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期末核心考点练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
一、单选题
1．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.00075m，将数字0.00075m用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式不能使用平方差公式的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线，点在射线上．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，我们可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．观察图形，通过面积的计算，可以验证的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，尺规作图的部分作法如下：（1）分别以的端点，为圆心、大于为半径画弧，使两弧相交于点，；（2）作直线交于点，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．若，则的值为 ．
11．今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：．空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ．
12．如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径，小圆半径，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞每次都落在游戏板上），则击中阴影部分的概率是 ．
13．如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ．
14．如图，A、O、B在一直线上，，若，则图中互余的角共有 对．
15．如图，在中，，平分，，，则的面积是 ．
16．如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当，时，的度数为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．如图，在中，是边上的一点，连接，以为边作，使，且，连接，若，求长．
20．已知：如图所示，和的平分线交于，交于点，．
(1)求证：；
(2)试探究与的数量关系．
21．2024年11月30日22时48分，长征十二号运载火箭在文昌市东郊镇的海南商业航天发射场成功进行了首次发射．此次发射不仅拓宽了我国新一代运载火箭的型谱，还探索了商业航天组织、试验、发射的新模式，对于促进我国商业航天产业的发展具有重要意义．同时，这也意味着海南商业航天发射场将为我国民、商大规模低轨星座组网任务等空间基础设施工程建设提供强有力的发射保障．海南商业航天发射场的成功建立和使用，填补了我国没有商业航天发射场的空白，完成了商业航天全产业链闭环，提升了我国航天发射能力．为此，某校举行了一次航天科普知识竞赛（百分制），为了更好地了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了m名学生的成绩x（单位：分）作为样本进行整理，并将结果绘制成如下不完整的统计图．
A：
B：
C：
D：
E：
请根据统计图中提供的信息，解答下面的问题：
(1)若想了解某班航天科普知识竞赛的情况，更适合采用 （填写“普查”或“抽样调查”）；
(2) ，在扇形统计图中，D部分所对应扇形的圆心角度数为 ；
(3)若从该样本中随机抽取一名学生航天科普知识竞赛的成绩，其恰好在“”范围的概率是 ；
(4)若成绩在“”为“优秀”，则该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有 人．
22．【阅读材料】若满足，求的值．
解：设，．则，．
．
【类比探究】解决下列问题：
（1）若满足，则的值为 　　．
（2）若，求的值．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积．
23．问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求．
（1）按小明的思路，易求得的度数为______；
问题迁移：
（2）如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明．
《期末核心考点练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B C B A C A C C B
1．B
【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键．
根据整式的混合运算计算即可．
【详解】解：，，
∴，
故选：B ．
2．C
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：，
故选：C．
3．B
【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断．本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
【详解】解：A、存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、存在相同的项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项符合题意；
C、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、中存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．
过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可．
【详解】解：如图，过点作于，
平分，，，
，
，
，
．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可判断．
【详解】解：A、图案不是轴对称图形，不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，不符合题意；
C、图案是轴对称图形，符合题意；
D、图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】∵，
∴．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了概率公式，根据中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，则运用概率公式得出恰好选中《算学启蒙》的概率，即可作答．
【详解】解：∵某中学拟从《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，
∴恰好选中《算学启蒙》的概率是，
故选：C
8．C
【分析】本题考查平方差公式与几何图形，根据长方形的面积和正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：由图知，第一个长方形的面积为，
第二个图形的面积为，
∴，
故选：C．
9．B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线，
则，
，，
的周长，
故选：B．
10．81
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据已知等式可得，再根据幂的乘方、同底数幂的除法法则计算即可得．
【详解】解：由得：，
则
，
故答案为：81．
11．
【分析】本题考查单项式乘多项式，将单项式乘多项式的每一项，再相加即可．
【详解】解：
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握几何概率的求法是解题的关键．根据几何概率的求法进行解答即可．
【详解】解：大圆的半径，小圆半径，
大圆面积是小圆面积的倍，
阴影部分面积是小圆面积的倍，
故击中阴影部分的概率是．
故答案为：．
13．2
【分析】过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于F，
平分，，，
，
，，，
，
解得：，
故答案为：
14．/四
【分析】本题考查了邻补角，互余的应用，熟练掌握邻补角，互余的定义是解题的关键；
求出，推出，，求出，推出，，根据余角的定义得出即可．
【详解】解：，，
，
，，
，
，
，，
即图中互余的角共有4对，
故答案为：4．
15．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
过点D作于点E，利用角平分线的性质定理求出，再根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：如图，过点D作于点E，
，
，
又平分，，
，
，
故答案为：．
16．/66度
【分析】本题考查了平行线的性质．根据，可得，根据，可得，由此可得，即可得解．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．(1)2
(2)
【分析】（1）先根据负数的偶次幂，零指数幂，负整指数幂的运算法则进行化简，再进行加减即可；
（2）根据同底数幂乘除法，积的乘方的法则进行运算，最后再并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
【点睛】本题考查了有理数及整式的混合运算，涉及负数的幂的运算，零指数幂，负整指数幂及有理数的加减运算，同底数幂乘除法，合并同类项，根据法则正确运用是解题的关键．
18．，
【分析】本题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式，解题的关键是正确化简．
先根据完全平方公式，平方差公式，多项式乘以单项式，多项式除以单项式的运算法则进行化简，再将，代入计算即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
19．
【分析】根据得到，于是证明解答即可．
本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．
【详解】解：，
，
在与中，
，，
∴，
．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．
（1）已知、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．
（2）先根据平行线的性质得到，再由平分，得到，则，将等角代换，即可得出与的数量关系．
【详解】（1）证明：、平分、，
，；
，
；
同旁内角互补，两直线平行
（2）解：，
，
平分，
，
．
．
21．(1)普查；
(2)200；108；
(3)；
(4)1880
【分析】（1）根据抽样调查和普查的特点即可解答；
（2）用C的人数除以其所占的百分比即可求得m的值，再求得D人数，用乘以D所占的百分比即可解答；
（3）求得所占频率，再运用频率估计概率即可解答；
（4）用这次比赛的4700名学生数乘以所占的百分比即可解答．
【详解】（1）解：由于了解某班航天科普知识竞赛的情况，学生数不多且要求精确，因此调查方式更适合采用普查．
故答案为：普查．
（2）解：，
D人数为：，
D部分所对应扇形的圆心角度数为．
故答案为：200，．
（3）解：恰好在“”范围的概率是．
故答案为：．
（4）解：该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有：人．
答：该校参加这次比赛的4700名学生中成绩“优秀”的学生大约有：人．
【点睛】本题主要考查了调查方式的选择、求样本容量、扇形统计图的度数、概率公式、用样本估计整体等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
22．（1）2；（2）的值为2.5；（3）20
【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的变式应用及多项式乘多项式，正确理解题目，熟练掌握完全平方公式的变式应用及多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
（1）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答；
（2）利用材料中的解题思路进行计算，即可解答；
（3）根据题意易得：，，然后设，，则，，然后利用完全平方公式和平方差公式进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）设，，
，
，
，
，
故答案为：2；
（2）设，，
，
，
，
，
，
的值为2.5；
（3）正方形的边长为，，，
，，
设，，
，
长方形的面积是24，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积
．
23．（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）当在延长线时，；当在延长线时，
【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，熟悉平行线的性质，作出合适的辅助线是解决问题的关键．
（1）过作，通过平行线性质求即可；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；
（3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，如图2所示，
，
，
，，
，，
，，
．
（2），
理由是：如图3，过作交于，
，
，
，，
；
（3）当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
当在延长线时，如图所示，
，
，，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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