三、综合题
17．中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE=AF，BF与CE相交于点P．
（1）如图1，求证：PB=PC；
（2）如图2，当时，BF平分，在不添加任何辅助线的情况下直接写出图2中的等腰三角形．（，除外）
18．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，，．
（1）判断的形状并加以证明．
（2）连接DE，若，，求DE的长．
19．如图1，在△ABC中，已知AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC．
20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．

（1）请你写出两个正确结论： 　 　
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论：　　 　
21．如图，在 中， ， 、 的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE.
（1）若 ，求DE的长；
（2）求证： .
22．如图，在等边 中，点D是边 上一点，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F，过点D作 于点G，过点D作 交 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求出 的面积．
23．一个等腰三角形的周长为28cm.
（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；
（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长.
24．如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD=CE，BE=CF.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由.
25．已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=　 　°，β=　 　°；
②求α，β之间的关系式．
（2）请直接写出不同于以上②中的α，β之间的关系式可以是　 　．（写出一个即可．）
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第18章 等腰三角形 单元同步真题检测卷
一、单选题
1．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．16 B．20 C．16或20 D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：当腰长为4时，两边之和等于第三边，不符合题意.当底边为4时，腰长为8，符合题意，此时周长=8+8+4=20.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的三边关系确定底和腰，然后根据三角形的周长计算即可.
2．如果等腰三角形的一个角为，则它的底角度数为（　　）
A． B．或 C．或 D．
【答案】B
3．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和．，线段与相交于点O，连接．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的结论个数是（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：∵和是的轴对称图形，
∴
∴，故①正确．
∴，
由翻折的性质得，，
又∵，
∴，故②正确．
∵的对称图形和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故③正确．
在和中，，
∴，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③共3个．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称性质可得根据角之间的关系可判断①；根据折叠性质可得，再根据角之间的关系可判断②；根据图形对称性质可得，则，再根据等边三角形判定定理可判断③；再根据三角形边之间的关系可判断④.
4．等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
【答案】C
【解析】【解答】设等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，根据题意得， 或 解方程组 得 ，根据三角形三边关系，此时能组成三角形；解方程组 得 ，根据三角形三边关系，此时能组成三角形．即等腰三角形的底边长为7或11．故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质，得到方程组，再根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得到等腰三角形的底边长.
5．在△ABC中，已知∠A=∠B，且该三角形的一个内角等于100°．现有下面四个结论：①∠A=100°；②∠C=100°；③AC=BC；④AB=BC．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：
∠A=∠B=100°时，∠A+∠B+∠C＞180°，不符合三角形的内角和定理，∴①错误；
∠C=100°时，∠A=∠b=（180°﹣∠c）=40°，∴②正确；
∵∠A=∠B，
∴AC=BC，③正确；④错误；
正确的有②③，2个，
故选B．
【分析】假如∠A=100°，求出∠B=100°，不符合三角形的内角和定理，即可判断①；假如∠C=100°，能够求出∠A、∠B的度数；关键等腰三角形的判定推出AC=BC，即可判断③④．　
6．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则下面结论错误的是（　　）
A．BF＝EF B．DE＝EF
C．∠EFC＝45° D．∠BEF＝∠CBE
【答案】B
【解析】【解答】∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝FC.
∵BE⊥AC，
，故A正确，不符合题意；
∵DE垂直平分AB，
.
∵BE⊥AC，
.
，
，故C正确，不符合题意；
，
，故D正确，不符合题意；
B选项无法证明，
故答案为：B
【分析】（1）由等腰三角形的三线合一可得BF=CF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=BC=BF；
（2）结合（1）的结论和已知条件无法确定DE和EF的大小关系；
（3）由线段的垂直平分线的性质可得AE=BE，而BE⊥AC，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BAC=45°，由等腰三角形的三线合一可得∠CAF=22.5°，根据直角三角形两锐角互余可求得∠C的度数，由（1）知EF=CF，于是∠C=∠FEC，再由三角形内角和定理可求得∠EFC的度数；
（4）由（1）知EF=BF，根据等边对等角可求解.
7．如图，中，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，且为等腰三角形，则的度数为（　　）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
8．下列条件中，不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
【答案】D
【解析】【解答】A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B、三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
故选D．
【分析】根据等边三角形的定义可知：满足三边相等、有一内角为60°且两边相等或有两个内角为60°中任意一个条件的三角形都是等边三角形．　
9．如图，在边长为3的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另两个顶点在正方形ABCD边上的等腰三角形，且有一条边长为2．满足条件的等腰三角形有（　　）个．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
10．如图是由11个等边三角形拼成的六边形.若最小等边三角形的边长为 ，最大等边三角形的边长为 ，则 与 的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：设右下角的等边三角形它的边长为x，
则等边三角形的边长依次为x，x+a，x+a，x+2a，x+2a，x+3a，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，设右下角的等边三角形它的边长为x，则可依次求出等边三角形的边长，进而可得b=x+3a，b=3x，整理可得 与 的关系.
二、填空题
11．若等腰三角形一腰上的中线将其周长分成9和6两部分则这个等腰三角形的三边长分别为 　 　.
【答案】6，6，3或4，4，7
【解析】【解答】解：如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
因为BD是腰AC的中线，所以AD=CD=x，
当2x+x=9，x+y=6，这时x=3，y=3，
因此等腰三角形的边长为6，6，3；
当2x+x=6，x+y=9，这时x=2，y=7，
因此等腰三角形的边长为4，4，7.
即这个等腰三角形的三边长分别 为6，6，3或4，4，7.
故答案为：6，6，3或4，4，7.
【分析】根据已知条件将其分成9和6两部分，但是不明确哪一部分的周长是9和6，因此有两种情况，需要分类讨论.
12．如图，在 中， 与 的平分线交于点 ，过点 作 ，分别交 、 于点 、 ．若 的周长为7， 的周长是12，则 的长度为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠OBC，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO=∠OBC，
∴∠DOB=∠DBO，
∴OD=DB，
同理OE=EC，
∴AD+DE+AE=AD+DO+OE+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC
∵ 的周长为7， 的周长是12
∴AD+DE+AE=7，AB+BC+AC=12
∴AB+AC=7
∴BC=5
故答案为：5．
【分析】根据角平分线及平行线的性质得到DO=DB，OE=EC，再利用三角形的周长计算即可。
13．已知等腰三角形的两个内角之和为，顶角度数为　 　 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：当100°是顶角和一底角的和，则
另一个底角=180° 100°=80°，所以顶角=100° 80°=20°；
当100°是两底角的和，则
顶角=180° 100°=80°；
综上所述，此等腰三角形的顶角为：20°或80°.
故答案为20°或80°
【分析】利用三角形的内角和及等腰三角形的性质分析求解即可.
14．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为　 　．
【答案】5.5
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×120°=60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB= ∠BAD= ×60°=30°，
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°，
∴∠DAE=∠F=30°，
∴AD=DF，
∵∠B=90°﹣60°=30°，
∴AD= AB= ×11=5.5，
∴DF=5.5．
故答案为5.5．
【分析】几何题可以用反推法，注意结合等腰三角形的三线合一。
15．如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接BD，CE，点F是BD的中点，过点A，F的直线交CE于点G，若，，则的面积为　 　．
【答案】
16．如图所示，在四边形中，，，，，则　 　．
【答案】30
三、综合题
17．中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，且AE=AF，BF与CE相交于点P．
（1）如图1，求证：PB=PC；
（2）如图2，当时，BF平分，在不添加任何辅助线的情况下直接写出图2中的等腰三角形．（，除外）
【答案】（1）证明：在△AEC和△AFB中，
，
∴△AEC≌△AFB（SAS），
∴∠ABF=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PB=PC．
（2）解：图2中的等腰三角形为：，，，和
【解析】【解答】解：(2)∵
∴
∵
∴
又
∴
∴
∴
∵BF平分
，
∴
∴
∴是等腰三角形；
由（1）可知，
∴
∴是等腰三角形；
又
∴
∴和
均为等腰三角形，
∵
∴
∴是等腰三角形，
所以，图2中的等腰三角形为：
，
，
，
和
【分析】（1）先利用“SAS”证明△AEC≌△AFB，可得∠ABF=∠ACE，再利用角的运算可得∠PBC=∠PCB，所以PB=PC；
（2）利用角的运算再结合等腰三角形的判定求解即可。
18．如图，在中，，点D在内，，，点E在外，，．
（1）判断的形状并加以证明．
（2）连接DE，若，，求DE的长．
【答案】（1）解：△ACE是等边三角形．
∵BD＝BC，∠DBC＝60°，
∴△DBC是等边三角形．
∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．
在△ADB和△ADC中，
∵，
∴△ADC≌△ADB（SSS）．
∴∠ADC＝∠ADB．
∴∠ADC＝（360°﹣60°）＝150°．
∵∠ACE＝∠DCB＝60°，
∴∠ACD＝∠ECB．
∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，
∴∠ADC＝∠EBC．
在△ACD和△ECB中，
∵，
∴△ACD≌△ECB（ASA）．
∴AC＝CE．
∵∠ACE＝60°，
∴△ACE是等边三角形．
（2）解：连接DE．
∵DE⊥CD，
∴∠EDC＝90°．
∵∠BDC＝60°，
∴∠EDB＝30°．
∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°，
∴∠DBE＝90°．
∴EB＝DE．
∵△ACD≌△ECB，AD＝3，
∴EB＝AD＝3，
∴DE＝2EB＝6．
【解析】【分析】（1）先利用“SSS”证明△ADC≌△ADB可得∠ADC＝∠ADB，再利用“ASA”证明△ACD≌△ECB可得AC=CE，再结合∠ACE=60°可得△ACE是等边三角形；
（2）连接DE，先证明∠EDB＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得EB＝DE，再利结合EB＝AD＝3，可得DE＝2EB＝6。
19．如图1，在△ABC中，已知AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：AE=BC．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE
（2）解：∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中， ，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
∴AE=BC.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的三线合一可得AD
BC，根据线段的垂直平分线的性质即可得BE=CE；
（2）由题意易得 △ABF为等腰直角三角形， 所以AF=BF，由同角的余角相等可得 ∠EAF=∠CBF， 然后用角边角易证 △AEF≌△BCF ，则AE=BC。
20．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．

（1）请你写出两个正确结论： 　 　
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论：　　 　
【答案】（1）BD=CD，△ABD≌△ACD，
（2）△ABC是等边三角形
【解析】【解答】解：（1）①BD=CD；②△ABD≌△ACD；
故答案为：BD=CD，△ABD≌△ACD，
（2）∵AB=AC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
故答案为：△ABC是等边三角形．
【分析】（1）根据中点的性质及全等三角形的判定，写出两个结论即可；
（2）根据等边三角形的判定定理可得△ABC是等边三角形．
21．如图，在 中， ， 、 的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE.
（1）若 ，求DE的长；
（2）求证： .
【答案】（1）解：∵AC=BC=7，∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=7，
又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴D、E分别是AC、AB的中点，
∴ ，
∴AD=AE，
∵∠A=60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AE=3.5；
（2）证明：在BC上截取BH=BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵BF=BF
∴△EBF≌△HBF（SAS），
∴∠EFB=∠HFB=60°.
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD，∠ACE=∠BCE，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∵∠BFE=∠CFD=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
∵CF=CF，
∴△CDF≌△CHF（ASA）.
∴CD=CH，
∵CH+BH=BC，
∴BE+CD=BC.
【解析】【分析】（1）证明 △ABC为等边三角形， 进而根据等腰三角形的三线合一得出 D、E分别是AC、AB的中点，进而判断出 △ADE为等边三角形 ， 即可得结论；
（2）在BC上截取BH=BE，证明两对三角形全等：△EBF≌△HBF，△CDF≌△CHF，可得结论.
22．如图，在等边 中，点D是边 上一点，E是 延长线上一点， ，连接 交 于点F，过点D作 于点G，过点D作 交 于点H．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）若 ，求出 的面积．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD＝90°，∠ADG＝30°，
∴ ；
（2）证明：∵DH∥BC，
∴∠ADH＝∠B，∠AHD＝∠ACB，∠FDH＝∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠A＝∠ADH＝∠AHD＝60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH＝AD，
∵AD＝CE，
∴DH＝CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF＝EF；
（3）解：∵△ADH是等边三角形，DG⊥AC，AD＝DH，
∴AG＝GH，DH=AH
∵△DHF≌△ECF，
∴HF＝CF，
∵CF＝CE，DH＝CE，
∴HF＝DH=AH，
∴GF＝3AG，
∵△DGF和△ADG等高，
∴S△DGF＝3S△ADG＝6．
【解析】【分析】（1）由等边三角形ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得；
（2）根据已知条件可得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；
（3）由△ADH是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得到△DHF≌△ECF，可得HF=CF，GF=3AG，根据△DGF和△ADG等高，即可得到结论。
23．一个等腰三角形的周长为28cm.
（1）如果底边长是腰长的1.5倍，求这个等腰三角形的三边长；
（2）如果一边长为10cm，求这个等腰三角形的另两边长.
【答案】（1）解：设腰长为xcm，则底边长为1.5xcm，根据题意可得：2x+1.5x=28
解得：x=8cm 则1.5x=1.5×8=12cm
即这个等腰三角形的三边长为8cm，8cm，12cm
（2）解：当10cm为腰长时，则底边长为28-10×2=8cm，则两边长为10cm，8cm
当10cm为底边时，则腰边长为(28-10)÷2=9cm，则两边长为9cm，9cm
综上所述，这个等腰三角形的两边长为10cm，8cm或9cm，9cm
【解析】【分析】（1）设腰长为xcm，则底边长为1.5xcm，根据题意可得：2x+1.5x=28，求出x的值，进而得到等腰三角形的三边长；
（2）分10为腰长、10为底边并结合等腰三角形的性质可得等腰三角形的另两边长.
24．如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD=CE，BE=CF.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠EFC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B
要△DEF是等边三角形，只要∠DEF=60°.
所以，当∠A=60°时，∠B=∠DEF=60°，
则△DEF是等边三角形.
【解析】【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；（2）∠A=60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF=60°，可以证出结论.
25．已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=　 　°，β=　 　°；
②求α，β之间的关系式．
（2）请直接写出不同于以上②中的α，β之间的关系式可以是　 　．（写出一个即可．）
【答案】（1）20；10；设∠ABC=x，∠AED=y， ∴∠ACB=x，∠AED=y， 在△DEC中，y=β+x， 在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β， ∴α=2β；
（2）α=2β﹣180°或α=180°﹣2β.
【解析】【解答】解：(1)①∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，∠ADE=70°，
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，
∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，
∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，
故答案为：20，10；(2)①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC=x，∠ADE=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β﹣y，
在△DEC中，x+y+β=180°，
∴α=2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．
故答案为：α=2β﹣180°或α=180°﹣2β
【分析】（1）考查等腰三角形的性质：等边对等角。
（2）分析D、E点的位置，得出不同的结论。
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