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2024-2025 学年广东省深圳市深圳科学高中高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 1 < < 1}， = { |0 ≤ ≤ 2}，则 ∪ =( )
A. { | 1 < < 2} B. { | 1 < ≤ 2} C. { |0 ≤ < 1} D. { |0 ≤ ≤ 2}
2 +3i.若复数 2+i是纯虚数，则实数 =( )
A. 32 B.
3
2 C.
2
3 D.
2
3
3 2sin40° cos10°. sin10° 的值为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 32
4 ( ) = 3, ≥ 10.已知函数 [ ( + 5)], < 10，其中 ∈ ，则 (8) =( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 7
5.已知 > 1， > 2，( 1)( 2) = 2，则 + 的最小值为( )
A. 3 2 B. 2 3 C. 3 + 2 2 D. 2 + 3 2
6.连掷两次骰子分别得到点数 ， ，则向量( , )与向量( 1,1) 的夹角 > 2的概率是( )
A. 12 B.
1
3 C.
7
12 D.
5
12
7.将一边长为 2 的正方形 沿对角线 折起，若顶点 , , , 落在同一个球面上，则该球的表面积为( )
A. 4 3 B.
8 2
3 C. 4 D. 8
8.记 的内角 ， 的对边分别为 ， ，则“ > 2 ”是“sin > sin2 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2 相等，下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为 4π 2 B.三个几何体的表面积中，球的表面积最小
C.圆柱的侧面积与球面面积相等 D.圆锥的侧面积为 5π 2
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10.四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数 6 的
是( )
A.甲同学：第 25 百分位数为 3，众数为 5 B.乙同学：平均数为 3，方差为 2.4
C.丙同学：中位数为 3，极差为 2 D.丁同学：平均数为 3，中位数为 4
11.已知函数 ( ) ( + ) 1 1的定义域为 ，对于任意非零实数 , ，均有 ( ) > ，且 ( ) ( ) = + ，则下列结论正确
的为( )
A. (0) = 0 B. ( )为奇函数 C. 2 2 > 1 D. (2024 ) ≥ 2024 ( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
′ ′ ′
12.若 的直观图是边长为 2 的等边 ，则 的面积是 ．
13.若 ( ) = ln + 11 + 是奇函数，则 + = ．
14.瑞士数学家欧拉在 1765 年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心
到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在 中， = 6， = 2，且
∠ = π4，设 的外心为 ，重心为 ，垂心为 ，若
= + + ，则实数 = ； = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = 5, = 2, + 3 2 = 6．
(1)求 与 的夹角；
(2)若向量 为 在 上的投影向量，求 + ．
16.(本小题 15 分)
某校为了提高学生对数学学习的兴趣，举办了一场数学趣味知识答题比赛活动，共有 1000 名学生参加了此
次答题活动．为了解本次比赛的成绩，从中抽取 100 名学生的得分(得分均为整数，满分为 100 分)进行统
计．所有学生的得分都不低于 60 分，将这 100 名学生的得分进行分组，第一组[60,70)，第二组[70,80)，
第三组[80,90)，第四组[90,100](单位：分)，得到如下的频率分布直方图．
(1)求图中 的值，并估计此次答题活动学生得分的中位数；
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(2)根据频率分布直方图，估计此次答题活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估
计参赛的学生中有多少名学生获奖．(以每组中点作为该组数据的代表)
17.(本小题 12 分)
如图，在凸四边形 = + 中，sin sin ，∠ + ∠ = ．
(1)求证：∠ = 2∠ ；
(2)若 = = 2，求四边形 面积的最大值．
18.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = sin + 2cos
(1) > 0 ( ) 若 且 的最大值为 2，求函数 = ( )在[0, 2 ]上的单调递增区间；
(2) = 0 π π π若 ，函数 = ( ) + ( + 2 ) 在 2 , 2 上有且仅有一个零点，求实数 的取值范围；
(3) π已知 = ( )的一条对称轴方程为 = 4，令 ( ) = ( 6)
2 ( )，存在常数 ∈ R，使得函数 = ( +
)为偶函数，求最小的正数 的值．
19.(本小题 12 分)
若函数 ( )满足：对于 , ∈ [0, + ∞)，都有 ( ) ≥ 0, ( ) ≥ 0，且 ( ) + ( ) ≤ ( + )，则称函数 ( )为
“ 函数”
(1)试判断函数 1( ) = 2与 2( ) = ln( + 1)是否为“ 函数”，并说明理由
(2)设函数 ( )为“ 函数”，且存在 0 ∈ [0, + ∞)，使 ( ( 0)) = 0，求证： ( 0) = 0
(3)试写出一个“ 函数”，满足 (2) = 4，且使集合{ | = ( ), 0 2}中元素最少(只需写出你的结论)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 6
13.ln2 12
14.3； 3 1 或 3 + 1
15.【详解】(1)因为 = 5, = 2, + 3 2 = 6，
2
2
所以 + 6 = 6，即 25 + 24 = 6，解得 = 5，
设 与 的夹角为 , ∈ 0, π ，
5
则 cos = = 2×5 =
1 = π，所以 ，
2 3
π
故 与 的夹角为3；
(2)向量 为 在 上的投影向量，
→ →
→ →
5 →
则 = → → = 4 ，
2
+ = + 5 = + 5 = 2故 + 5 + 25
2
4 4 2 16
= 52 + 5 25 2 5 72 × 5+ 16 × 2 = 2 ．
16.【详解】(1)由频率分布直方图知：( + 0.03 + 0.04 ++ 0.02) × 10 = 1，解得 = 0.01，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为 0，
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因数据落在[60,80)内的频率为 0.4，落在[60,90)内的频率为 0.8，从而可得 80 < 0 < 90，
由 0 80 × 0.04 = 0.1，得 0 = 82.5，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为 82.5．
(2)由频率分布直方图及(1)知：
数据落在[60,70), [70,80)，[80,90), [90,100]的频率分别为 0.1，0.3，0.4，0.2，
= 65 × 0.1 + 75 × 0.3 + 85 × 0.4 + 95 × 0.2 = 82，
82 0.2 + 90 82此次竞赛活动学生得分不低于 的频率为 10 × 0.4 = 0.52，
则 1000 × 0.52 = 520，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为 82，在参赛的 1000 名学生中估计有 520 名学生获奖
17.【详解】(1)因为∠ + ∠ = ，所以 sin = sin π ∠ = sin∠ ，
+ +
由sin = sin ，则sin∠ = sin ，
= + 根据正弦定理得 2 2 ，则 = + ，
又根据余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
所以 2 + 2 2 cos = + 2，
即 = 2 cos ，
再由正弦定理得 sin∠ = sin∠ 2sin∠ cos ，
即 sin∠ = sin(∠ + ∠ ) 2sin∠ cos ，
则 sin∠ = sin cos∠ cos sin∠ ，
所以 sin∠ = sin(∠ ∠ )，
因为∠ ∈ 0, π , ∠ ∈ 0, π ，则∠ ∠ ∈ π, π ，
所以∠ = ∠ ∠ 或π ∠ = ∠ ∠ ，
得∠ = 2∠ 或∠ = π(舍)，
故∠ = 2∠ ；
(2)根据(1)∠ = 2∠ ，又 = = 2，
π π
所以∠ = ∠ ，所以∠ = 2，∠ = ∠ = 4，
所以 =
1
2 × 2 × 2 = 2，且 = 2 2，
在 3π中，∠ = 4 ，
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根据余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 8 = 2 + 2 + 2 ≥ 2 + 2 = 2 + 2 ，
所以 ≤ 82+ 2，当且仅当 = = 4 2 2 时等号成立，
= 1所以 2 sin
3π
4 ≤
1 8 2
2 × 2+ 2 × 2 = 2 2 2，
所以四边形 面积的最大值为 2 2．
18.【详解】(1)若 > 0 且 ( )的最大值为 2，则 2 + 2 = 2，即 2 + 2 = 4，得 2 = 2，即 = 2，
则 ( ) = 2sin + 2cos = 2sin + π4 ，
∈ [0, π π π 3π当 2 ]时，4 ≤ + 4 ≤ 4， ( )
π
为增函数，此时 0 ≤ ≤ 4，
即函数 = ( )在 ∈ [0, π2 ]
π
上的单调递增区间是 0, 4 ．
(2)若 = 0， ( ) = 2cos ，
函数 = 2cos + 2cos + π2 = 2cos 2sin = 2cos +
π
4
由 2cos 2sin = 0，得
= 2cos 2sin = 2cos + π4 ，当 ∈
π
2 ,
π π π 3π
2 ，则 + 4 ∈ 4 , 4 ,
π π π
则要使在 2 , 2 上 = 2cos + 4 有且仅有一个零点，
则 = 2 或 2 ≤ < 2，即实数 的取值范围 2 ∪ 2, 2 ．
(3) π因为 = ( )的一条对称轴方程为 = 4，
( π π π 2所以 4 ) = sin 4 + 2cos 4 = 2 + 1
则满足| 2 22 + 1| = + 2，
1
平方得2
2 + 2 + 1 = 2 + 2，得 2 2 2 + 2 = 0
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2
，得 2 = 0 得 = 2，则 ( ) = 2cos + 2sin = 2sin + π4 ，
则 ( ) = ( 6)2 ( ) = ( 6)2·2sin + π4 ，
则 + = ( + 6)2·2sin + + π4 ，
存在常数 ∈ R，使得函数 = + 为偶函数，
6 = 0
则 + π4 =
π , ∈ Z,
2 + π
= 6 = π即 且 6 +
π
24 , ∈ Z，
因为 > 0，所以当 = 0 时， 取得最小值，此时最小的正数 = π24．
19.【详解】(1)在 , ∈ [0, + ∞)上 1( ) = 2 ≥ 0 恒成立， 2( ) = ln( + 1) ≥ 0 恒成立，
对于 , ∈ [0, + ∞)，则 2 2 21( ) + 1( ) = + ， 1( + ) = ( + ) ，
∴ 1( + ) [ 1( ) + 21( )] = ( + ) ( 2 + 2) = 2 ≥ 0，即 1( ) + 1( ) 1( + )成立；
2( ) + 2( ) = ln( + 1)( + 1)， 2( + ) = ln( + + 1)，
∴ ( + 1)( + 1) ( + + 1) = ≥ 0，即( + 1)( + 1) ≥ ( + + 1)，又 = ln 为增函数，
∴ 2( ) + 2( ) ≥ 2( + )，
综上， 21( ) = 是“ 函数”， 2( ) = ln( + 1)不是“ 函数”．
(2)令 1, 2 ∈ [0, + ∞)，且 2 = 1 + > 1， > 0，
∴ ( 2) ( 1) = ( 1 + ) ( 1) ≥ ( ) ≥ 0，即 ( 2) ≥ ( 1)，
∴对于在[0, + ∞)上 2 > 1，一定有 ( 2) ≥ ( 1)．
∵ ( )为“ 函数”，
∴ 0 ∈ [0, + ∞), ( 0) ≥ 0．
若 ( 0) > 0，则 ( ( 0)) ≥ ( 0) > 0不合题意；
若 ( 0) < 0，则 ( ( 0)) ( 0) < 0不合题意；
∴ ( 0) = 0，得证．
0, ∈ [0,2)
(3) ( ) = { 2, ∈ [2, + ∞),
当 ( ) = 0， ( ) = 0，则 ( ) + ( ) = 0 ( + )，
当 ( ) = 0， ( ) = 2，则 ( ) + ( ) = 2，而此时 + ≥ 2，则 ( + ) = ( + )2，
∴ ( ) + ( ) ( + )，且 (2) = 4，{ | = ( ), 0 2} = {0,4}元素个数最少．
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