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2024-2025 学年云南省楚雄彝族自治州高二下学期 5 月期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到 ， 两所大学分别有 7，8 个自己感兴趣的专业，若这名
同学只能从这些专业中选择 1 个，则他不同的选择种数为( )
A. 56 B. 15 C. 28 D. 30
2.已知集合 = | 2 6 < 0 ， = { 2, 1,0,1,3,5}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2,3} B. { 2, 1,0,1,3} C. { 2, 1,0,1} D. { 1,0,1}
3.过点 4, 3 且与直线 4 + 5 + 13 = 0 垂直的直线 的方程是( )
A. 4 + 5 31 = 0 B. 4 5 1 = 0
C. 5 + 4 32 = 0 D. 5 4 8 = 0
4.有 3 名男生和 3 名女生去影院观影，他们买了同一排相连的 6 个座位，若 3 名女生必须相邻，则不同的
坐法有( )
A. 24 种 B. 48 种 C. 96 种 D. 144 种
5.已知圆 : 2 + 21 6 4 + 4 = 0 与圆 : 2 + 22 = 4 的交点为 , ，则直线 的方程为( )
A. 3 + 2 + 4 = 0 B. 3 + 2 4 = 0 C. 3 + 2 + 2 = 0 D. 3 + 2 2 = 0
6 π 1.已知 cos 2 + = 2，则| |的最小值是( )
A. π B. π C. π D. 5π6 2 4 12
7.已知函数 ( ) = lg 2 + 2 在( ∞,1]上单调递减，则实数 的取值范围为( )
A. [2, + ∞) B. [2,3) C. ( ∞,2] D. (2,3]
8.某校提供了 3 个兴趣小组供学生选择，现有 5 名学生选择参加兴趣小组，若这 5 名学生每人选择一个兴
趣小组且每个兴趣小组都有人选，则这 5 名学生不同的选择方法有( )
A. 270 种 B. 180 种 C. 150 种 D. 90 种
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
29
2
.已知双曲线 : 16 9 = 1，则( )
A.双曲线 的实轴长为 8 B.双曲线 的虚轴长为 3
C.双曲线 5 4的离心率为3 D.双曲线 的渐近线的斜率为± 3
1 1010.下列关于 2 的二项展开式，说法正确的是( )
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A.展开式共有 10 项 B.展开式的二项式系数之和为 1024
C.展开式的常数项为 8064 D.展开式的第 6 项的二项式系数最大
11.将 2个数排成 行 列的一个数阵，如：
1,1 1,2 1,3 … 1,
2,1 2,2 2,3 … 2,
3,1 3,2 3,3 … 3,
… … … … …
,1 ,2 ,3 … , 该数阵第一列的 个数从上到下构成以 为公差的等差数列，每一行的 个数从左到右
构成以 为公比的等比数列(其中 > 0).已知 1,1 = 1， 5,1 = 1,4 + 1，记这 2个数的和为 ，则下列说法正
确的有( )
A. = 2 B. 5,7 = 512
C. = (2 1) × 2 1 , D. = 2(2 1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若( 2)5 = + + 2 + 3 4 50 1 2 3 + 4 + 5 ，则 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ．
13 2 1.曲线 = +2在点(1, (1))处的切线方程为 ．
14.已知函数 ( ) = 3 + 6ln 在定义域内单调递增，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 π中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3， = 7， = 2．
(1)求 sin ；
(2)求 的面积．
16.(本小题 15 分)
已知四棱锥 的底面为直角梯形， // ，∠ = 90 ， ⊥底面 ，且 = = =
2 = 2， 是 的中点．
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(1)证明： //平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知等差数列 满足 3 > 1, 1 + 3 = 10, 1, 2 1, 3成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 =

3 ，求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3 3
的离心率为 2 ，点 1, 2 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知椭圆 的右顶点为 2 7，过 作直线 与椭圆 交于另一点 ，且| | = 7 | |，求直线 的方程．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = 1, = ln + 2 1( 为自然对数的底数， ∈ )，函数 的极值点为 0．
(1)求 的值；
(2)证明：对 ∈ 2, + ∞ , > ；
(3)已知数列 的前 项和 = ln + 1 ∈ ，证明： 1 + 2 + 32 3 + +

< 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.5 9 2 = 0．
14.( ∞,9]
15. 解：(1)由正弦定理，得sin = sin ，
2× 3
所以 sin = sin 2 21 = 7 = 7 ．
(2)由余弦定理， 2 = 2 + 2 2 cos ，
2 π
所以 7 = 22 + 2 2 × 2 × × cos 3，
所以 2 2 3 = 0，解得 = 3 或 = 1(舍)，
1 1 3
所以 = 2 sin = 2 × 2 × 3 × 2 =
3 3
2 ，
故 3 3的面积为 2 ．
16.解：(1)证明：取 的中点为 ，连接 、 ，
因为 、 分别是 、 的中点，
1
所以 // 且 = 2 ，
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又 // 且 = 12 ，
所以 // 且 = ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)因为∠ = 90 ， ⊥底面 ，所以 , , 两两互相垂直，以 为坐标原点，以 , , 分
别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则 (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0), (2,1,0), (0,0,2), (0,1,1)，
则 = 2,1, 2 , = 2,1,0 , = 0,1,1 ，
设平面 的一个法向量为 = , , ，

所以 = 0

,
= 0
2 + = 0
即 + = 0 ，令 = 1，则 = 1, 2,2 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
4 4
则 sin = = 3×3 = ， 9
即直线 与平面 4所成角的正弦值为9．
17.解：(1)因为数列 为等差数列，
则 1 + 3 = 2 2 = 10，即 2 = 5，
又因为 1, 2 1, 3成等比数列，
则 1 3 = 22 1 = 16，
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1 + 3 = 10 = 2 联立方程 1 1
= 8
1 = 16
，解得 或 ,3 3 = 8 3 = 2
> 1 = 2又 3 1，则 = 8，所以公差 = 2 1 = 3，3
故数列 的通项公式 = 2 + 3( 1) = 3 1；
(2) (1) 3 1 1 6 +1 6( +1)+1由 可得： = 3 = 3 = 4 3 1 3 ，
1 13
所以 = 4 7 3 +
13 193 9 + +
6 +1 6( +1)+1 1 6 +7
3 1 3 = 4 7 3 ．
18.解：(1)
3
由题可知 = 2 ，其中
2 = 2 2，
1
所以 = 2 ，
又点 1, 32 在椭圆 上，
1 3 1 3
所以 2 + 4 2 = 1，即 2 + 2 = 1，
解得 2 = 4, 2 = 1，
2
所以椭圆 的方程为 4 +
2 = 1；
2
(2) 由椭圆 的方程为 + 24 = 1，得 (2,0)，
2
所以 = (1 2)2 + 32 0 =
7
2 ，
设 0, 0 ，其中 0 ∈ [ 2,2), 0 ∈ [ 1,1],
因为| | = 2 77 | | = 1，
所以 0 2 2 + 20 = 1，
2
又点 0,

0 在椭圆 : + 24 = 1 上，
2
所以 0 24 + 0 = 1，
( 0 2)2 + 20 = 1
联立方程组 2 ,0
4 +
2
0 = 1
得 3 20 16 0 + 16 = 0，
解得 0 =
4
3或 0 = 4(舍)，
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4 5
当 0 = 3时， 0 =± 3 ，
4 , 5 4 5即 3 3 或 3 , 3 ，
4 5
所以当 的坐标为 3 , 3 时，
直线 的方程为 5 + 2 2 5 = 0，
4 5
当 的坐标为 3 , 3 时，
直线 的方程为 5 2 2 5 = 0，
综上，直线 的方程为 5 + 2 2 5 = 0 或 5 2 2 5 = 0．
19.解：(1)由 = 1，得 ′ = ，
因为函数 的极值点为 0，所以 ′ 0 = 0 = 0，解得 = 1 ，
若 = 1, ′ = 1，当 < 0 时， ′( ) < 0, ( )单调递减；当 > 0 时， ′( ) > 0, ( )单调递增．所
以 0 是函数 的极值点，
综上所述， = 1．
(2)令 = = 1 ln + 2 1 = ln + 2 , ∈ 2, + ∞ ，则 ′ =
1 +2 ，
1 1
因为函数 = ， = ′ 1 ′ +2在 ∈ 2, + ∞ 上单调递增， ( 1) = 1 = 1 < 0, (0) =
0 12 =
1
2 > 0，
所以 0 ∈ 1,0 ，使得 ′ 0 = 0，
当 2 < < 0时， ′ < 0, 单调递减；
当 > 0时， ′ > 0, 单调递增．
所以 的极小值为 0 ，也是 的最小值，
1
由 ′ 0 = 0，得 0 = 0+2
, ln 0 + 2 = 0，且 0 ∈ 1,0 ，
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所以 = 0 0 ln 0 + 2 =
1
+2 +
1
0 = +2 + 0 + 2 2 ≥ 2
1
+2 0 + 2 2 = 0，0 0 0
当且仅当 0 = 1 时等号成立，但 0 ∈ 1,0 ，所以等号不成立，即 0 > 0 ，
所以 ( ) ( 0) > 0，即 > ．
(3) +1证明：当 ≥ 2 时， = 1 = ln + 1 ln = ln ，
当 = 1 时， 1 = 1 = ln2，满足上式，
所以 = ln
+1
∈
，
由(2)知对 ∈ 2, + ∞ , > ，即 > ln + 2 ，
1
取 = 1 + 1 1 +1 , ∈ ，则 ln 1 + + 2 <
1+
，所以 ln <
+1
，即

< +1 ，
所以 + 2 + 3 + +
+1
< 1 + 1 + 2 + + +1 = 1 1 2 3 1 1 =

1 < 1．
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