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2024-2025 学年浙江省宁波市镇海中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 i
2025
.若复数 满足 2 +1 = 2 i，则 的实部与虚部之和为( )
A. 2 15 5 i B.
2 1 3 1
5 5 i C. 5 D. 5
2.设 , , 是三个不同平面，且 ∩ = ， ∩ = ，则“ // ”是“ // ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若斜二测画法的直观图是边长为 2 的正三角形，则原图形的面积为( )
A. 64 B. 3 C. 2 3 D. 2 6
4.已知 1, 2, , 的方差为 2，则 3 1 + 1, 3 2 + 1, , 3 + 1 的方差为( )
A. 12 B. 18 C. 19 D. 36
5.已知圆锥的高为 2，底面半径为 2 2，过圆锥任意两条母线所作的截面中，截面面积的最大值为( )
A. 4 B. 6 C. 8 23 D. 4 2
6.如图，棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 为棱 1 1中点， 为棱 1中点，点 在侧面 1 1 上
运动(含边界)，若 //平面 1 ，则点 的轨迹长度为( )
A. 2 B. 22 C. 2 D. 1
7.如图，已知 满足 ⊥ , ∠ = 30°， 为 中点， 为线段 上的动点，记∠ = .将四边形
沿着 翻折成几何体 1 1 ，在翻折过程中，总存在某一个位置使得 1 ⊥ ，则 的取值范围
为( )
A. π , π π π6 3 B. 3 , 2 C.
π
3 ,
2π π 2π
3 D. 2 , 3
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8.体积为 1 的正四棱锥 的侧棱 , , 上分别有三点 , , ，且 = 2 , = , = 3 ，
则三棱锥 的体积为( )
A. 110 B.
1 C. 18 6 D.
1
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 1, 2是复数，则下列结论正确的是( )
A.若 1 2 > 0，则 1 > 2 B.若 1 2 = 0，则 1 = 0 或 2 = 0
C. 2 2 2 2 2 21 + 2 = 1 + 2 D. 1 + 2 + 1 2 = 2 1 + 2 2
10.亚运会期间，宁波市要选拔射击运动员参加比赛，已知射击标靶的环数是 0 到 10 环，若要求连续 10
次射击均不小于 7 环．下面是四位选手各自连续 10 次的射击情况的数据特征，其中肯定能通过选拔的是( )
A.甲选手：平均数为 8，众数为 7 B.乙选手：平均数为 9，方差为 1
C.丙选手：中位数为 7，众数为 8 D.丁选手：中位数为 9，极差为 2
11.如图，正四面体 中， 是线段 上的动点， 是线段 上的动点，记 与平面 的所成角为
， 与 的夹角为 ，平面 与平面 的夹角为 ，则下列说法正确的是( )
A. ≤ B. ≤ C. ≤ D. ≥
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.有一组数据：5,7,2,4,11,9 则这组数据的第 40 百分位数为 ．
13 9 3.已知正四棱台的高为4，上、下底面边长分别为 2 和 2 3，若在它的内部有一个球，那么该球表面积的
最大值为 ．
14.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1上运动，点 在
线段 1 1上运动，点 在底面 运动(含边界)，则 2 + 的最小值为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

如图，已知圆台 1的轴截面为等腰梯形 1 1，满足 = 4, 1 1 = 2，点 为 (不包括端点)上一点，
为线段 的中点，
(1)证明： 1 //平面 1 ；
(2) 7 3若圆台 1的体积为 3 π，求圆台 1的表面积．
16.(本小题 15 分)
宁波市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合理的月用电量标准 (千
瓦时)：月用电量不超过 的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用电情况，通过抽样，
获得了 100 位居民每人的月均用电量(千瓦时)，将数据按照[0,100), 100, 200 , , 600, 700 分成 7 组，
制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中 的值以及所有样本的平均用电量；
(2)宁波市有 900 万居民，估计全市居民中月均用电量不低于 400 千瓦时的人数，并说明理由：
(3)宁波市政府希望使 85％的居民每月的用电量不超过标准 (千瓦时)，估计 的值(保留整数)，并说明理由．
17.(本小题 15 分)

如图，已知四棱锥 的底面为平行四边形，其中 = 2, = = 3, ∠ = 6 , ⊥ , ⊥
，
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(1)证明： ⊥ ；
(2)求直线 与平面 的所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
如图，已知四边形 满足 = 2, = = 2 3, ⊥ , ⊥ ，现将 沿着 翻折得到
形成四棱锥 ，记二面角 的平面角大小为 ．
(1)若 = π2，证明： ⊥ ．
(2) 在线段 上是否存在一点 使得 //平面 ，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由．
(3)三棱锥 的外接球球心为 ，二面角 和 的平面角大小分别为 , ，求tan2
tan2 (记 = sin ，结果用 表示)．
19.(本小题 17 分)
已知 i 2 π为虚数单位，定义 = 1 的解称为 次单位根或单位根，这 个单位根分别为 = cos +
sin 2 π , = 0, 1, 2, , 1 .复数单位根在代数、分析、信号处理和几何学等领域都有广泛的应用．例如
在平面几何中，记 1对应的复数为 1 = cos + sin
2 π
，将 1绕原点 逆时针旋转 得到 2，则
2
2 π 2 π对应的复数为 2 = 1 = cos + + sin + .此外，在数字信号处理中，单位根用于设计滤
波器，以选择或抑制特定频率的示性信号．
(1)方程 2 + + 1 = 0 在复数域上的两根为 1, 2，将 1, 2对应的向量 1,
π
2逆时针旋转2后得到
3, 4，记 3, 4对应的复数为 3, 4，请求出 1, 2, 3, 4(结果用代数形式表示)；
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1, = 3 ∈ Z
(2)已知定义在整数集上的示性函数 ( ) = , = 3 + 1 ∈ Z = cos 2π 2π3 + i sin 3 ，在复平面上的
2, = 3 + 2 ∈ Z
正三角形 顶点 , , 三点分别对应的复数为 , , ，若存在 1, 2, 3 ∈ 0, 1, , 9 使得 1 +
2 + 3 = 0，则称 = 100 1 + 10 2 + 3为正三角形数．若 为正三角形数，求 ( )；
(3)一个圆环上系有 ( ≥ 6)个绳结，且圆环上每个绳结的位置都不相同，现有两种打结方式分别可以得到
, 型绳结，每个绳结等可能地采用两种打结方式．记顺序相邻的 5 个绳结中恰有 1，2，3，4 个 型绳结
的组数分别为 , , , ，证明：3 + 3 是 5 的倍数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.4π
14. 2
15.【详解】(1)
连接 1， ，
因为四边形 1 1为等腰梯形，
所以 // 1 1，
因为 = 4, 1 1 = 2， 为 中点，
所以 1 1 = ，
所以四边形 1 1为平行四边形，
所以 1// 1，
又因为 1 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ，
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又因为 为 的中点，
所以 为三角形 的中位线，
所以 // ，
又因为 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 //平面 1 ，
又因为 平面 1， 1 平面 1， 1 ∩ = ，
所以平面 1//平面 1 ，
又因为 1 平面 1，
所以 1 //平面 1 ．
2
(2)设上底面圆半径为 ′，则 ′ = 1
1 ′
1 = 2 1 1 = 1， = π
′ = π，
1
上底面圆半径为 ，则 = = 2 = 2， = π
2 = 4π，
设圆台高为 ，体积为 ，
= 1 + ′ + ′ = 1则 3 3 π + 4π + π 4π =
7 3
3 π，
解得 = 3，
在截面等腰梯形 1 1中，过 1作 的垂线，垂足为 ，如图，
则 = 3, = 1, = 2 21 1 1 + = 2，
所以圆台母线长 = 2，
所以圆台 的表面积 = + ′ + π + ′1 圆台 = π + 4π + π × (1 + 2) × 2 = 11π．
16.【详解】(1)由频率和为 1 可得(0.0005 + 0.001 × 3 + + 0.002 + 0.003) × 100 = 1 解得 = 0.0015，
样本的平均用电量为：50 × 0.05 + 150 × 0.1 + 250 × 0.1 + 350 × 0.2 + 450 × 0.3 + 550 × 0.15 + 650 ×
0.1 = 395(千瓦)．
(2)由直方图可得用电量不低于 400 千瓦的频率为 0.3 + 0.15 + 0.1 = 0.55，
故全市居民中月均用电量不低于 400 千瓦的人数为 900 × 0.55 = 495 万人．
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(3)由直方图得前 5 组的频率之和为 0.05 + 0.1 × 2 + 0.2 + 0.3 = 0.75，
前 6 组的频率之和为 0.05 + 0.1 × 2 + 0.2 + 0.3 + 0.15 = 0.9，
故第 85 百分位数 在[500,600)中，故 0.75 + ( 500) × 0.0015 = 0.85，
500 = 0.1故 0.0015 ≈ 67，故 ≈ 567(千瓦)．
17.【详解】(1)
因为 = 2, = 3, ∠ = π6，
由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 cos π6 = 4 + 3 6 = 1，
所以 2 + 2 = 2，即∠ = π2，
所以 ⊥ ，又 // ，可得： ⊥ ，
又 ⊥ ， , 为平面 内两条相交直线，
所以 ⊥平面 ，又 在平面 内，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， , 为平面 内两条相交直线，
所以 ⊥平面 ， 在平面 内，
所以 ⊥ ，又 ⊥ ， , 为平面 内两条相交直线，
所以 ⊥平面 ， 在平面 ，
所以 ⊥ ；
(2)由(1) ⊥平面 ， , , 在平面 内，
所以 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，
又 = = 3, = 2, = 1，
所以 = 7, = 2, = 6，
cos∠ = 4+4 6 = 1 15则 2×2×2 4，所以 sin∠ = 4 ，
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1所以 = 2 × 2 × 2 ×
15 = 154 2 ，
1 3
= 2 × 1 × 3 = 2
设 到平面 的距离为 ，
由等体积法： = ，
15 3
可得 2 = 2 × 3，
= 15解得： 5 ，
又 // ， 在平面 内， 在平面 外，
所以 //平面 ，
= 15所以 到平面 的距离为 5 ，
15
105
所以直线 与平面 的所成角的正弦值为 = 5 7 = 35
18. π【详解】(1)若 = 2，则平面 ⊥平面 ，
在平面 内过 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 , ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，故 ⊥平面 ，而 平面 ，故 ⊥ ．
在直角 中， = 2, = 2 3 ⊥ = 2×2 3， ，故 4+12 = 3，
2
而 = =
12
4 = 3，故在直角 中， = 9 + 12 = 21，
所以 2 = 3 + 21 = 24，
而 2 = 2 + 2 = 28 = 2 + 2，故 ⊥ ．
(2)
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存在 1且满足 = 4，使得 //平面 ，证明如下：
取(1)中 ，由(1)可得 = = 1，连接 ，由旋转不变性可得 ⊥ ，
而 ⊥ 且 , 平面 ，故 // ，
而 平面 ， 平面 ，故 //平面 ，
1 1
而 = 4且 = 4，故 // ，同理可得 //平面 ，
而 ∩ = , , 平面 ，故平面 //平面 ，
而 平面 ，故 //平面 ．
(3)由旋转过程中形成四棱锥，故 ∈ 0, π ，
若 ∈ 0, π2 ，取 , , 的中点分别为 , , ，连接 , , , , ，
因为 为三棱锥 的外接球球心，故 ⊥平面 ， ⊥平面 ，
因为 平面 ，故 ⊥ ，而 为中位线，故 // ，
故 ⊥ ，因 ∩ = ， , 平面 ，
故 ⊥平面 ，而 平面 ，故 ⊥ ，
故∠ 为二面角 的平面角，故∠ = ，
π π
同理可证：∠ = ，∠ = π 2 = 2 ，
在直角三角形 中， = tan = 2tan ，同理 = tan = 3tan ，
π
故在直角三角形 中有 cos 2 = = 3，
故 3tan sin = 3即 tan sin = 1，
且 tan π2 =
3
tan = = 2tan ，
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2 2 2
故tan2 tan2 = 1 3cos 4 3 1 1+3 sin2 4sin2 = 4 2 = 4 2 ．
当 = π 2时，此时 , 重合，且 = 0, tan = = 1，
2
满足tan2 tan2 = 1 = 1+3×14×12 ，
当 ∈ π2 , π ，此时∠ =
π
2且 在平面 的下方，
2
同理可得tan2 tan2 = 1+3 4 2 ，
2
综上，tan2 tan2 = 1+3 4 2 ．
19. 1± 3i【详解】(1)对于 2 + + 1 = 0，它的两个根为 2 ，
= 1+ 3i 2π 2π 1 3i不妨设 1 2 = cos 3 + isin 3 , 2 = 2 = cos
4π
3 + isin
4π
3，
从而 3 = cos
2π
3 +
π
2 + isin
2π
3 +
π
2 =
3+i
2 , 4 = cos
4π π
3 + 2 + isin
4π+ π 3 i3 2 = 2 ；
(2)由题意不妨设正 的边长为 3，它的三个顶点分别为 (1,0), 1 , 32 2 ,
1
2 ,
3
2 ，
则 = 1, = , = 2，
若存在 1, 2, 3 ∈ 0, 1, , 9 使得 1 + 2 + 3 = 0，
即若存在 1, 2, 3 ∈ 0, 1, , 9 使得 1 1 + 2 + 23 = 0，
注意到 2 + + 1 = 0，从而有 3 = ( 1) = 2 = 1, 4 = ，
对 1 1 + 2 + 3 2 = 0 两边同时乘以 ，可得 1 + 22 + 3 1 = 0；
对 1 1 + 2 + 23 = 0 两边同时乘以 2，可得 21 + 2 1 + 3 = 0，
观察发现 1 , 2 , 3 具有轮换对称性，从而地位一样，
故 1 = 2 = 3 ，
又因为 1 , 2 , 3 ∈ 1, , 2 ，
所以 = = = 1, , 21 2 3 ，
当 1 = 2 = 3 = 1 时，
设 1 = 3 1, 2 = 3 2, 3 = 3 3, 1, 2, 3 ∈ 0,1, , 9 , 1, 2, 3 ∈ Z，
此时 ( ) = 100 1 + 10 2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 3 1 + 2 + 3 = 1；
当 1 = 2 = 3 = 时，
设 1 = 3 1 + 1, 2 = 3 2 + 1, 3 = 3 3 + 1, 1, 2, 3 ∈ 0,1, , 9 , 1, 2, 3 ∈ Z，
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此时 ( ) = 100 1 + 10 2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 3 1 + 2 + 3 + 1 = 1；
当 21 = 2 = 3 = 时，
设 1 = 3 1 + 2, 2 = 3 2 + 2, 3 = 3 3 + 2, 1, 2, 3 ∈ 0,1, , 9 , 1, 2, 3 ∈ Z，
此时 ( ) = 100 1 + 10 2 + 3 = 1 + 2 + 3 = 3 1 + 2 + 3 + 2 = 1；
综上所述， ( ) = 1；
(3)为了方便起见，记顺序相邻的 5 个绳结中恰有 1，2，3，4 个 型绳结的组数分别为 1, 2, 3, 4，
故只需证明 3 1 + 2 3 3 4是五的倍数，
所以 3 4 4 41 + 2 3 3 4 = =1 (5 2 ) = 5 =1 2 =1 ，
设圆环上总共有 个 型绳结，由于每个 型绳结属于 5 个不同的顺序相邻的 5 个绳结组，
故所有顺序相邻的 5 个绳结组中绳结 的总数为5 =1 = 5 ，其中 5表示顺序相邻的 5 个绳结中全是绳
结 的绳结组的组数，
所以4 =1 = 5 5 ，也就是说
4
=1 是 5 的倍数，
又因为 54 =1 也是 5 的倍数，
从而 3 + 3 = 41 2 3 4 =1 (5 2 ) = 5
4
=1
4
2 =1 是 5 的倍数，命题得证．
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