资源简介

2025年湖南省普通高中学业水平合格性考试仿真(三)
数学试卷
一、单选题：本题共 18小题，每小题 5分，共 90分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.若 2 1 + (2 + 2)i 是纯虚数，则实数 的值是( )
A. 1 B. 1 C. ±1 D. 2
2.已知元素 ∈ {0,1,2,3}，且 {0,1,2}，则 的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.不等式 ( 2) < 0 成立的一个必要不充分条件是( )
A. ∈ (0,2) B. ∈ [ 1, + ∞) C. ∈ (0,1) D. ∈ (1,3)
4.下列命题中，是存在量词命题的是( )
A.正方形的四条边相等
B.有两个角是 45°的三角形是等腰直角三角形
C.正数的平方根不等于 0
D.至少有一个正整数是偶数
5.在 中，若 = 0，则 的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
6. 120°的值为( )
A. 2 B. 1 C. 32 2 D.
2
2
7.如图，在正方体 1 1 1 1中，直线 与 1 1的位置关系是( )
A.平行 B.相交 C.异面但不垂直 D.异面且垂直
8.不等式( + 1)( 2) ≤ 0 的解集为( )
第 1页，共 6页
A. 1 ≤ ≤ 2 B. 1 < < 2
C. ≤ 1 或 ≥ 2 D. < 1 或 > 2
9.函数 = 2 (3 + 6 )， ∈ 的最小正周期是( )
A. B. 2 C. 3 3 3 2 D.
10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的
图像最能符合上述情况的是( )
A. B.
C. D.
11.已知 cos = 45，则 cos2 的值为( )
A. 7 B. 3 1 725 5 C. 5 D. 25
12.甲校有 3 600 名学生，乙校有 5 400 名学生，丙校有 1 800 名学生，为统计三校学生某方面的情况，计
划采用分层随机抽样法抽取一个容量为 90 的样本，应在这三校分别抽取学生( )
A. 30 人，30 人，30 人 B. 30 人，45 人，15 人
C. 20 人，30 人，40 人 D. 30 人，50 人，10 人
13.函数 ( ) = log3( 3)的定义域为( )
A. B. > 3 C. 3 D.
14.已知向量 = (1,2)， = ( 3, 6)，若 = ，则实数 的值为( )
A. 13 B. 3 C.
1
3 D. 3
1
15.设 ( ) = , ( ≥ 1)，则 (1)的值为( )
2, ( < 1)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 1
16.某袋中有 9 个大小相同的球，其中有 5 个红球，4 个白球，现从中任意取出 1 个，则取出的球恰好是白
球的概率为( )
第 2页，共 6页
A. 1 1 4 55 B. 4 C. 9 D. 9
17.下列函数中，在区间(0, + ∞)上为增函数的是( )
A. = ( 1 ) 3 B. = log3 C. =
1
D. = cos
18.已知函数 ( ) = 1
1
，若当 ∈ [ , ]( > > 0)时， ( )的值域也是[ , ]，则实数 的取值范围是( )
A. ( 1 , + ∞) B. ( 1 1 14 2 , + ∞) C. (0, 4 ) D. (0, 2 )
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
19 1.在△ 中，角 、 、 所对应的边分别为 、 、 ，已知 = 1, = 2, sin = 3，则 sin = ．
20.已知 是函数 ( ) = 2 log2 的零点，则实数 的值为 ．
21.已知函数 = ( > 0)在一个周期内的图像如图所示，则 的值为 ．
22.如图 1，矩形 中， = 2 ， ， 分别是 ， 的中点，现在沿 把这个矩形折成一个直二面
角 (如图 2)，则在图 2 中直线 与平面 所成的角的大小为 ．
三、解答题：本题共 3小题，共 40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
23.(本小题 12 分)
某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调查了 100 位职员的早餐日平均费用(单位：元)，得到
如下图所示的频率分布直方图，图中标注 的数字模糊不清．
第 3页，共 6页
(1)试根据频率分布直方图求 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数和平均数；
(2)已知该公司有 1000 名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于 8 元？
24.(本小题 14 分)
如图，底面是正方形的直棱柱 1 1 1 1中， = 3， 1 = 4．
(1)求直线 1 与平面 所成角的正切值；
(2)求证： ⊥ 1 ．
25.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = log2( 1)．
(1)求函数 ( )的定义域；
(2)设 ( ) = ( ) + ，若函数 ( )在(2,3)上有且仅有一个零点，求实数 的取值范围；
(3)设 ( ) = ( ) + ( )，是否存在正实数 ，使得函数 = ( )在[3,9]内的最小值为 4？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
第 4页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.23；
20.4
21.2
22. 4
23.解：(1) ∵ 0.05 × 2 × 3 + 0.10 × 2 × 2 + 2 = 1
∴ = 0.15
众数为 5，
平均数(1 × 0.05 + 3 × 0.1 + 5 × 0.15 + 7 × 0.1 + 9 × 0.05 + 11 × 0.05) × 2 = 5.6
(2)由频率分布直方图可知，平均费用不少于 8 元的频率为：0.05 × 2 + 0.05 × 2 = 0.2
∴ 1000 × 0.2 = 200
第 5页，共 6页
∴试估计该公司有 200 名职员早餐日平均费用不少于 8 元．
24.解：(1) ∵ 1 ⊥平面 ，
∴ ∠ 1 为直线 1 与平面 所成的角，
Rt tan∠ = 1 = 4 = 4在 1中， 1 3 2 =
2 2
，
32+32 3
∴直线 1
2 2
与平面 所成角的正切值为 3 ．
(2)证明：∵ 1 ⊥平面 ， 平面 ，∴ 1 ⊥ ，
又四边形 为正方形，则 ⊥ ，
∵ 1 ∩ = ， 1, 平面 1，
∴ ⊥平面 1，
∵ 1 平面 1，∴ ⊥ 1 ．
25.解(1)函数 ( ) = log2( 1)．
由 1 > 0，即 > 1
∴函数 ( )的定义域为{ | > 1}；
(2)函数 ( ) = ( ) + ，
函数 ( )在(2,3)上有且仅有一个零点
可得函数 ( )与函数 = 在(2,3)上有且仅有一个交点；
∈ (2,3)上，那么 0 < ( ) < 1，
又 ( ) = log2( 1)是单调递增函数，
∴ 0 < < 1，则 1 < < 0
故得实数 的取值范围 1,0 ；
(3)函数 = ( )在[3,9]内的最小值为 4，
设 ( ) = ( ) + ( )，令 ( ) = ，(1 ≤ ≤ 3)
可得 ( ) = + ≥ 2 = 4，当 = 时，取等号；
此时 = 4， = 2．
故存在函数 = ( )在[3,9]内的最小值为 4，此时 的值为 4．
第 6页，共 6页

展开更多......

收起↑