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2025-2026学年沪科版数学九年级上册期末大单元复习
第21章 二次函数与反比例函数
时间:40分钟 满分:100分
一、选择题(每题5分,共30分)
1.[2025年1月六安期末]下列各式中,y是x的二次函数的是( )
A.y=3x-1 B.y=
C.y=3x2+x-1 D.y=2x2+
2.[2025年1月蚌埠期末]将抛物线y=2x2向右平移3个单位,再向上平移5个单位,得到新的抛物线对应的函数表达式为( )
A.y=(2x-3)2-5 B.y=2(x-3)2+5
C.y=2(x+3)2+5 D.y=2(x+3)2-5
3.对于二次函数y=-3(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是( )
A.开口向上 B.对称轴是直线x=-1
C.最小值是2 D.顶点坐标是(1,2)
4.[2025年1月马鞍山期末]在函数y=(k<0)的图象上有三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),已知x1A.y2>y1>y3 B.y3>y1>y2
C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y2
5.二次函数y=ax2+bx的图象与反比例函数y=(ab≠0)的图象可能为( )
6.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,有以下结论:①abc<0;②c+2a<0;③9a-3b+c=0;④4ac-b2<0;⑤a-b≥m(am+b)(m为实数);⑥一元二次方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根.其中错误结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(第6题) (第8题)
二、填空题(每题5分,共20分)
7.若y关于x的二次函数y=2(x+m-1)2-3m+6的图象顶点在第二象限,则m的取值范围是________.
8.如图,某学校拟建一块矩形花圃,打算一边利用学校现有的墙(墙足够长),其余三边除门外用栅栏围成,栅栏总长度为38 m,门宽为2 m.这个矩形花圃的最大面积是________.
9.[2025·蚌埠月考]如图,正方形的四个顶点分别位于两个反比例函数y=和y=的图象的四个分支上,则n的值为________.
(第9题) (第10题)
10.[2024·合肥期末]如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,过点A作AC⊥x轴,交反比例函数y=(x>0)的图象于点C,过点C作CD⊥y轴于点D,与直线y=kx+b交于点E.
(1)若k=2,b=-4,则=________;
(2)若CE=DE,则b与k的数量关系是________.
三、解答题(共50分)
11.(14分)[2025·合肥月考]已知抛物线y=x2-bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求抛物线对应的函数表达式;
(2)P为抛物线上一点,若S△PAB=10,则点P的坐标为________.
12.(16分)[2024·阜阳期末]如图,已知点A(-2,4),B(n,-2)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点.
(1)求此反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象,直接写出不等式kx+b<的解集;
(3)过点A作直线l:y=ax+c(a≠0),使它与反比例函数y=的图象仅有一个公共点,则直线l的表达式为________.
13.(20分)[2025年1月安庆期末]某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售,对往年的市场行情和生产情况进行了调查,得到如图所示的信息.其中,这种蔬菜每千克成本y1元与销售月份x之间满足二次函数关系,每千克售价y2元与销售月份x之间满足一次函数关系.
(1)分别求y1,y2关于x的函数关系式;
(2)按照往年的行情,在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大?
(3)该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售,提高销售商户经营的积极性,决定给商户每千克补贴4元,那么,一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损?
第22章 相似形
时间:40分钟 满分:100分
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.[2025年1月合肥期末]如果x?y=1?2,那么下列各式不成立的是( )
A.= B.= C.= D.=
2.折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱.如图是一个三层折叠花架,已知AB∥CD∥EF,若AC=30 cm,CE=50 cm,BD=45 cm,则BF的长为( )
A.60 cm B.65 cm C.75 cm D.120 cm
3.[2024·滁州期中]已知△ABC∽△DEF,AM和DN分别是△ABC和△DEF的角平分线,若S△ABC=16,S△DEF=9,则AM?DN的值为( )
A.4?3 B.3?4 C.16?9 D.9?16
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=3,按下列图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是( )
5.[2025年1月安庆期末]如图,△ABC是一张直角三角形纸片,AC=15 cm,BC=20 cm.若将斜边AB上的高CD分成5等份,然后裁出4张宽度相等的长方形纸条,则这4张纸条的面积和是( )
A.145 cm2 B.120 cm2
C.140 cm2 D.60 cm2
(第5题) (第6题)
6.[2025年1月芜湖期末]如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,点D,E分别在边AC,BC上运动,连接AE,BD交于点F,且始终满足CE=AD,有下列结论:①△ABD∽△CAE;②△BEF∽△BDC;③∠DFE=135°;④BD·BF=AC·BE.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每题5分,共25分)
7.[2025年1月六安期末]如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,请你补充一个条件:________________,使得△ABC∽△ACD.
(第7题) (第8题)
8.如图,身高1.6 m的某学生沿着树影BA由点B向点A走去,当走到点C时,他的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得AB=5 m,CA=1 m,则树的高度为________m.
9.[2025年1月阜阳期末]某校举办了一场文艺汇演活动,汇演舞台的形状为矩形,宽度AB为12 m,如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点,那么主持人从台侧点A沿AB方向走到主持的位置至少需走________m.
10.如图,在 ABCD中,E为AB的中点,F为AD上一点,EF交AC于点G,AF=1 cm,DF=2 cm,AG=1.5 cm,则AC的长为________cm.
11.如图,在正方形ABCD中,AB=4,M为BC的中点,点N在射线AD上,过点N作NE⊥AM于点E,连接MN,请探究下列问题:
(1)=________;
(2)当△MEN与△ABM相似时,AN=________________.
三、解答题(共45分)
12.(10分)[2024·合肥期末]如图,△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,3),B(1,0),C(3,1).
(1)以原点O为位似中心,在y轴左侧画出△A1B1C1,使得△A1B1C1与△ABC的相似比为2:1;
(2)若点P(n,m)在边BC上,则位似变换后,点P的对应点P1的坐标为________.
13.(15分)如图,在△ABC中,射线CD交AB于点D,E是射线CD上一点,且∠AEC=∠ABC,连接BE.
(1)求证:△ACD∽△EBD;
(2)若CD平分∠ACB,求证:AE2=DE·CE.
14.(20分)[2025年1月合肥期末]如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,D是边BC上一点,DE⊥AD,CE⊥AC,DE和CE交于点E.
(1)如果AB=BC,猜想AD和DE之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)在(1)的条件下,如果AB=4,BC=8,∠DAC=∠DEC=∠ACB,求DE的长.
第23章 解直角三角形
时间:40分钟 满分:100分
一、选择题(每题4分,共32分)
1.[2024·安庆期末]sin 30°的倒数是( )
A. B.- C.2 D.
2.[2025年1月合肥期末]在坡度i=1∶2.4的山坡上种树,要求相邻两棵树之间的水平距离是6 m,则斜坡上相邻两棵树之间的坡面距离是( )
A.6 m B.6.5 m
C.13 m D.14.4 m
3.[2025年1月合肥期末]如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,顶点均为格点,若△ABC的顶点均是格点,则sin B的值为( )
A. B. C. D.
(第3题) (第5题)
4.已知在△ABC中,∠C=90°,45°<∠B<60°,设cos B=n,那么n的取值范围是( )
A.C.05.如图,在△ABC中,∠A=30°,AC=2 ,tan B=,则AB的长为( )
A.2+2 B.3+ C.4 D.5
6.[2024·合肥期中]定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”,则底角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.如图,在水平地面上有房屋BC与一棵树DE,在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°,∠DAC=60°,在屋顶C处测得∠DCA=90°,BC=5 m,则DE的长是( )
A.6 m B.6 m C.5 m D.12 m
(第7题) (第8题) (第11题)
8.[2024·六安三模]如图,在△ABC中,AB=AC=15,tan A=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则CD+BD的最小值是( )
A.3 B.6 C.5 D.10
二、填空题(每题4分,共16分)
9.若锐角α满足sin(α+10°)=,则α的度数为________.
10.[2025年1月合肥期末]在△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B的值为________.
11.[2025年1月滁州期末改编]如图,小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上,又从A处向正东方向前进200 m到达凉亭B处,测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上,则凉亭B与湖心岛C之间的距离为____________.
12.[2024·合肥三模]如图,在矩形纸片ABCD中,点E在AB上,将矩形纸片ABCD沿着CE折叠,使得点B的对应点落在边AD上的点F处,G为CD的中点,连接BG交CE,CF于点M,N.
(1)若AB=6,AE=2,则∠AFE的度数为________;
(2)若BM=BE,则sin∠AFE=________.
三、解答题(共52分)
13.(12分)[2025年1月合肥期末]计算:
sin 60° tan 30°-cos 30°+sin245°.
14.(18分)[2025·合肥月考]如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在边AC,AB上,BD平分∠ABC,DE⊥AB,AE=8,sin A=.
(1)求CD的长;
(2)求tan∠DBC的值.
15.(22分)[2025年1月合肥期末]为建设美好公园社区,增强民众生活幸福感,如图①,某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷,便于社区居民休憩.在如图②的侧面示意图中,遮阳篷靠墙端离地高度记为BC,遮阳篷AB长为5 m,与水平面的夹角为16°.
(1)求点A到墙面BC的距离;
(2)当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时,量得影长CD为1.8 m,求遮阳篷靠墙端离地高度BC的长.(结果精确到0.1 m;参考数据:sin 16°≈0.28,cos 16°≈0.96,tan 16°≈0.29)
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期末大单元复习答案
第21章 二次函数与反比例函数
一、1.C 2.B 3.D 4.A 5.C 6.A
二、7.1三、11.解:(1)将点A(-1,0)、B(3,0)的坐标代入y=x2-bx+c,得解得
所以抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3.
(2)(-2,5)或(4,5)
点拨:因为A(-1,0),B(3,0),所以AB=4,
设点P(x,y),则S△PAB=AB·=2|y|=10,
所以=5,
当y=5时,x2-2x-3=5,解得x1=-2,x2=4,
此时P(-2,5)或(4,5);
当y=-5时,x2-2x-3=-5,此时方程无解.
综上所述,点P的坐标为(-2,5)或(4,5).
12.解:(1)因为点A(-2,4)在反比例函数y=的图象上,
所以m=-2×4=-8,即反比例函数的表达式为y=-,
又因为点B(n,-2)在反比例函数y=-的图象上,所以-2=-,解得n=4,所以点B的坐标为(4,-2),
把点A(-2,4)、B(4,-2)的坐标代入y=kx+b,
得解得
所以一次函数的表达式为y=-x+2.
(2)-24.
(3)y=2x+8
点拨:因为直线l:y=ax+c(a≠0)经过点A(-2,4),
所以4=-2a+c,即c=2a+4,
所以直线l的表达式为y=ax+2a+4,
令ax+2a+4=-,即ax2+(2a+4)x+8=0.
因为直线l与反比例函数y=的图象仅有一个公共点,
所以Δ=(2a+4)2-4a×8=4a2-16a+16=4(a-2)2=0.
所以a=2,所以直线l的表达式为y=2x+8.
13.解:(1)由图象信息可设y1=a(x-6)2+1,将(3,4)代入,
得a(3-6)2+1=4,解得a=,所以y1=(x-6)2+1.
设y2=kx+b,将(3,4),(6,2)代入,
得解得所以y2=-x+6.
(2)设每千克蔬菜利润为W元,
则W=y2-y1=-x+6-
=-x2+x-7=-(x-5)2+,
因为-<0,所以当x=5时,W取得最大值,为,
即5月份销售这种蔬菜的收益最大.
(3)设补贴后每千克利润为y元,则y=y2-y1+4=-(x-5)2+.
令y=0,即-(x-5)2+=0,解得x1=1,x2=9,
因为-<0,所以当1≤x≤9时,y≥0,
所以一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损.
第22章 相似形
一、1.D 2.D 3.A 4.D 5.B 6.D
二、7.∠B=∠ACD(答案不唯一) 8.8 9.(18-6 )
10.7.5 11.(1) (2)2或5
三、12.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)(-2n,-2m)
13.证明:(1)∵∠AEC=∠ABC,∠ADE=∠BDC,
∴△ADE∽△CDB,∴AD∶CD=DE∶BD,
∴AD∶DE=CD∶BD.
又∵∠ADC=∠EDB,∴△ACD∽△EBD.
(2)由(1)知△ADE∽△CDB,∴∠EAB=∠DCB,
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,
∴∠EAD=∠ACE.
又∵∠AED=∠CEA,∴△AED∽△CEA,
∴AE∶CE=ED∶AE,∴AE2=DE·CE.
14.解:(1)AD=DE.
证明:如图,作DF∥AC,交AB于点F,
∵DF∥AC,∴=.
∵AB=BC,∴AF=DC.
∵DE⊥AD,CE⊥AC,
∴∠ADE=∠ACE=90°.
∵∠B=90°,∴∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=90°-∠ADB=∠BAD.
∵DF∥AC,∴∠FDB=∠ACB,
∴∠AFD=∠B+∠FDB=90°+∠ACB=∠DCE,
∴△AFD∽△DCE,
∴==,即AD=DE.
(2)∵∠DAC=∠ACB,∴DA=DC,
设DA=DC=x,则BD=8-x.
在Rt△BDA中,由勾股定理得(8-x)2+42=x2,
解得x=5,∴AD=5,
∴DE=2AD=2×5=10.
第23章 解直角三角形
一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.A 7.C 8.B
二、9.50° 10. 11.(100 +100)m
12.(1)30° (2)-1
三、13.解:原式=×-×+=-+=-.
14.解:(1)∵DE⊥AB,∴∠AED=90°.
在Rt△ADE中,sin A==,
∴可设DE=3x,则AD=5x.
由勾股定理可得DE2+AE2=AD2,
即(3x)2+82=(5x)2,解得x=-2(舍去)或x=2,
∴DE=6.
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE=6.
(2)∵DE⊥AB,∠C=90°,
∴∠C=∠BED=90°.
又∵CD=DE,BD=BD,
∴Rt△BCD≌Rt△BED,∴BC=BE.
设BC=BE=y,
在Rt△ABC中,sin A====,
解得y=12,即BC=12,
在Rt△BCD中,tan∠DBC===.
15.解:(1)如图,过点A作AF⊥BC,垂足为F,
在Rt△ABF中,AB=5 m,
∴AF=AB·cos 16°≈5×0.96=4.8(m),
∴点A到墙面BC的距离约为4.8 m.
(2)如图,过点A作AG⊥CE,垂足为G,则∠AGD=90°.
由题意得AG=CF,CG=AF≈4.8 m,
∵CD=1.8 m,
∴DG=CG-CD≈4.8-1.8=3(m).
∵∠ADG=45°,
∴∠DAG=∠ADG=45°,
∴AG=DG≈3 m,
∴CF=AG≈3 m.
又∵在Rt△ABF中,
BF=AB·sin 16°≈5×0.28=1.4(m),
∴BC=BF+CF≈1.4+3=4.4(m).
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