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【50道热点题型】人教版数学八年级下册期末试卷·综合题专练
1．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍，若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞，无人机所在高度（米）与时间（秒）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）甲在空中停留时的高度是　 　米，甲出发　 　秒后乙开始起飞，点表示的意义是　 　；
（2）甲、乙两架无人机的上升速度分别是多少米/秒？
（3）当时，两架无人机所在的高度相差多少米？
2．某学校在一次广播操比赛中，901班，902班，903班的各项得分如表：
班级 服装统一 动作整齐 动作准确
901班 85 70 85
902班 75 85 80
903班 90 85 95
（1）若取三个项目的得分平均分作为该班成绩，分别求各班的成绩.
（2）若学校认为三个项目的重要程度各不相同，从低到高依次为“服装统一”“动作整齐”“动作准确”，它们在总分中所占的比例分别为10％， ％， ％.请你设计一组符合要求的 ， 值，并直接给出三个班级的排名顺序.
3．已知甲、乙两地相距840千米，客车、货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向行驶.货车2小时可到达途中丙站，客车需9小时到达丙站（如图1所示），货车的速度是客车的 ，客、货车到丙站的距离分别为 、 （千米），它们与行驶时间x（时间）之间的函数关系如图2所示.
（1）求客、货两车的速度；
（2）如图2，两函数图象交于点E，求E点坐标.
4．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0
（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案）
（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；
（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．
5．某中学要在校园内划出一块面积是100m2的长方形形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为xm和ym．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）说明当x=10时的实际意义．
6．6月来临，重庆气温升高，市民购买空调扇的越来越多，根据市场需要，有一电器老板需要购进A，B两种空调扇共200台，已知1台A种空调扇和3台B种空调扇共3800元，2台A种空调扇和1台B种空调扇共2600元．
（1）求A，B两种空调扇的单价；
（2）若需要A种空调扇不少于120台，B种空调扇不少于70台，平均每台空调扇需要运费10元，设购买A种空调扇x台时，总费用y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
7．如图，在 中，对角线，相交于点，．
（1）求证：；
（2）若点，分别为，的中点，连接，，，求的长及四边形的周长．
8．如图，在矩形ABCD中，∠DAF＝300，M是CD上一点，AM的延长线交BC的延长线于点F，BE垂直平分AM，DG∥AF，MG∥DE．
（1）判断四边形DEMG的形状，并说明理由；
（2）求证：△ADM≌△FCM．
9．某射击队教练为了了解队员的训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射击5次，成绩统计如表：
命中环数 6 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0
乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是　 　环，乙命中环数的众数是　 　环；
（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定．
10．某通信公司在某地的资费标准为包月 元时，超出部分国内拨打 元 分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费.如表所示是超出部分国内拨打的收费标准.
时间 分 1 2 3 4 5
电话费 元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量；
（2）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费；
（3）某次打电话超出部分的费用是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟.
11．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元.
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
12．小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（m）与所用时间t（min）之间的关系图像如图所示，请结合图像信息解答下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）求出姐姐从家出发直到返回家的过程中，姐姐离家的距离与时间t之间的关系式；
（3）在姐姐去体育场的过程中，直接写出t为何值时，两人相距．
13．已知：如图，在中，于点.
（1）求作：线段，使得于点（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法和证明，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：.
14．为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评.为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号.为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩.数据如下：
收集数据：90
91 89 96
90 98 90
97 91 98
99 97 91
88 90 97
95 90 95 88
整理、描述数据：
成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 3 2 1 2 1
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数 众数 中位数
93
应用数据
（1）由上表填空： 　 　， 　 　， 　 　， 　 　，
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前 的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为　 　分.
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前 的学生“禁毒小卫士”荣誉称号.请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由.
15．如图，四边形ABCD中， ， ， ， ， ．
（1）求BD的长；
（2）求证： 是直角三角形．
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，B均在格点上， ，经过A，B，C三点的圆的半径为 ．
（1）线段 的长等于　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足 ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
17．已知直线 和 的表达式分别为 和 ，这两条直线相交于点 ， .
（1）求 和 的值；
（2）若直线 的表达式为 ，试说明：直线 ， ， 相交于同一个点.
18．为了丰富学生与教师的学校生活，减轻备考压力，某校组织了一次以“歌唱青春、绽放荣光”为主题的歌唱比赛，并组建了8人的评委会，其中1至3号为教师评委，4至8号为学生评委，如表是进入决赛的甲、乙两名选手的得分表．
评委 1 2 3 4 5 6 7 8
甲 90 88 92 94 92 88 92 98
乙 85 91 85 93 95 96 98 94
评分方案如下：
方案一：取各评委所给分数的平均数，作为最后得分；
方案二：从各评委所给分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余6位评委所给分数的平均数作为最后得分．
（1）你认为方案 　 　更合理；
（2）求出乙选手得分的中位数和众数；
（3）李老师认为评分既要突出教师评委的权威性，又要尊重学生评委的喜爱度，为此他设计了方案三：先计算教师评委所给评分的平均数，再计算学生评委所给评分的平均数，再根据比赛的需求分别赋予教师评委和学生评委6：4的权重，计算最终得分，按照方案三，甲、乙两人谁能获得歌唱比赛的冠军？
19．如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，E，F分别在线段OD，OB上，且OE=OF，连结CE，AF.
（1）求证：CE=AF；
（2）若∠DBA=45°，AB=1，求直线AD与BC之间的距离．
20．已知y与x＋2成正比例，且当x＝1时，y＝6；
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝﹣3时，求y的值.
21．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
22．在平面直角坐标系中，我们能把二元一次方程的一个解用一个点表示出来，标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解，这条直线也被称为二元一次方程的“图象”．
规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象．
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，然后作出直线．
（1）请你判断在方程的图象上的点有　 　（填序号）；
①；②；③；④．
（2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象；观察图象，两条直线的交点坐标为　 　，由此你得出这个二元一次方程组的解是　 　；
（3）已知以关于，的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简．
23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件.它们的单件成本和固定成本如表：
产品 单件成本（元/件） 固定成本（元）
A 0.1 1100
B 0.8 a
C b（b＞0） 200
（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）
（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为　 　.
（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同.
①求a；
②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围.
24．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，，．
（1）尺规作图：在CD的延长线上求作点F，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①求证：CE平分∠BEF；
②求线段CF的长．
25．如图，在 中， ， ， 垂直于 于点 ， 是 的中点．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
26．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5）
（1）求一次函数的表达式；
（2）求此函数与x轴，y轴的交点坐标.
27．如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于C点，与y轴交于A点，直线AB与x轴交于B点，与y轴交于A点，已知A(0，4)，B(2，0)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若 ，求点C的坐标．
28．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？
（3）在（2）条件下，哪种生产方案获得利润最大？并求出最大利润.
29．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙.”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）.
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是　 　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　 　分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为　 　人.
30．某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，并统计绘制成了如图两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生　 　人，并将条形图补充完整　 　；
（2）捐款金额的众数是　 　，中位数是　 　；
（3）在八年级850名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？
31．如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直线y=-x+b分别交OA、AB于点C、D，且ΔBOD的面积是4.
（1）求直线AO的解析式；
（2）求直线CD的解析式.
32．已知正比例函数y=3x，完成下列问题：
（1）画出函数图象。
（2）点(1，-3)在这个函数图象上吗？
（3）若x的取值范围是x>3，求y的取值范围。
33．枣庄某中学为调查本校学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题．
（1）请你补全条形统计图：
（2）在这次调查的数据中，做作业所用时间的中位数是　 　小时，平均数是　 　小时；
（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天做作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人？
34．如图，在 中， 是 边上的一点，已知 ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
35．如图，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时点Q从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作于点M，连接、．
（1）请用含有t的式子填空：
　 　，　 　，　 　；
（2）是否存在某一时刻使四边形为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
36．已知直线l平行于直线 ，且经过点 ．
（1）求直线l的解析式；
（2）试说明点 是否在直线l上．
37．学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
38．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
39．某学校从八年级学生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和统计图．
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数/人 1 9 5 5
（1）　 　，甲组成绩的众数　 　乙组成绩的众数（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）求甲组的平均成绩．
（3）计算出甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，则成绩更加稳定的是（　　）组（填“甲”或“乙”）．
40．如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 　 　（用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
41．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系．
42． 如图，已知四边形是矩形．
（1）如图1，若分别是的中点，求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的三个顶点分别在上，连接．
①如图2，若， ，求的长；
②如图3，若，请写出面积的最小值．
43．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接．则与的数量关系是　 　，与的位置关系是　 　；
（2）如图2，当点在菱形外部时，连接．那么（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，，请直接写出四边形的面积．
44．如图，一次函数y＝－3x＋3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 过点A且垂直于x轴.两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止），运动速度分别是每秒1个单位长度和3个单位长度.点G、E关于直线 对称，GE交AB于点F.设D、E的运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比.
45．如图，矩形 的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点 的坐标为（3，4），一次函数 的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足 ，M是线段DE上的一个动点
（1）求b的值；
（2）连接OM，若 的面积与四边形 的面积之比为 ，求点M的坐标；
（3）设N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标.
46．如图1，在等腰三角形中，是边上的高线，．点是射线上的一点，作于点，连接．
（1）求 ， ．
（2）①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点，连接，若，则长为 （直接写出结果）．
47．感知：
（1）如图，在 中， ，AB=AC点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE连接BE，DE，MN点M，P，N分别为DE，BE，BC的中点，则PM与PN的数量关系是：　 　．
（2）探究：把 绕点 顺时针方向旋转，如图，连接
①证明：
②∠PMN的度数是多少。
（3）应用：把 绕点 在平面内自由旋转，若 面积的最大值为　 　．
48．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，且实数a、b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点C的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分，点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究之间的数量关系，并证明你的结论．
49．如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若点 的坐标为 ，点 在线段 上（不与点 重合），求 的面积 与 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
50．设函数y1=ax+b，y2=bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P.
（1）求证：点P在y轴的右侧.
（2）已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大.
①当x=2时，y2-y1=2，求a的取值范围.
②若点P的坐标是（1，1），且a>b，求证当x=2时.
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【50道热点题型】人教版数学八年级下册期末试卷·综合题专练
1．学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍，若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞，无人机所在高度（米）与时间（秒）之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）甲在空中停留时的高度是　 　米，甲出发　 　秒后乙开始起飞，点表示的意义是　 　；
（2）甲、乙两架无人机的上升速度分别是多少米/秒？
（3）当时，两架无人机所在的高度相差多少米？
【答案】（1）20；14；24秒时甲、乙无人机所在高度都是60米
（2）解：（米/秒）
（米/秒）
因此，甲、乙两架无人机的上升速度分别为4米/秒、6米/秒。
（3）解：（米）
因此，当时，两架无人机所在的高度相差12米。
【解析】【解答】解：（1）在5-14秒时，甲在20米的斜率为0，则甲在20米处停留，
乙与X轴的交点为（14，0），甲与X轴的交点为（0，0），所以乙在甲出发后14秒开始起飞。
点A为甲和乙的交点，则在24秒时，甲和乙高度都为60米。
【分析】（1）根据图象可获取相关信息；
（2）上升的高度÷所花的时间=上升速度；
（3）速度差×时间差=相差的高度.
2．某学校在一次广播操比赛中，901班，902班，903班的各项得分如表：
班级 服装统一 动作整齐 动作准确
901班 85 70 85
902班 75 85 80
903班 90 85 95
（1）若取三个项目的得分平均分作为该班成绩，分别求各班的成绩.
（2）若学校认为三个项目的重要程度各不相同，从低到高依次为“服装统一”“动作整齐”“动作准确”，它们在总分中所占的比例分别为10％， ％， ％.请你设计一组符合要求的 ， 值，并直接给出三个班级的排名顺序.
【答案】（1）解：901班： 分，
902班： 分，
903班： 分；
（2）解：取a＝40，b＝50，
901班平均成绩为85×10%＋70×40%＋85×50%＝79（分），
902班平均成绩为75×10%＋85×40%＋80×50%＝81.5（分），
903班平均成绩为90×10%＋85×40%＋95×50%＝90.5（分），
∴903第一名，902第二名，901第三名.
【解析】【分析】（1）用各班三项成绩的总和除以3即可求解；
（2）由加权平均数公式计算可得结果.
3．已知甲、乙两地相距840千米，客车、货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向行驶.货车2小时可到达途中丙站，客车需9小时到达丙站（如图1所示），货车的速度是客车的 ，客、货车到丙站的距离分别为 、 （千米），它们与行驶时间x（时间）之间的函数关系如图2所示.
（1）求客、货两车的速度；
（2）如图2，两函数图象交于点E，求E点坐标.
【答案】（1）解：设客车的速度是x千米/小时，则货车的速度为 千米/小时，
依题意可得： ，
解得 ，
∴ ，
答：客车的速度是80千米/小时，货车的速度是60千米/小时；
（2）解：由题意可知：
当 时， 过点 ， ，
当 时 过点 ， ，
设 ， 有
解得
∴ ，
联立两式，解得
∴点E的坐标为
【解析】【分析】（1）根据题意列出有关v的一元一次方程解得即可；
（2）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，即客车追上了货车.
4．小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：
a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；
b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；
c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．
在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：
难度系数 裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7#
3.5 打分 7.5 8.5 4.0 9.0 8.0 8.5 7.0
（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝ ， 得分A甲＝ ； （直接写出答案）
（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲' P甲 （填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；
（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．
【答案】（1）8.0，84；
（2）<；
（3）9.0分
5．某中学要在校园内划出一块面积是100m2的长方形形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为xm和ym．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）说明当x=10时的实际意义．
【答案】（1）解：根据矩形面积公式可得xy=100，
故
（2）解：把x=10代入 中得y=10．
实际意义：这是一个正方形
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式可得xy=100，再变成函数关系式即可．（2）利用待定系数法把x=10代入函数关系式可得答案．
6．6月来临，重庆气温升高，市民购买空调扇的越来越多，根据市场需要，有一电器老板需要购进A，B两种空调扇共200台，已知1台A种空调扇和3台B种空调扇共3800元，2台A种空调扇和1台B种空调扇共2600元．
（1）求A，B两种空调扇的单价；
（2）若需要A种空调扇不少于120台，B种空调扇不少于70台，平均每台空调扇需要运费10元，设购买A种空调扇x台时，总费用y元，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（3）求出总费用最少的购置方案．
【答案】（1）解：设A种空调扇的单价为a元，B种空调扇的单价为b元，
根据题意得， ，
解得 ，
即：A种空调扇的单价为800元，B种空调扇的单价为1000元；
（2）解：根据题意知，y＝800x+1000（200﹣x）+200×10＝﹣200x+202000（120≤x≤130），
（3）解：由（2）知，y＝﹣200x+202000（120≤x≤130），
∴当x＝130时，总费用最少，
即：购买A种空调扇130台，购买B种空调扇70台，总费用最少，最少费用为176000元．
【解析】【分析】（1）根据“1台A种空调扇和3台B种空调扇共3800元，2台A种空调扇和1台B种空调扇共2600元．”建立方程组即可得出结论；
（2）根据题意建立函数关系式，由A种空调扇不少于120台，B种空调扇不少于70台，确定x的范围；
（3）根据一次函数的性质，即可得出结论。
7．如图，在 中，对角线，相交于点，．
（1）求证：；
（2）若点，分别为，的中点，连接，，，求的长及四边形的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，，
是菱形，
；
（2）解：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
由（1）可知，四边形是菱形，
，，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【解析】【分析】（1）由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得平行四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直可得结论；
（2）根据题意可得EF为△AOD的中位线，则OD=2EF=3，根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，BD=2OD=6，利用勾股定理求出AD，进而可得菱形ABCD的周长.
8．如图，在矩形ABCD中，∠DAF＝300，M是CD上一点，AM的延长线交BC的延长线于点F，BE垂直平分AM，DG∥AF，MG∥DE．
（1）判断四边形DEMG的形状，并说明理由；
（2）求证：△ADM≌△FCM．
【答案】（1）解：四边形DEMG是菱形
∵DG∥AF，MG∥DE
∴四边形DEMG是平行四边形
∵矩形ABCD
∴∠ADC＝900
∵BE平分AM
∴DE＝EM
∴四边形DEMG是菱形
（2）证明：连接BM
∵BE垂直平分AM
∴AB＝BM
在△ADM和△FCM中，∠AMD=∠FMC，∠DAF=∠F，AM=MF，
∴△ADM≌△FCM
【解析】【分析】（1）先证明四边形DEMG是平行四边形，再根据Rt△ADM斜边上的中线等于斜边的一半，得到邻边相等，故可证明菱形；（2）连接BM，根据BE垂直平分AM，得到AB＝BM，即可证明△ADM≌△FCM.
9．某射击队教练为了了解队员的训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射击5次，成绩统计如表：
命中环数 6 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0
乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是　 　环，乙命中环数的众数是　 　环；
（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定．
【答案】（1）8；6、9
（2）解：甲的平均数是： ×（7＋8＋8＋8＋9）＝8（环），
则甲的方差是： ×[（7﹣8）2＋3×（8﹣8）2＋（9﹣8）2]＝0.4，
乙的平均数是： ×（6＋6＋9＋9＋10）÷5＝8（环），
则甲的方差是： ×[2×（6﹣8）2＋2×（9﹣8）2＋（10﹣8）2]＝2.8，
0.4<2.8
所以甲的成绩比较稳定．
【解析】【解答】解：（1）甲命中环数的中位数是8环，乙命中环数的众数是6环和9环，
故答案为：8，6和9；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义计算求解即可；
（2）根据方差，平均数进行求解即可。
10．某通信公司在某地的资费标准为包月 元时，超出部分国内拨打 元 分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费.如表所示是超出部分国内拨打的收费标准.
时间 分 1 2 3 4 5
电话费 元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8
（1）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量，哪个是因变量；
（2）如果打电话超出25分钟，需付多少电话费；
（3）某次打电话超出部分的费用是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟.
【答案】（1）解：这个表反映了超出时间、超出部分的电话费之间的关系，超出时间是自变量，超出部分的电话费是因变量；
（2）解：0.36×25=9（元）
9+18=27元
答：打电话超出25分钟，需付27元电话费.
（3）解：54÷0.36=150（分钟）
答：小明的爸爸打电话超出150分钟.
【解析】【分析】（1）首先根据超出部分国内拨打的收费标准表，判断出这个表反映了超出时间、超出部分的电话费之间的关系；然后根据自变量的含义：如果（x）取任意一个量，（y）都有唯一的一个量与（x）对应，那么相应地（x）就叫做自变量，判断出哪个是自变量及因变量即可；
（2）由表格可知超出包月费后，每分钟电话费为0.36元，所以求得超出25分钟的电话费，然后再加上包月费即可；
（3）用超出的费用除以电话费的单价，即可判断出小明的爸爸打电话超出几分钟.
11．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为90万元，今年销售额只有80万元.
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金万元，要使（2）中所有的方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
【答案】（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价m万元.
则：，
解得：m=8.
经检验，m=8是原方程的根且符合题意.
答：今年5月份A款汽车每辆售价8万元；
（2）解：设购进A款汽车x辆.
则：99≤7.5x+6（15-x）≤105.
解得：6≤x≤10.
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案；
（3）解：设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，则：
W=（8-7.5）x+（8-6-a）（15-x）=（a-1.5）x+30-15a.
当a=1.5时，（2）中所有方案获利相同，此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆对公司有利.
【解析】【分析】（1） 设今年5月份A款汽车每辆售价m万元 ，根据总价除以单价等于数量，由数量相等建立方程，然后求解即可；
（2） 设购进A款汽车x辆，根据单价乘以数量等于总价，及总价不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，列出不等式组求出x的范围，并取正整数即可；
（3）方案获利相同，说明与车的进货量无关，然后根据未知数x的系数为0列式求解；多进B款汽车对公司更有利，由于A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，则A的进货成本较大，资金成本也大.
12．小亮和姐姐周末去体育场观看比赛，姐姐骑共享单车保持匀速从家到体育场，到达赛场后观看比赛用了，看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，姐姐从家出发的同时，小亮刚看完上一场比赛从体育场步行返回家中，结果比姐姐早到家，姐姐从家出发开始计时，两人离家的距离y（m）与所用时间t（min）之间的关系图像如图所示，请结合图像信息解答下列问题：
（1）　 　，　 　；
（2）求出姐姐从家出发直到返回家的过程中，姐姐离家的距离与时间t之间的关系式；
（3）在姐姐去体育场的过程中，直接写出t为何值时，两人相距．
【答案】（1）40；70
（2）解：当0≤t≤10时，设y=kt，将（10，2000）代入可得k=200，则y=200t；
当10当70解得，
∴y=-200t+16000，
∴
（3）解：由图象可得：家与体育场的距离为2000m，
∵小亮比姐姐提前40min到家，
∴小亮回家的时间为80-40=40min，
∴小亮步行的速度为2000÷40=50m/min，
∴小亮返回时y与x的关系式为y=-50t+2000.
在姐姐去体育场的过程中，y=200t，
∴|200t-(-50t+2000)|=400，
解得t=6.4或9.6，
∴在姐姐去体育场的过程中，t=6.4或t=9.6时，两人相距400m．
【解析】【解答】解：（1）由图象可得：姐姐从家到体育场用时10min，观看比赛1h，故b=10+60=70；
∵看完比赛后骑车以同样的速度沿原路返回家中，
∴姐姐去和返回时的时间均为10min，
∴a=70+10-40=40.
故答案为：40，70.
【分析】（1）根据姐姐从家到体育场的时间加上观察比赛的时间可得b的值，由题意可得姐姐去和返回时的时间均为10min，进而不难得到a的值；
（2）分0≤t≤10、10（3）由图象可得：家与体育场的距离为2000m，小亮回家的时间为80-40=40min，求出小亮步行的速度，然后表示出小亮返回时y与x的关系式，据此求解.
13．已知：如图，在中，于点.
（1）求作：线段，使得于点（请用无刻度的直尺与圆规作图，不写作法和证明，但要保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：.
【答案】（1）证明：如图，线段是所求作的线段；
（2）证明：，，
.
在中，，，
，
在与中，
，
∴.
【解析】【解答】解：(1)（法二：在上截取，连接；法三：作；法四：作的中点，再作以为直径的圆交于点，连接；）
【分析】（1）由题意可求解；
（2）由垂线的定义可得∠AEB=∠CFD=90°，由平行四边形的对应边平行且相等可得AB=CD，AB∥CD，由平行线的性质可得∠ABE=∠CDF，结合已知用角角边可证 ABE≌ CDF，然后根据全等三角形的对应边相等可求解.
14．为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评.为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号.为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩.数据如下：
收集数据：90
91 89 96
90 98 90
97 91 98
99 97 91
88 90 97
95 90 95 88
整理、描述数据：
成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99
学生人数 2 1 3 2 1 2 1
数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数 众数 中位数
93
应用数据
（1）由上表填空： 　 　， 　 　， 　 　， 　 　，
（2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前 的学生为“良好”等次，你认为“良好”等次的测评成绩至少定为　 　分.
（3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前 的学生“禁毒小卫士”荣誉称号.请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由.
【答案】（1）5；3；90；91
（2）91
（3）解：估计评选该荣誉称号的最低分数为97分；理由如下：
∵20×30%=6，
97分以上含97分的共有：1+2+3=6（人），
∴估计评选该荣誉称号的最低分数为97分
【解析】【解答】解：（1）由题意得：90分的有5个；97分的有3个；
出现次数最多的是90分，
∴众数是90分，
第10，第11个数都是91，
∴中位数是：（91+91）÷2=91，
故答案为： ， ， 90， 91；（2）20×50%=10，
如果该校想确定七年级前50%的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定为91分；
故答案为：91；
【分析】（1）根据收集的数据以及众数和中位数的意义进行解答即可；（2）由20×50%=10，结合题意即可得出结论；（3）由20×30%=6，即可得出结论．
15．如图，四边形ABCD中， ， ， ， ， ．
（1）求BD的长；
（2）求证： 是直角三角形．
【答案】（1）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2+AD2＝BD2
∴BD＝
（2）证明：∵CD＝12，BC＝13，BD＝5
∴ ＝ =CB2
∴△BCD是直角三角形．
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，根据勾股定理可得BD的长；
（2）根据已知条件可得CD2+BD2=BC2，然后根据勾股定理逆定理进行证明.
16．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， 的顶点A，B均在格点上， ，经过A，B，C三点的圆的半径为 ．
（1）线段 的长等于　 　；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足 ，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）
【答案】（1）
（2）解：如图，取格点O，连接 并延长；取格点D，连接 并延长，与 的延长线相交于点P，则点P即为所求．
【解析】【解答】解：（1）由勾股定理可得， ；
故答案为： ；
(2)理由：连接OB，
∵ ，
∴ ，
在△OMB和△DBN中，
，
∴△OMB≌△DBN，
∴∠MOB=∠DBN，
∵∠MOB+∠OBM=90°，
∴∠DBN+∠OBM=90°，
∴∠OBD=90°，
∴ ．
【分析】（1）根据提，利用勾股定理求出答案即可；
（2）根据题意，取格点O，连接OC并演唱，取格点D，连接BD并延长，与OC的延长线相交于点P，则点P即为所求。
17．已知直线 和 的表达式分别为 和 ，这两条直线相交于点 ， .
（1）求 和 的值；
（2）若直线 的表达式为 ，试说明：直线 ， ， 相交于同一个点.
【答案】（1）解：依题意，得：
解得：
（2）解：由（1）得：直线 与 相交于点 .
∵当 时， ，
∴直线 也过点 ，
∴直线 ， ， 相交于同一个点
【解析】【分析】（1）分别将点A的坐标代入直线l1、l2中可得关于k、n的方程组，求解即可；
（2）由n的值可得点A的坐标，然后将x=-2代入直线l3中可得y的值，据此解答.
18．为了丰富学生与教师的学校生活，减轻备考压力，某校组织了一次以“歌唱青春、绽放荣光”为主题的歌唱比赛，并组建了8人的评委会，其中1至3号为教师评委，4至8号为学生评委，如表是进入决赛的甲、乙两名选手的得分表．
评委 1 2 3 4 5 6 7 8
甲 90 88 92 94 92 88 92 98
乙 85 91 85 93 95 96 98 94
评分方案如下：
方案一：取各评委所给分数的平均数，作为最后得分；
方案二：从各评委所给分数中去掉一个最高分和一个最低分，再取剩余6位评委所给分数的平均数作为最后得分．
（1）你认为方案 　 　更合理；
（2）求出乙选手得分的中位数和众数；
（3）李老师认为评分既要突出教师评委的权威性，又要尊重学生评委的喜爱度，为此他设计了方案三：先计算教师评委所给评分的平均数，再计算学生评委所给评分的平均数，再根据比赛的需求分别赋予教师评委和学生评委6：4的权重，计算最终得分，按照方案三，甲、乙两人谁能获得歌唱比赛的冠军？
【答案】（1）二
（2）解：乙选手得分按由小到大排列为85，85，91，93，94，95，96，98，
所以乙选手得分的中位数为，
乙选手得分的众数为85；
（3）解：对于甲选手：教师评委所给评分的平均数为，学生评委所给评分的平均数为，
∴甲选手的最终得分为；
对于乙选手：教师评委所给评分的平均数为，学生评委所给评分的平均数为，
∴乙选手的最终得分为，
∵，
∴甲选手获得歌唱比赛的冠军．
【解析】【分析】（1）利用平均数的定义及计算方法求解即可；
（2）利用中位数和众数的定义及计算方法求解即可；
（3）根据平均数的定义及计算方法求解即可。
19．如图，已知在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，E，F分别在线段OD，OB上，且OE=OF，连结CE，AF.
（1）求证：CE=AF；
（2）若∠DBA=45°，AB=1，求直线AD与BC之间的距离．
【答案】（1）证明∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC
在△COE和△AOF中
∴△COE≌△AOF（SAS）
∴CE=AF.
（2）解：过点A作AH⊥BC于点H，
∵AC⊥AB，∠DBA=45°，
∴∠BAC=90°，
∴AO=AB=1
∴AC=2OA=2，
在Rt△ABC中
∴，
∴
解之：.
答：直线AD和BC之间的距离为.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得OA=OC，利用SAS证明△COE≌△AOF，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）过点A作AH⊥BC于点H，易证AO=AB=1，可求出AC的长；再利用勾股定理求出CB的长，然后利用直角三角形的两个面积公式可求出AH的长.
20．已知y与x＋2成正比例，且当x＝1时，y＝6；
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝﹣3时，求y的值.
【答案】（1）解：由题意可设
将 ， 代入上式得
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：
（2）解：当 时，
【解析】【分析】（1）根据题意设出函数解析式，把当x＝1时，y＝－6代入解析式，便可求出k的值，从而求出其解析式；
（2）代入x的取值计算即可.
21．如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边、分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的周长．
【答案】（1）证明：∵，
，
是对角线的垂直平分线，
，，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
，，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形；
（2）先利用勾股定理求出，再利用菱形的周长公式求出答案即可。
22．在平面直角坐标系中，我们能把二元一次方程的一个解用一个点表示出来，标出一些以方程的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作直线，在这条直线上任取一点，这个点的坐标就是方程的解，这条直线也被称为二元一次方程的“图象”．
规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象．
结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线．
示例：如图1，我们在画方程的图象时，可以取点和，然后作出直线．
（1）请你判断在方程的图象上的点有　 　（填序号）；
①；②；③；④．
（2）请你在图2所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象；观察图象，两条直线的交点坐标为　 　，由此你得出这个二元一次方程组的解是　 　；
（3）已知以关于，的方程组的解为坐标的点在方程的图象上，当时，化简．
【答案】（1）②④
（2） ；
（3）解：由可得.
根据题意，代入到，有.
，可得，解得.
∵ ，即，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴
【解析】【解答】解：（1）代入①x=-2，y=-2到原方程，有，即不在的图象上 ；代入②x=-1，y=-1到原方程，有，即在的图象上；代入③x=1，y=2到原方程，有，即不在的图象上；代入④x=2，y=5到原方程，有，即在的图象上.
故答案为：②④；
（2）由图像可知的图像与的图像相交于点，因此这个二元一次方程组的解是.
故答案为：、.
【分析】（1）只需将各点坐标代入方程验证是否满足等式即可；
（2） 画出方程组的两个方程的图象，并通过交点坐标得出方程组的解；
（3）将原方程组的两个方程相加，代入条件，先求出值，再根据 ，分别化简以及，再相减即可.
23．某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的生产数量均为x件.它们的单件成本和固定成本如表：
产品 单件成本（元/件） 固定成本（元）
A 0.1 1100
B 0.8 a
C b（b＞0） 200
（注：总成本＝单件成本×生产数量+固定成本）
（1）若产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式为　 　.
（2）当x＝1000时，产品A、B的总成本相同.
①求a；
②当x≤2000时，产品C的总成本最低，求b的取值范围.
【答案】（1）y＝0.1x+1100
（2）解：①由题意得0.8×1000+a＝0.1×1000+1100，
解得a＝400；
②当x＝2000时，yC≤yA且yC≤yB，
即2000b+200≤2000×0.8+400；2000b+200≤2000×0.1+1100，
解得：0＜b≤0.55.
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：y＝0.1x+1100；
故答案为：y＝0.1x+1100；
【分析】（1）根据“总成本＝单件成本×生产数量+固定成本”即可得出产品A的总成本为yA，则yA关于x的函数表达式；
（2）①根据题意列方程解答即可；②取x＝2000时，即可得出b的取值范围.
24．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，，．
（1）尺规作图：在CD的延长线上求作点F，使．（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下：
①求证：CE平分∠BEF；
②求线段CF的长．
【答案】（1）解：作EC的垂直平分线，并交CD的延长线于点F，连接FE、FC即可，
作图如下：
（2）解：设EC的垂直平分线交EC于点M，过E点作EN⊥DC于点N，如图，
①在矩形ABCD中，有，
∵FM是EC的垂直平分线，
∴EF=FC，
∴∠FEC=∠FCE，
∵，
∴∠FCE=∠BEC，
∴∠BEC=∠FEC，
∴EC平分∠BEF；
②∵EN⊥DC，BC=4，BE=2，
∴结合矩形ABCD的性质可知四边形ENCB是矩形，
∴EN=BC=4，BE=CN=2，∠FNE=90°，
∴FN=FC-NC=FC-2，
∵EF=FC，
∴在Rt△EFN中，，
∴，
解得FC=5．
即FC长度为5．
【解析】【分析】（1）作EC的垂直平分线，并交CD的延长线于点F，则点F即为所求；
（2）设EC的垂直平分线交EC于点M，过E点作EN⊥DC于点N，①由矩形的性质可得AB∥CD，由平行线的性质可得∠FCE=∠BEC， 由线段垂直平分线的性质可得EF=FC，利用等边对等角可得∠FEC=∠FCE，即得∠BEC=∠FEC，根据角平分线的定义即得结论；② 易证四边形ENCB是矩形，可得EN=BC=4，BE=CN=2，∠FNE=90°，从而得出FN=FC-NC=FC-2，在Rt△EFN中，与勾股定理可得，即得， 从而求出FC的长.
25．如图，在 中， ， ， 垂直于 于点 ， 是 的中点．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明：在 中， ，D是AB的中点，
CE垂直AB于点E
（2）解：
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质可得，从而得出∠DCB=∠B=
30°，利用三角形的内角和求出∠BCD=60°，利用三角形外角的性质求出∠ADC=∠B+∠DCB=60°，即得∠A=∠ADC，由等角对等边可得AC=DC，根据等腰三角形三线合一的性质即得结论；
（2）先求出∠ACE=30°，利用含30°的直角三角形的性质可得AE=AC，由（1）知DE=AE，即可求解.
26．已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣1，1）和点（1，﹣5）
（1）求一次函数的表达式；
（2）求此函数与x轴，y轴的交点坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图象经过（-1，1），（1，-5）两点，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为y=-3x-2；
（2）解：令y=0，得x= ，
∴A（ ，0），即与x轴交点为（ ，0），
令x=0，得y=-2，
∴B（0，-2），即与y轴交点为（0，-2）.
【解析】【分析】（1）将（-1，1）、（1，-5）代入y=kx+b中求出k、b，据此可得一次函数的表达式；
（2）分别令x=0、y=0，求出y、x，就可得到一次函数图象与x轴、y轴的交点坐标.
27．如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于C点，与y轴交于A点，直线AB与x轴交于B点，与y轴交于A点，已知A(0，4)，B(2，0)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若 ，求点C的坐标．
【答案】（1）解；设直线AB的解析式为y=kx+b
∵直线AB经过A(0，4)，B(2，0)
∴ ，
解之得 k= 2，b=4，
∴直线AB的解析式为y= 2x+4
（2）解；设C(x，0)
∵A(0，4)，B(2，0)
∴OA=4，OB=2
∵S△ABC=12，
∴ BC·OA=12，
∴BC=6，
∴|x 2|=6，
解得：x=8或x= 4．
∴C( 4，0)或C(8，0)
【解析】【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，因为直线AB经过A(0，4)，B(2，0)，可得出k、b的值，即可得出直线AB的解析式；
（2）设C(x，0)，由A、B的坐标，得出OA=4，OB=2，由S△ABC=12，得出BC=6，|x 2|=6，从而得出x的值，即可得出C的坐标。
28．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如表：
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？
（3）在（2）条件下，哪种生产方案获得利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）解：设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10 x）件，
由题意，x＋3（10 x）＝14，
解得x＝8，
∴10 x＝2，
∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件.
（2）解：设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10 m）件，
由题意得
，
解这个不等式组，得2≤m＜5，
∵m为正整数，m可以取2或3或4；
∴生产方案有3种：
①生产A种产品2件，B种产品8件；
②生产A种产品3件，B种产品7件.
③生产A种产品4件，B种产品6件.
（3）解：设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10 x）件，
则利润y＝x＋3（10 x）＝ 2x＋30，
则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大，
所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1＋8×3＝26（万元）.
【解析】【分析】（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产(10 x)件，根据A种产品每件的利润×件数+B种产品每件的利润×件数=总利润可得关于x的方程，求解即可；
（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产(10 m)件，根据投入资金不多于44万元可得2m+5(10-m)≤44，根据获利多于20万元可得m+3(10-m)>20，联立求出m的范围，结合m为正整数可得m的取值，进而可得生产方案；
（3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品(10 x)件，根据A种产品每件的利润×件数+B种产品每件的利润×件数=总利润可得y与x的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
29．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙.”为进一步提高学生学习数学的兴趣，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布直方图如图所示，从左到右依次为第一组到第五组（每组数据含前端点值，不含后端点值）.
信息二：第三组的成绩（单位：分）为74 71 73 74 79 76 77 76 76 73 72 75
根据信息解答下列问题：
（1）补全第二组频数分布直方图（直接在图中补全）；
（2）第三组竞赛成绩的众数是　 　分，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是　 　分；
（3）若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的约为　 　人.
【答案】（1）解：第二组人数为：50-4-12-20-4=10（人）
补全统计图如下：
（2）76；78
（3）720
【解析】【解答】解：（2）第三组竞赛成绩中76分出现次数最多，出现了3次，故众数为76分；
50个数据中，最中间的两个数据分别是第25个和26个数据，对应的分数为：77分和79分，它们的平均数为： （分），故中位数为78（分）；
故答案为：76，78；
（3）1500× =720（人），
故答案为：720.
【分析】（1）利用频数分布直方图求出第二组的人数；再补全频数分布直方图；
（2）找出这组数据中出现次数最多的数据，就是这组数据的众数；将五十个数据按从小到大排列后，找出最中间两个数据的平均数，就是这组数据的中位数；
（3）利用1500×该校参赛学生成绩不低于80分的人数所占的百分比，列式计算即可.
30．某校八年级全体同学参加了某项捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，并统计绘制成了如图两幅不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共抽查学生　 　人，并将条形图补充完整　 　；
（2）捐款金额的众数是　 　，中位数是　 　；
（3）在八年级850名学生中，捐款20元及以上（含20元）的学生估计有多少人？
【答案】（1）50；本次抽查的学生有：14÷28%=50（人），则捐款10元的有50-9-14-7-4=16（人），补全条形统计图图形如下：
（2）10；12.5
（3）解：捐款20元及以上（含20元）的学生有：850×=187（人）．
【解析】【解答】解：（2）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10；
将这组数据按照从小到大的顺序排列，中间两个数据分别是10，15，所以中位数是（10+15）÷2=12.5．故答案为：10，12.5；
【分析】（1）利用C组人数除以其百分比，即得抽查总人数，再分别减去A、C、D、E类人数，即得B类人数，然后补图即可；
（2）根据众数、中位数的定义求解即可；
（3）利用样本中D和E类人数和所占的比例乘以八年级总人数，即得结论.
31．如图，在△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，直线y=-x+b分别交OA、AB于点C、D，且ΔBOD的面积是4.
（1）求直线AO的解析式；
（2）求直线CD的解析式.
【答案】（1）解：∵OB=4，AB=8，∠ABO=90°，
∴A点坐标为（4，8），
设直线AO的解析式为y=kx，则4k=8 ，
解得k=2，即直线AO的解析式为y=2x.
（2）解：∵OB=4，∠ABO=90°， = 4，
∴DB=2，
∴D点的坐标为（4，2），
把D（4，2）代入 得： =6，
∴直线CD的解析式为 .
【解析】【分析】（1）由题意可得A（4，8），设直线AO的解析式为y=kx，将点A坐标代入求出k的值，进而可得直线AO的解析式；
（2）根据△BOD的面积公式可得BD的值，据此可得点D的坐标，然后代入y=-x+b中求出b的值，进而可得直线CD的解析式.
32．已知正比例函数y=3x，完成下列问题：
（1）画出函数图象。
（2）点(1，-3)在这个函数图象上吗？
（3）若x的取值范围是x>3，求y的取值范围。
【答案】（1）解：列表：
x …… -1 0 1 ……
y …… -3 0 3 ……
描点、连线得函数y=3x的图象如图所示．
（2）解：把x=1代入y=3x，得y=3，-3≠3，所以点(1，-3)不在这个函数图象上
（3）解：把x=3代入y=3x，得y=9．因为k=3>0，所以y随x的增大而增大，所以当x>3时，y>9．
【解析】【分析】（1）先列表，再作图即可；
（2） 把x=1代入y=3x，判断求解即可；
（3）先求出 y=9 ，再求出 y随x的增大而增大， 最后求解即可。
33．枣庄某中学为调查本校学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了50名同学，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分，请根据以上信息，解答下列问题．
（1）请你补全条形统计图：
（2）在这次调查的数据中，做作业所用时间的中位数是　 　小时，平均数是　 　小时；
（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天做作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人？
【答案】（1）解：每天作业用时是4小时的人数是：50﹣6﹣12﹣16﹣8＝8（人），补全条形统计图如图所示：
（2）3；3
（3）解：2000× ＝1360（人），
答：估计该校全体学生每天组作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有1360人．
【解析】【解答】解：（2）∵从小到大排列后排在第25和第26位的都是每天作业用时是3小时的人，
∴中位数是3小时；
平均数是 ×（6+12×2+16×3+8×4+8×5）＝3（小时），
故答案为：3、3；
【分析】（1）求出每天作业用时为4小时的学生数，即可补全条形统计图；
（2）根据中位数、平均数的计算进行求解即可；
（3）样本中每天做作业在3小时内（含3小时）的占调查人数的，估计总体2000名学生的是每天做作业时间在3小时内（含3小时）的人数。
34．如图，在 中， 是 边上的一点，已知 ， ， ， .
（1）求证： ；
（2）求 的长.
【答案】（1）证明：在△ABD中，
∵AB=17，AD=15，BD=8；
∴AD2+BD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，其中∠ADB=90°，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，∴AD2+CD2=AC2，
即152+CD2=252，
解得：CD=20或CD= 20（舍）
∴CD的长为20.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理逆定理由AD2+BD2=AB2即可判断出△ABD是直角三角形，且∠ADB=90° ，即可得证；
（2）由勾股定理知AD2+CD2=AC2，即152+CD2=252，解之可得答案.
35．如图，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点C匀速运动，同时点Q从点A出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t秒．过点P作于点M，连接、．
（1）请用含有t的式子填空：
　 　，　 　，　 　；
（2）是否存在某一时刻使四边形为菱形？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，说明理由．
（3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）；；
（2）解：存在，理由如下：
由（1）知：，
，，
，
四边形是平行四边形，
当时，平行四边形是菱形，
即，
解得，
则存在，使得平行四边形成为菱形．
（3）解：当为直角三角形时，有三种可能：
①当时，此时四边形为矩形，
在中，，
，
，即，
解得：；
②当时，由（2）知，
，
，
，
，
即，
解得：．
③当时，此种情况不存在．
综上所述：当为10或16时，为直角三角形．
【解析】【解答】（1）∵在中，， ，
∴∠B=30°，
∵，
∴AB=2AC=40，
∴AQ=1×t=t，BP=2×t=2t，
∴AP=AB-BP=40-2t，
∵PM⊥BC，
∴PM=，
∴AQ=t；AP=40-2t；PM=t；
故第1空答案为：t；第2空答案为：40-2t；第3空答案为：t。
【分析】（1）首先根据汉30°锐角的直角三角形的性质，得出AC=20，然后再根据速度×时间=路程，可求得AQ=t，BP=2t，从而得出AP=20-2t，又在含30°锐角的直角三角形中，求得PM=
（2）根据PM=AQ，PM∥AQ，可证得四边形AQMP是平行四边形，然后根据当AP=AQ时，平行四边形AQMP是菱形，可得出40-2t=t，即可求得t的值；
（3） 当△BQM为直角三角形时，可分为三种情况：①当∠MPQ=90°时，此时四边形CMPQ为矩形， 根据AP=2AQ，可得40-2t=2t，可求得t的值；②当∠MQP=90°时，由（2）知MQ∥AP， 根据AQ=2AP，可得t=2（40-2t），即可求得t的值；③当∠PMQ=90°时，此种情况不存在．
36．已知直线l平行于直线 ，且经过点 ．
（1）求直线l的解析式；
（2）试说明点 是否在直线l上．
【答案】（1）解：设直线解析式为 ，
∵平行于直线 ，
∴k＝﹣3，
∴ ，
∵过点 ，
∴﹣3+b＝3，
∴b＝6，
∴直线l解析式是
（2）解：把x＝2a代入 得， ，
∴点 不在直线l上
【解析】【分析】（1）设直线解析式为y＝kx+b，由平行于直线 ，可得k＝﹣3，再把点 代入即可求解；（2）把点P的坐标代入（1）中的解析式即可判断．
37．学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
（1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
（2）设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得，
解得，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）解：根据题意，得，
解得，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）解：设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w有最小值，即w（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【解析】【分析】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）根据题意列出不等式组求解即可；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
38．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC=∠BED，
∵∠BED=120°，
∴∠BEC=60°=∠AEF．
∴∠EFD=60°+45°=105°．
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质即可得到BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°，进而根据三角形全等的判定证明△BEC≌△DEC（SAS）即可；
（2）先根据三角形全等的性质即可得到∠BEC=∠DEC=∠BED，进而结合题意即可求解。
39．某学校从八年级学生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和统计图．
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数/人 1 9 5 5
（1）　 　，甲组成绩的众数　 　乙组成绩的众数（填“＞”“＜”或“＝”）．
（2）求甲组的平均成绩．
（3）计算出甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，则成绩更加稳定的是（　　）组（填“甲”或“乙”）．
【答案】（1）3；=
（2）解：（分）；
答：甲组的平均成绩为分
（3）乙
【解析】【解答】解：（1）m=20-2-9-6=3，甲组的众数为8分，乙组的众数为8分，故甲组的众数=乙组的众数.
故答案为：3，=.
（3）∵甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，且0.75<0.81，
∴乙组的成绩稳定.
故答案为：乙.
【分析】（1）根据总人数可求出m的值，找出甲组、乙组中出现次数最多的数据即为众数，然后进行比较即可；
（2）根据成绩×对应的人数，然后除以总人数可得平均成绩；
（3）方差越小，成绩越稳定，据此判断.
40．如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 　 　（用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3，
∴，
∴t＝6；
（3）解：t的值为或8或．
【解析】【解答】解：（1）由题意可得AP=t，
∴PD=AD-AP=，
故答案为：．
（3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD，
∴PD=BQ，当点Q没有到达点B时，6-t=6-2t，
∴t=0（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，6-t=2t-6，
∴t=，
当点Q到达点C后，返回时，6-t=6×3-2t，
∴t=8，
当点Q第二次到达点B后，6-t=2t-18，
∴t=，
综上所述：t的值为或8或．
【分析】（1）由题意可得AP=t，根据PD=AD-AP，即可求解．
（2）由平行线的性质和角平分线的性质即可求解；
（3）利用平行四边形的性质，分三种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程可求解．
41．如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积．
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点P是直线BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在直线BD上运动时，请直接写出∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系．
【答案】（1）解：∵点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），
∴将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得C（0，2），D（4，2）；
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABDC为平行四边形，
∴四边形ABDC的面积为：AB OC＝8；
（2）解：存在，∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，
∵三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，
∴．
∵点B的坐标为（3，0），
∴点F的坐标为（1，0）或（5，0）；
（3）解：当点P在线段BD上运动时，如图，延长CP交x轴于E点，
∵CD∥AB，
∴∠PCD＝∠CEO，
∴∠OPC＝∠POE+∠CEO，
∴∠OPC＝∠PCD+∠POB；
当点P在线段BD的延长线上运动时，如图，
∵AB∥CD，
∴∠POB＝∠CFO，
∵∠CFO＝∠PCD+∠OPC，
∴∠OPC＝∠POB-∠PCD；
当点P在DB的延长线上运动时，如图，
∵AB∥CD，
∴∠PCD＝∠OMC，
∵∠OMC＝∠POB+∠OPC，
∴∠OPC＝∠PCD-∠POB．
综上：当点P在线段BD上运动时，∠OPC＝∠PCD+∠POB；
当点P在线段BD的延长线上运动时，∠OPC＝∠POB-∠PCD；
当点P在DB的延长线上运动时，∠OPC＝∠PCD-∠POB．
【解析】【分析】（1）由点的坐标平移求出C、D的坐标，可得AB＝CD，AB∥CD，从而证四边形ABDC为平行四边形，利用平行四边形的面积公式求解即可；
（2）由C、D的坐标，可得CD=4，再由三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，可得，从而求出点F的坐标；
（3）分三种情况：当点P在线段BD上运动时，当点P在线段BD的延长线上运动时和当点P在DB的延长线上运动时，据此分别画图并求解即可.
42． 如图，已知四边形是矩形．
（1）如图1，若分别是的中点，求证：四边形是菱形；
（2）若菱形的三个顶点分别在上，连接．
①如图2，若， ，求的长；
②如图3，若，请写出面积的最小值．
【答案】（1）证明：如图1， 连接，
在矩形中，
∵分别是的中点，
且，
∵分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵分别是的中点，
∴
∵四边形是矩形，
又∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
（2）解：①如图2，连接，过点作交的延长线于，
∵四边形是矩形，
∵四边形是菱形，
∴
设则
在中，
∵
∴在中，
∵
；
②面积的最小值为
【解析】【解答】解：（2）② 如图3，过点作交的延长线于，
由（1）知，
当要最小，则最小，
∴最大时，最小，
在中，
∴最大时，最大，
∵四边形是菱形，
∴最大时，也最大，
而点在边上，
∴当点和点重合时，最大，最大值为：
∴最大为
，
∴
∴面积的最小值为．
【分析】
(1)根据三角形中位线性质，先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等即可
(2)
①先证明得出根据勾股定理设则再根据勾股定理列出港列出方程得：解出x即可
②根据三角形的面积公式得出当BF最小时，S△BFG最小，当AF最大时，BF最小，又因为所以当EF最大时，AF最大，四边形ABCD是菱形，所以当EH最大时，AF最大，因为E是定点，故当H与C重合式，EH最大根据勾股定理求出EH即可.
43．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．
（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接．则与的数量关系是　 　，与的位置关系是　 　；
（2）如图2，当点在菱形外部时，连接．那么（1）中的结论是否仍成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，当点在线段的延长线上时，连接，若，，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：当点在菱形外部时，（1）中的结论还成立，
理由如下：
如图2，连接交于，设交于，
四边形是菱形，，
，都是等边三角形，，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）如图1，连接，
四边形是菱形，，
，都是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
延长交于，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）如图3，连接交于，连接，作于，
四边形是菱形，
，平分，
，
，
，
，
，
由（2）知，
，
，
，，
，
由（2）知，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
四边形的面积是．
【分析】（1）连接，根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质即可得到，，进而结合题意根据等边三角形的性质即可得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，；延长交于，根据题意即可得到；
（2）当点在菱形外部时，（1）中的结论还成立，理由如下：连接交于，设交于，先根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质即可得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，再结合题意即可求解；
（3）连接交于，连接，作于，先根据菱形的性质结合角平分线的性质即可得到，，进而结合题意即可得到，进而结合题意运用勾股定理即可求出CE、AP、EH、AO、DP，进而运用即可求解。
44．如图，一次函数y＝－3x＋3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线 过点A且垂直于x轴.两动点D、E分别从A、B两点同时出发向O点运动（运动到O点停止），运动速度分别是每秒1个单位长度和3个单位长度.点G、E关于直线 对称，GE交AB于点F.设D、E的运动时间为t（s）.
（1）当t为何值时，四边形ADEF是菱形？判断此时△AFG与△AGB是否相似，并说明理由；
（2）当△ADF是直角三角形时，求△BEF与△BFG的面积之比.
【答案】（1）∵一次函数y＝－3x＋3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（1，0），B（0，3）
∴由勾股定理得：AB=
由题意可得：BE=3t，AD=t，∴OE=3-3t，
∵点G、E关于直线 对称，
∴EF∥AD，
将y=3-3t代入y＝－3x＋3得x=t；
∴EF=t，
∴EF=AD，且EF∥AD，
∴四边形ADEF为平行四边形.
当DE=EF=t时， ADEF是菱形，
∴ED∥AB，
∴△ODE∽△OBA
∴
∴
∴
∴当 秒时，四边形ADEF是菱形
当四边形 ADEF是菱形时，t＝ 秒，
此时△AFG与△AGB不相似 ，
理由：当t＝ 时，OE=3-3t=
∴E(0， )，
∴G(2， )，
∵AG2＝ ，AF AB＝ =
∴AG2≠AF AB
∴△AFG与△AGB不相似
（2）∵△ADF 是直角三角形，
∴∠ADF＝90°或∠AFD＝90°
①当∠ADF＝90°时
∵EF∥x轴， 得四边形OEDF为矩形，∴OD＝EF
又∵由⑴知：EF＝AD，得OD＝AD＝t
∴t＝ ，则FG=
∴EF∶FG＝1∶3
∴S△BEF∶S△BFG＝1∶3
②∠AFD＝90°时
∵由⑴知：
∴DE＝AF＝
∵∠DFA＝∠AOB，∠OAB＝∠FAD
∴△ADF∽△ABO
∴
∴
∴t＝ ，则FG=
∴EF∶FG＝5∶6
∴S△BEF∶S△BFG＝5∶6
【解析】【分析】（1）由EF∥AD，且EF=AD=t，则四边形ADEF为平行四边形，当AD=AF=t时， ADEF是菱形，再根据相似三角形的性质列方程求出t的值，根据所求的t值得出点E和点G的坐标，再得出AG2 和AF AB的值即可做出判断；
（2）分两种情况：当∠ADF=90°时，OD＝AD；当∠AFD=90°时， ，分别列方程求出t的值，从而求得EF，FG，进一步得到△BEF与△BFG的面积之比.
45．如图，矩形 的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点 的坐标为（3，4），一次函数 的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足 ，M是线段DE上的一个动点
（1）求b的值；
（2）连接OM，若 的面积与四边形 的面积之比为 ，求点M的坐标；
（3）设N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点N的坐标.
【答案】（1）解：在 中，令x=0，解得y=b，
则D的坐标是(0，b)，OD=b，
∵OD=BE，
∴BE=b，则点E坐标为（3，4-b），
将点E代入 中，得：4-b=2+b，
解得：b=3；
（2）解：如图，
∵ = ，
∵三角形ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为 ，
∴
设M的横坐标是a，则 ，
解得： ，
将 代入 中，得：
则点M坐标为 ；
（3）解：依题意，有两种情况：
①当四边形OMDN是菱形时，如图(1)，M的纵坐标是 ，
把 代入 中，得：
，解得： ，
∴点M坐标为 ，
点N坐标为 ；
②当四边形OMND是菱形时，如图(2)，OM=OD=3，
设M的坐标 ，
由OM=OD得： ，
解得： 或m=0(舍去)，
则点M坐标为 ，
又MN∥OD，MN=OD=3，
∴点N的坐标为 ，
综上，满足条件的点N坐标为 或 .
【解析】【分析】（1）首先在一次函数的解析式中令x=0，即可求得D的坐标，则OD=b，则E的坐标即可利用b表示出来，然后代入一次函数解析式即可得到关于b的方程，求得b的值；
（2）首先求得四边形OAED的面积，则△ODM的面积即可求得，设出M的横坐标，根据三角形的面积公式即可求得M的横坐标，进而求得M的坐标；
（3）分两种情况进行讨论，①四边形OMDN是菱形时，M是OD的中垂线与DE的交点，M关于OD的对称点就是N；②四边形OMND是菱形，OM=OD，M在直线DE上，设出M的坐标，根据OM=OD即可求得M的坐标，则根据OD∥MN，且OD=MN即可求得N的坐标.
46．如图1，在等腰三角形中，是边上的高线，．点是射线上的一点，作于点，连接．
（1）求 ， ．
（2）①当点在线段上时，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度．
②如图2，设交直线于点，连接，若，则长为 （直接写出结果）．
【答案】（1）5；
（2）解：解：①分两种情况：
Ⅰ．当时，则，
∵，
∴，
，
，
，
Ⅱ．当时，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②或
【解析】【解答】解：（1），
又∵，
根据勾股定理的：，
；
故答案为：5，
（2）②分两种情况：
Ⅰ．当在线段上，连接，
，
，
∵，
∴，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ．当在射线上，连接，
同理可得，
，
，
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】（1）由题意得，可求得，根据勾股定理求出的长，进而计算出的长；
（2）①分两种情况讨论Ⅰ当时，则；Ⅱ当时，根据全等三角形的判定定理ASA，证明，分别进行求解即可；
②分两种情况讨论：当在线段上；当在线段延长线上，根据三角形面积、勾股定理分别进行求解即可．
（1）解：，
又∵，
，
；
（2）解：①分两种情况：
Ⅰ．当时，则，
∵，
∴，
，
，
，
Ⅱ．当时，
在和中，
，
，
，
，
综上，或；
②分两种情况：
Ⅰ．当在线段上，连接，
，
，
∵，
∴，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ．当在射线上，连接，
同理可得，
，
，
综上，的长为或．
47．感知：
（1）如图，在 中， ，AB=AC点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE连接BE，DE，MN点M，P，N分别为DE，BE，BC的中点，则PM与PN的数量关系是：　 　．
（2）探究：把 绕点 顺时针方向旋转，如图，连接
①证明：
②∠PMN的度数是多少。
（3）应用：把 绕点 在平面内自由旋转，若 面积的最大值为　 　．
【答案】（1）
（2）
①证明：
又 ．
(SAS)．
．
点 分别是 的中点，
点 分别是 的中点
．
；
②∵
∴∠ABD=∠ACE
∵PM=PN
∴△PMN是等腰三角形
∵PM∥BD
∴∠DBE=∠MPE
∵PN∥BD
∴∠BNP=∠BCE
∵∠DBN=∠DBP+∠EBC=∠MPE+∠EBC
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠MPE+∠EBC+∠PNB=∠DBN+∠BCE=∠ABC+∠ABD+∠BCE=∠ABC+∠ACE+∠BCE=∠ABC+∠ACB
∴∠BAC=120°
∴∠ACB+∠ABC=60°
∴∠MPN=60°
∴△PMN是等边三角形
∴∠PMN=60°
（3）
【解析】【解答】（1）感知：∵AB=AC，AD=AE
∴BD=CE
∴ BD=2PM，CE=2PN
∴PM=PN
故答案为PM=PN.（3）由（2）知△PMN是等边三角形，PM=PN= BD
∴PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小
∴点D在BA的延长线上，△PMN的面积最大
∴BD=AB+AD=12
∴PM=6
∴
故答案为 .
【分析】（1）感知：由题意可得BD=CE，由三角形中位线可得BD=2PM，CE=2PN，可得PM=PN；（2）探究：①由“SAS”可证 ，由三角形中位线定理可得BD=2PM，CE=2PN，可得PM=PN；②由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由平行线的性质可得∠BDE=∠MPE，∠BNP=∠BCE，由三角形外角性质可求∠MPN=60°，可证△PMN是等边三角形，即可求解；（3）应用：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大值是AB+AD=12，即可求解.
48．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，且实数a、b满足．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P，Q同时出发，P点从A点出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P到达O点整个运动随之结束．的中点C的坐标是，设运动时间为t秒．是否存在这样的t，使得的面积等于面积的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若，点G是第二象限中一点，并且y轴平分，点E是线段上一动点，连接交于点H，当点E在线段上运动的过程中，探究之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，∴，
由运动知，，
∴，
∵，
∴，，
∵的面积是的面积2倍，
∴，
∴，
∴存在时，使得的面积是的面积2倍；
（3）解：，
理由如下：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵y轴平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过点H作交x轴于F，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴．
【解析】【分析】（1）利用偶次根式的非负性，得到方程组，求得a和b的值，进而得到A和B的坐标，即可得到答案；
（2）根据题意，表示出，利用三角形面积，求得和，结合的面积等于面积的2，得出方程，求得t的值，即可得到答案；
（3）根据题意，得到，由y轴平分，得到，证得，根据内错角相等，得到，同理证得，即可得出结论．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由运动知，，
∴，
∵，
∴，，
∵的面积是的面积2倍，
∴，
∴，
∴存在时，使得的面积是的面积2倍；
（3）解：，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵y轴平分，
∴，
∴，
∴，
如图，过点H作交x轴于F，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴．
49．如图，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）若点 的坐标为 ，点 在线段 上（不与点 重合），求 的面积 与 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
【答案】（1）解：设直线 的函数表达式为 ．
由直线上 ， 两点坐标，得 ．
解得 ，
则直线 的函数表达式为
（2）解：∵点 在线段 上（不与点 重合），
∴ ，
∴ 的 边上的高为 ，
由 的坐标为 ，得 ．
∴ 的面积 与 的函数关系式为 ．
自变量 的取值范围是
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出△OPC 的 OC 边上的高为 ， 再根据三角形的面积公式进行计算求解即可。
50．设函数y1=ax+b，y2=bx+a（a，b为常数，ab≠0且a≠b），函数y1和y2的图象的交点为点P.
（1）求证：点P在y轴的右侧.
（2）已知点P在第一象限，函数y2的值随x的增大而增大.
①当x=2时，y2-y1=2，求a的取值范围.
②若点P的坐标是（1，1），且a>b，求证当x=2时.
【答案】（1）证明：令ax+b=bx+a，解得x=1，
∴函数y1和y2的图象的交点P的横坐标为1，
∴点P在y轴的右侧.
（2）解：①当x=2时，y1=2a+b，y2=2b+a，
∵y2-y1=2，
∴（2b+a）-（2a+b）=2，
∴b-a=2，即b=a+2，
∵函数y2的值随x的增大而增大，
∴b＞0，即a+2＞0，
解得a＞-2，
∵点P在第一象限，
∴a+b＞0，即a+（a+2）＞0，
解得a＞-1；
∴a的取值范围是a＞-1；
②证明：∵点P的坐标是（1，1），
∴a+b=1，
∴b=1-a，
∵a＞b，b＞0，
∴a＞1-a且1-a＞0，
∴ ＜a＜1，
当x=2时，y1-y2=（2a+b）-（2b+a）=a-b=a-（1-a）=2a-1，
，
∵ ＜a＜1，
∴0＜a（1-a）＜1，2a-1＞0，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）两函数图象交点的坐标，就是两函数解析式组成方程组的解，故解联立两函数解析式组成的方程组，求出交点的横坐标，由横坐标的正负即可判断交点所在的大概位置；
（2）①将x=2代入两函数解析式得y1=2a+b，y2=2b+a ，再代入 y2-y1=2，得b-a=2，即b=a+2，根据函数y2的值随x的增大而增大， 可知比例系数大于0，据此列出不等式可得a的取值范围，再根据点P在第一象限，故交点的纵坐标大于0，据此再列不等式，求解得出a的取值范围，综上所述即可得出答案；②将点P的坐标代入函数解析式可得b=1-a，由a＞b，b＞0，可得 ＜a＜1， 而当x=2时，y1-y2=2a-1，再将b=1-a代入不等式的右边，通分计算并结合不等式的性质可得 ，从而即可得出结论.
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