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2024-2025 学年江西省上饶市蓝天教育集团高一下学期期中
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合 = ∣ = 2025° + 180°, ∈ Z 中的最大负角 为( )
A. 2024° B. 224° C. 45° D. 25°
2.已知角 1的顶点与坐标原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边与直线 = 2 位于第三象限的图象重
合,则 sin =( )
A. 2 55 B.
5 2 5 5
5 C. 5 D. 5
3.已知向量 = (2, 3), = ( 4,6),则 3 + 4 =( )
A. (6, 3) B. ( 10, 5) C. ( 10,15) D. ( 1,5)
4.函数 = 3 4cos3 的最大值为( )
A. 4 B. 7 C. 1 D. 15
→ →
5.已知向量 = (1,2), = ( , 4),且 /\ !/ ,则实数 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 8 D. 8
6 1 π π.函数 ( ) = 2 tan 2 + 4 + 1 的周期为( )
A. 2 B. 1 12 C. 4 D. 4
7.已知向量 , 满足 = 1, = 2, , 3π夹角为 4,则
在 上的投影向量为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 24
8 .要得到函数 = sin(2 + 3 )的图象,只需要将函数 = cos ( 2 2 )的图象 ( )
A. 向左平移6个单位长度 B.向右平移3个单位长度
C. 向左平移3个单位长度 D.向右平移6个单位长度
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列计算正确的是( )
A. sin π3 =
3 5π 1
2 B. cos 6 = 2 C. cosπ = 1 D. tan
3π
4 = 1
10.下列计算正确的是( )
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A. = + B. + + = 0
C. = D. 0 = 0
11.已知 = ( , 2), = ( 4, ),则( )
A.若 // ,则 =± 2 2
B.若 ⊥ ,则 = 0
C. 的最小值为 2
D.若向量 与向量 的夹角为钝角,则 的取值范围为(0, + ∞)
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知向量 = ( 1, 2), = ( , 3),若 ⊥ ,则 =
13.若 = 3, = 4,向量 与向量 的夹角为45 ,则 =
14 π π 5π.若函数 ( ) = 3sin + 6 ( > 0),对于 ∈ R,均有 ( ) = + 2 恒成立,则 6 = .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ( ) = 12 sin 2 +
π
6 .
(1)求函数 ( )的最小正周期:
(2) π求函数 ( )在 ∈ 0, 2 上的单调区间.
16.(本小题 15 分)
已知平面向量 = (1, 2), = ( 1, 1).
(1)求 2 的值;
(2)求 的值.
17.(本小题 15 分)
已知角 的顶点在坐标原点,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ( 4, 3).
(1)求 sin ,tan 的值;
(2) sin π +cos 2π 求 3π 的值.sin 2 +tan π+
18.(本小题 17 分)
已知向量 = (2,1), = (1,2), = (3, ).
→ →
(1)若 /\ !/ ,求 在 方向上投影向量的坐标;
(2)若 + ⊥ ,求 的值.
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π 的部分图像如图所示.
(1)求函数 ( )的解析式及对称中心;
(2) ( ) π , π求函数 在 12 2 上的值域;
(3) 1 π先将 ( )的图像纵坐标缩短到原来的2倍,再向左平移12个单位后得到 ( )的图像,求函数 = ( )的单
调减区间.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.6 2
14. 3
15. (1) = 2π = 2π【详解】 最小正周期为: 2 = π
令 π2 + 2 π < 2 +
π π π
6 < 2 + 2 π,则 3 + π < <
π
6 + π, ∈ ,
π
由 ∈ 0, 2
所以 ( ) π的单调递增区间为 0, 6 ,
(2) π令2 + 2 π < 2 +
π
6 <
3π
2 + 2 π,
π
则6 + π < <
2π
3 + π, ∈ ,
由 ∈ 0, π2 ,
( ) π π π所以 的单调递减区间为 6 , 2 ,单调递增区间为 0, 6 .
16.【详解】(1)因为 = (1, 2), = ( 1, 1),
所以 2 = 2(1, 2) ( 1, 1) = (3, 3),
所以|2 | = 32 + ( 3)2 = 3 2;
(2)因为 = (1, 2), = ( 1, 1),
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所以 = 1 × ( 1) + ( 2) × ( 1) = 1.
17.【详解】(1)因为角 的终边经过点 ( 4, 3),且 = | | = ( 4)2 + ( 3)2 = 5.
sin = 3 = 3 tan = 3 3所以 5 5, 4 = 4.
(2)因为 sin π = sin ,cos 2π = cos sin 3π, 2 = cos ,tan π + = tan .
sin = 3且 5,cos =
4 3
5,tan = 4,
3 4
sin π +cos 2π
所以 = sin +cos 5 5 4
sin 3π +tan π+ cos +tan
= 4 3 = + 31.2 5 4
18. → → 3【详解】(1)由 /\ !/ ,可得 2 = 3,解得 = 2,则 = (3,
3
2 ),
1×3+2×
3
因 在 方向上投影向量为 2 2 ,故其坐标为: 5 (1,2) = (
6 , 12 );
| | 5 5
(2)由 + ⊥ 可得:( + ) = | |2 + = 5 + 4 = 0 4,解得 = 5.
19.【详解】(1)根据函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < π 的部分图像,
= 2 3 2π = 5π+ π可得 ,4 12 3,所以 = 2,
5π π
再根据五点法作图,可得 2 × 12 + = 2 + 2 π, ∈ Z,
又因为| | < π π,可得 = 3,所以 = 2sin 2
π
3 ,
令 2 π3 = π, ∈ Z
π π
,解得 = 6 + 2 , ∈ Z,
( ) π+ π故函数 对称中心为 6 2 , 0 , ∈ Z.
(2) ∈ π , π 2 π ∈ π , 2π因为 12 2 ,可得 3 6 3 ,
当 2 π π3 = 6时,即 =
π ( ) = π12, min 12 = 1;
当 2 π π 5π3 = 2时,即 = 12, ( )max =
5π
12 = 2,
所以函数 ( )的值域为[ 1,2].
(3) ( ) 1 π先将 的图像纵坐标缩短到原来的2,可得 = sin 2 3 的图像,
π π π π
再向左平移12个单位,得到 = sin 2 + 12 3 = sin 2 6 的图像,
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即 ( ) = sin 2 π6 .
π π 3π π 5π
令2 + 2 π ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z,解得3 + π ≤ ≤ 6 + π, ∈ Z,
可得 ( ) π 5π的减区间为 3 + π, 6 + π , ∈ Z.
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