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2024-2025学年安徽省蚌埠市A层高中高一下学期第六次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知等腰中，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知直线，，平面，，且，，，，共面，则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. 直线与内的任意直线均异面 D. ，，交于一点或互相平行
4.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组今欲测量学校附近淮河河岸的一座“望淮塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“望淮塔”塔顶的仰角为，则“望淮塔”高( )
A. B. C. D.
7.下列命题不正确的有( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点，与平面交于点，设，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数为，则下列命题正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 一个棱柱至少有个面
B. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C. 若平面内任意直线和平面平行，则平面平面
D. 若直线平行于平面，则直线与平面内的无数条直线垂直
11.已知向量，，其中，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则与的夹角为锐角
C. 若，则的值为
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则与向量方向相同的单位向量的坐标为 ．
13.已知是关于的方程的一个根，则 ．
14.如图，多面体是用平面截底面边长，侧棱长的长方体剩下的一部分几何体，其中，点在线段上，平面交线段于点，则截面四边形的周长的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限．
求，的值
求的值．
16.本小题分
若函数的图象经过点，且相邻的两条对称轴之间的距离为．
求函数的解析式；
若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，的值域．
17.本小题分
如图，，是线段的中点，过点的直线交线段于，交线段于，，．
求证：为定值，并求这个值
若，，且，，求，的值．
18.本小题分
在四棱锥中，底面为平行四边形，为底面中心，，分别为，的中点，为等腰直角三角形，且．
求证：平面
求异面直线与所成角的余弦值
若，分别为，的中点，点在线段上，且，若平面平面，求实数．
19.本小题分
我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为，角，，的对边分别为，，，则，这里据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元世纪的测地术中在世纪，我国南宋的数学家秦九韶在数学九章中推出了等价的结论根据以上信息，回答下列问题．
已知的面积为，且，求此三角形中大于的角所对的边长
三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段若记的外接圆半径为，内切圆半径为，证明：
试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形的四边长分别，，，，记证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值．
参考答案
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15.因为的横坐标为，且圆为单位圆，所以的纵坐标为，
由三角函数定义，

16.解：函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，
记的周期为，则，
又，，
，
函数的图象经过点，
，
则，
，
函数的解析式为；
将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
由得，，
函数的解析式为，
当时，，则，
综上，当时，函数的值域为．

17.证明：因为，所以，
则，
因为是线段的中点，所以，
由，，得，，，
因为，，三点共线，所以，即，
所以为定值，定值为；
解：因为，，所以，
由可知，
所以，
因为，，，且，
所以，所以，，
又，解得，．
18.证明：连接，则为中点，
又点为中点，，
平面，平面，
平面．
解：由得，异面直线与所成角即为与夹角，
在等腰直角三角形中，设，
则，，，
在中，由余弦定理得，，
异面直线与所成角的余弦值为．
证明：连接，如图所示，
因为平面平面，平面平面，平面平面，
所以，
为的中点，，
，即，
．

19.解：已知，设，，，，
半周长．
根据海伦公式，
把值代入得．
又已知面积为，即，解得，
因为所以，
故A，所以所求边．
由，，结合，
可得．
设，，，则．
根据均值不等式，，，
所以，即，
当即时等号成立．
连结，在、中对算两次，用余弦定理得，
化简得式
四边形面积，
化简得式．
将、平方相加，利用及不等式，
得到，
故
即，
因为，所以，
当即四边形是圆内接四边形时等号成立．
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