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新龙中学 2025 届高三第二学期第三次模拟考试
数学试卷
本试卷满分 150分.考试用时 120分钟.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A {1,2,3,4}， B x 0 x 3 ，则 A B （ ）
A．{1,2,3} B．{0,1,2,3} C．[0,3] D． (1,3]
2 b．已知 2log2a 3， log55 2，则 a b （ ）
A．3 B．1 C． 1 D． 3
3．已知圆C : x2 y2 2x 4y 1 0关于直线mx 2y 1 0对称，则实数m （ ）
A．6 B．4 C．3 D．7

4．已知向量 a (2,1)，b ( 2, 4)，则 a b （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一人，
则甲、乙在同一组的概率为（ ）
1 1 1
A． B 1． 4 C． D．6 3 2
x y
6. 在平面直角坐标系 xOy中，曲线 C： 1的周长为（ ）
4 3
A. 12 B. 14 C. 16 D. 20
7. 已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为 4π，则圆台上下底面面积之差的绝对值为
（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 8π
x2 y2
8. 已知点 P在双曲线C : 1 a 0，b 0 上，且点 P到C 的两条渐近线的距离之积
a2 b2
a2
等于 ，则C的离心率为（ ）
2
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 某位射击运动员的两组训练数据如下：第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，
5，8，9，9，10．则（ ）
A. 两组数据的平均数相等
B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数
D. 两组数据的极差相等
π
9. 已知函数 f (x) sin( x ) 0, 的部分图象如图所示，则（ ）
2
A. 2
πB.
3
C. y f x
π
12
是奇函数

D. 当 x [3π,4π]时， f (x) 的图象与 x轴有 2个交点
11. 如图，半径为 1的动圆C沿着圆O : x2 y2 1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点
P a,b 形成的外旋轮线 ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点 P与点 A 1,0 重
合．以下说法正确的有（ ）
A. 曲线 上存在到原点的距离超过 2 3的点
B. 点 1,2 在曲线 上
C. 曲线 与直线 x y 2 2 0有两个交点
D. b 3 3
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12 f x x 3．函数 2x 2 的图象在点 2,f 2 处的切线方程为 ．
cos sin( ) sin cos( ) 313. 已知 ，则 sin ．
5
14. 对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆
能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线
x4 y4 x2 y2 x2 y2 0的最小覆盖圆的半径为__________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
15.（13分）已知 a,b,c分别为△ABC的内角 A,B,C的对边，且 c a cos B b sin A a2 b2 .
(1)求A；
(2)若 a 2，△ABC的面积为 2，求b c .
16（15分）在数列 an 中， a1 2，an 1 3an 2．
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若bn an n，求数列 bn 的前 n项和 Sn．
17.（15分） 如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为矩形，AB 2BC 2，侧面 PCD
3
是等边三角形，三棱锥 A PBD的体积为 ，点 E是棱CP的中点．
3
（1）求证：平面 PBC 平面 PCD；
（2）求平面 BDE与平面 ABCD夹角的余弦值．
2 2
18.（17 x y分） 已知椭圆W : 2 2 1 a b 0 ，A，B分别是W 的左、右顶点，C是Wa b
的上顶点，V ABC的面积为 2，且 AC 5．
（1）求椭圆W 的方程及长轴长；
（2）已知点M 2,1 ，点 P在直线 AC上，设直线PM 与 x轴交于点 E，直线 BP与直线 EC
交于点Q，判断点Q是否在椭圆W 上，并说明理由．
19.（17分） 设正整数 n 2，对于数列 A : a1,a2 ,L ,an，定义变换T ，T 将数列A变换成数列
T A ： a1a2 ,a2a3 , ,an 1an ,ana1．已知数列 A0 : a1,a2 , ,an满足
ai 1,1 i 1,2, ,n ．记 Ak 1 T Ak k 0,1, 2, ．
（1）若 A0 ： 1,1,1，写出数列 A1， A2；
（2）若 n为奇数且 A0 不是常数列，求证：对任意正整数 k， Ak 都不是常数列；
m *
（3）求证：当且仅当 n 2 m N 时，对任意 A0 ，都存在正整数 k，使得 Ak 为常数列．
三模参考答案：
1-8：ABCDADBC
9：AC 10.ABD 11.BCD
3
12 13：4x-y-8=0 14. 2π
5

15.（1） A （2）
4 b c 2 2 2
n
16. 1 n -1 2 S 3 1 n(n 3)（ ）an=3 +1 （ ） n 2
S 1 AB AD 117.（1）因为底面 ABCD为矩形， AB 2BC 2，所以 ABD 2 1 1，2 2
设三棱锥 P ABD的高为 d A PBD 3，又三棱锥 的体积为 ，
3
1 1 3
所以VA PBD VP ABD S3 ABD
d 1 d ，所以 d 3，
3 3
又侧面 PCD是等边三角形，且CD AB 2，
取CD的中点，连接 PO，可得 PO 3，从而PO为三棱锥 P ABD的高，
所以 PO 平面 ABD，又 BC 平面 ABD，所以 PO BC，
又CD BC， PO DC O， PO,DC 平面 PCD，
所以 BC 平面 PCD，又 BC 平面 PBC ，所以平面 PBC 平面 PCD；
（2）取 AB的中点 N ，连接ON，则ON / /BC，
故由（1）可以O为坐标原点，ON ,OC,OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角标系，
则B(1,1,0),D(0, 1,0),E(0, 1 , 3 ),P(0,0, 3)，
2 2

DB (1, 2,0),DE (0, 3 , 3

则 ),OP (0,0, 3)，
2 2

设平面BDE的一个法向量为n (x, y,z)，
n·DB x 2y 0

则 3 3 ，令 y 1，则 x 2, z 3，
n·DE y z 0
2 2
r
所以平面 BDE的一个法向量为 n ( 2,1, 3)，

又平面 ABCD的一个法向量为OP (0,0, 3)，
设平面BDE与平面 ABCD夹角为

OP n 3
所以 cos cosOP, n
3 6

OP
，
n 4 1 3 3 2 2 4
所以平面 BDE与平面 ABCD 6夹角的余弦值为 ．
4
18.（1）由题可知， A a,0 ,B a,0 ,C 0,b ，
1
V ABC的面积为 2 2 2，且 AC 5，则 2a b 2,a b 5，又 a b 0，解得
2
a 2,b 1；
x2
故椭圆W 的方程为： y2 1，其长轴长 2a 4.
4
（2）由（1）可知， A 2,0 ,B 2,0 ,C 0,1 ，又M 2,1 ，
m
故直线 AC y 1方程为： x 1 ，又 P在直线 AC上，故设点P
2
m, 1 ，
2
当m 2时，直线 PM 斜率不存在，此时 E与 B重合，Q也与 B重合，显然Q在椭圆上；
当m 0时，直线 PM 的斜率为0，与 x轴没有交点，不满足题意；
m
当m 2，且m 0时，直线 PM 斜率为 2 m 2 ，直线 PM 方程为：
y 1 m x 2
2 m 2 ，
令 y 0 x 4
4
，可得 ，故 E
m
,0
m
；

m
直线 PB 1斜率为： 2 m 2
m 2
，直线PB方程为： y x 2 ；
m 2 2m 4 2m 4
m m
直线CE斜率为： ，直线CE方程为： y x 1；
4 4
y m 2 x 2 2m 4 8m m m2 4
联立 ，消去 y可得 x 2 ，代入 y x 1可得： ，
y m
y 2
x 1 m 4 4 m 4
4

Q 8m
2
, m 4

即 2 2 ，
m 4 m 4
2
8m
2 2m2
2
4 m2 4 16m2 4
2
又 m 16 8m2 m 4 x，即 Q 1 y
2
Q 1，
4 m
2 4 m2 4 2 2 2m 4 m2 4 2 4
故点Q在椭圆上.
综上所述，Q在椭圆W 上.
19（1）由题意可得 A1 : 1,1, 1； A2 : 1, 1,1.
（2）证明：设 n 2t 1，其中 t N*．
假设存在正整数 k，使得 Ak 是常数列，由 A0 不是常数列，
不妨设 A0 , A1, , Ak 1不为常数列且 Ak 为常数列，
记 Ak 1 :b1,b2 , ,b2t 2 ,b2t 1，则 Ak :b1b2 ,b2b3, ,b2t 2b2t 1,b2t 1b1．
令b2t b1,b2t 1 b2
当 i 1,2, , 2t 1时，因为bibi 1 bi 1bi 2，且bi 1 1,1 ，所以bi bi 2．
故b1 b3 b5 b2t 1 b2 b4 b2t 2．
此时 Ak 1为常数列，矛盾．
另法：
①若 Ak :1,1, ,1，则b2 b1,b3 b2 , ,b2t 1 b2t 2 ,b1 b2t 1，
有b1 b2 b2t 1,
此时 Ak 1为常数列，矛盾．
②若 Ak : 1, 1, , 1，则b1b2 b2b3 b2n 2b2n 1 b2n 1b1 1，
( 1)2t 1有 b1b2 b2b3 b 2 22t 2b2t 1 b2t 1b1 b1 b2 b22t 1 1，
矛盾．
综上，对于任意正整数 k， Ak 都不是常数列.
（3）首先证明，若 n 2m 2s 1 ，其中m N*, s 2, s N ，
则存在 n项的数列 A0 ，使得对任意的正整数 k , Ak 都不是常数列．
证明：构造2s 1项的数列C0 : c1,c2 , ,c2s 1，其中 c1 c2 c2s 2 1,c2s 1 1，
构造 n A : c ,项的数列 0 1 c2 , ,c 2s 1,c 1,c 1, ,c 2s 1, , c1, c2 , ,c 2 s 1
2 组c1 ,c2 , c2 s 1
对任意的正整数 k，设Ck : d1,d2 , ,d2s 1，则
Ak : d 1, d2 , ,d 2s 1, d1, d2 , ,d 2s 1, ,d1 ,d 2 , , d2 s 1
2m组d1 ,d2 d2 s 1
由于Ck不是常数列，故 Ak 不是常数列．
其次证明：若 n 2m，其中m N*，对任意 A0 ，都存在正整数 k, Ak 是常数列．
证明：假设存在n 2m，其中m N*，使得存在数列 A0 ，
使得对任意的正整数 k , Ak 都不是常数列，不妨设m的最小值为m0 ．
情形一：m0 1，则 n 2，记 A0 : a1,a2，则 A1 : a1a2 ,a1a2为常数列，矛盾．
情形二：m0 2，对任意的数列 A0 : a1,a2 ,a3, ,an 2 ,an 1,an，则
A1 :a1a2 ,a2a3,a3a4 , ,an 2an 1,an 1an ,ana1,
A2 :a1a3,a2a4 ,a3a5 , ,an 2an ,an 1a1,ana2
A0 : 1, 1, 2 , 2 , , n , 记 n ，
2 2
E : , , , ,F : , , , n m
定义数列 0 1 2 n 0 1 2 n 2m T，其中 ．
2 2 2
则
E1 : 1 2 , 2 3 , , n 1,F1 : 1 2 , 2 3 , , n 1, A2 : 1 2 , 1 2 , 2 3 , 2 3 , , n 1, n 1
2 2 2 2
．
k Ek :u1,u , ,u ,F : v ,v , ,v则依此类推，对任意正整数 ，记 2 n k 1 2 n ，
2 2
A2k :u1,v1,u2 ,v2 , ,un ,vn .
2 2
存在正整数 k1,k2，使得 Ek ,Fk 为常数列，记 k0 max k1,k2 ，则数列 Ek ,Fk 均为常数列，1 2 0 0
设 A2k : , , , , , , ，则 A2k 1的各项均为 ．即 k 2k0 1时，Ak 是常数列，矛盾．0 0
m
综上，当且仅当n 2 m N* 时，对任意 A0 ，都存在正整数 k，使得 Ak 为常数列．

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