资源简介

2024-2025 学年广东省江门市培英高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 = tan( π4 )的定义域是( )
A. | ≠ π4 B. | ≠
π
4
C. | ≠ π + π4 , ∈ Z D. | ≠ π +
3π
4 , ∈ Z
2.在复平面内，复数 满足(1 + 2i) = 3 4i，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. i C. 2 D. 2i
3.如图， ′ ′ ′是水平放置的 的斜二测直观图， ′ ′ ′为等腰直角三角形，其中 ′与 ′
重合， ′ ′ = 2，则 的面积是( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
4.古希腊的数学家特埃特图斯( ，约前 417 前 369)通过如图来构造无理数 2, 3, 5, . . .，记
∠ = ，∠ = ，则 cos( + ) =( )
A. 6 2 B. 3 6 C. 3+ 6 D. 6+ 23 2 3 6 3 3 3 2
5.如图，点 ， ， ， ， 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线 //平面
的是( )
A. B. C. D.
第 1页，共 8页
6.某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为 3m，底面边长是 8m，接
缝处忽略不计，则需要油毡的面积为( )
A. 48m2 B. 80m2 C. 100m2 D. 144m2
π 7.已知向量 与 的夹角为3，若 2
在 | |方向上的投影向量为2，则| | = ( )
A. 3 B. 32 C.
2 1
3 D. 3
8 sin +sin .已知在锐角三角形 中，角 ， ， 的对边分别为 , , ，若sin2 2sin sin = 0，则 sin 的取值
范围为
A. ( 2, 3) B. (1, 2) C. ( 2, 6) D. (1, 6)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在正方体 1 1 1 1中， ， 分别为棱 1 1, 1 的中点，则以下四个结论中，正确的有( )
A.直线 与 1是相交直线 B.直线 与 1是异面直线
C. 与 平行 D.直线 1 与 共面
10.欧拉公式 i = cos + isin 其中 i 为虚数单位， ∈ )是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函
数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依
据欧拉公式，下列选项正确的是( )

A. i = 2 2
i
4
2 2 i B. 2为纯虚数
i
C.复数 i的模长等于 1 D. 1 33的共轭复数为2 2 i
11.已知一圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图是圆心角为 3π的扇形， , 为底面圆的一条直径上的两个
端点，则( )
A.该圆锥的母线长为 2
B.该圆锥的体积为π
C.从 点经过圆锥的侧面到达 点的最短距离为 2 3
D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 3
第 2页，共 8页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.已知 sin = 3，则 cos +

2 =
13.高中数学兴趣小组计划测量某大厦的高度，选取与底部 在同一水平面内的两个基测点 与 .现测得
∠ = 15°，∠ = 120°， = 100 米，在点 测得大厦顶 的仰角∠ = 60°，则该大厦高度
= 米(精确到 1 米)．
参考数据： 2 ≈ 1.414， 3 ≈ 1.732．
14.如图，长方体 1 1 1 1的体积是 120， 为 1的中点，则三棱锥 的体积是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 , 满足 = 2， = 1， = 1．
(1)求 与 的夹角；
(2)若 = 2 ， = + 2 ，求 + 2 ．
16.(本小题 15 分)
1
如图所示，在四棱锥 中， //平面 ， = 2 ， 是 的中点．
第 3页，共 8页
(1)求证： // ；
(2)求证： //平面 ．
17.(本小题 15 分)
中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = cos cos ， = 2 3．
(1)求角 ；
(2)若 2 21边上的点 满足 = 2 ， = 3 ，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, | | < π2 部分图象如图所示．
(1)求 和 的值；
(2)求函数 ( )在 0, π 上的单调递增区间；
(3) ( ) π π π将 向右平移 24个单位长度得到函数 ( )，已知函数 ( ) = 2 ( ) 3 ( ) + 2 1 在 6 , 2 上存在零
点，求实数 的最小值和最大值．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，对于非零向量 = 1, 1 , = 2, 2 ，定义这两个向量的“相离度”为 , =
1 2 2 1 ，容易知道 , 平行的充要条件为 , = 0．
2+ 2 2+ 21 1 2 2
(1)已知向量 = 5, 2 , = 1, 4 5 ，求 , ；
(2)( )设向量 , 的夹角为 ，证明： , = sin ；
( )在 中， = 4, = 8, 为 的中点，且 = 2 7，若 = 2 ，求 , ．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 13
13.212
14.10．
15.【详解】(1)因为| | = 2，| | = 1， ( ) = 1，设< , > = ，
所以 ( ) = 2 = | |2 | | | | cos = 2 2cos = 1，
所以 cos = 22 ，因为 0 ≤ ≤ π，
π
所以 = π4，即 与 的夹角为4；
(2)因为 + 2 = 2 + 2( + 2 ) = 4 + 3 ，
则| + 2 |2 = (4 + 3 )2 = 16 2 + 9
2
+ 24 = 16 × ( 2)2 + 9 + 24 × 2 × 1 × 22 = 65，
故| + 2 | = 65．
16.【详解】(1)在四棱锥 中， //平面 ， 平面 ，
平面 ∩平面 = ，∴ // ．
(2)取 的中点 ，连接 ， ，∵ 是 的中点，
∴ // ， = 12 ，
1
又由(1)可得 // ，且 = 2 ，∴ // ， = ，
第 5页，共 8页
∴四边形 是平行四边形，∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
17.【详解】(1)在 中，利用正弦定理可得：sin sin = sin cos sin cos ，
又 + + = π，则 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
则 sin cos + cos sin sin = sin cos sin cos ，
即 2cos sin = sin ，
因 ∈ (0, π)，则 sin ≠ 0 1，则 cos = 2，
又 ∈ (0, π) π，则 = 3．
(2)
因 = 2 ，则 = + = + 23
= + 2 3
= 13
+ 23

2 = 1两边平方得：
2 2
9 + 4
+ 4 ，
= 2 21 28
2 2
又 ，则 = 1 + 4 + 4 cos π = 1 2 23 3 9 3 9 + 4 + 2 ，
则 2 + 4 2 + 2 = 84，
在 π中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 3，化简得 12 =
2 + 2
则 2 3 + 2 2 = 0，即( )( 2 ) = 0，得 = 或 = 2 ，
1 π
当 = 时， = = 2 3，则 = 2 × 2 3 × 2 3 × sin 3 = 3 3；
第 6页，共 8页
当 = 2 1时， = 2， = 4，则 = 2 × 2 × 4 × sin
π
3 = 2 3．
18. 2π π π 2π【详解】(1)由图象可知：2 = 3 6 = 2，所以 = π，则 = = 2，
又 2 × π π π6 + = 2 π + 2， ∈ ，得 = 2 π + 6，
又| | < π π2，所以 = 6．
(2)由(1) π知 ( ) = sin 2 + 6 ，
令 2 π π π π2 ≤ 2 + 6 ≤ 2 π + 2， ∈ ，
π π
解得： π 3 ≤ ≤ π + 6， ∈ ．
= 0 π ≤ ≤ π 0 ≤ ≤ π 0 ≤ ≤ π令 ，得 3 6，因 ，则 6，
令 = 1 2π，得 3 ≤ ≤
7π 2π
6，因 0 ≤ ≤ π，则 3 ≤ ≤ π，
所以 ( ) π 2π在 0, π 上的单调递增区间为 0, 6 ， 3 , π ．
(3) π由题意， ( ) = 4 = sin 2
π
4 +
π
6 = sin 2
π
3 ，
则 ( ) = 2sin2 2 π3 3sin 2
π
3 + 2 1，
π π
由函数 ( )在 6 , 2 上存在零点，
则 2 = 2sin2 2 π3 + 3sin 2
π π π
3 + 1 在 ∈ 6 , 2 上有解，
π π π π 2π
令 = sin 2 3 ，由 ∈ 6 , 2 ，则 2 3 ∈ 0, 3 ，即 ∈ [0,1]，
2
则 = 2 2 + 3 + 1 = 2 3 + 17 ∈ 1, 174 8 8 ，
1 ≤ 2 ≤ 17 1 17所以 8，即2 ≤ ≤ 16，
1 17
故 最小值为2，最大值为16．
19.【详解】(1)由 , = 1 2 2 1 ， = 5, 2 , = 1, 4 5 ，
2+ 2 2 21 1 2+ 2
可得： , = 5× 4 5 2 = 22
5+4 1+80 27
第 7页，共 8页
2 2
(2)( )因为cos2 + 2( , ) = 1 2+ 1 2 + 1 2 2 1
21+
2 2+ 21 2 2
2
1+
2
1
2
2+
2
2
=
2 2+ 2 21 2 1 2+
2
1
2
2+
2 2
2 1
2 = 1， 1+ 21 2+ 22 2
且 ( , ) ≥ 0， ∈ 0, π ，则 2( , ) = 1 cos2 = sin2 ，
所以 ( , ) = sin ．
( )因为 为 中点，
则 = 1 1 2 + 2
，
2
可得
2 2 2
= 12
+ 12
= 1 + 1 + 1 4 4 2
，
1
即 28 = 4 + 16 + 2
，可得 = 16，
又因为 = 2 1 1 1，可知点 为 的中点，则 = = 2 4 +

4
，
可得 = + = 3 4
1
4
，
即 = 3 4 +
1
4

2
= 1 + 1
2
则
2 2
4 4 =
1 1 1
16 + 16 + 8 = 7，
2

2
= 3 + 1 = 9
2
+ 1
2
3 4 4 16 16 8
= 7，
= 1 + 1 3 + 1 = 3
2
+ 1
2
1 4 4 4 4 16 16 8 = 1，
2
可得cos2 ,

= = 1，

2

2 49
所以 , = sin , = 1 cos2 , = 48 4 349 = 7 ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑