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2024-2025学年安徽省高一下学期 5月联考
数学试卷(E)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 = (1 2 )(3+ ).复数 5 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量 = ( , 1)， = ( , 2 )，若 ⊥ ，则实数 =( )
A. 23 B. 1 C.
4
3 D.
3
2
3.如图，△ ′ ′ ′是水平放置的△ 用斜二测画法画出的直观图，其中 ′ ′ = ′ ′ = 2，则
△ 的面积是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
4 3.某圆锥的体积为 3 ，底面半径为 1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为( )
A. 3 B.

2 C.
2
3 D.
5.已知正三棱锥 的底面 是边长为 2 2的等边三角形，侧棱 = 2，点 是棱 的中点，点
是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. 2 17 21 17 2 2117 B. 21 C. 17 D. 21
6 △ 2 .在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = ， 23 = 4 ，则 sin + sin =( )
A. 32 B.
15
4 C.
3 1
4 D. 2
7.如图，正方形 和正方形 的边长均为 2，且它们所在的平面互相垂直，点 在线段 上运动，
点 在正方形 内运动， = 2，且始终保持 ⊥ ，则 的最小值为( )
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A. 2 1 B. 2 2 2 C. 2 D. 32 2
8 | |cos , .对任意两个非零向量 ， ，定义新运算： = | | ，< ， >表示向量 ， 的夹角.若非零向
量 ， 满足| | > | | ，向量 ， 的夹角 ∈ ( 6 ,

2 )，且 2(
)是整数，则 的取值范围为( )
A. ( 12 , 1) B. (1,
3
2 ) C. (
1
2 ,
3 3
2 ) D. ( 2 , 3)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有一组样本数据 1，3，1，5，5，6，8，2，5，则这组数据的( )
A.众数为 5 B.中位数为 3 C.极差为 7 D. 70%分位数为 5
10.已知△ 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，2 2 = 2 + 2 2，则下列说法正确的是( )
A. = 4 cos
B. tan = 4tan
C.若△ 是直角三角形，则 = 3
D.若△ 3是锐角三角形， 是线段 上一点，则 的最小值为 24 cos
2
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是棱 1， 1上的点(不包括端点)，且 = ，
则下列说法正确的是( )
A.正方体 1 1 1 1的外接球的表面积为 8
B.若平面 与平面 的交线为 ，则 //
C.若平面 与平面 所成的二面角为 △ |cos | = 2， 的面积为 ，则
D.若 = 2 1，则平面 截正方体 1 1 1 1所得截面的面积为 17
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.某班有男生 40 人，女生 30 人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该班抽出一个容量为 28 的
样本，如果样本按比例分配，则女生应抽取 人.
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13.已知向量 = ( ,1)， = ( + 1, 2)，若向量 ， 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为 ．
14.如图，已知正四棱锥 的棱长均为 2， ， 分别是 ， 的中点， 是△ 所在平面内的一
点，则 + 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 1 + 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的一个根，复数 1 = + ．
(1)求| 1|;
(2)若复数 2 = 1 + ( 1) + ( 2) ( ∈ )

为纯虚数，求 2 ．
16.(本小题 15 分)
为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校
在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛.共有 100 名学生参加校史知识竞赛，
其中男生 60 名，女生 40 名，成绩均在[40,100]内，将 60 名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为
[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中 的值;
(2)根据频率分布直方图，估计这 60 名男生校史知识竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值
作代表);
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(3)已知这 60 名男生成绩的方差为 214.75，40 名女生成绩的平均数和方差分别为 73 和 255.75，估计这 100
名学生成绩的平均数和方差．
17.(本小题 15 分)
在面积为 的锐角△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，( 2 + 2 2)sin = 2 ．
(1)求 ;
(2)若 = 2， 为△ 外接圆的圆心，记△ 和△ 的面积分别为 1， 2，求 1 2的最大值．
18.(本小题 17 分)
如图，在△ 中， 是 的中点， 是 的中点，过 点的直线与边 ， 分别相交于点 ， .设 =
( > 0)， = ( > 0)．
(1)若 = + ，求 2 的值;
(2)求 4 + 的最小值;
(3)若△ 是边长为 1 的等边三角形，求 2 + 2的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，底面 是边长为 3 的等边三角形， 1 = 1 = 5， 1 = 4．
(1)证明： 1 ⊥平面 ;
(2)求二面角 1的正弦值;
(3)若点 是棱 1上的动点(包括端点)，求直线 与平面 1 1 所成角的正弦值的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.( 2, 1 13 ) ∪ ( 3 , 1)
14. 3
15.解：(1)由题知(1 + )2 + (1 + ) + = 0，
整理得( + ) + ( + 2) = 0，
+ = 0, = 2,
则 + 2 = 0,解得 = 2,
所以 1 = 2+ 2 ，
| 1| = ( 2)2 + 22 = 2 2．
(2)由(1)知， 2 = 1 + ( 1) + ( 2) = ( 3) + ，
因为复数 2为纯虚数，
3 = 0,
所以 ≠ 0, 解得 = 3，
所以 2 = 3 ，

所以 2
3 3 (1 ) 3+3 3 3
= 1+ = (1+ )(1 ) = 2 = 2 + 2 .
16.解：(1)由题知：10 × 0.01 + 10 × 0.015 + 10 × 0.025 + 10 × 2 + 10 × 0.01 = 1，解得 = 0.020．
(2)平均数为：(0.01 × 45 + 0.015 × 55 + 0.025 × 65 + 0.02 × 75 + 0.02 × 85 + 0.01 × 95) × 10 = 70.5 分．
(3)设男生成绩的平均数 = 70.5，方差 2 = 214.75，女生成绩的平均数 = 73，方差 2 = 255.75，
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总体成绩的平均数为 ，方差为 2，
= 60 + 40则 100 100 = 71.5，
60 40 60
2 = [ 2100 + ( )
2] + 2100 [ + ( )
2] = 2100 [214.75 + (71.5 70.5) ]
+ 40100 [255.75 + (71.5 73)
2] = 232.65，
所以总体成绩的平均数和方差分别为 71.5 和 232.65．
17. 1解：(1)由 = 2 sin 及(
2 + 2 2)sin = 2 ，得( 2 + 2 2)sin = sin ，
又 ∈ (0, )，所以 > 0，
所以 2 + 2 2 = ，
2
由余弦定理得 cos = +
2 2 = = 1，2 2 2
因为 ∈ (0, )，所以 = 3．
(2)设△ 外接圆的半径为 ，
2 1
则 = = = ，且 2 = sin = sin ，即 = sin ．
因为∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ = 2 3，
1 2 1 1 1所以 1 = 2 sin∠ = 2 sin2 sin2 = tan ，
1 2 2 = 2 sin∠ = 1 1 sin 2 = 3 sin +cos = 3 (1 + 12 ，2 2 sin2 3 4 sin2 4 tan2 )
= 1 3 1 3 1 1 3所以 1 2 ，tan 4 (1 + tan2 ) = 4 tan2 + tan 4
因为△ 为锐角三角形，
0 < < 2 , < < 所以 解得 ，
0 < 2 3 <
6 2
2
所以 tan ∈ ( 33 , + ∞)，
1
令tan = ∈ (0, 3)，
则 1 2 = ( ) =
3 2 + 3 = 3 2 3 2 3，4 4 4 ( 3 ) + 12
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所以当 = 2 3时， 取得最大值 3．3 1 2 12
18.解：(1)因为 是 中点，
所以 = 1 2
+ 1 2
，
因为 是 中点，
1
所以 = 2
= 1 + 1 4 4 ，
又 = + 1 1，所以 = 4， = 4，
所以 2 = 12
1 1
4 = 4 ;
(2)由(1)知 = 1 + 1 = 1 + 1 4 4 4 4
，
1 1
又 ， ， 三点共线，所以4 + 4 = 1， ， 均为正数，
所以 4 + = (4 + )( 1 + 14 4 ) =

+
5 5 9
4 + 4 ≥ 2 × 4 + 4 = 4，
3
当且仅当 = 4 时取等号，可得 = 8， =
3
4时取等号；
(3) = = ( 1 + 1 ) = ( 1 ) 4 4 4
1 4
，
= = ( 1 4
+ 1 4 ) =
1 4 + (
1
4 )
，
因为| | = | | = 1，∠ = 60 ，
所以 = 1 × 1 × 12 =
1
2，
所以| |2 = [( 1 ) 1 24 4 ]
1 1 1 1
= ( 4 )
2 4 ( 4 ) + 16
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= 2 3 + 34 16，
1
| |2 = [
1
+ ( ) ]24 4
1 1 1 1
= 216 4 ( 4 ) + ( 4 )
= 2 3 4 +
3
16，
则| |2 + | |2 = 2 + 2 34 ( + ) +
3
8
= ( + )2 2 3 ( + ) + 34 8，
由(2) 1 1知4 + 4 = 1，即 + = 4 ．
又 + ≥ 2 ，
所以 4 ≥ 2 ，解得 ≥ 14 (当且仅当 = =
1
2时取等号)，
所以| |2 + | |2 = (4 )2 2 34 × 4 +
3
8
= 16( )2
3
5 + 8
= 16( 5 )2 132 64．
1 > 5因为4 32，
所以当 = = 1时，| |2 + | 2
|2取到最小值，
最小值为 16( 1 5 )24 32
1 = 164 8．
19.(1)证明：在△ 1中， = 3， 2 2 21 = 5， 1 = 4，所以 1 = + 1 ，所以 ⊥ 1 ，
在△ 1 中， = 3， 1 = 5， 1 = 4，所以 21 = 2 + 21 ，所以 ⊥ 1 ，
又 ， 平面 ， ∩ = ，所以 1 ⊥平面 ．
(2)解：如图，连接 1，取 的中点 ，连接 ， 1 ， 1．
因为 1 ⊥平面 ，平面 / /平面 1 1 1， 1 1 平面 1 1 1，所以 1 ⊥ 1 1，
因为 1 = 4， 1 1 = 3，所以 1 = 5，
因为 = = 3， 1 = 1 = 5， 是 的中点，所以 ⊥ ， 1 ⊥ ，
所以∠ 1是二面角 1的平面角．
在等边△ 中， = 3， = ，所以 = 3 3，2
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在△ 31中，因为 1 = 5， = 2，所以 1 =
2 2 91 = 25 4 =
91，
2
2 2
在平行四边形 中，cos∠ = 3 +5 5
2
= 31 1 1 ，2×3×5 10
所以 cos∠ 1 =
3
， = 3210 1 + 5
2 2 × 3 × 5 × ( 3 ，10 ) = 43
3 3 2 2 2+ 91 43
在△ 1中，cos∠ 1 =
2 2 3 3，
2×3 3× 91
= 91
2 2
所以 sin∠ = 1 cos2∠ = 8 911 1 ，91
故二面角 的正弦值为8 911 ．91
(3)解：如图，过点 作 ⊥ 1 ，交 1 的延长线于点 ．
因为 ⊥ ， ⊥ 1 ， ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 ，所以 ⊥平面 1D.
因为 平面 1 ，所以 ⊥ ．
又 ⊥ 1 ， ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1 ， 所以 ⊥平面 1 1 ，
sin∠ = sin∠ = 8 911 ，91
所以 = sin∠ = 3 3 × 8 91 12 273．2 91 = 91
因为 1/ / 1， 1 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，所以 1//平面 1 1C.
又因为点 在棱 1上，所以点 到平面 1 1 的距离为 =
12 273，
91
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 = 12 2731 1 ， 91
当 ⊥ 1时，
3×4 = 12最短，为 5 5，
12 273 5 273
可得直线 与平面 1 1 所成角的正弦值的最大值为 91×12
= 91 ，
5
当点 与 1重合时， 最长，为 4，
可得直线 与平面 1 1 所成角的正弦值的最小值为
12 273 3 273，
91×4 = 91
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故直线 与平面 1 1 所成角的正弦值的取值范围为[
3 273 5 273
91 , 91 ].
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