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2024-2025 学年山东省天立教育集团高二下学期期中联测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 1 2 3 4 5.数列 ，3，5，7，9…的一个通项公式是( )
A. = B. = C. = 2 +1 2 1 2 3 D. = 2 +3
2.等比数列 中， 1 2 3 = 8， 5 = 16，则公比为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 4 次试验，测得的数据如下：
零件数 (个) 2 3 4 5
加工时间 (分钟) 26 49 54
根据上表可得回归方程 = 9.4 + 9.1，则实数 的值为( )
A. 37.3 B. 38 C. 39 D. 39.5
4 .函数 ( ) = 2+1的单调递增区间是( )
A. ( ∞, 1) B. ( 1,1)
C. (1, + ∞) D. ( ∞, 1)和(1, + ∞)
,当 为偶数时5.已知数列 满足： 1 = 3， 2 +1 = ，则 1 + 2 + 3 + 4 + 5 =( )
3 + 1,当 为奇数时
A. 34 B. 42 C. 46 D. 64
6.若曲线 = 1 + 在点(1,1)处的切线与直线 + = 0 平行，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
7.已知 ( )是定义在(0, + ∞)上的单调函数， ′( )是 ( )的导函数，若对 ∈ (0, + ∞)都有 [ ( ) 2 ] = 3，
则方程 ′( ) 4 = 0 的解所在的区间是( )
A. (1,2) B. (2,3) C. (3,4) D. (5,8)
8.已知函数 ( ) = 2e2 + ( 1) e + 1 有三个不同的零点 1, 2, 3，其中 1 < 2 < 3，则 1
1e 1 1 2e 2 1 3e 3 2的值为( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列求导数运算正确的有( )
A. (sin )′ = cos B. ( 1 1 )′ = 2 C. (log3 ) =
1 1
′ 3ln D. (ln )′ =
10.设数列 是等差数列，公差为 ， 是其前 项和， 1 > 0 且 6 = 9，则( )
A. > 0 B. 8 = 0
C. 7或 8为 的最大值 D. 5 > 6
11

.已知函数 = ln ，则( )
A. ∈ 0,1 时， 的图象位于 轴下方
B. 有且仅有一个极值点
C. 有且仅有两个极值点
D. 在区间 1,2 上有最大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等差数列 中，已知 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，那么 3 = ．
13 1.某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为2，两次闭合后
1
都出现红灯的概率为5，则在第一次闭合后出现红灯的条件下，第二次闭合闭合后出现红灯的概率为 ．
14.设函数 ( ) = 1 2 ，当 ≥ 0 时， ( ) ≤ + 1( > 0)恒成立，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 5( , ∈ )，曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程为 = 3 + 1．
(1)求 , 的值；
(2)求 = ( )在区间[ 3,0]上的最值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln ∈ ．
(1)当 = 2 时，求函数 ( )的极值；
(2)若对 ∈ 0, + ∞ ， ( ) > 0 恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在数列 中， 1 = 0， = 2 1 + 2 + 2 ∈ N , ≥ 2 ．
(1)求数列 的通项公式；
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(2)已知数列 的前 项和为 ，且数列 满足 = + 2，若不等式( 1) < +2 + 2 对一切 ∈ N
恒成立，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排 4
个人去参加植树活动，该活动有甲 乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己
去哪个地点植树，掷出点数为 1 或 2 的人去甲地，掷出点数大于 2 的人去乙地．
(1)求这 4 个人中恰有 2 人去甲地的概率；
(2)求这 4 个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；
(3)用 , 分别表示这 4 个人中去甲 乙两地的人数，记 = | |，求随机变量 的分布列与数学期望 ( )．
19.(本小题 17 分)
已知数列 满足 1 = 2 = 1，数列 为公差为 ∈ 的等差数列，且满足 = +1 .记 , =
1 + 2 2 + + ，称 , 为由数列 生成的“ 函数”．
(1)求 2,4 的值；
(2)若“1 函数” 1, ≥ 8，求 的最小值；
2
(3)记函数 = + 2 2 + + ，其导函数为 ′ ，证明：“ 函数” , = 2 ′
3 + + 1 2 =1
．
附： 2 =1 =
+1 2 +1
6
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.25
14.[1, + ∞)
15.解：(1) ∵ ( ) = 3 + 2 + + 5( , ∈ )，
∴ ′( ) = 3 2 + 2 + ，
又∵曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程为 = 3 + 1．
∴ ′(1) = 3， (1) = 4 2 + + 3 = 3，即得： + + 6 = 4 ,
解得： = 2， = 4
(2)由(1)得： ( ) = 3 + 2 2 4 + 5， ′( ) = 3 2 + 4 4 = (3 2)( + 2)，
令 ′( ) > 0，得 3 ≤ < 2，令 ′( ) < 0，得 2 < ≤ 0，
所以 ( )在[ 3, 2)上单调递增，在( 2,0]上单调递减，
所以 ( )max = ( 2) = 8+ 8 + 8 + 5 = 13，
因为 ( 3) = 8， (0) = 5，所以 ( )min = 5．
∴ = ( )在区间[ 3,0]上的最大值为 13，最小值为 5．
16.解：(1)函数 ( )的定义域为 0, + ∞ ，
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当 = 2 1 2 1时， ′( ) = 2 = ( > 0)．
1
由 ′( ) = 0，得 = 2．
当 变化时， ′( )， ( )的变化情况如下表
1 1 1(0,2 ) 2 (2 , + ∞)
′( ) 0 +
( ) 单调递减 极小值 单调递增
所以 ( ) 1 1在(0, 2 )上单调递减，( 2 , + ∞)上单调递增，
所以函数 ( ) 1的极小值为 ( 2 ) = 1 + ln 2，无极大值．
(2) ∈ 0, + ∞ ( ) > 0 ∈ 0, + ∞ > ln 对 ， 恒成立，即对 ， 恒成立．
令 ( ) = ln ，则 ′( ) =
1 ln
2 .由 ′( ) = 0 得 = ，
当 ∈ 0, 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ , + ∞ 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
( ) = = 1 1所以 max ，因此 > ．
所以 1的取值范围是 , + ∞ ．
17.解：(1)因为 ≥ 2 时， = 2 + 2 + 2，∴ + 2 = 2 + 2 + 2 1 1 ，
∴ +2 1+22 2 1 = 1．

所以数列
+2 1+2
2 是公差为 1，首项为 2 = 1 的等差数列，
+2所以 2 = .所以数列 的通项公式为 = 2
2．
(2)由题意知： = + 2 = 2 ，
令 = 1 × 21 + 2 × 22 + + ( 1) × 2 1 + × 2 ①
则 2 = 1 × 22 + + ( 2) × 2 1 + ( 1) × 2 + × 2 +1 ②
① ②得 = 21 + 22 + 23 + 2 2 +1，所以 +1 = ( 1) 2 + 2
∴ ( 1) < + 2 +2 = ( + 1) 2 +1 + 2 恒成立．
+2
令 = ( + 1) 2 +1
( +2) 2 2( +2) 1
，则 +1 = ( +1) 2 +1 = +1 = 2 1 + +1 > 1，
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所以数列 是递增数列．
若 为偶数， min = 2 = 24，则 < ( + 1) 2 +1 + 2 恒成立，∴ < 26；
若 为奇数， min = 1 = 8，则 < ( + 1) 2 +1 + 2 恒成立，∴ < 10，∴ > 10
综上． ∈ ( 10,26)
18. 1 2解：依题意知，这 4 个人中每个人去甲地的概率为3，去乙地的概率为3．
4 1 2设“这 个人中恰有 人去甲地”为事件 ( = 0,1,2,3,4)，则 ( ) = 4( 3 ) ( 3 )
4 ．
(1)这 4 个人中恰有 2 人去甲地的概率为 ( 2) = 2
1 2 2 2 8
4( 3 ) ( 3 ) = 27
(2)设“这 4 个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件 ，则 = 3 ∪ 4，
由于 3与 4互斥，故 ( ) = ( 3) + ( 3
1 3 2 1 4 1 4 1
4) = 4( 3 ) ( 3 ) + 4( 3 ) = 9．
1
所以这 4 个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为9．
(3) 的所有可能的取值为 0,2,4，由于 1与 3互斥， 0与 4互斥，
8 40
故 ( = 0) = ( 2) = 27， ( = 2) = ( 1) + ( 3) = 81，
( = 4) = ( 0) + ( 4) =
17
81．
所以 的分布列为：
0 2 4
8 40 17
27 81 81
( ) = 0 × 8 + 2 × 40 + 4 × 17 = 148故 27 81 81 81．
19.解：(1) 2,4 = 2 + 22 + 231 2 3 + 24 4， 1 = 2 1 = 1 1 = 0，公差为 2，所以 = 2 1 ，
3 = 2 + 2 = 1 + 2 = 3, 4 = 3 + 3 = 3 + 4 = 7，
所以 2,4 = 2 1 + 22 1 + 23 3 + 24 7 = 2 + 4 + 24 + 112 = 142；
(2) 1, = 1 + 2 + + ， 1 = 2 1 = 1 1 = 0，公差为 1，
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所以 = 1 = +1 ， 1 = 1，
2
当 ≥ 2, ∈ 时， = 1 + +
1 2
2 1 + 1 = 2 + + 0 + 1 = 2 + 1 = 2
3
2 + 2，
而 1 =
1 3
2 2+ 2 = 1，
2
= 3 所以 2 2 + 2 ∈
，
3 2
1, = + + + = +1 2 +1 3 +11 2 12 2 2 + 2 =
3 +8
6 ∈ ，
3 2
设 = 3 +8 6 , ≥ 1
1 4
，则 ′ = 2
2 + 3 =
1 1 2 + 52 6 > 0，
所以 关于 单调递增，
3 2
所以 1, = 3 +8 6 ∈
关于 单调递增，
注意到 1,1 = 1, 1,2 = 8 12+16 = 2, 1,3 = 27 27+246 6 = 4, 1,4 =
64 48+32
6 = 8，
所以当 ≥ 4, ∈ 时，均满足 1, ≥ 8，
所以满足题意的 的最小值为 4；
(3)由题意得 ( , ) = 2 1 + 2 + +
2 ( 1)( 2) ( 1)( 2)= + + + 1 + 2 ×
+ + 1 + 2 ×

2 3 2 3
= + 2 + + 2 × + ( + 1)
+ + 2 × + ( + 1)


= 2
3
2 2 + ( + 1)
=1 =1 =1
由 ( ) = + 2 2 + + ，得 ′( ) = 1 + 4 + + 2 1，
所以 ′( ) = + 4 2 + + 2 = =1
2 ，所以 2 ′ =1 = ( ),

=1
= ( )，
( , ) =
2
所以 ′2 ( )
3
2 ( ) + ( + 1) =1 ．
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