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2024-2025学年辽宁省多校联盟高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则的元素个数是( )
A. B. C. D.
3.已知扇形的周长为，面积为，则扇形的圆心角为( )
A. B. C. D.
4.若角，，则符合条件的角的最大负角为( )
A. B. C. D.
5.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是奇函数 B. 的图象关于直线对称
C. D. 在上单调递减
7.三角板是一种用于几何绘图和测量的工具如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中，，，，若，则( )
A. B. C. D.
8.某企业为研发新产品，投入研发的经费逐月递增已知该企业年月投入该新产品的研发经费为万元，之后每个月的研发经费在上一个月的研发经费的基础上增加，记年月为第个月，第个月该企业投入该新产品的研发经费不低于万元，则的最小值是 参考数据：，
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列表达式的最小值为的是( )
A. B. C. D.
10.某人从装有个白球和个红球的袋中随机取出个球，事件表示取出的个球都是白球，事件表示取出的个球都是红球，事件表示取出的个球中至少有个白球，事件表示取出的个球中至少有个红球，则下列事件是对立事件的是( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
11.已知关于的方程在上恰有个实数根，则的值可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.小张连续天去快递店拿快递的个数依次为，，，，，，，，若从这组数据中随机删除个数后，得到一组新数据，则这组新数据的中位数与原数据的中位数相等的概率为__________．
14.已知不共线的三个平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段为了解中国大模型用户的年龄分布，公司调查了名中国大模型用户，统计他们的年龄都在内，按照，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值；
估计这名中国大模型用户年龄的平均数各组数据以该组区间的中点值作代表；
求这名中国大模型用户的年龄在内的人数．
16.本小题分
已知向量满足．
设，求；
若，求实数的值．
17.本小题分
已知．
求的值．
已知为第四象限角．
求的值；
求的值．
18.本小题分
在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
已知，，，．
用向量，表示向量，；
求的值．
若，求的值．
19.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求．
若将的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，证明：．
若函数常数在区间上是单调函数，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由题意可得，
解得．
，
由题意可得这名中国大模型用户年龄的平均数的估计值为岁；
由频率分布直方图可知中国大模型用户的年龄在内的频率为，
则这名中国大模型用户的年龄在内的人数为．

16.因为，
所以，又，，
所以，
解得，
所以，
所以．
因为，
所以，
因为，所以，
解得．

17.由，
得，解得或．
由题意得，且．
由得
．

18.解：因为是线段的中点，所以，
因为，则，
因为，，，所以，
所以．
设，则，所以，又，所以，
由知，所以，
因为三点共线，可设，
所以，所以，
又，所以，解得
所以．

19.解：由图可知函数的最小正周期为，又因为，
则，再将代入可得，
结合图象可知是向上零点，故，
因为，所以；
同理函数的最小正周期为，又因为，
则，再将代入可得，
结合图象可知是向上零点，故，
因为，所以；
综上：，，，．
由知，向左平移个单位长度可得函数，
由于图象关于原点对称，则，
解得，当时，取最小值，
故，即得证．
由知，
则
，
由于且在区间上为单调函数，
所以，即，
当在区间上为单调递增函数时，，
则有，解得，此时无解；
当在区间上为单调递减函数时，
则有，解得，，
只有满足条件，则，
所以的最大值为．

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