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2024-2025 学年安徽省阜南实验中学高一下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量 = (4,2)， = (6, )，且 // ，则 等于( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
2. 53° 23° 53° 23°等于( )
A. 1 B. 32 2 C.
1 D. 32 2
3.已知向量 = ( 1,2)， = ( , 3)，若 + 与 垂直，则 =( )
A. 13 B. 9 C. 11 D. 32
4.已知 = 3, = 2 3, = 3，则 与 的夹角是( )
A. 150 B. 120 C. 60 D. 30
5.为了得到函数 = sin2 的图象，只要把 = sin 2 + π4 的图象上所有的点( )
A. π π向右平移8个单位长度 B.向左平移8个单位长度
C. π π向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度
6.如图所示，在正方形 中， 为 的中点， 为 的中点，则 =( )
A. 3 4
+ 1 B. 1 + 3 C. 1 4 4 4 2 + D.
3 4
+ 1 2
7.已知向量 , 满足 = 2, = 3，且 与 π的夹角为 6，则 + 3 =( )
A. 6 B. 10 C. 15 D. 21
8.已知 (1,2)， (3,4)， ( 2,2)， ( 3,5)，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为( )
A. 2 , 6 B. 2 , 6 C. 25 5 5 5 5 ,
6 2 6
5 D. 5 , 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知 cos = 35 , ∈
π
2 , 0 ，则( )
A. sin(π + ) = 45 B. tan(π ) =
4
3
C. cos π 4 3π2 + = 5 D. sin 2 + =
3
5
10.已知点 (0,2)、 (2,0)、 (1, )，其中 ∈ ，则( )
A.若 、 、 三点共线，则 = 1 B.若 ⊥ ，则 = 3
C.若 = ，则 = 2 7 D.当 = 2 时， , = π4
11.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，其中 = 2 3，且 2 + 2 12 = ，则下列说法正确的
是( )
A. = π3
B. 3 3面积的最大值为 2
C.若 为边 的中点，则 的最大值为 3
D.若 为锐角三角形，则其周长的取值范围为 6 + 2 3, 6 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 sin = 35，则 cos2 = ．
13.已知向量 , 满足 = = + = 1，则 , 的夹角为 ．
14.在 中， = 5, = 6, = 7，则 的面积是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
化简下列各式
(1)cos 60 sin 210
sin 5π cos π cos 8π
(2) 2
sin 3π2 sin 4π
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,2)， = (3, 2)．
(1)求 ；
(2)已知 = 10，且 2 + ⊥ ，求向量 与向量 的夹角．
17.(本小题 15 分)
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已知函数 ( ) = 2sin + 2π3 1．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2) ( ) π π求 在 4 , 6 上的值域．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， sin + sin ( ) = sin sin ， = 2 7，且
的面积为 6 3．
(1)求 ；
(2)求 的周长．
19.(本小题 17 分)
已知向量 = (1, cos ), = (sin , 3), ( > 0)，函数 ( ) = ，且 ( ) π图象上一个最高点为 ( 12 , 2)
( 7π与 最近的一个最低点的坐标为 12 , 2)．
(Ⅰ)求函数 ( )的解析式；
(Ⅱ)设 为常数，判断方程 ( ) = π在区间[0, 2 ]上的解的个数；
(Ⅲ) π在锐角 中，若 cos( 3 ) = 1，求 ( )的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 725/0.28
13.2π3
14.6 6
15.【详解】(1)cos 60 sin 210 = cos60 + sin210 = 12 sin30
= 1 12 2 = 0
sin 5π cos π
(2) 2
cos 8π sin sin cos
3π = cos sin = sin sin 2 sin 4π
16.【详解】(1)由题知， = (1,2)， = (3, 2)，
所以 = ( 2,4)，
所以 = 4+ 16 = 2 5．
(2) = 5 2 + = 2 + 2由题知， ， = 0，
设向量 与向量 的夹角为 ，
所以 2 cos + 2 = 0，即 2 × 5 × 10 × cos + 10 = 0，
2
解得 cos = 2 ，因为 ∈ 0, π ，所以 =
3π
4
3π
所以向量 与向量 的夹角为 4 ．
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17.【详解】(1)令 2 π π2 ≤ +
2π π
3 ≤ 2 π + 2 ( ∈ )，
7π π
解得 2 π 6 ≤ ≤ 2 π 6 ( ∈ )，
则 ( ) 7π π的单调递增区间为 2 π 6 , 2 π 6 ( ∈ )．
(2) π因为 4 ≤ ≤
π 5π 2π 5π
6，所以12 ≤ + 3 ≤ 6 ．
当 + 2π3 =
5π π
6，即 = 6时，
( ) π π 2π取得最小值 6 = 2sin 6 + 3 1 = 0；
当 + 2π = π = π3 2，即 6时，
( ) π π 2π取得最大值 6 = 2sin 6 + 3 1 = 1．
故 ( )在 π4 ,
π
6 上的值域为[0,1]．
18.【详解】(1) ∵ sin + sin ( ) = sin sin ，∴由正弦定理可得：( + )( ) = ( )，
即： 2 + 2 2 = ，由余弦定理得 cos = 12 , ∵ ∈ (0, ) ∴ =

3．
(2) ∵ = = 13，所以 2 sin

3 = 6 3，∴ = 24，又∵
2 + 2 2 = ，且 = 2 7 ∴ ( + )2 = 3 +
2 = 100，∴ + = 10，∴ 的周长为 10 + 2 7
19.试题解析：(Ⅰ) ( ) = = sin + 3cos = 2( 12 sin +
3
2 cos ) = 2sin( +

3 ).
∵ ( ) 7 图象上一个最高点为 ( 12 , 2)，与 最近的一个最低点的坐标为( 12 , 2)，
∴ = 7 2 12 12 = 2，∴ = ，于是 =
2
= 2. 所以 ( ) = 2sin(2 +

3 ).
(Ⅱ) 4 当 ∈ [0, 2 ]时，3 ≤ 2 + 3 ≤ 3，由 ( ) = 2sin(2 + 3 )图象可知：
∈ [ 3, 2) ( ) = [0, 当 时， 在区间 2 ]上有二解；
当 ∈ [ 3, 3)或 = 2 时， ( ) = 在区间[0, 2 ]上有一解；
当 < 3 或 > 2 时， ( ) = 在区间[0, 2 ]上无解.
(Ⅲ)在锐角 中，0 < < 2， 6 < 3 < 3．
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又 cos( 第3 ) = 1，故 3 = 0，. 在锐角 中，
< , + > , ∴ < < . 2 < 2 + 4 3 32 2 6 2 3 3 < 3，∴ sin(2 + 3 ) ∈ ( 2 , 2 )，
∴ ( ) = 2sin(2 + 3 ) ∈ ( 3, 3). 即的取值范围是( 3, 3).
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