资源简介

2024-2025 学年河北省唐县第一中学高一下学期 5 月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.复数i 2的共轭复数在复平面内对应的点位( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知| | = 2，| | = 3，则“向量 ， 共线”是“| + | = 5”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
3.已知正方体 1 1 1 1，过点 且以 1为法向量的平面为 ，则 截该正方体所得截面的形状为( )
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
4 1.已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为3 .甲、乙中恰有一个团
1
队攻克该难题的概率为2，则该难题被攻克的概率为( )
A. 712 B.
2 3 5
3 C. 4 D. 6
2 25.双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1、 2.过 2作其中一条渐近线的垂线，垂足为 .已
知| 2| = 2
2
，直线 1的斜率为 4，则双曲线的方程为( )
2 2 2 2A. = 1 B. = 1 C.
2

2 2 2
8 4 4 8 4 2 = 1 D. 2 4 = 1
6.已知点 (5,0)，点 在圆( 1)2 + 2 = 4 上运动，则线段 中点 的轨迹方程是( )
A. 2 + 2 6 + 8 = 0 B. 2 + 2 6 + 5 = 0
C. 2 + 2 + 6 + 8 = 0 D. 2 + 2 + 6 + 5 = 0
7.若 是等差数列， 表示 的前 项和， 3 + 8 > 0, 9 < 0，则 中最小的项是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2 2
8.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)，点 的坐标为(0, )，若 上的任意一点 都满足| | ≥ ，则 的
离心率取值范围是( )
A. (1, 5+12 ] B. [
5+1
2 , + ∞) C. (1, 2] D. [ 2, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是函数 = sin( + )的部分图象，则 sin( + ) =( )
第 1页，共 9页
A. sin( + 3 ) B. sin(

3 2 ) C. cos(2 +
) D. cos( 5 6 6 2 )
10.已知数列{ }满足 + 2 + + 2 1 = 2 1 2 ， 的前 项和为 ，则( )
A. 1 = 2 B.数列{ }是等比数列
C. 1 25 ， 2 ， 3 构成等差数列 D.数列{ }前 100 项和为 +1 51
11.设 为坐标原点，直线 = 3( 1)过抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点，且与 交于 ， 两点， 为
的准线，则( )
A. = 2 B. | | = 83
C.以 为直径的圆与 相切 D. △ 为等腰三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( 1,3)， = ( , 1)，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 ．

13.设数列 满足 1 + 3 2 + 5 3 + + (2 1) = 2 ∈ N .
2
则数列 的前 项和为 ．
14.将数据20，21，22，…排成如图的三角形数阵，(第一行一个2 1，第二行两个2 2， ，最下面一行有
个20， ∈ )则数阵中所有数据的和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
近年来，我国超重和肥胖率呈快速上升趋势，儿童和青少年的肥胖问题尤为突出.超重和肥胖与多种慢性疾
病密切相关，严重威胁公共健康.青少年时期是培养健康饮食和运动习惯的关键阶段，早期干预能够有效预
防肥胖问题.今年“两会”期间，国家卫健委宣布从 2025 年起实施“体重管理年”三年计划，旨在通过系
第 2页，共 9页
统性措施改善青少年健康状况，降低肥胖率.体重指数( ) =体重( )/身高 m 2，青少年的 理想范围
参考值为：男生(15 18 岁)：17.5 23.5；女生(15 18 岁)：17.5 23.0；某城市对 1000 名高中生的体
重指数( )进行了调查， 的分组区间为[14,16)、[16,18)、[18,20)、[20,22)、[22,24)、[24,26)、[26,28)，
调查结果的频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中 的值及高中生 BMI 的平均数及中位数；
(2)在 为[20,22)、[22,24)、[24,26)的三组学生中，用分层抽样的方法抽取 10 名学生，则 在[22,24)
的学生中应抽取多少名？
(3)在(2)条件下，在 为[22,24)和[24,26)的两组学生中任取 2 名学生，求这 2 名学生来自同一组学生的
概率．
16.(本小题 15 分)
在锐角 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 + 2 cos = 2 + cos ．
(1) 求 ；
(2)若 = 2， = 2 ， = 103 ，求 的面积．
17.(本小题 15 分)
在四棱锥 中，底面 是正方形，若 = 2, = = 5, = 3．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
(2)求二面角 的平面角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
第 3页，共 9页
2 2
已知点 ， 分别为椭圆 ： 4 + 3 = 1 的左顶点和右焦点(椭圆的左顶点 ( 2,0)，右焦点 (1,0). )，直线
过点 且交椭圆 于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2．
(1)求椭圆 的离心率；
(2) 1是否存在直线 ，使得 1 + 2 = 4，若存在，求出直线 的方程；不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知数列{ }满足 1 = 1， +1 = 3 + 1．
(Ⅰ) 1证明{ + 2 }是等比数列，并求{ }的通项公式；
(Ⅱ) 1证明： +
1
+ … +
1 < 3．
1 2 2
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3, 13 ∪
1
3 , + ∞
13.2 (2 3) + 3 ∈ N
14.2 +1 2
15.(1)由频率分布直方图面积和为 1 可得(0.01 + 0.025 + 0.1 + 0.125 + + 0.05 + 0.115) × 2 = 1，
解得 = 0.075，
高中生 BMI 的平均数为 15 × 0.02 + 17 × 0.2 + 19 × 0.23 + 21 × 0.25 + 23 × 0.15 + 25 × 0.1 + 27 ×
0.05 = 20.62，
因为前三组的频率之和为 0.02 + 0.2 + 0.23 = 0.45，
所以中位数在[20,22)组，
设中位数为 20 + ，则 0.45 + 0.125 × 2 × 2 = 0.5，解得 = 0.4，
所以中位数为 20 + 0.4 = 20.4．
(2)[20,22)、[22,24)、[24,26)的频率之比为 0.25: 0.15: 0.1 = 5: 3: 2，
共抽 10 名，则[22,24) 10 × 3的学生中应抽取 10 = 3 名.
(3)由(2)可知，[22,24)抽 3 人，设 3 人分别为 1, 2, 3
2
则[24,26)抽取 10 × 10 = 2 人，2 人分别为 1, 2，
设事件 表示抽取的 2 名学生来自同一组学生，
第 5页，共 9页
总情况数有 1, 2 , 1, 3 , 1, 1 , 1, 2 , 2, 3 , 2, 1
2, 2 , 3, 1 , 3, 2 , 1, 2 10 种，
2 名学生来自同一组学生的情况由 1, 2 , 1, 3 , 2, 3 , 1, 2 4 种，
4 2
则 ( ) = 10 = 5．
16.解：(1)由 + 2 cos = 2 + cos 及正弦定理可得 sin + 2sin cos = 2sin + sin cos ，
即 sin( + ) + 2cos sin = 2sin( + ) + cos sin ，
即 sin cos + cos sin + 2cos sin = 2sin cos + 2cos sin + cos sin ，
即 sin cos = 2sin cos ，
因为 为锐角，故 cos > 0，可得 sin = 2sin 1，由正弦定理得 = 2 ，故 = 2．
(2)因为 = 2 ，则 = 2 ，故 3 = 2 + ，
2 2 2 2
所以 9 = 2 + = 4 + + 4 ，
即 4 2 + 2 + 4 cos = 8 2 + 8 2cos = 10，即 4 2 + 4 2cos = 5①，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，即 5 2 4 2cos = 4②，
1 15
联立①②可得 = 1，cos = 4，故 sin = 1 cos
2 = 4 ，
因此， 1 = 2 sin =
2sin = 154 ．
17.解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
∵ = = 5，
∴ ⊥ ，
∵ = 2，
∴ = 1，
∴ = 5 1 = 2， = 22 + 12 = 5，
∴ 2 + 2 = 9 = 2，
∴ ⊥ ，
又∵ ∩ = ， , 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
第 6页，共 9页
∴平面 ⊥平面 ；
(2)由(1)知平面 ⊥平面 ，
又∵ ⊥ ， 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
过 作 ⊥ 于点 ，连接 ，
∩ = , , 平面 ，
∴ ⊥ 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
则∠ 为所求二面角的平面角，
1 1
由 △ = 2 × 2 × 2 = 2 × 5 =
4
5，
∴ = 4+ 16 6 ，5 = 5
4
∴ ∠ = 5 = 26 3，
5
所以二面角 2的平面角的余弦值为3．
18.(1)由椭圆 方程可知， 2 = 4， 2 = 3， 2 = 2 2 = 4 3 = 1，
∴ = 2， = 1，
1
故椭圆 的率心率 = = 2．
(2)如图，
第 7页，共 9页
1
假设存在直线 ，满足 1 + 2 = 4．
当直线 斜率不存在时， 1 + 2 = 0，不合题意，舍去；
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 = ( 1)，
= ( 1)
联立 2 2 ，化简得 3 + 4 2 2 8 2 + 4 2 12 = 0．
4 + 3 = 1
由题意易知Δ > 0 恒成立．
设直线 与椭圆 的两个交点为 1, 1 ， 2, 2 ，
8 2 4 2 12
根据韦达定理得 1 + 2 = 3+4 2， 1 2 = 3+4 2 ，
则 1 + =
1 + 2 = 1 1 + 2 1 2 1 2+ 1+ 2 42 1+2 2+2 1+2 2+2
= 1 2+2 1+ 2 +4
2
2 4 12 8
2
= 3+ 4
2 +3+ 4 2 4 8 2 24+ 8 2 4 3+ 4 2=
4 2 12 2 2+2 8 + 4 4 12+ 16
2 +4 3+ 4 2
3+ 4 2 3+ 4 2
= 1 1 = 4，
∴ = 4，即直线 ： = 4( 1)，化简得 4 4 = 0．
1
综上可知，存在直线 ：4 4 = 0，满足 1 + 2 = 4．
1
19. +1+2 3 +1+
1
证明：(Ⅰ) = 2
1 1 +2 +2
3( +1)
= 2
1
= 3，
+2
∵ + 1 = 31 2 2 ≠ 0，
∴数列{ +
1 } 32 是以首项为2，公比为 3 的等比数列；

∴ +
1
2 =
3
2 × 3
1 = 3 3 12，即 = 2 ；
(Ⅱ) 1 2由(Ⅰ)知 = 3 1，
第 8页，共 9页
当 ≥ 2 时，∵ 3 1 > 3 3 1 1，∴ =
2 2 1
3 1
< 3 3 1 = 3 1，
∴当 = 1 1 3时， = 1 < 成立，1 2
1
≥ 2 1 + 1 + … + 1 < 1 + 1
1 (
当 时， + 1 + … + 1 = 3
)
=
3 (1 1 ) <
3
．
1 2 3 32 3 1 1 1 2 3 23
∴对 ∈ 1 1 1 3+时， + + … + < ．1 2 2
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑