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第18章《平行四边形》期末知识点复习题
【题型1 四边形中的多解问题】
1.在正方形中，对角线、交于点，的平分线交于点，交于点．过点作于点，交于点．下列结论：①；②四边形是菱形；③；④若，则．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，在菱形中，，，点E为对角线上一动点（不与点B重合），且，连接交延长线于点F．

①；
②当为直角三角形时，；
③当为等腰三角形时，或者；
④连接，当时，平分．
以上结论正确的是 （填正确的序号）．
3.如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，，，过C作于点E，的延长线与的平分线相交于点H，与交于点F，与交于点M．给出下列四个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 （填写正确的序号）．

4.勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究做出过贡献，特别是定理的证明，据说有400余种.如图是希腊著名数学家欧几里得证明这个定理使用的图形.以的三边为边分别向外作三个正方形：正方形、正方形、正方形，再作垂足为G，交于P，连接，.则结论：①，②，③ ，④ .正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2 四边形中的动点问题】
1.如图，在正方形中，E是边上的一动点，点F在边的延长线上，且，连接、．

(1)求证；
(2)连接，取中点，连接并延长交于，连接．
①依题意，补全图形：
②求证；
③若，用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明．
2.如图，在平行四边形中，，，． 动点从点出发沿以2cm/s速度向终点运动，同时点从点出发，以8cm/s速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒（）
(1)的长为 ．
(2)用含的代数式表示线段的长．
(3)连结．是否存在的值，使得与互相平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出的值．
3.如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．

(1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在、运动的过程中，的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由．
4.如图，在矩形纸片中，，，是的中点，是边上的一个动点(点不与点，重合)．将沿所在直线翻折，点的对应点为，连接，．当是等腰三角形时，的长为 ．

【题型3 四边形中的最值问题】
1.如图，在菱形中，，．E是对角线上的一个动点（不与点B，D重合），连接，以为边作菱形，其中，点G位于直线的上方，且，点P是的中点，连接，则线段的最小值是 ．

2.如图，正方形的边长为，点分别在正方形的四条边上，且，，则四边形的周长的最小值是 ．

3.在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，．

(1)如图1，点P为射线上的动点，连接，若是等腰三角形，求的长度；
(2)如图2，是否在x轴上存在点E，在直线上存在点F，以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，点M是边上的动点，过点M作的垂线交直线于点N，求的最小值．
4.如图，矩形中，，E、F分别在边上，并且为等边三角形，则m的取值范围为 ，若点G是边上的一点，且，则随着m的变化，的最小值为 ．

【题型4 四边形中的折叠问题】
1.通过对下面几何图形的？作探究，解决下列问题．

【操作发现】
如图1，探究小组将矩形纸片沿对角线所在的直线折叠，点落在点处，与边交于点，再将纸片沿直线折叠，使边落在直线上，点A与点重合．
（1）_______度．
（2）若，，求线段的长．
【迁移应用】
（3）如图2，在正方形纸片中，点为边上一点，探究小组将沿直线折叠得到，再将纸片沿过A的直线折叠，使与重合，折痕为，探究小组继续将正方形纸片沿直线折叠，点的对应点恰好落在折痕上的点处，与相交于点，若，求的面积．
2.如图1，一张矩形纸片，其中，，先沿对角线折叠，点落在点的位置，交于点．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)如图2，再折叠一次，使点与重合，折痕交于，求的长．
3.问题原型
(1)如图1，在菱形中，，于E，F为中点，连结，．试猜想的形状，并说明理由．
(2)如图2，在中，于E，F为中点，连结，．试猜想的形状，并说明理由．
(3)如图3，在中，F为上一点，连结，将沿折叠，点C的对应点为．连结并延长交于G，若，求证：F为中点．
(4)如图4，直角坐标系中有，点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，与y轴交于点E．将其沿过A的直线折叠，点B对应点恰好落在y轴上，且折痕交于M，交于点N．若的面积为48，，，求点M的坐标和阴影部分面积（直接写出结果）．
4.课本再现：
（1）如图1，是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且．要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？和的数量关系是：___________；和的位置关系是___________；（无需证明）
知识应用：
（2）如图2，是一个正方形草地，现要在内部修建两条路，且，
①请问这两条路还相等吗？为什么？
②如图3，将边长为12的正方形纸片沿折叠，点D落在边上的点N处，若折痕的长为13，求此时的长；
拓展延伸：
（3）如图4，将边长为12的正方形纸片沿折叠，点D落在边上的点N处，与交于点P，取的中点M，连接，则的最小值为___________，此时的长度是___________．

【题型5 矩形与等腰三角形】
1.【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作于点G；
解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H；
(1)上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为______________．
【类比探究】
(2)如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由．
【拓展应用】
(3)如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则______________．
2.已知在矩形中，，，为矩形的中心，在等腰中，，．则边上的高为 ；将绕点A按顺时针方向旋转一周，连接，取中点，连接，则的最大值为 ．

3.画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半．
（1）如图1，已知等腰，D，E分别是的中点，画四边形；
（2）如图2，已知四边形，．四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形；
（3）如图3，已知平行四边形，点E，G分别在上，且．点F，H分别在上，画四边形．
以上三种画法中，所有正确画法的序号是（ ）

A．（1）（3） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
4.如图①，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴和y轴交于点A、点B，四边形OACB为矩形．
(1)如图②，点F在BC上，连接AF，把沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点重合．
①求点F的坐标；
②请直接写出直线的解析式：______；
(2)如图③，动点在一次函数的图象上运动，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 菱形中的全等三角形的构造】
1.如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．

(1)是等边三角形吗？如是，请证明；如不是，请说明理由．
(2)在、运动的过程中，的面积存在最大值吗？如存在，请求出该最大值；如不存在，请说明理由．
2.如图，菱形的一边在x轴的正半轴上，O是坐标原点，B点坐标为，点D是对角线上一点，连结，垂足为E．

(1)求证：；
(2)求菱形的面积；
(3)连接，当时，求点D的坐标．
3.已知在菱形中，，连接对角线．

(1)如图1，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，交于点．
①求证：；
②过点作，垂足为，求证：；
(2)如图2，已知，将沿射线平移，得到，连接，，请直接写出的最小值．
4.如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP= 度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
【题型7 正方形中线段的和差倍分关系】
1.如图，在正方形中，动点在上，过点作，过点作，点是的中点，连接交于点．

(1)求证：；
(2)请探究线段长度之间的等量关系，并证明你的结论；
(3)设，若点沿着线段从点运动到点，则在该运动过程中，线段所扫过的图形面积为________（直接写出答案）．
2.过正方形（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线．

(1)当不与正方形任何一边相交时，过点B作于点E，过点作于点F，如图（1），请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)若改变直线的位置，使与边相交如图（2），其它条件不变，，，的关系会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明；
(3)若继续改变直线的位置，使与边相交如图（3），其它条件不变，，，的关系又会发生变化，请直接写出，，的数量关系，不必证明．
3.感知：如图（1）所示，四边形是正方形，点是线段上的任意一点，于点，，且交于点，求证：．
探究一：如图（2）所示，若点在的延长线上，上述其余条件不变，则，，存在怎样的等量关系？猜想并证明这一结论．
探究二：若点在的延长线上，上述其余条件不变，则，，又存在怎样的等量关系？直接写出结论．

4.已知：在中，为中线，以、为边向的形外作正方形、正方形．
(1)如图①，当时，求证：．
(2)如图②③，当时，与有怎样的关系？在图②和图③中可任选一个图，证明你的结论．
【题型8 坐标系中的四边形】
1.如图1，在中，，，点是的平分线上一点，于，交的延长线于，交的延长线于，连接．
（1）直接写出的大小；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）建立如图2所示的坐标系，若，，直线绕点顺时针旋转45°得到直线，求直线的表达式．
2.如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为 ．
3.如图，在坐标系中，正方形的边长为2，点是轴上一动点．若与的两边所组成的角的度数之比为，则点的坐标为 ．

4.如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=90°，E、F是AB上的动点，且∠ECF=45°，分别过E、F作BC、AC的垂线，垂足分别为H、G，两垂线交于点M．
（1）当点E与点B重合时，请直接写出MH与AC的数量关系 ；
（2）探索AF、EF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，请画出坐标系并利用（2）中的结论证明．
【题型9 四边形中存在性问题】
1.如图，四边形是矩形，点、在坐标轴上，点坐标，是绕点顺时针旋转得到的，点在轴上，直线交轴于点，交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)求的面积；
(3)点在轴上，平面内是否存在点，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点C，A分别在x轴，y轴上，O为坐标原点，B点的坐标为，过A点的直线l与x轴交于点，P是线段上一动点，设．

(1)是第一象限直线l上一点，作轴于E，轴于F，若，．
①求证：；
②求直线l的表达式及D点的坐标；
(2)将直线l向下平移12个单位得到直线，在直线上方的直线上，是否存在这样的点D，使得，且，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
3.如图1所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是菱形，点的坐标为，点在轴正半轴上，直线交轴于点M，连接，边交轴于点．

(1)求的长；
(2)如图2所示，动点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数关系式；
(3)在（2）的情况下，当点在线段上运动时，是否存在以为腰的等腰三角形？如存在，直接写出的值；如不存在，说明理由．
4.定义“点对图形的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点P和图形，若图形上所有的点都在的内部或的边上，则的最小值称为点对图形的可视度．如图1，点对线段的可视度为的度数．

(1)如图2，已知点，，，．连接，，则的度数为点对的可视度．求证：；
(2)如图3，已知四边形为正方形，其中点，．直线与轴交于点，与轴交于点，其中点对正方形的可视度为．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形 若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
【题型1 四边形中的多解问题】
1.D
【分析】设，则，可算出，故①正确；先证明，再由得，即，四边形是菱形，故②正确；由，得，可求出，故③正确；由四边形是菱形证明，即可得，故④正确．
【详解】解：平分，，，
，
四边形是正方形，
，
，
设，则，
，故①正确；
在和中，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
又
，
，
，
，
，
四边形是菱形，故②正确；
由①②知，，，
，
，故③正确；
，，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故选：D．
2.①②③④
【分析】连接，交于点O，由题意易得，是等边三角形，，，，则有，则，然后根据等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质、勾股定理及等腰三角形的性质可进行求解．
【详解】解：连接，交于点O，如图所示，

∵四边形是菱形，，，
∴，是等边三角形，，，，
∴，则，
∴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
当为直角三角形时，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，则，
∴；故②正确；
当为等腰三角形时，则可分当时，即，
在菱形中，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴
∴；
当时，即，
∵，
∴在中，，
∴
∴；
当时，则，此时点E与点B重合，不符合题意；
故③正确；
连接，当时，则，
∴，
由②可知，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴平分，故④正确；
故答案为①②③④．
3.①②③⑤
【分析】先证明是等边三角形，得，再证是等腰三角形，得 ，即可得出，可判定①正确；求得，得出，可判定②正确；利用含的直角三角形的性质得出，，再由，，即可求得 ，可判定③正确；过程点M作于N，分别求出，，即可得出，可判定④错误；过点H作交延长线于Q，延长交于P，先求出，从而求得，即可求得，可判定⑤正确．
【详解】解：∵矩形ABCD，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵矩形ABCD，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
过程点M作于N，如图，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故④错误；
过点H作交延长线于Q，延长交于P，

∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故⑤正确，
∴正确的结论有①②③⑤
故答案为：①②③⑤．
4.D
【分析】根据题意，，得到，得到，延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形，求出面积即可，延长至点，过点做垂线，由题意可知四边形为矩形，求出面积即可．
【详解】解：由题意可得，，，
，，
，
∵，
，
故①、②符合题意，正确；
延长至点，过点做垂线，
由题意可知四边形为矩形，
，
故，
，
故 ，③符合题意，正确；
；
延长至点，过点做垂线，
由题意可知四边形为矩形，
故，
，
，
故 ，④符合题意，正确．
．
故选：D．
【题型2 四边形中的动点问题】
1.（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
又，
，
，
，
，
即，
；
（2）①解：依题意，补全图形如图所示：

②证明：由（1）可知，和都是直角三角形，
是的中点，
，，
；
③解：，证明如下：
由（1）可知，，，
，
是等腰直角三角形，
，
为的中点，
，，，
，，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
．
2.（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
（2）在中，，，
由题意得，，
当点Q与点B重合时，，
∴，
当点Q在线段上时，，
当点Q在线段的延长线上时，，
综上所述，或；
（3）存在，理由如下：
如图，连接，
若与互相平分，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴当时，与
（4）当点P关于直线对称的点落在点A下方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得；
当点P关于直线对称的点落在点A上方时，如图，
由对称得，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
综上所述，t的值为或2．
3.（1）是，理由如下：
如图，连接，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）的面积存在最大值，理由如下：
由（1）得：，
∴，
∴，
∴ ，
∴不发生变化，

则的面积最小时，的面积最大，
∵是等边三角形，根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小,
∴，
由（1）得：是等边三角形，则有：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
同理：，
在中，由勾股定理得：
∴，即：的面积最小值为，
∴的面积的最大值，
4.或或
【分析】存在三种情况：当 ，连接，勾股定理求得的长，可判断，，三点共线，根据勾股定理即可得到结论；当 ，证明是正方形，于是得到结论；当 时，连接，，证明点，，三点共线，再用勾股定理可得答案．
【详解】解：①当时，连接，如图：

点是的中点，， ，四边形是矩形，
， ，，
，
将沿所在直线翻折，得到 ，
，
，
，
点，，三点共线，
，
，
设则 ，
在 中，
，
解得： ，
；
②当 时，如图：

，
点在线段的垂直平分线上，
点在线段的垂直平分线上，
点是的中点，
是的垂直平分线，
，
将沿所在直线翻折，得到 ，
， ，
四边形 是正方形，
；
③当 时，连接，，如图：

点是的中点，， ，四边形是矩形，
，，
，
将沿所在直线翻折，得到 ，
，
，
，
点，，三点共线，
，
，
设则
在 中，，
在中，，
，
即
解得： ，
；
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
【题型3 四边形中的最值问题】
1.
【分析】连接，过点P作，则当G点位于点时，有最小值即的长，根据条件证明，可得，进而用勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，过点P作，则当G点位于点时，有最小值即的长，如图，

∵四边形是菱形，，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴C、D、G三点共线，
∵点P是的中点，，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
即线段的最小值是，
故答案为：．
2.
【分析】根据垂线段最短及平行四边形的判定与性质可知当时，最短，最短，四边形是正方形即可解答．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴ ，，即四边形的周长=
∵四边形为正方形，
∴，，
∵,
∴，
∴，即
∴，
过作G点的对应点N,连接，过N点作，交延长线于M，
则
最短为,

∴四边形的周长最短=，
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，轴对称的性质．掌握将军饮马问题是解题关键.
3.（1）解：如图1，

当点P在上时，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，；
∵是等腰三角形，
∴是等边三角形，
∴，
当点P（图中）在的延长线上时，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：或3；
（2）如图2，

存在点E和F，使以O，B，E，F为顶点的四边形是菱形，理由如下：
是边时，
当点F在的延长线时，
∵，
∴，，
∴，
当点在的延长线上时，
∵，，
∴，
当是对角线时，（菱形）
设，则，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴，，
综上所述：，或，或，；
（3）如图3，

作点O关于的对称点，作B点关于的对称点，
连接，交于点，于点，
此时的最小值为的长，即的长，
作轴，作于T，
∵，，
∴，
∴的最小值为：6．
4.
【分析】当点F与点D重合时，此时有最小值，当点E与点B重合时，此时有最大值，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求的长，即可求m的范围；可证，即， 当点H，点N，点F共线时，有最小值，即可求解.
【详解】解：如图，当点F与点D重合时，此时有最小值，

∵为等边三角形，
∴，，，
∴，，
如图，当点E与点B重合时，此时有最大值，

∵为等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴.
如图，当时，以为边作等边，作，连接，

∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当点H，点N，点F共线时，有最小值，
此时，∵ ，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴.
故答案为：；.
【题型4 四边形中的折叠问题】
1.解：（1）∵四边形是矩形，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，
故答案为：
（2）∵四边形是矩形，，，
∴，，
由折叠可知， ，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，
则
在中，，
即，
解得，
∴；
（3）∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知，，
∴，
∴，
由折叠可知，，，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由折叠可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
即的面积为．
2.（1）证明：∵矩形纸片沿对角线折叠，点落在点的位置，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
设，则，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为；
（3）再折叠一次，使点与重合，得折痕，且，，
∴，即点是的中点，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
由折叠的性质可知，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的长为．
3.（1）如图1，
连接，
四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
同理可得：是等边三角形，
，，
点是的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，
是等边三角形；
（2）如图2，
是等腰三角形，理由如下：
取的中点，连接，直线交于，
四边形是平行四边形，
，，
点是的中点，是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，
，
即：是等腰三角形；
（3）证明：由（2）知：，，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
即：点是的中点
（4）由得，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
直线的解析式为：，
，
直线的解析式为：，
由得，
，
，，
，
，
直线的解析式为：，
当时，，
，
，
，
，
．
4.解：猜想，，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：，；
（2）①，理由如下：
过F点作于点P，过点M作于点Q，与相交于点H，

∵四边形是正方形，
∴，，，，
∵于点P，于点Q，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②连接，

由折叠可得，，由①中的结论得，
∵四边形是正方形，
∴，
∴在中，，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
（3）当点P、M、C三点共线时，的值最小，即的长，

根据勾股定理可求得，
由折叠的性质得，
∵四边形是正方形，∴，
∴，，
∴，∴，
同理．
∴由（2）得．
故答案为：；．
【题型5 矩形与等腰三角形】
1.（1）解：PD+PE=BF，理由：
图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF，
∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°，
∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF，
∴PE=GE，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠GPB，
∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△PGB，
∴BG=DP，
∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF；
图3：∵，BF⊥AC，
∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°，
∴四边形HBFE是矩形，
∴BF=HE，BH∥EF，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠CBH，
∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△BHP，
∴PD=PH，
∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF；
故答案为：PD+PE=BF；
（2）PD+PE=BF，理由如下：
过点P作PM∥AC，
∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，
∴∠PDB=∠PMB，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠BPM，
∵PB=PB，
∴△BDP≌△PMB，
∴PD=BM，
∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF；
（3）延长DP至点N，使PN=PC=2，
∵，
∴∠APN=∠APC，
∵AP=AP，
∴△APC≌△APN，
∴∠PAN=∠PAC=75°，
∵∠ABD=75°，
∴∠PAN=∠ABD，
∴AN∥BD，
过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，
∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°，
过Q作QR⊥ND于点R，
∴∠NQR=30°，
∴NR=NQ=3，
∴PR=1，RQ=，
∵∠RQD=75°-30°=45°，
∴∠D=45°，
∴RD=RQ=，
∴PD=RP+RD=1+，
故答案为：1+．
2.
【分析】①根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出的长度，最后根据三角形面积法即可求出边上的高．
②利用等腰直角三角形的性质求出长度，根据勾股定理求出长度，最后利用旋转的性质可求出取值范围，最后利用中位线定理即可求出取值范围，从而求出最大值．
【详解】解：①为等腰直角三角形，，
．
设边上的高为，
，
，
．
边上的高为．
故答案为：．
②延长至，使，连接，，，过点作于，
如图所示，

由①可知，，，
为等腰三角形，，
．
．
在中，．
矩形中，，，
在中，．
在顺时针旋转一周，
，
，
为中点，为中点，
，
．
最大，
．
故答案为：．
3.C
【分析】如图1所示，连接，证明，进而得到，即可推出；如图2所示，设交于O，先求出 ，利用三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，再证明，得到四边形是矩形，则；如图3所示，连接，证明四边形是平行四边形，得到，再由，得到，同理可得，则．
【详解】解：如图1所示，连接，
∵E是的中点，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故（1）画法错误；

如图2所示，设交于O，
∵，
∴
，
∵分别是的中点，
∴，
同理可得，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，故（2）画法正确；

如图3所示，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴
∴，故（3）画法正确；
故选C．

4.（1）①∵一次函数分别与x轴和y轴交于点A、点B，
可得A(4，0)B(0，3)
∴OA=4，OB=3
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=4，OB=AC=3
由折叠可知：
设CF=x，则
在Rt 中，
解得：
∴
∴F的坐标为
②过点作于E，⊥y轴于点G，x轴于M
由(1)可知
∴在Rt中，由等积法可得：
得CE=
∴
∴又F
设为y=kx+b
解得：
所以的解析式为：；
（2）设点P(a，2a-3)，
当点P在BC下方时，如图③，过点P作EF//BC，交y轴于E，交AC于F，
，
∵△BPD是等腰直角三角形，
∴BP=PD，∠BPD=90°
∴EF//BC，
∴∠BEP=∠BOA=90°
∴∠PFD=∠CAO=90°
∴∠BPE+∠DPF=∠DPF+∠PDF，
∴∠BPE=∠PDF，
∴△BPE≌△PDF(AAS)，
PF=BE=3-(2a-3)=6-2a，EP=DF，
∴EF=EP+PF=a+6-2a=4，
a=2，
∴点P (2，1)；
当点P在BC的上方时，如图④，过点P作EF//BC，交y轴于E，交AC的延长线于F，
同理可证△BPE≌△PDF，
BE=PF=2a-3-3=2a-6，
∵EF=EP+PF=a+2a-6=4，
解得：
∴点P，
综上所述：点P坐标为(2，1)或．
【题型6 菱形中的全等三角形的构造】
1.（1）是，理由如下：
如图，连接，

∵四边形是菱形，
∴，，
∴，都是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形；
（2）的面积存在最大值，理由如下：
由（1）得：，
∴，
∴，
∴ ，
∴不发生变化，

则的面积最小时，的面积最大，
∵是等边三角形，根据垂线段最短可知，时，的值最小，的面积最小,
∴，
由（1）得：是等边三角形，则有：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
同理：，
在中，由勾股定理得：
∴，即：的面积最小值为，
∴的面积的最大值，
2.（1）解：四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）解：如图设x轴上的8的点为M

四边形是菱形,B点坐标为,
，，,
设，则，
在中，,即，
解得：即，
菱形OABC的面积：；
（3）设直线的函数解析式：，
将B代入，得，则，
则直线的函数解析式：，
因为四边形是菱形，
，
又 ，
，
，
设点，
，
解得，
．
3.（1）①证明：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴和均是等边三角形，
∴，
∴，，
故，
又∵，，
∴，
∴；
②证明：作于，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设交于点，取的中点，连接，，

由平移可知，，且，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
是的中点，
，
，
当，，三点共线时，取得最小值，
此时，如图，

∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为：．
4.（1）∵MP⊥AB交边CD于点P，∠B=60°，点P与点C重合，
∴∠NPM=30°，∠BMP=90°，
∵N是BC的中点，
∴MN=PN，
∴∠NMP=∠NPM=30°；
（2）如图1，延长MN交DC的延长线于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，
∴∠BMN=∠E，
∵点N是线段BC的中点，
∴BN=CN，
在△MNB和△ENC中，
∵∠BMN=∠E，∠MNB=∠ENC，BN=CN，
∴△MNB≌△ENC，
∴MN=EN，即点N是线段ME的中点，
∵MP⊥AB交边CD于点P，AB∥DC，
∴MP⊥DE，
∴∠MPE=90°，
∴PN=MN=ME；
（3）如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
又M，N分别是边AB，BC的中点，
∴，，
∴MB=NB，
∴∠BMN=∠BNM，
由（2）知：△MNB≌△ENC，
∴∠BMN=∠BNM=∠E=∠CNE，
又∵PN=MN=NE，
∴∠NPE=∠E，设∠BMN=∠BNM=∠E=∠NCE=∠NPE=x°，则∠NCP=2x°，∠NPC=x°，
①若PN=PC，则∠PNC=∠NCP=2x°，在△PNC中，2x＋2x＋x=180，解得：x=36，
∴∠B=∠PNC＋∠NPC=2x°＋x°=36°×3=108°；
②若PC=NC，则∠PNC=∠NPC=x°，在△PNC中，2x＋x＋x=180，解得：x=45，
∴∠B=∠PNC＋∠NPC=x°＋x°=45°＋45°=90°；
综上所述：∠B=108°或90°．
【题型7 正方形中线段的和差倍分关系】
1.（1）证明：连接，如图所示：

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，点E是中点，
∴，
∵，，
∴点B，E在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵点E是中点，
∴，
∴是的中位线．
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：在点M沿着线段从点C运动到点D的过程中，线段所扫过的图形为四边形，

∵，，
∴，
∴四边形为梯形，
∵，
∴，，
∴．
故答案为：3．
2.（1）解：；
证明：四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
∴，
在和中，
∴ ，
∴，，
∴；
（2）；
证明：四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
∴，
在和中，
∴ ，
∴，，
∴；
（3）；
证明：四边形是正方形，
，，
，
又，，
，
∴，
在和中，
∴ ，
∴，，
∴．
3.感知：
证明：四边形是正方形，
，，
，，
，
．
，
在和中
，
（），
，
，
．
探究一：
结论：
理由如下：
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
．
探究二：
结论：，

理由如下：如图：由感知同理可证，
，
，
．
4.（1）证明：∵以、为边向的形外作正方形、正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，为中线，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图②，延长至M，使，连接，延长交于N，
∵为中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
图③时同理可证．
【题型8 坐标系中的四边形】
1.（1）解：∵CE=CF，∠ECF=90°，
∴∠CEF=45°，
∴∠BEG=45°，
∵AG⊥CE，
∴∠AGC=90°，
∴∠ABF=45°；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
连接，
∵点是的平分线上一点，
∴，
∴．
又∵．
∴，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（3）延长交直线于点，再连接，作轴于点，
∵在中，，，
∴由勾股定理得，，
∴．
∵，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
由题意得，
∴等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴．
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的表达式为：，
把，代入得，
，解得，
∴直线的表达式为：．
2.（1346，0）
【分析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019＝336×6＋3，因此点B3向右平移1344（即336×4）即可到达点B2019，根据点B3的坐标就可求出点B2019的坐标．
【详解】解：连接AC，如图所示．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝BC＝OC．
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB．
∴AC＝OA．
∵OA＝1，
∴AC＝1．
画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．
由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．
∵2019＝336×6＋3，
∴点B3向右平移1344（即336×4）到点B2019．
∵B3的坐标为（2，0），
∴B2019的坐标为（2＋1344，0），
∴B2019的坐标为（1346，0）．
故答案为：（1346，0）．
3.（4，0）或（，0）或（，0）
【分析】分三种情况分别画出相应图形，根据正方形、等腰三角形以及直角三角形的边角关系进行计算，求出的长即可．
【详解】解：如图，

①当时，则，
，
，
此时点的坐标为；
②当时，则，
连接，则，，
此时平分，
过点作于，则，
，
此时点的坐标为，；
③当时，则，
，
此时点的坐标为，；
综上所述，点的坐标为或，或，．
故答案为：或，或，．
4.解： （1）结论：，
如图1，当点与点重合时，点与点重合，
，，
，
，
，四边形是矩形，
，
，，
，
又∵
，
；
（2）结论：，
证明：如图2所示，
，，
．
将顺时针旋转至，
则，，，；
，
，
．
在和中，
，
，
．
，
，
，即；
（3）以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图（3）：
由（2）易知、、是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
同理可得：，，，
由（2）可得，
∴，
又∵，，
∴．
【题型9 四边形中存在性问题】
1.（1）解： 四边形是矩形，，是由旋转得到，
，
，
设直线的解析式为，根据题意有：
，
解得：，
直线的解析式为：；
（2），
直线的解析式为，
由，
解得：，
，，
，
，
；
（3）由题意可知：，，
，，
，
当为菱形的对角线时，，点与点是关于的对称，此时；
当时，若则，或若，则；
当为对角线时，设，
在中，，即，解得，
此时，，可得，；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或，．
2.（1）解：①证明：轴，轴，
，
，
，
，
，
，
；
②四边形为矩形，，
，
，
设的表达式为，
，
解得，
的表达式为；
四边形是矩形，轴，轴，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，，，
，
，
点的坐标为，
在直线上，
，
解得，，
；

（2）存在．如图，过点作轴于，轴于，与直线交于点，
则四边形，都为矩形，
，，，
同（1）可得，，
，
，
，，
点的坐标为，
直线向下平移12个单位得到直线，
直线表达式为，
，
解得：，
，，
点的坐标为，．
3.（1）解：点的坐标为，
由勾股定理得，
四边形是菱形，
，
即点的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为：，
令得：，即，
；
（2）解：设点M到的距离为，
由，
即，
，
①当在直线上运动时的面积与的运动时间为秒关系为：
，
即；
②当运动到直线上时的面积为与的运动时间为秒关系为：
，
即，
综上所述：与之间的函数关系式为：；
（3）解：存在，
理由如下：
①当时，
点的坐标为，，
，
即，
，
②当时，
即，
，
综上所述，当或时，存在以为腰的等腰三角形．
4.（1）证明：过点作于点，
∵，，，
∴轴，，，，，
∴，，
，
∴，
∴．

（2）解：如图，连接，，令与轴的交点为，则的度数为点对正方形的可视度，即，
∵，，四边形为正方形，
∴，∴，
∴点，关于轴对称，
∴轴垂直平分，
∴，，
∵，∴为等边三角形.，
∴，∴，
∴，
∴点的坐标为，
将点坐标代入中，得，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴点的坐标为．

（3）解：存在，如图，
过点作的平行线，在平行线上可取得两点分别为，，使得，，可以得平行四边形和平行四边形，
得， ，
令与轴交点为，则，在轴上取，则，与 互相平分，连接，，，，即得到平行四边形，
点的坐标为或或．

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