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2024-2025学年吉林省长春市农安县高一下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 2 = 2 + 4i，则| | =( )
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
2.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ′ ′ ′ ′，且 ′ ′// ′ ′，
′ ′ = 2 ′ ′ = 4, ′ ′ = 2，则该平面图形的高为( )
A. 2 2 B. 2 C. 4 2 D. 2
3.在平行四边形 中， 为 的中点， 与 交于点 ，则 =( )
A. = 1 6
13
B. OM = 1A3 B
2AD3
C. OM = 1 A2 B
12A
D D. OM = 1 AB 1 4 3AD
4.碧津塔是著名景点·某同学为了测量碧津塔 的高，他在山下 处测得塔尖 的仰角为 45°，再沿 方向前
进 24.4 米到达山脚点 ，测得塔尖点 的仰角为 60°，塔底点 的仰角为 30°，那么碧津塔高约为( 3 ≈
1.7, 2 ≈ 1.4)( )
A. 37.54 B. 38.23 C. 39.53 D. 40.52
5.设 是一条直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若 /\ !/ ， /\ !/ ，则 /\ !/ B.若 ⊥ ， /\ !/ ，则 ⊥
C.若 /\ !/ ， ⊥ ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 /\ !/
6.圆台的上、下底面半径和高的比为 1：4：4，母线长为 10，则圆台的侧面积为( )
A. 81 B. 100 C. 14 D. 169
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7.△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， 并且 = 2， = 3， = 4，设 = ， = ，则向量
在向量 上的投影向量为( )
A. 34 B.
3
4 C.
3 3
8 D. 8
8.在正方体 1 1 1 1中， 是 1 1的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是( )
A. 0 B. 1 C. 3 10 D. 102 10 10
二、多选题：本题共 4小题，共 24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中， ， ， 分别为∠ ，∠ ，∠ 的对边，下列叙述正确的是( )
A. 若cos = cos ，则△ 为等腰三角形
B.若 = 30°， = 4， = 3，则△ 有两解
C.若 tan + tan + tan < 0，则△ 为钝角三角形
D.若 = sin + cos ∠ = ，则 4
10.如图，在直三棱柱 1 1 1中， , 分别是棱 1 , 1 上的动点， 1 = 2 1 1 = 2 1 1 = 4，
∠ 1 1
π
1 = 3，则下列说法正确的是( )
A.直三棱柱 1 1 1的体积为 4 3
B.直三棱柱 1 1 1外接球的表面积为 16π
C. 1若 , 分别是棱 1 , 1 的中点，则异面直线 1 与 所成角的余弦值为4
D. + + 1取得最小值时， 1 =
11.如图， 垂直于以 为直径的圆所在的平面，点 是圆周上异于 、 的任一点，则下列结论中正确的
是( )
A. ⊥ B. ⊥ C. ⊥平面 D.平面 ⊥平面
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12.如图， 垂直于以 为直径的圆所在的平面， 为圆上异于 , 的任意一点，则下列关系正确的是( )
A. ⊥ B. ⊥平面 C. ⊥ D. ⊥
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
13.若复数 满足 3 i = 1(i 为虚数单位)，则| |的最大值为 ．
14.在梯形 中， /\ !/ ，∠ = 90°， = 2 = 3， = 2，若 在线段 上运动，且 = 1，
则 的最小值为 ．
15.三棱锥 的侧棱长为 2 5，底面是边长为 2 3的等边三角形，则该三棱锥外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共 6小题，共 71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 11 分)

如图，在△ 中， = 3, = 2, ∠ = 3 , 是 边的中点， ⊥ , 与 交于点 ．
(1)求 和 的长度；
(2)求 cos∠ ．
17.(本小题 12 分)
3
已知△ 的内角 , , 所对的边分别为 , , ，且满足 cos tan = 3．
(1)求角 的大小；
(2)若 sin sin = 913，设 的面积为 ，满足 = 3 3，求 的值．
18.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥ 1平面 ， = 3, = = 2 =
1
2 = 1，点 、 分别为 、 的中点．
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(1)求证：平面 //平面 ；
(2)求点 到平面 的距离．
19.(本小题 12 分)
在锐角 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，已知( + )( ) + = 0， sin = 3 cos +
3 cos ．
(1)求 ；
(2)求 + 的取值范围．
20.(本小题 12 分)
如图，直三棱柱 1 1 1的底面是边长为 2 的正三角形， , 分别是 , 1的中点．
(１)证明：平面 ⊥平面 1 1；
(２)若直线 1 与平面 1 1所成的角为45 ，求三棱锥 的体积．
21.(本小题 12 分)
如图所示，在矩形 中， = 3 3， = 3，沿对角线 将 折起，使点 移到 ′点，且 ′点在
平面 上的射影 恰在 上.
(1)求证： ′ ⊥平面 ′ ；
(2)求直线 与平面 ′ 所成角的正弦值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.3
14.154
15.1256 π
16.解：(1) ∵ ⊥ ， ∴ ∠ = 2 ，在 中， = 2, ∠ =

3 ，
所以 = sin∠ = 2sin 3 = 3．
∵ 是中线， ∴ = 1 2
+ ，
2
2 1∴ = 1 2 22 +
= 4 + 2 +
= 1 32 + 2 × 3 × 2cos + 22 = 19 194 3 4 ， ∴ = 2
19
∴ = 3, = 2 ;
(2) ∵ = cos = 1 = 1 , ∴ = 1 3 3 3
，
∴ =
1
= 3
∴
1
= +
1
2
3
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1 2 2 1 2 1 2 1 3= 2 +
3
3
= 22 2 + 3 × 3 × 2cos
2
3 3 × 3 = 2
3
∴ cos∠ = cos , = = 2 = 57 ．
19× 3 192
另解：过 作 // 交 于 ，
∵ 是 的中点， ∴ 是 的中点，
∴ = = = 1, 是 的中位线， 是 △ 的中位线，
∴ = 1 = 1 3 1 192 4 = 4 , = 2 = 4 ，
3
cos∠ = cos∠ = =
4
19 =
57
19 ．
4
17.解：(1) 3 由 cos tan = 3，得 3 = sin + 3 cos ，
根据正弦定理，得 3sin = sin sin + 3sin cos ．
因为 sin = sin[ ( + )] = sin( + )，
所以 sin sin + 3sin cos = 3sin( + )，
所以 sin sin = 3cos sin ．
因为 ∈ (0, )，所以 sin ≠ 0 ，所以 tan = 3，则 = 3 ．
(2)由 = 12 sin = 3 3，得 = 12．

又由正弦定理 2sin = sin = sin 得 sin sin = ( sin ) ，
13 2
所以 9 × 12 =

2 ，3
解得 = 13．
18.解：﹙1﹚由题意知：点 是 的中点， // 1且 = 2 ，
所以 // = ，
所以四边形 是平行四边形，
则 // ，
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平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为 、 分别为 、 的中点，
所以 // ．
平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
∩ = ， 、 平面 ，
所以平面 //平面 .；
﹙2﹚在△ 中， = 3， = 1, = 2，
所以 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
连接 ，取 的中点 ，连接 , ，
易知 // ， ⊥平面 1 1，且 = 2 = 2，
设点 到平面 的距离为 ．
2
在 △ 中， = 2 + 2 = 32 + 1
2 = 7，2
2 2
在 △ 中， = 2 + 2 = 1 + 7 ，2 2 = 2
在 △ 中， 2 2 2 = + = 3 + 12 = 2，
在 △ 1中， = 2 = 1，
在△ 中， 2 = 2 + 2 2 × × cos∠ ，
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即12 = 22
2
+ 2 2 × 2 × 2cos∠ ，
5
解得 cos∠ = 4 2，
所以 ，
所以
= 1 × 2 × 2 × 7 = 7，2 4 2 4
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，
所以 的长即是点 到平面 的距离，
在 △ 中，sin∠ = 3， = 2
所以，
= 12 × 1 × 1 ×
3
2 =
3，
4
所以 ，
所以 1 3 1 = 3 △ × ，即12 = 3 △ × ，
即 3 = 1 7 ，解得 21，12 3 × 4 × = 7
所以求点 到平面 的距离为 21．
7
19.(1)解：∵ ( + )( ) + = 0，
2 2 2
∴ 2 + 2 2 = + 1，即 2 = 2，
∴ cos = 12，
又∵ 0 < < π，
∴ = π3，
∴ sin = 32 ，
∵ sin = 3 cos + 3 cos ，sin = 32
∴ sin 32 = 3(sin cos + sin cos ) = 3sin( + ) = 3sin ，
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∵ 0 < < π，即 sin ≠ 0，
∴ 32 = 3，解得 = 2 3．
(2) 2 3解：由正弦定理得，sin = sin = sin = 3 = 4，
2
∴ = 4sin ， = 4sin ，
∴ + = 4sin + 4sin ，
∵ + + = π， = π3，
2π
∴ = 3
则 + = 4sin + 4sin( 2π3 )
3 1
= 4(sin + 2 cos + 2 sin )
= 6sin + 2 3cos
= 4 3sin( + π6 )，
∵ 为锐角三角形，
∴ ∈ (0, π π2 )， ∈ (0, 2 )
π π
∴ ∈ ( 6 , 2 )
∴ + π ∈ ( π 2π6 3 , 3 )，
π 3
∴ sin( + 6 ) ∈ ( 2 , 1],
π
∴ 4 3sin( + 6 ) ∈ (6,4 3],
即 + ∈ (6,4 3]．
20.(1)如图，因为三棱柱 1 1 1是直三棱柱，所以 ⊥ 1，
又 是正三角形 C 的边 C 的中点，所以 ⊥ C
又 C ∩ 1 = ，因此 ⊥平面 1 CC1
而 平面 F，所以平面 F ⊥平面 1 CC1
(2)设 的中点为 D，连结 1D，CD
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因为 C 是正三角形，所以 CD ⊥
又三棱柱 1 1 1是直三棱柱，所以 CD ⊥ 1
因此 CD ⊥平面 1 1，于是∠C 1D 为直线 1C 与平面 1 1所成的角，
由题设，∠C 1D = 45
3
，所以 1D = CD = 2 = 3
在 Rt D 1 21 中， 1 = 1D2 D2 = 3 1 = 2，所以 FC = 2 1 = 2
1 1 3
故三棱锥 F C 的体积 V = 3 C FC = 3 × 2 ×
2
2 =
6
12
21.(1)由题意， ′ ⊥平面 ，所以 ′ ⊥ ，又 ⊥ ， ⊥平面 ′，所以 ⊥ ′，又因为
′ ⊥ ′，而 ′ ∩ = ，所以 ′ ⊥平面 ′ ．
(2)如图，作 ⊥ ′于 ，连接 ，由(1) ′ ⊥平面 ′ ， 平面 ′ ，则 ′ ⊥ ，而 ′ ∩
′ = ′，所以 ⊥平面 ′ ，所以∠ 是 与平面 ′ 所成的角．
由(1) ⊥ ′，而 ⊥ ， ∩ ′ = ，所以 ⊥平面 ′，则 ⊥ ′．
2 ′ 3×3 2
由勾股定理可知， ′ = 2 ′ = 3 2，在 ′中，由等面积法可知， = = =
′ 3 3
6．
在 中，sin∠ = = 6 = 2 3 3 3 ．
2
即直线 与平面 ′ 所成角的正弦值为 3 ．
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