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江苏省苏州市数学八年级下册2024-2025学年期末练习卷
一、单选题
1．下列函数中，自变量取值范围错误的是（ ）
A． B．
C．为任意实数） D．
2．下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．
4．某公司共有51名员工（包括1名经理），经理的工资高于其他员工的工资，今年经理的工资从去年的200000元增加到225000元，而其他员工的工资同去年一样，则这家公司所有员工今年的工资与去年相比，集中趋势相同的是（　　）
A．只有平均数 B．只有中位数
C．只有众数 D．中位数和众数
5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，E是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，以下结论：
①存在且仅有一个四边形EFGH是菱形；
②存在无数个四边形EFGH是平行四边形；
③存在无数个四边形EFGH是矩形；
④除非矩形ABCD为正方形，否则不存在四边形EFGH是正方形．
其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
8．某通讯公司提供了两种移动电话收费方式：方式1，收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式2，收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．
下列结论：
①如图描述的是方式1的收费方法；
②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；
③若月通讯费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；
④若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．
其中正确的是（ ）

A．只有①② B．只有③④ C．只有①②③ D．①②③④
9．如图，在等腰三角形中，，，点在上，，点是斜边上一动点，连接，于，于，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．
10．如图，已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的角平分线，AE的延长线与DF相交于点G，则下列结论：①AG⊥DF；②EFAB；③AB＝AF；④AB＝2EF．其中正确的有（　　）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．函数的自变量的取值范围是 ．
12．如图，在中，若，则的大小为 ．

13．已知：点A（x1，y1）.B（x2，y2）是反比例函数上的两点，当x1<014．用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是
15．如图，的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点，若厘米，的周长是21厘米，则 厘米．
16．已知一次函数与反比例函数相交于点，，不等式的解集是 ．
17．近年来，太湖区域环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为监测太湖某湿地过冬的国家二级重点保护野生动物灰鹤的数量，鸟类保护协会在该湿地中捕捉了30只灰鹤，戴上识别卡后放回，再利用鸟类智能识别追踪系统统计了飞回来的佩有识别卡的灰鹤频率，绘制了如图所示的折线统计图，由此估计该湿地约有灰鹤 只．

18．如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则 ．
三、解答题
19．计算或解方程：
(1)
(2)
20．某学校计划在七年级开设“折扇”“刺绣”“剪纸”“陶艺”四门校本课程，要求人人参加，并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．（部分信息未给出）请你根据以上信息解决下列问题：

(1)参加问卷调查的学生人数为_____名，补全条形统计图（画图并标注相应数据）；
(2)“剪纸”课程所对应的扇形圆心角的度数为______°；
(3)若该校七年级一共有500名学生，试估计选择“陶艺”课程的学生有多少名？
21．先化简，然后请你在中选择一个你喜欢的整数代入求值．
22．如图，平面直角坐标系中，、、．
(1)以点C为旋转中心，将逆时针旋转， 画出旋转后的图形；
(2)直接写出两点的坐标为______，______；
(3)为轴上一点，当最大时，的坐标是_______．
23．端午节是我国首个入选世界非物质文化遗产的传统节日，吃粽子是端午节的习俗之一，某超市每盒豆沙粽的进价比每盒肉粽的进价便宜10元，用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同．求每盒豆沙粽、肉粽的进价各为多少元？
24．如图，在中，对角线，延长到点E，使，连接，交于点F．连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，求的长．
25．如图，边长为1的正方形与直角边为1的等腰拼成如图所示的四边形，P、Q分别为边上的两个动点（不与C、D、E重合），且，的延长线分别交于点M、F．
(1)求证：①；②；
(2)设，试问：是否存在这样t的值，使得和互相垂直平分，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点 ，．
(1)求两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)若点P为y轴上的一个动点，Q为双曲线上一个动点，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出P点坐标．
27．阅读材料：若a、b都是非负实数，则．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
证明：∵ ，∴．
∴．当且仅当a＝b时，“＝”成立．
举例应用：已知，求函数的最小值．
解：．当且仅当，即时，“＝”成立．
∴当时，函数取得最小值，．
问题解决：
(1)若，只有当______时，有最小值_______；
(2)求函数的最小值；
(3)已知：如图， ，，P为双曲线上任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．求四边形面积的最小值，并说明此时四边形形状．
28．如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接．
(1)将沿翻折至的位置，使点落在处；
①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长；
②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长．
(2)若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________．
《江苏省苏州市2024-2025学年期末练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B D B C C C D C
1．D
【分析】根据函数的特点，意义求出函数自变量的取值范围进行比较即可．
【详解】解：的自变量的取值范围为2x-1≠0，即，故选项A正确；
的自变量的取值范围为1-x≥0，即，故选项B正确；
的自变量的取值范围为为任意实数，故选项C正确；
的自变量的取值范围为x-10，即．故选项D不正确；
故选：．
【点睛】本题考查函数自变量取值范围，掌握求函数自变量取值范围的方法是解题关键．
2．D
【分析】根据最简二次根式满足的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐项判断即可．
【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项．
【详解】解：A.∵，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵
设，则，，
∵，
∴，解得，
∴，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C.∵，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.∵，，
∴，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查统计的有关知识，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【详解】解：设这家公司除经理外50名员工的工资和为a元，则这家公司所有员工去年工资的平均数是元，今年工资的平均数是元，显然；
由于这51个数据按从小到大的顺序排列的次序完全没有变化，所以中位数不变．
众数也没有变化.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平均数，中位数的概念，要掌握这些基本概念才能熟练解题．同时注意到个别数据对平均数的影响较大，而对中位数和众数没影响．
5．B
【分析】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，再由三角形中位线的判断和性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴；
故选：B．
6．C
【分析】①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解．
【详解】解：①∵
∴20是“整弦数”，符合题意；
②如5，2是“整弦数”，
∵不是“整弦数”，
∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，
∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；
⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，
∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键．
7．C
【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，
过点O直线EG和HF，分别交AB，BC，CD，AD于E，F，G，H，
则四边形EFGH是平行四边形，
故存在无数个四边形EFGH是平行四边形；故②正确；
当EG=HF时，四边形EFGH是矩形，故存在无数个四边形EFGH是矩形；故③正确；
当EG⊥HF时，存在无数个四边形EFGH是菱形；故①错误；
当四边形EFGH是正方形时，EH=HG，∠EHG=90°，
∠AHE+∠AEH=∠AHE+∠DHG=90°，
∴∠AEH=∠DHG，
∴Rt△AEH≌Rt△DHG，
∴AE=HD，AH=GD，
∵OD=OB，∠ODG=∠OBE，∠DOG=∠BOE，
∴△ODG≌△OBE，
∵GD=BE=AH，
∴AE+BE=HD+AH，即AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形，
当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形，故④正确；
综上，②③④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．
8．C
【分析】由题意确定两种方式的函数解析式，根据求得的两种方式解析式对各结论逐项分析即可．
【详解】解：根据题意得：
方式一的函数解析式为，
方式二的函数解析式为，
①方式一的函数解析式是一条直线，方式二的函数解析式是分段函数，所以如图描述的是方式1的收费方法，另外，当时，方式一是28元，方式二是20元，故①说法正确；
②，解得，故②的说法正确；
③当元时，方式一：，解得分钟，
方式二：，解得分钟，故③说法正确；
④如果方式一通话费用为40元
则方式一通话时间为：，方式二通讯时间为：
因此若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多53分钟，故④说法错误；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是求出两种方式的函数解析式．
9．D
【分析】先由，，得到四边形EFCG为矩形，推出，再将 沿边AB对折，点D对折到 地位置得到，连接，交AB于点M，求出，用勾股定理求出即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴四边形EFCG为矩形，
∴．
将 沿边AB对折，点D对折到 地位置，
∴，
∴，
当点C、E、三点共线且M与E重合时有最小值．
如下图，连接，交AB于点M，
∴．
∵，
∴，
即的最小值为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出图形，确定出当点C、E、三点共线且M与E重合时有最小值是解答关键．
10．C
【分析】①证明∠DAE＝∠CDF，进而得∠DAF＋∠ADG＝90°，便可判断①的正误；
②证明△AGF≌△AGD（ASA），得AG垂直平分DF，得ED＝EF，得∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，得EFCD，便可判断②的正误；
③由△AGF≌△AGD得AF＝AD，便可判断③的正误；
④证明EF＝ED＝，由平行于三角形一边的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例便可得AB与EF的数量关系，进而判断④的正误．
【详解】①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD＝∠BDC＝45°，
∵AE，DF分别是∠OAD与∠ODC的平分线，
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠DAF+∠ADG＝90°，
∴∠AGD＝90°，即AG⊥DF，
故①结论正确；
②在△AGF和△AGD中，
，
∴△AGF≌△AGD（ASA），
∴GF＝GD，
∵AG⊥DF，
∴EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF＝∠CDF，
∴EFCDAB，故②正确；
③∵△AGF≌△AGD（ASA），
∴AD＝AF＝AB，
故③正确；
④∵EFCD，
∴∠OEF＝∠ODC＝45°，
∵∠COD＝90°，
∴EF＝ED＝OE，
∴，
∴AB＝CD＝（）EF，
故④错误．
故选：C．
【点睛】主要考查了正方形的性质，直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，平行线的性质与判定，涉及的知识点多，关系复杂，增加了解题的难度，关键是灵活运用这些知识解题．
11．/
【分析】由x同时满足分式及二次根式有意义列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】解：依题意有，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、解不等式组，能根据函数有意义的条件列出不等式组是解题的关键．
12．/144度
【分析】根据平行四边形的性质得出，则，将代入，求出，即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握平行四边形对边互相平行，两直线平行，同旁内角互补．
13．
【分析】根据反比例函数的性质，根据不等式即可解决问题.
【详解】∵A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=的图象上，
又∵x1＜0＜x2时，y1∴函数图象在一、三象限，
∴1-2k>0，
∴，
故答案为.
【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，学会构建不等式解决问题．
14．（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据可知要说明“”是错误的，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴要说明“”是错误的，则，
∴的值可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
15．4
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，根据平行四边形对角线互相平分推出厘米，进而根据三角形周长计算公式得到厘米，再由三角形中位线定理即可得到厘米．
【详解】解：∵的对角线相交于点O，
∴，
∵厘米，
∴厘米，
∵的周长是21厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∵点E，F分别是线段的中点，
∴是的中位线，
∴厘米，
故答案为：4．
16．或
【分析】图象法解不等式即可．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数相交于点，，
∴，
∴，；
作出一次函数和反比例函数的图象如图所示：

由图可知：的解集为：或；
故答案为：或
【点睛】本题考查图象法解不等式，解题的关键是正确的画出一次函数和反比例函数的就图象．
17．200
【分析】用“频数÷频率=总数”可得答案．
【详解】解：（只），
即估计该湿地约有灰鹤200只．
故答案为：200．
【点睛】本题考查了频数分布折线图，频数与频率，掌握“频数÷频率=总数”是解答本题的关键．
18．
【分析】设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点在反比例函数上，可得出结论．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点，
令，则，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
则，即：，
∵点在反比例函数上，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键．
19．(1)2；
(2)无解．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及分式方程的求解，注意计算的准确性即可．
（1）根据二次根式的混合运算法则即可求解；
（2）方程两边同时乘以即可求解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：方程两边同时乘以得：
，
解得：
检验：当时，，
∴原方程无解
20．(1)50；剪纸20，图形见解析；
(2)144；
(3)50人．
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体， 解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.
（1）根据折扇的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用总人数减去其它课程的人数，求出剪纸的人数，从而补全统计图；
（2）用选择“剪纸”课程的学生数除以总人数，再乘以即可得出答案；
（3）用七年级的总人数乘以选择“陶艺”课程的学生所占的百分比即可.
【详解】（1）参加问卷调查的学生人数为： （名）,
剪纸的人数有：(名),补全统计图如下：

故答案为: ；
（2）“剪纸”课程所对应的扇形圆心角的度数是
故答案为：；
（3）根据题意得：
（名）,
答：估计选择“陶艺”课程的学生有名.
21．，当时，原式．
【分析】本题考查分式的化简求值，先将除法变为乘法进行计算，再进行通分，利用同分母分式的减法法则计算，最后选一个合适的x的值代入进行计算即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
当时，原式.
22．(1)见解析；
(2)、；
(3)．
【分析】本题考查作图一旋转变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
（1）分别作出的对应点即可；
（2）依据图象直接写出的坐标即可；
（3）直线交轴于，点即为所求作，求出直线的解析式，可得结论.
【详解】（1）如图, 即为所求作.
（2）观察图象可知，
的坐标为的坐标为(
故答案为：
（3）直线交轴于，点即为所求作.
设直线的解析式为代入得：
解得：
∴直线的解析式为
当时,
故答案为：
23．30元，40元
【分析】本题考查了分式方程的应用，解此题的关键是根据题意列出分式方程，注意分式方程要检验．根据用6000元购进豆沙粽的盒数和用8000元购进肉粽的盒数相同的数量关系列分式方程，求解即可．
【详解】解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元，
依题意得：.
方程两边乘得
.
解得：，
检验：当时，.
所以，原分式方程的解为.
∴
答：每盒豆沙粽的进价为30元，每盒肉粽的进价为40元．
24．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质、平行四边形的性质是解题的关键．
（1）利用平行四边形的性质得到，得到，再利用得到，则四边形是平行四边形．再利用得到，即可证明四边形是矩形．
（2）证明，，，利用勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，，
在中，
25．(1)见解析；
(2)存在，．
【分析】（1）①证明即可；②全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理，得到，即可；
（2）连接，，当和互相垂直平分时，四边形为菱形，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：①∵正方形，
∴，
∵等腰，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）存在：连接，，
当和互相垂直平分时，四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，即：，
∴；
当时：则：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，满足题意．
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
26．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，平行四边形的性质：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）直接观察图象，即可求解；
（3）分三种情况讨论：若以为边，若以为边，若以为边，即可求解．
【详解】（1）解：把点 代入得：，
∴反比例函数解析式为，
把代入，得：，
解得：，
∴点，
把点，代入得：
，解得：
∴一次函数的解析式为；
（2）解：观察图象得：当或时，，
∴关于x的不等式的解集为或；
（3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为，
若以为边，
，解得：，
此时点P的坐标为；
若以为边，
，解得：，
此时点P的坐标为；
若以为边，
，解得：，
此时点P的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或或
27．(1)3；1；
(2)4；
(3)最小值24，菱形．
【分析】本题考查材料理解和反比例函数综合题．
（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的最小值；
（2）现将所求式子变形，然后根据题目中的例子即可求得所求式子的最小值．
（3）设P的坐标为：，由，可得，利用上述方法求解可得面积的最小值，再求得点的坐标，即可证明该四边形为菱形．
【详解】（1）解：∵
当且仅当即时，“”成立，
∴，
∴当，有最小值；
（2）原式=
=
，
当且仅当时，“”成立，
∴当时，原代数式得最小值为4．
（3）解：设P的坐标为：，
∵ ，，
则，，，
则
∴当且仅当，即时，四边形面积有最小值，最小值是24；
∴点P的坐标为：，
∴，D，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
28．(1)①；②画图见解析；4或24；
(2)．
【分析】（1）①根据矩形和翻折的性质可知，，利用勾股定理可求得，从而得到，再利用勾股定理即可解得；②当中时，根据矩形和翻折的性质可得到点、、三点共线，由即可得到；当中时，可推出点、、三点共线，利用勾股定理可得，从而得到，再利用勾股定理即可解得；
（2）在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，根据翻折的性质和矩形的性质，可证明四边形是平行四边形，从而推出，再通过证明，，得到，最后利用，可求得最小值，即得到最小值．
【详解】（1）解：①四边形是矩形
，，
由翻折的性质可知，，
，
，
解得：
的长为；
②当中时，如图所示即为所求：
四边形是矩形
根据翻折的性质，，
，
点、、三点共线
当中时，如图所示即为所求：
四边形是矩形
又
点、、三点共线
根据翻折的性质，，
解得：
的长为4或24；
（2）解：在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，如图所示，
根据翻折的性质，，，，，
又
四边形是平行四边形
四边形是矩形
又，
，
，即
又，
，
，即
当、、三点共线时，最短，即
的最小值为
的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，两点之间距离最短，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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