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第19章《一次函数》---一次函数与几何综合题型
【题型1 一次函数与几何变换的综合】.
1．若把一次函数y＝kx+b的图象先绕着原点旋转180°，再向右平移2个单位长度后，恰好经过点A(4，0)和点B(0，﹣2)，则原一次函数的表达式为（　　）
A．y＝﹣x﹣1 B．y＝﹣x+1 C．y＝x+1 D．y＝x﹣1
2．已知，，将直线绕原点旋转，当直线与线段有公共点时，则的取值范围是 ．
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y轴于点A、B，将直线AB绕点B按顺时针方向旋转45°，交x轴于点C，则直线BC的函数表达式是 ．
4．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，B（0，1），OB＝OC＝OA，A、C分别在x轴的正负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E．
（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；
（2）若△OCD与△BDE的面积相等，求点D的坐标．
5．在平面直角坐标系中，
(1)点和点在一次函数的图象上．求该一次函数的解析式，并画出它的图象；
(2)点向左平移3个单位长度，得到点D．若一次函数的图象与线段有公共点，求m的取值范围．
6．如图，直线为，为长方形，点A在轴上，点在轴上，点为，平移直线，得到直线．
(1)则______，当经过点时，______；
(2)当与线段交于点，与交于点．
要保证与一定有交点，求的取值范围；
用表示的长．
7．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为．
(1)求m和k的值；
(2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围；
(3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积．
8．把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V形”图象，例如，如图1就是函数的“V形”图象．
(1)请在图2中画出一次函数的“V形”图象，并直接写出该图象与x轴交点A的坐标是______；
(2)在（1）的条件下，若直线与一次函数的“V形”图象相交于B，C两点，求△ABC的面积；
(3)一次函数（k为常数）的“V形”图象经过，两点，且，求k的取值范围．
9．如图，直线经过点，与直线交于点，与轴交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点．
(1)求点A的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)连接，当沿着折叠，使得点的对应点落在直线上，求此时点的坐标．
10．如图，直线的解析式与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）点的坐标为________；
（2）若将沿直线折叠，能否使点与点重合？如果可以，请求此时直线的解析式，如果不可以，请说明理由；
（3）若点在直线的下方，求的取值范围．
【题型2 一次函数与三角形的综合】
1.已知一次函数的图像经过点，正比例函数的图像交于点．
(1)求一次函数解析式；
(2)若将直线进行平移，使平移后的直线与坐标轴围成的三角形面积为15，求平移后的直线解析式．
2．如图，由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的三个顶点都是格点．，，．
(1)将三角形进行平移，得到三角形（点D与点A对应，点E与点B对应），点D的坐标为，在网格图中画出三角形，并直接写出点E，F的坐标；
(2)直接写出与x轴的交点P的坐标；
(3)请仅用无刻度直尺在y轴上画出点M，使得．
3．在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称为点M和点N的k系和点．
例如，已知，，点M和点N的2系和点为．已知，．
(1)点A和点B的3系和点的坐标为__________；
(2)已知点，若点B和点C的k系和点为点．
①求m的值；
②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，则k的值为__________；
③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于、两点，正比例函数的图象与交于点．

(1)求的值及的解析式．
(2)一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出k的值．
5．在直角坐标系中，已知，且a，b满足．
(1)如图1，直接写出点的坐标为______，点的坐标为______；
(2)已知，当三角形的面积等于三角形面积时，求点的坐标；
(3)如图2，已知点为线段上的一动点，过点作交于点，点是线段上的一点，连接、、，若，求点的坐标．
6．如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示．
(1)由图2知，点E运动的时间为_____s，速度为______cm/s，点E停止运动时距离点C_____cm；
(2)求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm ）与运动时间x（s）之间的关系式；
(3)当点E停止运动后，求三角形ABE的面积．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横纵坐标都为整数的点叫做“整点坐标”．若正比例函数的图象与直线及y轴围成三角形．
(1)当正比例函数的图象过点（1，1）
①k的值为 ．
②此时围成的三角形内（不包含三角形边上的点）的“整点坐标”有 个；写出“整点坐标” ．
(2)若在y轴右侧，由已知围成的三角形内（不包含三角形边上的点）有3个“整点坐标”，求k的取值范围．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+b的图象与正比例函数y=kx的图象都经过点B（3，1）
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
(2）若直线CD与正比例函数y=kx平行,且过点C（0，-4），与直线AB相交于点D，求点D的坐标.
（3）连接CB，求三角形BCD的面积.
9．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点A(3，n)将直线l1向下平移5个单位长度，得到直线l3，直线l3与y轴交于点B，与直线l2交于点C，点C的纵坐标是-2，直线l2与y轴交于点D．
（1）求直线l2的表达式；
（2）求三角形BDC的面积．

10．如图（1），在平面直角坐标系中，，，过C作轴，且满足．

(1)求三角形的面积．
(2)若过B作交y轴于D，且分别平分，如图2，求的度数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得三角形和三角形的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【题型3 一次函数与四边形的综合】
1．如图，在平面直角坐标系中放置三个长为2，宽为1的长方形，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A与点B，则k与b的值为（ ）
A．k，b B．k，b
C．k，b D．k，b
2．如图，点B，C分别在直线y＝2x和直线y＝kx上，A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是长方形，且AB：AD＝1：3，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中有一个的正方形网格，其右下角格点（小正方形的顶点）的坐标为，左上角格点的坐标为，若分布在直线两侧的格点数相同，则的取值可以是（ ）.
A． B． C．2 D．
4．如图，在Rt中，，点D在边上，，点C为的中点，点P为边上的动点，若使四边形周长最小，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，以长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，AB=CD=2，AD=BC=4，过定点P(0，2)和动点Q(a，0)的直线解析式为y=kx+2．
（1）若PQ经过点D，则k ．
（2）若PQ与长方形ABCD的边有公共点，且函数y随x的增大而增大，则k的取值范围为 ．
6．将的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是 1，正方形的顶点都在格点上，若直线与正方形有两个公共点，则k的取值范围是 ．
7．如图，八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线的解析式为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点， 的图象与轴，轴分别交于点，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，诸求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，四边形中，，，连接，点E从点B出发，沿折线B→C→D，运动，到点D时停止运动，连接，设点E的运动路程为x，的面积为．
(1)请直接写出关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出的函数图象，并写出该函数的一条性质；
(3)的函数图象如图所示，请根据图象直接写出时自变量x的取值范围．
10．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两个顶点坐标为，．
(1)求对角线AC所在直线对应的函数表达式；
(2)若点P在x轴上，且，求点P的坐标．
【题型4 一次函数与几何图中结合的规律探究】
1．如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（ ）

A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，，正方形，使得点、、、，在直线上，点，，，，在轴正半轴上，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形，……按照这样的规律进行下去，那么的坐标为（ ）
B．
C． D．
4．如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 .

5．在平面直角坐标系中，直线l经过点，点，，，，，……按如图所示的规律排列在直线l上．若直线l上任意相邻两个点的横坐标都相差1，纵坐标也都相差1，则的坐标为 ．
6．如图，过点作x轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作轴的垂线，交直线于点；点与点O关于直线对称；过点作x轴的垂线，交直线于点；…，按此规律作下去，则下列点的坐标为：（1）( )；（2）( )．

7．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作轴平行线，交直线于点，以线段为边在右侧作正方形，所在的直线交的图象于点，交的图象于点，再以线段为边在右侧作正方形 依此类推．按照图中反映的规律，则点的坐标是 ；第个正方形的边长是 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，交直线于点B，以为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，再过点作轴，分别交直线和于两点，以为直角顶点．为直角边，在的右侧作等腰直角三角形，按此规律进行下去，点的横坐标为 ，点的横坐标为 ．

10．如图，点在直线上，过点作轴交x轴于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和x轴于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则点的坐标为 ；点的坐标为 （结果用含正整数n的代数式表示）．
【题型5 与一次函数相关的存在性问题】
1．如图，直线与过点的直线交于点，且直线与x轴交于点A，与y轴交于点D．

(1)求直线的解析式；
(2)若点M是直线上的点，过点M作轴于点N，要使以O、M、N为顶点的三角形与全等，求所有满足条件的点M的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线：上，两条直线相交于点．

(1)求直线的表达式；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的2倍，求出点的坐标．
3．已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
(3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由
4．已知，点在直线上，过点的直线交轴于点．
(1)求的值和直线的函数表达式；
(2)点分别在直线，直线上．若，判断是否存在最值，若存在，求出最值，若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线的函数解析式为，与x轴，y轴分别交于点，点D，直线与交于点E，已知点E的横坐标为．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若直线上存在点P，使得，请求出点P的坐标；
(3)已知M是线段上的动点，过点M作直线平行于y轴，交直线于点N，过点M作y轴的垂线，交y轴于点Q，是否存在点M，使的两条直角边之比为？若存在，请求出满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，直线的函数表达式为，且分别交轴、轴于点，；直线的函数表达式为，经过点，分别交轴、直线于点，，且点坐标为．

(1)则_____，______；
(2)直接写出不等式的解集；
(3)点是轴上一动点，是否存在点，使得的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，点A在y轴上，点B在x轴上，点在第三象限，，，若a，b满足

(1)如图1，求点A，B，C的坐标；
(2)D为x轴上一点，过点A作且（A，D，E三点按顺时针方向排列），连接，写出线段，，之间的数量关系的所有情况，并选择其中一种加以证明；
(3)如图2，将线段平移，与x，y轴分别交于点M，N，在过点C且与x轴垂直的直线上存在点P，使得为等腰直角三角形（为直角边），请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
8．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点．

(1)求直线的函数表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使的值最小，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点P的坐标；
9．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B和点C，与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动．
(1)求点B和点C的坐标．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．对于平面直角坐标系中的点M和图形G，给出如下定义：点N为图形G上任意一点，当点P是线段MN的中点时，称点P是点M和图形G的“中立点”．
(1)已知点，若点P是点A和原点的中立点，则点P的坐标为 ；
(2)已知点．
①连接，求点D和线段的中立点E的横坐标的取值范围；
②点F为第一、三象限角平分线上的一点，在的边上存在点F和的中立点，直接写出点F的横坐标的取值范围．
参考答案
【题型1 一次函数与几何变换的综合】
1．C
【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意，得，得到直线解析式为y＝x-2，将其向左平移2个单位，得到y＝x-1，绕着原点旋转180°，得解．
【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意，得，
解得，
∴直线解析式为y＝x-2，
将其向左平移2个单位，得y＝（x+2）-2，
即y＝x-1，
∴与y轴的交点为（0，-1），与x轴的交点为（2,0），
∵绕着原点旋转180°，
∴新直线与与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（-2,0），
∵设直线的解析式为y=mx+1，
∴-2m+1=0，
解得m=，
∴y＝x+1，
故选C．
2．（
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，把点的坐标分别代入求出k的值即可得到答案．
【详解】解：把代入直线得，
，
把代入直线得，，
解得
∴的取值范围是，
故答案为：
3．y＝x﹣4
【分析】根据已知条件得到A（2，0），B（0，﹣4），求得OA＝2，OB＝4，过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，得到AB＝AF，根据全等三角形的性质得到AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，求得F（6，﹣2），设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，解方程组于是得到结论．
【详解】解：∵一次函数y＝2x﹣4的图象分别交x、y轴于点A、B，
∴令x＝0，得y＝﹣4，令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），B（0，﹣4），
∴OA＝2，OB＝4，
过A作AF⊥AB交BC于F，过F作FE⊥x轴于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB＝AF，
∵∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠EAF＝90°，
∴∠ABO＝∠EAF，
∴△ABO≌△FAE（AAS），
∴AE＝OB＝4，EF＝OA＝2，
∴F（6，﹣2），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的函数表达式为：y＝x﹣4，
故答案为：y＝x﹣4．

4．解：（1）∵OB＝OC＝OA，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°；
∵B（0，1），
∴A（1，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+b．
∴
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1；
（2）∵S△COD＝S△BDE，
∴S△COD+S四边形AODE＝S△BDE+S四边形AODE，
即S△ACE＝S△AOB，
∵点E在线段AB上，
∴点E在第一象限，且yE＞0，
∴
∴
把y代入直线AB的解析式得：
∴
设直线CE的解析式是：y＝mx+n，
∵ 代入得：
解得：
∴直线CE的解析式为
令x＝0，则
∴D的坐标为
5．（1）解：将点和点代入一次函数中，
得，
解得，
∴该一次函数的解析式为，
该一次函数图象如图：
（2）解：由点向左平移3个单位长度，得到点，
当直线经过点时，，
解得，
当直线经过点时，，
解得，
综上所述，m的取值范围是．
6．（1）解：∵直线为，
∴，
∵为长方形，点为，
∴，
∵平移直线，得到直线，
∴当经过点时，，
故答案为：，；
（2）①∵为长方形，点A在轴上，点为，
∴，
把A的坐标代入，
得，，
解得，；
把的坐标代入，
得，，
解得，
∴要保证与一定有交点，则；
②把代入，
得，，
∴，
∴．
7．（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得，
，
所以点A的坐标为．
将点A的坐标代入一次函数解析式得，
，
解得，
（2）由所给函数图象可知，
当时，函数的图象在函数图象的下方，即函数的值小于函数的值，
所以使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围为：
．
（3）由（1）知，
一次函数的解析式为，
所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为
．
由得，
，
所以点E的坐标为．
将代入得，
，
所以点D的坐标为．
将代入得，
，
所以点C的坐标为．
所以，
所以．
8．（1）解：如图所示即为所求函数图象：
y=x+1，
当y=0时，x=-1，
∴点A的坐标为
（2）由图可得：线段AE所在直线的解析式为y=-x-1，
∴，
解得
∴
线段AD所在直线的解析式为y=x+1，
∴，
解得
∴
由（1）得：
∴△ABC的面积；
（3）∵直线（，且为常数）
当时，
∴经过定点
当时，
∴该图象与x轴交点
①当时
∵，
由图象可知，
解之得
∴
②当时，由图象可知，始终有
综上所述，或．
9．（1）解：直线过点，
，解得，
点，
直线经过点点，，
，解得：，
直线解析式为，
令，则，解得，
点的坐标为；
（2）解：，
，
设点的横坐标为，则点坐标为，
轴，
点坐标为，
，
解得：或18，
当时，；
当时，同理可得：，
综上，的面积为；
（3）解：过作于点，
点的坐标为，，
，，，
，
，，
，，
，
，即，
当沿着折叠，且点落在射线上的时，设交轴于点，如图1所示：
根据折叠的性质可得：，，
又，
，
，，
轴，
当时，，
坐标为；
当沿着折叠，且点落在射线上的时，延长交轴于点，如图2所示：
根据折叠的性质可得：，，
又，
，
，，
轴，
当时，，
点坐标为，
综上，点的坐标为或．
10．解：（1），
令，解得
所以点坐标为．
故答案为：．
（2）不能．
如图，连结．
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，即，
∴与不可能重合，
∴不能使点与点重合．
（3）当时，
∵点在直线的下方，
∴，
解得．
的取值范围为．
【题型2 一次函数与三角形的综合】
1.（1）解：把代入得，
∴交点坐标为，
设直线的解析式为：，把和代入得：
，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）设平移后的直线解析式，
则与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴与坐标轴围成的三角形面积为，
解得：，
∴平移后的直线解析式为或．
2．（1），，
点A先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点D，
B，C两点分别是先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到点E和点F，
，；
如图所示，三角形即为所求；
（2）设直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
解得，
与x轴的交点P的坐标为；
（3）三角形进行平移，得到三角形，
，
，
，
，
只需画出过点D平行的直线与y轴的交点即可，
如图所示，将三角形先向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到三角形，画直线与y轴交于点M，则点M即为所求．
3．（1）解； ，，
且，，
点A和点B的3系和点的坐标为．
故答案为：；
（2）解：①∵点为和的k系和点，
，．
即．
，
，
，
∴；
②∵，
，，
∵点在一三象限角平分线上，如图，
∴符合条件的点有两个，且坐标分别为，，
或，
∴或，
故答案为：或；
③∵，，
∴的面积为2，
当点在第一象限时，四边形的面积为16，
∴的面积为8，
∵，
∴，解得，
∴点D的坐标为；
当点在第三象限时，四边形的面积为12，
∴的面积为6，
∵，
∴，解得，
∴点D的坐标为；
综上，点D的坐标为或．
4．（1）把点代入得，
，
．
设的解析式为．
，解得．
的解析式为．
（2）如图，由题意得，
的解析式为，与相交于点，的解析式为．
的解析式为，当时，，
恒过点．
、、不能围成三角形，
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当与平行时，、、不能围成三角形，；
当经过点时，、、不能围成三角形，．
当，2或时，、、不能围成三角形．

5．（1）解：由题意可得，，
解得，，
∴，；
（2）∵，
∴
∴
∴当时，
∴
∴解得
∴点的坐标为；
∴当时，
∴
∴解得
∴点的坐标为；
综上所述，点C的坐标为或；
（3）如图所示，连接，作，分别交于点M和点N，
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴设直线的解析式为
∴将代入得，，解得
∴
∴将代入得，
∴解得
∴点Q的坐标为．
6．（1）解：（1）根据题意和图像可得E点运动的时间为3s，速度为3cm/s，
当点E停止运动时，BE＝3×3＝9cm，此时距离点C：10 9＝1cm，
故答案为：3，3，1；
（2）根据题意得y＝BE×AD＝×3x×8＝12x，
即y＝12x（0＜x≤3）；
（3）当x＝3时，y＝12×3＝36cm2，
故点E停止运动后，△ABE的面积为36cm2．
7．（1）①∵正比例函数y=kx（k≠0）图象过点（1，1），∴代入得：1=k，即k=1，故答案为：1；②如图，
直线y=x、直线y=3和y轴围成的三角形是三角形AOB，则三角形AOB内的“整点坐标”有1个，（1，2），故答案为：1，（1，2）；
（2）当直线y=kx过点（3，2）时，其关系式为y= x，当直线y=kx过点A（3，3）时，其关系式为y=x，此时刚好三个“整点坐标”，∴当三角形内有3个“整点坐标”，k的取值范围为≤k＜1．
8．（1）把B（3，1）分别代入y=-x+b和y=kx得1=-3+b，1=3k，
解得：b=4，k=，
∴y=-x+4，y=x；
（2）∵二直线平行，CD经过C（0，-4），
∴直线CD为y=x+4，
由题意得：
解之得，
∴点D为（6，-2）；
（3）由y=x+4中，令x=0，则 y=4，
∴A（0，4），
∴AC=8，
∴S△BCD=S△ACD -S△ABC=×8×6-×8×3=12．
9．（1）把x=3代入，得y=1，
∴A的坐标为（3，1）．
∵将直线l1向下平移5个单位长度，得到直线l3，
∴直线l3的解析式为，
∴x=0时，y=-5，
∴B（0，-5）．
将y=-2代入，得x=9，
∴点C的坐标为（9，-2）．
设直线l2的解析式为y=kx+b，
∵直线l2过A（3，1）、C（9，-2），
∴，
解得，
∴直线l2的解析式为；
（2）∵，
∴x=0时，y=，
∴D（0，）．
∵B（0，-5），
∴BD=，
∴△BDC的面积==．
10．（1）解：∵ ，，，
∴，，
∴，，
∵
∴，，，
∴三角形的面积；
（2）解：∵轴，，
∴，
∴，
如图，过E作，

∵，
∴，
∵分别平分，
∴，，
∴；
（3）解：存在．理由如下：
设P点坐标为，直线的解析式为，
把，，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
∴G点坐标为，
∴，
解得或，
∴P点坐标为或．
【题型3 一次函数与四边形的综合】
1．D
【分析】首先由图可知A(-2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐标分别代入解析式，解方程组，即可求得．
【详解】解：由图可知A(-2,0)，B(2,3)，
把A、B的坐标分别代入解析式，得
解得
故选：D．
2．C
【分析】设点B的坐标为（m，2m），结合矩形的性质可得出OA，AB，CD的长，由AB：AD＝1：3可得出AD的长，结合OD＝OA+AD可求出OD的长，进而可得出点C的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出k值．
【详解】解：设点B的坐标为（m，2m），CD＝AB＝2m，OA=m
∵AB：AD＝1：3，
∴AD＝3AB＝6m，
∴OD＝OA+AD＝7m，
∴点C的坐标为（7m，2m）．
∵点C在直线y＝kx上，
∴2m＝7km，
∴．
故选：C．
3．B
【分析】本题主要考查了过定点的直线旋转，正方形的对称性．由正方形的对称性，要使两侧格点一样，直线要在正方形中心附近，结合图形，直线要在直线和直线之间运动，从而确定，进而求解．
【详解】直线过定点，分布在直线两侧的格点数相同，
由正方形的对称性可知，直线两侧的格点数相同，
在直线和直线之间，两侧格点相同，（如图）
，，
∴把代入得，
把代入得，
，则．
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查了轴对称最短线路问题，坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式等知识，正确找出点的位置是解题的关键；作点关于的对称点，连接，若使四边形周长最小，只要最小，当、、三点共线时，最小，设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，利用待定系数法求出直线和的解析式，求出交点即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
，，
，
，
点关于的对称点，
，，
若使四边形周长最小，只要最小，
当、、三点共线时，最小，
设直线交于，则点与重合时，四边形周长最小，
点在轴上，且，
，
，
设直线的函数解析式为：，
，
，
，
又直线，
，
解得，
点，
故选：D．
5． k≥1
【分析】（1）根据坐标系，矩形的性质，确定点D（2，0），代入解析式求解即可；
（2）函数y随x的增大而增大，故k大于零，根据坐标系，矩形的性质，确定点A（-2，0），代入解析式求解即可．
【详解】（1）∵长方形ABCD的边AD的中点为原点建立平面直角坐标系，且AD位于x轴上，且AB=CD=2，AD=BC=4，
∴A（-2，0），D（2，0），
∵过定点P（0，2）和动点Q（a，0）的直线解析式为y=kx+2，
∴2k+2=0，
解得k=-1，
故答案为：-1；
（2）∵函数y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵PQ与矩形ABCD的边由公共点，
∴经过点A时，是直线k的最小值，
∴-2k+2=0，
解得k=1，
∴k≥1，
故答案为：k≥1．
6．
【分析】分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围．
本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是求得点A和点C的坐标．
【详解】解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为，
当正比例函数经过点A时，，
当经过点C时，，
解得，
∵直线与正方形有两个公共点，
∴k的取值范围是，
故答案为：．
7．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质；设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：如图，设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，则，
∵直线l将这八个边长为1的正方形分成面积相等的两部分，
∴，
∴，
∴，
∴点A坐标为，
设直线的解析式为，
代入得：，
∴，
∴直线l解析式为．
故答案为：．
8．（1）解：是一次函数与的图象的交点，
，解得，
，解得；
（2）一次函数中，当时，；当时，，
，
一次函数中，当时，，
，
，
的面积为；
（3）的面积与四边形的面积比为，，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
存在点M，且．
9．（1）∵，，设点E的运动路程为x，的面积为．
∴
则当时，，
当时，，
∴
（2）图象如图所示，
当时，随着x的增大而减小，当时，随着x的增大而增大；
（3）当时，解得，，
当时，解得，，
即和的交点为，
根据图象可知，时自变量x的取值范围为
10．（1）解：设直线l对应的函数表达式是，
，，
．
，在直线l上，
．
解这个二元一次方程组，得
．
直线l对应的函数表达式为．
（2）解：，且，
．
，
或．
【题型4 一次函数与几何图中结合的规律探究】
1．B
【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．点，，所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点到达点处时，运动的总路径的长为，据此即可求解．
【详解】解：由直线：可知，，
由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知，
，，，，，
，，，，，…，
由此可得，，
∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为，
∴当点到达处时，运动的总路径的长为．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形、正方形的性质以及点的坐标的规律性，根据等腰直角三角形的性质、正方形的性质求出相应的边长是确定点坐标的关键．根据直线与轴、轴的交点坐标可判断出，、、，都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质以及正方形的性质可求出相应的边长，进而求出点、、、的坐标．
【详解】解：在中，令，得，令，得，
所以直线与轴交于点，与轴的交点坐标为，
因此有，、、，都是等腰直角三角形，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
即点，
故选：A．
3．D
【分析】根据直线的解析式以及等腰直角三角形的性质即可得出，，，根据坐标的变化即可找出变化规律，．即可得出点的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，解题的关键是找出坐标的变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质找出线段的变化规律是关键．
【详解】解：依题意
结合等腰三角形的性质，结合图象得出点、、、、在轴上，且，，，
，
把代入
得出
∴
直线，
当时，则
，
∵，
∴，
把，则
即，
∵
∴把，则
即，
，
，．
∴的坐标为
故选：D
4．10
【分析】根据每条直线与轴交点的横坐标解答即可．
【详解】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与轴交点的横坐标依次是2，4，，
第5条直线与轴的交点的横坐标是10．
故答案为：10．
5．（1012，1011）
【分析】通过题意得出A2（2，1），A4（3，2），A6（4，3），A8（5，4），A10（6，5）...，观察这些点的坐标可得当n为偶数时，An的纵坐标为，横坐标为+1，从而得出结论．
【详解】解：由题意知，A2，A4，A6，A8，...，A2022都在第一象限，且A2（2，1），A4（3，2），A6（4，3），A8（5，4），A10（6，5）...，
∴当n为偶数数时，An的纵坐标为，横坐标为+1，
∴A2022的纵坐标为=1011，横坐标为1011+1=1012，
即A2022（1012，1011）．
故答案为：（1012，1011）．
6．
【分析】先根据题意求出点的坐标，再根据点的坐标求出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标．
【详解】解：点坐标为，
，
过点作轴的垂线交直线于点，可知点的坐标为，
点与点关于直线对称，
，
，
点的坐标为，的坐标为，
点与点关于直线对称．
∴点的坐标为，的坐标为，
…，
依此类推，点的坐标为，点的坐标为．
故答案为：①，②
7．
【分析】本题考查了一次函数解析式，点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由图象可知，、、、……在直线上，、、、……在轴上，、、、……在直线上，由，可知，即在直线上，由，，，可推导，根据，作答即可．
【详解】解：由图象可知，、、、……在直线上，
、、、……在轴上，
、、、……在直线上，
∵，
∴，
∴在直线上，
∵，，，
∴，
∴，即，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型问题，根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为，依次得出第三个正方形的边长为，以此类推，可得，，从而得到答案．
【详解】解：由题意，，，
，
则第一个正方形的边长为，
即，
，，
，
则第二个正方形的边长为，
即，
，，
，
则第三个正方形的边长为，
即，
，，
以此类推，
可得，，
第2020个正方形的边长为．
故答案为：；．
9． 3
【分析】先根据题目中的已知条件求出点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为…，由此总结得出点的横坐标为，最后求出结果即可．本题主要考查了一次函数的规律探究问题，解题的关键是根据题意总结得出点的横坐标为．
【详解】解：∵点，轴交直线于点B，
∴，
∴，即，
∵，
∴点的横坐标为，
∵过点作轴，分别交直线和于，两点，
∴，
∴，
∴，
∴点的横坐标为，；
以此类推，
，即，
∴点的横坐标为，
，即；
点的横坐标为…
∴，即．
∴点的横坐标为，
∴点的横坐标为．
故答案为：．
10．
【分析】先根据点的坐标以及轴，求得的坐标，进而根据等腰直角三角形的性质得到的坐标，即可求得的坐标，从而求得的坐标，进而得到的坐标，求得的坐标，从而求得的坐标，最后根据根据变换规律，求得的坐标．
【详解】解：∵点在直线上，
∴，解得：，
∴直线为，
∵过点作轴交x轴于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，
∴轴，
∴，，
当时，，即，
∴，
∴，
∴以此类推，
（，），
…
．
故答案为：；．
【题型5 与一次函数相关的存在性问题】
1．（1）解：∵在直线上，
∴，
∴点C的坐标为，
设直线的的解析式为，
∵点和点在直线上，
∴，
解方程组得，
∴直线的解析式为：；
（2）解：直线上，当时，；当时，，
∴，，
当点M在轴下方时，设点M的坐标为，如下图所示，

当时，，
∵点M在直线上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点满足条件，
当时，，
得，
∵，
∴点不满足题意，舍去；
当点M在轴上方时，设点M的坐标为，如下图所示，
当时，，
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点不满足题意，舍去；
当时，，
∵点M在直线l2上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点满足条件，
∴满足条件的点M的坐标为．
2．（1）解：∵点，分别在直线：上，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为：；
（2）解：联立，
解得：，
∴，
∴由图象可得：不等式的解集为：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
在中，当时，，解得，即，
∴，
∵直线上存在一点，
∴设
∵的面积等于的面积的2倍，
∴，
解得：或，
∴或．
3．（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3
∴，
解得，，
∴点A的坐标为，
∵正比例函数经过点A，
∴，
解得，
∴正比例函数的解析式是；
（2）解：存在．
设，
∵的面积为5，点A的坐标为，
∴，
∴或，
∴P点坐标为或．
（3）解：设，如图，
①点在上时，
当时，，
又,
若时，，
∴，
解得，，
∴，
∴点的坐标为；
当点时，，
若时，，
∴，
解得，，
∴，
∴点的坐标为；
②点在的延长线上时，
当时，，
若时，，
∴，
解得，，
∴，
∴点的坐标为；
当点时，，
若时，同理可得，点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
4．（1）解：∵将代入，得：，
∴，
∴设直线解析式为，
将代入，
得，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：存在最大值，理由如下：
∵点在直线上，点在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∵，
∴，
∴存在最大值．
5．（1）解：对于，当时，．
所以点E的坐标为．
将，代入，
得，
解得．
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴，
解得或．
当时，，
解得；
当时，，
解得．
∴点P的坐标为或；
（3）解：存在．
设点，则，．
所以，．
分两种情况：
①当时，，
解得或（舍去）．
所以点M的坐标为；
②当时，，
解得或（舍去）．
所以点M的坐标为．
综上，满足条件的所有点M的坐标为或．
6．（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把，代入得：，
解得：，
故答案为：，；
（2）∵，
∴由函数图象可得不等式的解集为：；
（3）存在，理由，
如图，作点关于轴对称点，连接，交轴于点，此时周长最小，

∵，
∴，
由（）得直线的函数表达式为，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点．
7．（1）解：过点C作于点D．
∴，
∵，
又∵，，
∴，，
∴，．
∴．
∴，．
在中，．
∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴，．
（2）解：或或．
情况1，如图：

∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
情况2，，如图，
同理可得，
∴，
∴，
∵
∴；
情况3，，如图，

∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①将向左平移的长度，再向下平移的长度后与x轴、y轴相交于点M，N，如图，

∴点M纵坐标为0，点N的横坐标为0，
∵，，
∴，，
∴，，
∵，轴，
∴点P的横坐标为，
过点M作轴，过点P作于G，过点N作于Q，则，
∵，为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
②如图, 过点P作于G，

同理，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
③如图，

同理可得，
∴，，
∴，
∵，，
∴设直线的解析式为：，
则有：，解得：，
，
设点N的坐标为，
∵平移后的直线的解析式为，
，
∵，
∴，
解得：，
∴，
，
故或或．
8．（1）解：设直线的解析式为，
根据题意，可得：，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，
∴，
∴，
∴此时的值最小，

∵，
∴点关于轴的对称点的坐标为，
设直线的解析式为，
根据题意，可得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
解得：，
∴点的坐标．
9．（1）解：在中，令，则；令，则．
故点B的坐标为，点C的坐标为．
（2）∵，，
∴．
（3）存在点M使． 理由如下：
设点M的坐标为，直线的表达式是．
∵，
∴，解得．
∴直线的表达式是．
∵，
∴．
∴．
当点M在线段上时，如图①，则，此时，
∴点M的坐标是．
当点M在射线上时，如图②，时，，则点的坐标是；
时，，则点的坐标是．
综上所述，点M的坐标是或或．
10．（1）∵点，若点P是点A和原点的中立点，
∴，
故答案为：；
（2）① 连接，取中点，如图，
∵，
∴点的横坐标，
连接，取中点，
∵，
∴，
∴；
②第一、三象限角平分线所在直线的解析式为．
当D为中立点时，点F关于点D的中立点为点Q，
∵点Q的纵坐标是3，
∴点的纵坐标是，代入，得
∴，即点的横坐标是．
当C为中立点时，点F关于点C的中立点为点L，
∵点L的横坐标是-2，，
∴，
∴，
∴．

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