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2024-2025 学年河南省商丘市九师联盟高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量 1的分布列为 ( = ) = 3 ( = 1,2,3)，则 ( ≥ 2) =( )
A. 16 B.
1 2
3 C. 3 D. 1
2.某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各 2 名，从这 4 名学生中随机选 2 名组织校文艺汇演，要
求这 2 名学生来自不同年级，则不同的选择方法共有( )
A. 4 种 B. 6 种 C. 8 种 D. 12 种
3.函数 ( ) = 5ln 的单调递增区间为( )
A. ( ∞,5) B. (5, + ∞) C. (0,5) D. (0, + ∞)
4 2.若某地未来连续 3 天每天下雨的概率均为3，则这 3 天中只有 1 天下雨的概率为( )
A. 29 B.
4 2 4
9 C. 27 D. 27
5.篮球中三分球的投篮位置为三分线以外，若从 3 分投篮区域投篮命中计 3 分，没有命中得 0 分.已知某篮
球运动员三分球命中的概率为 0.4，设其投三分球一次的得分为 ，则 ( ) =( )
A. 1.2 B. 2.4 C. 2.16 D. 2.52
6.由 0，1，2，3，4，5 所组成的无重复数字的 4 位数中偶数的个数为( )
A. 360 B. 280 C. 156 D. 150
7.随着大数据时代的到来，越来越多的网络平台开始使用推荐系统来给用户提供更加个性化的服务.某公司
25600
在研发平台软件的推荐系统时发现，当收集的数据量为 ( ≥ 2)万条时，平台软件收入为 +1 元.已知每收
集 1 万条数据，公司需要花费成本 100 元，当该软件获得最高收益时，收集的数据量应为( )
A. 17 万条 B. 16 万条 C. 15 万条 D. 14 万条
8.已知定义域为 的函数 ( )满足 (1) = 1 ，且 ( ) + ′( ) < 0，则不等式 ( + 1) >
1
+1的解集是( )
A. (2, + ∞) B. ( ∞,2) C. (0, + ∞) D. ( ∞,0)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设离散型随机变量 的分布列为
2 3 4
0.3 0.4
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若 = 3 2，则( )
A. ( ) = 3 B. ( ) = 0.8 C. ( ) = 9 D. ( ) = 5.4
10
10 1.下列关于 2 的二项展开式，说法正确的是( )
A.展开式共有 10 项 B.展开式的二项式系数之和为 1024
C.展开式的常数项为 8064 D.展开式的第 6 项的二项式系数最大
11.已知 ( ) = 3 3 1，则( )
A.曲线 = ( )关于点(0, 1)对称
B. 1 是函数 ( )的极大值点
C.当 ∈ (0,1)时， ( ) < 2
D. 3不等式 (2 1) > 1 的解集为 2 , + ∞
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.A25 + C36的值为 ．
13.已知随机变量 服从正态分布 7, 2 ，且 ( < 5) = 0.25，则 ( ≤ 9) = ．
14.若(2 1)2025 = + + 2 3 20250 1 2 + 3 + + 2025 ( ∈ )，则 0 + 1 + 2 + + 2025 的
值被 4 除的余数为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
高二(3)班的 3 个男生，2 个女生(含学生甲、乙)在寒假期间参加社会实践活动. (用数字作答下列问题)
(1)社会实践活动有 5 项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方
案的种数；
(2)活动后 5 人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数．
16.(本小题 15 分)
某校高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，已知测试成绩满分为 100 分，规定测试成绩在区间
[85,100]内为“体质优秀”，在[75,85)内为“体质良好”，在[60,75)内为“体质合格”，在[0,60)内为“体
质不合格”.现从这个年级中随机抽取 6 名学生，测试成绩如下：
学生编号1 2 3 4 5 6
测试成绩608580789091
(1)若该校高二年级有 600 名学生，将样本频率视为概率，试求在高二年级学生中任意抽取 1 人，此人是“体
质优秀”学生的概率．
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(2)若从这 6 名学生中随机抽取 3 人，记 为抽取的 3 人中“体质良好”的学生人数，求 的分布列与数学
期望．
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 3 + 2 + 6 4 的图象在点 2, 2 处的切线与直线 12 + 2 = 0 平行．
(1)求 的值；
(2)求函数 在区间 4,2 上的极值与最值．
18.(本小题 17 分)
“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调
查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比 35%，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过 10 元的概
率分别为 0.5,0.7．
(1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取 1 名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过 10 元的
概率；
(2)若 1 名消费者购买了单价不超过 10 元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率(结果用分数表示)
19.(本小题 17 分)
若对 1, 2 ∈ 且 1 < 2，函数 ， 满足： 1 2 ≥ 1 2 > 0 ，则称函数
是函数 在区间 上的 级控制函数．
(1)判断函数 = 2 是否是函数 = 2在区间 1,1 上的 1 级控制函数，并说明理由；
(2)若函数 = 是函数 = 在区间 0,3 上的 级控制函数，求实数 的取值范围；
(3)若函数 是函数 = ln 在区间 0, + ∞ 上的 级控制函数，且函数 在区间 0, + ∞ 上存在两
个零点 , ，求证 + > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.40
13.0.75
14.3
15.解：(1)5 个人做 5 项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案
总数为 55 = 120 种；
(2)方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
①甲在排头，其他 4 人随机排，则有 44 = 24 种排法；
②甲不在排头也不在中间，甲有 3 个位置可以选择，乙不在排头，有 3 个位置可以选择，其他 3 人随机排，
则有 1 13 3 33 = 54 种排法；
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有 24 + 54 = 78 种；
方法二：5 人随机排有 55 = 120 种排法，
其中甲在中间，其他 4 人随机排，有 44 = 24 种排法，
乙在排头，其他 4 人随机排，有 44 = 24 种排法，
甲在中间，乙在排头，其他 3 人随机排，有 33 = 6 种排法．
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有 120 24 24 + 6 = 78 种.
16 3 1【. 详解】(1)由抽取的 6 名学生中，测试成绩“体质优秀”的共有 3 人，此时“体质优秀”的频率为6 = 2，
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1
将样本频率视为概率，则在高二年级学生中任意抽取 1 人，此人是“体质优秀”学生的概率为2；
(2)从这 6 名学生中随机抽取 3 人，记 为抽取的 3 人中“体质良好”的学生人数，
因为这 6 名学生中“体质良好”的学生人数为 2 人，则 的所有可能取值为 0,1,2，
3
∴ ( = 0) = C43 =
4 1
C6 20
= 5，
2 1
( = 1) = C4C23 =
12
20 =
3
C6 5
，
1 2
( = 2) = C4C2 4 1
C3
=
6 20
= 5，
即 的分布列为
0 1 2
1 3 1
5 5 5
∴ ( ) = 0 × 1+ 1 × 35 5 + 2 ×
1
5 =
5
5 = 1．
17.解：(1)由 = 3 + 2 + 6 4，得 ′( ) = 3 2 + 2 + 6，
所以 ′ 2 = 12 + 4 + 6 = 4 6．
因为函数 的图象在点 2, 2 处的切线与直线 12 + 2 = 0 平行，
所以 ′ 2 = 12，即 4 6 = 12，解得 = 32．
(2)由(1)，得 ( ) = 3 3 2 + 6 4, ′2 ( ) = 3
2 3 + 6，
令 ′( ) = 0，解得 = 2，或 = 1 ，
当 变化时， ′( ), ( )的变化情况如下表所示：
4, 2 2 2,1 1 1,2
′ 0 + 0
1单调递减 14 单调递增 单调递减2
因此，当 = 2 时， 1有极小值，且极小值为 14，当 = 1 时， 有极大值，且极大值为 2 ，
又 4 = 12, 2 = 6，所以函数 在区间 4,2 上的最大值为 12，最小值为 14．
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18.解：(1)设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过 10 元为事件 ，
从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取 1 名消费者为男性为事件 ，
= 0.35, = 0.65, | = 0.5, | = 0.7，
所以 = | + | = 0.35 × 0.5 + 0.65 × 0.7 = 0.63；
(2)设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取 1 名消费者为女性为事件 ，
= 0.65, | = 0.7，
|
| = = 0.65×0.7 = 455 = 91则 0.63 630 126．
19.解：(1)函数 = 2 是函数 = 2在区间 1,1 上的 1 级控制数，
理由如下：因为 1 < 2，且 1, 2 ∈ 1,1 ，所以 1 + 2 < 2, 1 2 ≠ 0，
所以 2| 1 2| > | 1 2| | 1 + 2| = | 21 22|，即| ( 1) ( 2)| > | ( 1) ( 2)|成立，
所以函数 = 2 是函数 = 2在区间 1,1 上的 1 级控制函数．
(2)由函数 = 是函数 = 在区间 0,3 上的 级控制函数，
得 1 2 ≥ 1 2 ，又因为 1 < 2，由指数函数性质得 在 0,3 上单调递增，
所以 2 1 ≥ 2 1，即 2 2 ≥ 1 1恒成立，
令 = ，所以当 1 < 2，且 1, 2 ∈ 0,3 时， 2 ≥ 1 恒成立，
故 ′ ≥ 0 在 0,3 上恒成立．因为 ′ = ，所以 ≥ 0 在 0,3 上恒成立，
则 ≤ 恒成立，即 ≤ min，由指数函数性质 在 0,3 上单调递增，
故 min = 0 = 1，则 ≤ 1，由题意得 > 0，所以 0 < ≤ 1，
综上，可以得到实数 的取值范围是 0,1 ．
(3)因为函数 在区间 0, + ∞ 上存在两个零点 , ，
所以我们不妨设 < ，且 = = 0，
因为函数 是函数 = ln 在区间 0, + ∞ 上的 级控制函数，
所以 ≥ > 0 ，
即 0 | ( ) ( )|( > 0),则 ( ) = ( )，
可以得到 ln = ln , ln ln = , ln ln = 1，
ln ln
要证 + > 2，即证 + > 2，
+1
即证
1
ln > 2，即证 ln 2 > 0，
1 +1
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令 = > 1
1
，构造 = ln 2 +1，
1 4 1 2
所以 ′ = +1 2 = +1 2 > 0，
所以 在 1, + ∞ 上单调递增，
> 1 = 0 = > 1 ln 2 1所以 ，即 时， +1 > 0，

1
即 ln 2

> 0 成立，所以 + > 2 得证．
+1
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