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湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷
一、单选题
1．2024年，我国共授权发明专利104.5万件，同比增长．将1045000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．某几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．2024年央视春晚的主题为“龙行龘（dá）龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，E为边延长线上一点，过点E作．若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则c的值可能为（ ）
A．3 B．9 C．10 D．12
7．如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　）
A． B． C． D．
8．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的横坐标为2，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
11．为提高学生的运算能力，某校开展“计算小达人”活动，已知甲班20名学生测试成绩的方差，乙班20名学生测试成绩的方差，两班学生测试成绩的平均分都是90分，则 （填“甲”或“乙”）班的成绩更稳定．
12．小华有两件上衣，分别为蓝色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，则上衣和裤子不同色的概率是 ．
13．若分式有意义，则的取值范围为 ．
14．如图，已知扇形的面积为，点在圆周上，，则的半径为 ．
15．如图，小宇注意到跷跷板处于静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为 ．
16．某校举办足球比赛，共有A，B，C，D四支球队参赛，其中每两支球队之间都要进行一场比赛，若胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．若两队分别积6分和5分，则队最多能积 分．
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，）
20．我省某企业生产甲、乙两款祁门红茶，为了解两款红茶的质量，分别请消费者和专业机构进行测评．随机抽取n名消费者同时对两款红茶评分 ，并将所得数据进行分组整理和分析，下面给出了甲款红茶分数的频数分布直方图和频数分布扇形图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)n的值为 ，甲款红茶分数频数分布扇形图中a的值为 ，
(2)补全甲款红茶分数频数分布直方图；
(3)这n名消费者对甲款红茶评分的平均分为86分，对乙款红茶评分的平均分为88分，专业机构对甲款红茶的评分为91分，对乙款红茶的评分为89分，若将消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，那么哪款红茶的最终成绩更高？请通过计算说明理由．
21．如图，在中，，点D是边的中点，点F为外一点，的延长线交于点E，已知，．
(1)求的长；
(2)若平分，求的度数．
22．云冈石窟是我国最大的石窟之一，1961年被国务院公布为全国首批重点文物保护单位．云冈石窟旅游景点的纪念品店有A，B两款纪念品深受广大游客们的喜爱．若购买1作A款纪念品和3件B款纪念品共花费190元，购买3件A款纪念品和2件B款纪念品共花费290元．
(1)求A，B两款纪念品的单价．
(2)某游客决定购买A，B两款纪念品共10件，且购买A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，应如何购买才能使所花费用最低，最低费用为多少元？
23．如图，以平行四边形的一边为直径的圆交边于点E，交对角线于点F，G是边上的一点，连接，且．

(1)请在以下三个条件中任选一个：________，证明：直线是圆M的切线．
①：②F是弧的中点：③E是的中点．
(2)在第（1）问的条件下，若直径为4，连接并延长交于点N，，求四边形的面积．
24．如图，在矩形中，点E在边延长线上，，交延长线于点G，边交于点F，，以为半径的交边于点P、Q，交于点M，延长交边于点N．
(1)求证：．
(2)若，，求扇形的面积．
(3)延长交于点H，且，记，四边形的面积为S，求S关于x的函数表达式．
25．如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高．
(1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式；
(2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b；
(3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比．
《湖南省长沙市2025年中考数学考前练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B B A C D C C
1．D
【分析】本题考查科学记数法表示较大的数，将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键．
【详解】解：，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以一个负数，不等式的符合改变；不等式的两边同时加上或减去一个数，不等号方向不变逐项分析，即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
D. 当，则，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从左面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：几何体左视图是：
故选：．
4．B
【分析】本题考查了概率公式，根据有4张卡片，其中“龘”有2张卡片，代入公式，即可作答．
【详解】解：依题意，从中随机抽取一张则抽取的卡片上印有汉字“龘”的概率
故选：B
5．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和性质，先由，得，最后运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
6．A
【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
所以△，
解得，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
7．C
【分析】利用基本作图得到AE平分∠BAD，则可对A选项进行判断；根据平行四边形的性质得到AD=BC，CD∥AB，再证明∠DEA=∠DAE，所以DA=DE=CD，则可对B、D选项进行判断；由于不能确定DE=BE，则可对C选项进行判断．
【详解】解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DA=DE，所以B选项不符合题意，
∴CD=DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质．
8．D
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，由数轴可得，再逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由数轴可得：，故A错误，
∴，，，故BC错误，D正确，
故选：D．
9．C
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和.
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选C.
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键.
10．C
【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象的上方，
∴当或时，，
故选：C．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题的关键．
11．乙
【分析】本题主要考查方差，根据方差的意义求解即可．
【详解】解：∵两班学生测试成绩的平均分都是90分，，，
∴乙的方差小于甲的方差，
∴乙班的成绩更稳定．
故答案为：乙班．
12．
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是正确理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
首先依据题意画树状图，分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】解：画树状图如下，
共有种等可能的结果，上衣和裤子不同色的有种情况，
∴上衣和裤子不同色的概率是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义，得出，即可作答．
【详解】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查扇形的面积，圆周角定理，设的半径为r，先由圆周角定理得，再利用扇形面积公式求解．
【详解】解：设的半径为r，
∵，
∴，
∵扇形的面积为，
∴，
解得（负值已舍去），
即的半径为3，
故答案为：3．
15．80
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据题意可得为的中位线，则．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴为的中位线，
∵，
∴，
∴点距离地面的高度为，
故答案为：80．
16．4
【分析】本题考查了逻辑推理，根据题意得出甲胜场输场，B胜场，平场，分析即可得出答案．
【详解】解：解：∵共有A，B，C，D四支球队参赛，其中每两支球队之间都要进行一场比赛，
∴这四支球队每支球队比赛场，
∵胜一场积分，平一场积分，负一场积分，且A、B两队分别积分和分，
∴A胜场输场，B胜场，平场，
∴比赛中，B胜，比赛中A胜，比赛中A胜，比赛中双方打平，比赛中双方打平，
∴当比赛时，C胜D时，C队获得的积分最多，最多能积分，
故答案为：．
17．3
【分析】本题考查了实数的运算，利用负整数次幂，绝对值、立方根的定义进行化简，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
18．，
【分析】根据完全平方公式和整式乘法法则进行化简，再代入数值计算即可．
【详解】解：，
=，
=，
把代入，原式=．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用乘法公式和整式乘法法则进行化简．
19．渔船没有触礁的危险．
【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点作，分别解和，求出的长，即可得出结论．
【详解】解：过点作，由题意，得：，，，
设，

在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴渔船没有触礁的危险．
20．(1)50， 16
(2)图见解析
(3)甲款红茶最终成绩更高，理由见解析
【分析】本题考查直方图和扇形图，求加权平均数：
（1）组人数除以所占的比例，求出，组人数除以总人数，求出的值；
（2）求出组，组的人数，补全直方图即可；
（3）利用加权平均数的计算方法，求解即可．
【详解】（1）解：，，
∴；
（2）组人数为，组人数：；
补全直方图如图：
（3）甲：（分）；乙：（分）；
∴甲款红茶最终成绩更高．
21．(1)5
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．
（1）先证明，得出即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出，，根据，得出．根据角平分线的定义求出．
【详解】（1）解：因为，
所以，．
因为点D是BC的中点，
所以．
在和中，
因为，，，
所以，
所以，
因为，
所以；
（2）解：因为，
所以，，
因为，
所以，
因为平分，
所以．
22．(1)A，B两款纪念品的单价分别为70元，40元
(2)购买4件A款纪念品，6件B款纪念品时所花费用最低，最低费用为520元
【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数解实际应用题，涉及解二元一次方程组、一次函数的图象与性质、解不等式等知识，读懂题意，熟练掌握解实际应用题的方法是解决问题的关键．
（1）设两款纪念品的单价分别为x元，y元，根据等量关系列出方程组求解即可得到答案；
（2）设购买A款纪念品件m件，则购买B款纪念品件，设总费用为W元，得到一次函数，结合，再利用一次函数图像与性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设A，B两款纪念品的单价分别为x元，y元，
由题意知，
解得，
即A，B两款纪念品的单价分别为70元，40元．
（2）解：设购买A款纪念品件m件，则购买B款纪念品件，设总费用为W元，
则，
，
W随m的增大而增大，
购买A款纪念品的数量不少于B款纪念品数量的一半，
，
解得，
m为正整数，
m的最小值为4，
当时，（元），
（件），
即购买4件A款纪念品，6件B款纪念品时所花费用最低，最低费用为520元．
23．(1)②，证明见解析
(2)
【分析】此题考查了切线的判定、圆周角定理、菱形的判定和性质等知识，证明四边形是菱形是解题的关键．
（1）选择②F是弧的中点，连接，证明，得到，再证明，得到，为直径，即可得到结论；
（2）由勾股定理得到，由等积法求出，则，得到，求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：选择②，
证明：连接，

∵F是弧的中点，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴， ，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵为直径，
∴直线是圆M的切线．
（2）如图，

由勾股定理得到，
∵
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴四边形的面积为．
24．(1)见解析
(2)12π
(3)S＝x2
【分析】（1）根据四边形是矩形，证明，根据，证明，得到，根据，推出，得到；
（2）根据，推出，根据，，推出，得到，根据，推出，推出，推出；
（3）根据，得到，，推出，根据，，推出，得到，设，根据，推出，，，根据勾股定理推出，解得，（舍），根据三角形面积公式得到．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，（舍），
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形，全等三角形，扇形，等腰三角形，勾股定理，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的性质和面积公式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，解一元二次方程，三角形面积公式．
25．(1)或
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意，得左端点，，得到右端点，垂足点，顶点或，设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，确定的值即可．
（2）根据题意，得，解得，且抛物线以原点为左端点，得左端点，，得到右端点，垂足点，根据抛物线，得顶点，设抛物线解析式为，点
代入解析式，计算即可．
（3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G，根据题意，设左端点，右端点，垂足点，顶点，设抛物线解析式为，抛物线解析式为，设，则，计算解答即可．
【详解】（1）根据题意，得左端点，，右端点，垂足点，顶点或，
设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，∴或，
解得或，
故抛物线解析式为或．
（2）根据题意，得，
解得，
∵抛物线以原点为左端点，
∴左端点，，右端点，垂足点，
∵抛物线，
∴顶点，
设抛物线解析式为，
把点代入，得，
整理，得，
解得（舍去），
故．
（3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G，
根据题意，设左端点，右端点，垂足点，
∵抛物线，
∴顶点，
设抛物线解析式为，
把点代入，
得，
解得，
∴抛物线解析式为，
设，则，
则，，
∴
整理，得，
解得，
故或，
∴或，
∴或．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式的确定，新定义抛物线，熟练掌握待定系数法，正确理解新定义是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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