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【50道热点题型】北师大版数学七年级下册期末试卷·综合题专练
1．已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝E C.
（1）求证：△ABC≌△DEF.
（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数.
2．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.
3．一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意捧出1球是红球的概率为 ．
（1）试求袋中绿球的个数；
（2）第1次从袋中任意摸出1球（不放回），第2次再任意摸出1球，请你用画树状图或列表格的方法，求两次都摸到红球的概率．
4．永嘉历史悠久，耕读文化渊源流长．某校就同学们对“耕读文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图。根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查　 　名同学，条形统计图中m=　 　。
（2）调查结果中，该校九年级（2）班有四名同学的了解程度为“很了解”，其中三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人参加县里“耕读文化”知识竞赛，请用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率。
5．已知，求下列各式的值．
（1）求的值；
（2）求的值．
6．已知AD//BC，∠DAC=40°，∠ACD=15°，∠EFC=125°.
（1）EF与BC平行吗 说明理由.
（2）若 ∠BEF=130° ，求∠BAC的度数。
7．如图，△ABC中， ，点P在边 上，且满足 .
（1）画出点P的位置（尺规作图，保留痕迹）；
（2）①若 ， ，则 的周长为　 　；
②若 ，则 　 　°.
8．甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有数字1，2，3，大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一个球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一个球然后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．你认为这个游戏公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
9．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
10．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB//DE．
11．2020年10月8日，济南轨道交通2号线地质条件最为复杂、盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通．至此，2号线全部38个单线盾构区间全部贯通．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为　 　；
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
12．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
（1）求证：．
（2）若，，，求的度数．
13．如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.
（1）图中与∠AOF互余的角是　 　，与∠COE互补的角是　 　；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠EOF的度数.
14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．
（1）求证：△CAD≌△BCE；
（2）若AD=5，DE=3，求BE的长．
15．小颖所在的美术兴趣小组将学生的期末作品分为A、B、C、D四个类别，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）美术兴趣小组期末作品共　 　份，在扇形统计图中，表示“D类别”的扇形的圆心角为　 　度，图中m的值为　 　，补全条形统计图；
（2）A、B、C、D四个类别各评出一个第一名，美术老师准备从这四份第一名作品中，随机抽取两份进行展示，试用列举的方法求抽取的作品恰好是A类第一名和B类第一名的概率．
16．某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个代表队由3名男生、4名女生和1名指导老师组成.但参赛时，每个代表队只能有3名队员上场参赛，指导老师必须参加，另外2名队员分别在3名男生和4名女生中各随机抽出一名.七年级（1）班代表队有甲、乙、丙三名男生和A、B、C、D4名女生及1名指导老师组成.求：
（1）抽到D上场参赛的概率；
（2）恰好抽到由男生丙、女生C和这位指导老师一起上场参赛的概率.（请用“画树状图”或“列表”的方式给出分析过程）
17．五一期间，某商场为了吸引顾客.开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“20元”、“30元”、“40元”、“50元”的字样（如图）.规定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元，就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的代金券.某顾客当天消费500元，转了两次转盘.
（1）该顾客最少可得　 　元代金券，最多可得　 　元代金券；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求该顾客所获代金券金额不低于80元的概率.
18．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD.
（1）求证：BE＝AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由.
19．“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　°；
（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为　 　人；
（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．
20．在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），
其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为 ．
（1）求袋中黄球的个数．
（2）第一次摸出一个球（放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率．
（3）若规定每次摸到红球得5分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得1分，小芳摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，请直接写出小芳有哪几种摸法？（不分球颜色的先后顺序）
21．冰天雪地也是金山银山，北京张家口即将联合举办2022年北京冬季奥运会（简称“冬奥会“），在我国刮起了冰雪运动的旋风．某校为了了解七年级学生最喜爱的冬奥会项目，校团委宣传部李老师通过学校公众号向七年级学生发放调查问卷，要求如实填写并提交．
收集数据：李老师从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：
ADABDCADEBEBCEDACADCCADDCDBDAECECDCADCDC
整理分析：李老师整理了这组数据并将结果绘制成两幅均不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，m＝　 　，“项目E”所对应扇形圆心角的度数为　 　．
（3）最喜爱“B．滑冰”项目的有1名女生和3名男生，从中任选2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
22．已知：x+y＝6，xy＝3.求下列各式的值：
（1）
（2）
23．将图中的 型（正方形）、 型（菱形）、 型（等腰直角三角形）纸片分别放在 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 个盒子装入一只不透明的袋子中.
（1）搅匀后从中摸出 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　 　；
（2）搅匀后先从中摸出 个盒子（不放回），再从余下的 个盒子中摸出 个盒子，把摸出的 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率.（不重叠无缝隙拼接）
24．八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图5-1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图5-2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.
阅读后1回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？说明理由.
（2）方案（Ⅱ）是否可行？说明理由.
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是　 　；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°， 方案（Ⅱ）是否成立？　 　.
25．如图，在中，，，点D是线段上任意一点，连接，作，交线段于点E．
（1）若，求和的度数；
（2）若，求证：．
26．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求：
（1）∠EDC的度数；
（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数。(用含n的式子表示）
27．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1　 　；B1　 　；C1　 　；
（3）△A1B1C1的面积为　 　；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
28．如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由.
29．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△ABlCl；
（2）点P在x轴上，且点P到点B与点C的距离之和最小，直接写出点P的坐标为　 　．
30．已知：是经过的顶点C的一条直线，．E、F是直线上两点，．
（1）若直线经过的内部，．
①如图1，，，直接写出，，间的等量关系： ▲ ．
②如图2，与具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与的数量关系，并对结论进行证明；
（2）如图3，若直线经过的外部，，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
31．为了解某校八、九年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下表统计图表．
睡眠情况分组表（单位：时）
组别 睡眠时间x
A 4.5≤x＜5.5
B 5.5≤x＜6.5
C 6.5≤x＜7.5
D 7.5≤x＜8.5
E 8.5≤x＜9.5
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）求统计图中的a；
（2）抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在C组的有多少人？
（3）睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？
（4）请从两个不同的角度评价一下八、九年级学生的总体睡眠情况，并给学校提出合理化的建议．
32．在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个．
（1）请你补全完全平方公式的推导过程：
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+　 　+　 　+b2=a2+　 　+b2
（2）如图，将边长为a+b的正方形分割成I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，请用不同的方法分别表示出这个正方形的面积，并结合图形给出完全平方公式的几何解释．
33． 2023年电影《满江红》和《流浪地球2》分别夺得春节档票房的冠、亚军．乐乐和爸爸准备一起去看电影，乐乐想看《流浪地球2》，但是爸爸想看《满江红》，于是他们决定采用摸牌的办法决定去看哪部电影．摸牌规则如下：把一副新扑克牌中的红桃3，4，5，6四张背面朝上洗匀后放置在桌面上，乐乐从中随机摸出一张牌，记下数字后不放回，爸爸再从中摸出一张牌，记下数字．若两次数字之和为奇数，则看《流浪地球2》，若两次数字之和为偶数，则看《满江红》．
（1）请用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，表示出两数和的所有可能结果；
（2）请问这个摸牌规则是否公平？请说明理由．
34．用一条长21厘米的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边的3倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形吗？为什么？
35．如图，已知 和 的度数满足方程组 ，且 ， .
（1）分别求 和 的度数；
（2）求 的度数.
36．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
（1）若固定三根木条 ， ， 不动， ， ，如图，量得第四根木条 ，判断此时 与 是否相等，并说明理由．
（2）若固定二根木条 ， 不动， ， ，量得木条 ， ，写出木条 的长度可能取到的一个值（直接写出一个即可）．
（3）若固定一根木条 不动， ，量得木条 ．如果木条 ， 的长度不变，当点 移到 的延长线上时，点 也在 的延长线上；当点 移到 的延长线上时，点 ， ， 能构成周长为 的三角形，求出木条 ， 的长度．
37．如图，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，∠A=70°，∠EDB=25°.
（1）求证：DE∥AB；
（2）求∠ADB的度数.
38．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
39．已知 ，点 在 的内部，点 和点 关于 对称，点 关于 的对称点是 ，连接 交 于 ，交 于 ，
（1）补全图，并且保留作图痕迹.
（2）写出 　 　°. 的周长为　 　.
40．为了响应国家有关开展中小学生：“课后服务”的政策，某学校课后开设了五门课程供学生选择，分别是A：足球：B：书法：C：阅读：D：绘画：E：合唱.学生需要从中选报自己喜欢的两门课程.
（1）若甲同学选第一门课程时，从上面课程中随机挑选一门，则甲同学选中“A：足球”的概率为　 　.
（2）若甲同学和乙同学第一次都选择了“A：足球”，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他们第二次选课相同的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明.
41．在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O.
（1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为　 　；
（2）点D在BA，AC边上运动.
①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB.试说明：∠ADO＝∠AOC；
②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC者之间的数量关系.
42．如图，直线ABCD，直线与、分别交于点、，小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
（1）填空：　 　（填“”“”或“”）；
（2）若的平分线交直线于点，如图②．
①当ONEF，PMEF时，求的度数；
②小安将三角板保持PMEF并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）．
43．如图1，已知直线，点为直线AB，ED之间（不在直线上）的一个动点，连接CB，CD，BE平分平分和DA交于点．
（1）证明：，
（2）如图2，连接CF，则在点的运动过程中，当满足时：
①若，求的度数；
②若，求的度数．
44．边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2
（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
45．如图1，在四边形 中， ， ，它的两边分别交 点 ．且 ．
（1）求证：
（2）如图2，当 的两边分别交 的延长线于点 ，其余条件均不变时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．
46．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．
47．已知∶点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE．
（1）如图①，当∠A=58°，∠B=118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥OB，QP⊥PB，直接写出∠DAC∶∠ACB∶∠CBE的值．
48．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）______；
（2）在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______．
（3）在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由．
49．知识链接：
“转化、化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决.
（1）问题背景：已知：△ABC.试说明：∠A+∠B+∠C=180°.
问题解决：（填出依据）
解：如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC.
∵BF∥AC（作图）
∴∠1=∠C（ ）
∠2=∠A（ ）
∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义）
∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）
小结反思：本题通过添加适当的辅助线，把三角形的三个角之和转化成了一个平角，利用平角的定义，说明了数学上的一个重要结论“三角形的三个内角和等于180°.”
（2）类比探究：请同学们参考图②，模仿（1）的解决过程试说明“三角形的三个内角和等于180°”
（3）拓展探究：如图③，是一个五边形，请直接写出五边形ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　 　.
50．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形（其中a，b均为正数，且a＞b），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形.
（1）你认为图2中大正方形的边长为　 　；小正方形（阴影部分）的边长为　 　.（用含a、b的代数式表示）
（2）仔细观察图2，请你写出下列三个代数式：（a﹣b）2，（a+b）2，ab所表示的图形面积之间的相等关系，并选取适合a、b的数值加以验证.
（3）已知a+b=4，ab=3.求代数式a﹣b的值.
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【50道热点题型】北师大版数学七年级下册期末试卷·综合题专练
1．已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝E C.
（1）求证：△ABC≌△DEF.
（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数.
【答案】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝EC
∴BF+FC＝EC+CF，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）
（2）解：∵∠A＝120°，∠B＝20°，
∴∠ACB＝40°，
由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠DFE＝40°，
∴∠DFC＝40°.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出 ∠B＝∠E， 根据等式的性质，由 BF＝EC得出 BC＝EF， 从而利用AAS判断出 △ABC≌△DEF ；
（2）根据三角形的内角和得出∠ACB=40°，进而根据全等三角形的对应角相等得出 ∠ACB＝∠DFE=40°。
2．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.
【答案】（1）证明：，
，
即.
在和中
，
，
；
（2）解：，
.
，
.
【解析】【分析】（1）先根据角的和差关系求出∠BCA=∠DCE，然后利用ASA证明△BCA≌△DCE ，则可得出BC=DC；
（2）由（1）得△BCA≌△DCE ，则可求出∠B的度数，最后根据三角形内角和定理求∠ACB的大小即可.
3．一个不透明的口袋里装有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色不同外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，从中任意捧出1球是红球的概率为 ．
（1）试求袋中绿球的个数；
（2）第1次从袋中任意摸出1球（不放回），第2次再任意摸出1球，请你用画树状图或列表格的方法，求两次都摸到红球的概率．
【答案】（1）解：设绿球的个数为x．由题意，得： ，解得x=1，经检验x=1是所列方程的根，所以绿球有1个；
（2）解：根据题意，画树状图：
由图知共有12种等可能的结果，即（红1，红2），（红1，黄），（红1，绿），（红2，红1），（红2，黄），（红2，绿），（黄，红1），（黄，红2），（黄，绿），（绿，红1），（绿，红2），（绿，黄），其中两次都摸到红球的结果有两种（红，红），（红，红）．∴P（两次都摸到红球）= ；
或根据题意，画表格：
∴P（两次都摸到红球）= .
【解析】【分析】（1）设出袋中绿球的个数，根据等可能事件的概率公式列出含x的方程，解方程即可求得x的值，即绿球的个数；（2）利用树状图或表格可以不重不漏的列出所有可能的结果，从而比较方便的求出某些事件发生的概率.
4．永嘉历史悠久，耕读文化渊源流长．某校就同学们对“耕读文化”的了解程度进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图。根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查　 　名同学，条形统计图中m=　 　。
（2）调查结果中，该校九年级（2）班有四名同学的了解程度为“很了解”，其中三名男生、一名女生，现准备从这四名同学中随机抽取两人参加县里“耕读文化”知识竞赛，请用树状图或列表法，求恰好抽中一男生一女生的概率。
【答案】（1）50；15
（2）解：树状图如下
一共有12种结果，恰好抽中一男生一女生有6种情况，
∴P（恰好抽中一男生一女生）=.
【解析】【解答】解：（1）20÷40％=50；
∴m=50-20-10-5=15；
故答案为：50，15.
【分析】（1）观察两统计图可知共抽查的人数=很少了解的学生人数÷其百分比，列式计算可求解；再利用条形统计图求出m的值。
（2）由题意可知此事件是出抽取不放回，列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及 恰好抽中一男生一女生的情况数，然后利用概率公式可求解。
5．已知，求下列各式的值．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：由（1）可知，，
∴．
【解析】【分析】熟练应用完全平方公式，能根据已知条件熟练计算a+b、a-b、ab、a2+b2等
6．已知AD//BC，∠DAC=40°，∠ACD=15°，∠EFC=125°.
（1）EF与BC平行吗 说明理由.
（2）若 ∠BEF=130° ，求∠BAC的度数。
【答案】（1）EF与BC平行.
∵AD∥BC
∴∠ACB=∠DAC=40°
∵∠ACD=15°，
∴∠BCD=55°
∴∠EFC=125°
EF∥BC.
（2）解：∵ AD∥BC.EF∥BC.
∴AD∥EF
∴∠EAD=∠BEF=130°
∴∠BAC=∠EAD-∠DAC=130°-40°=90°
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质，可求出∠ACB的度数，再求出∠BCD的度数，然后求出∠EFC+∠BCD=180°，利用平行线的判定定理就可得到EF与BC的位置关系。
（2）利用已知条件易证AD∥EF，根据两直线平行，同位角相等，求出∠BAD的度数，然后就可求出∠BAC的度数。
7．如图，△ABC中， ，点P在边 上，且满足 .
（1）画出点P的位置（尺规作图，保留痕迹）；
（2）①若 ， ，则 的周长为　 　；
②若 ，则 　 　°.
【答案】（1）解：如图：
点P就是所求作的点.
（2）12；40
【解析】【解答】解：2：①如下图，
∵PA=PB，且AC=8，BC=4 ，∴ΔPBC的周长=PB+PC+CB=PA+PC+CB=AC+CB=12.
故答案是12.
②∵ PA=PB，∴ ∠A=∠ABP，∴∠CPB=∠A+∠ABP=2∠A，
又∵ ∠ PBC ∠A= 15 o ，∴∠ PBC = ∠A+15 o ，
∴∠CPB+∠ PBC=90o ，即：2∠A+ ∠A+15 o=90o ，解得：∠A=25o ，
∴∠ PBC = ∠A+15 o =40o .
故答案是40o .
【分析】此题首先考查基本作图——作线段的垂直平分线，然后利用线段垂直平分线的性质得出等腰三角形，进一步利用线段的和差与角的和差求解第2小题即可.
8．甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有数字1，2，3，大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．
（1）求从袋中随机摸出一个球，标号是1的概率；
（2）从袋中随机摸出一个球然后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．你认为这个游戏公平吗？请用画树状图或列表格的方法说明理由．
【答案】（1）解：由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为： ．
（2）解：这个游戏不公平．
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况
∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ，
∴P（甲胜）≠P（乙胜），故这个游戏不公平．
【解析】【分析】（1）根据他们把三个分别标有数字1，2，3，大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中 ，求概率即可；
（2）先画树状图求出 共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况 ，再求出 P（甲胜）= ，P（乙胜）= ， 最后求概率即可。
9．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：
（1）AD的长；
（2）△BCE的面积．
【答案】（1）解：∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，
∴ AD BC＝ AB AC，
∴AD＝ ＝ （cm）；
（2）解：∵CE是AB边上的中线，
∴S△BCE＝ S△ABC＝ × ×12×16＝48（cm2）．
【解析】【分析】（1）根据△ABC的面积= AD BC＝ AB AC，从而求出AD的长；
（2）根据三角形中线的性质结合等底同高的三角形面积相等可得S△BCE＝ S△ABC，继而得解.
10．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：
（1）△ABC≌△DEF；
（2）AB//DE．
【答案】（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=EC+CF，
即BC=EF， 在△ABC和△DEF中， ，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠DEF，
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】（1）根据等量加等量和相等可得BC=EF， 再利用SSS即可判断△ABC≌△DEF；（2）由（1） 中全等三角形的对应角相等可得∠B=∠DEF， 根据同位角相等两直线平行即可证出结论.
11．2020年10月8日，济南轨道交通2号线地质条件最为复杂、盾构施工难度最大的宝长区间顺利贯通．至此，2号线全部38个单线盾构区间全部贯通．
（1）一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为　 　；
（2）当两名乘客通过此地铁闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意画图如下：
共有9种等情况数，其中两名乘客选择不同闸口通过的有6种，
则两名乘客选择不同闸口通过的概率是 ＝ ．
【解析】【解答】解：（1）∵有A、B、C三个闸口，
∴一名乘客通过此地铁闸口时，选择A闸口通过的概率为 ；
故答案为： ；
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所有等可能情况数和两名乘客选择不同闸口通过的情况数，再根据概率公式即可得出答案。
12．如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连．
（1）求证：．
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵为中点，
∴，
在和中
∵
∴（SAS），
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
又∵，
∴
又∵
∴
∴．
【解析】【分析】（1）先利用“SAS”证明，可得，即可得到；
（2）先求出，再利用角的运算求出。
13．如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.
（1）图中与∠AOF互余的角是　 　，与∠COE互补的角是　 　；（把符合条件的角都写出来）
（2）如果∠AOC= ∠EOF，求∠EOF的度数.
【答案】（1）∠EOD；∠BOF
（2）解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠EOB=90°，∠FOD=90°，
又∵∠AOC= ∠EOF，
设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，
根据题意可得：4x+x+90+90=360°，
解得：x=36°.
∴∠EOF=4x=144°
【解析】【解答】（1）解：图中与∠AOF互余的角是：∠AOC、∠BOD；
图中与∠COE互补的角是：∠EOD、∠BOF
【分析】（1）根据互余及互补的定义，结合图形进行判断即可；（2）设∠AOC=x，则∠BOD=x，∠EOF=4x，根据周角为360度，即可解出x.
14．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D．
（1）求证：△CAD≌△BCE；
（2）若AD=5，DE=3，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠ECB+∠ACD=90°，∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE=5，CD=BE，
∴BE=CD=CE DE=5-3=2．
【解析】【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明△BCE≌△CAD；（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，CD=BE，再根据AD=5，DE=3，即可解答．
15．小颖所在的美术兴趣小组将学生的期末作品分为A、B、C、D四个类别，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）美术兴趣小组期末作品共　 　份，在扇形统计图中，表示“D类别”的扇形的圆心角为　 　度，图中m的值为　 　，补全条形统计图；
（2）A、B、C、D四个类别各评出一个第一名，美术老师准备从这四份第一名作品中，随机抽取两份进行展示，试用列举的方法求抽取的作品恰好是A类第一名和B类第一名的概率．
【答案】（1）25；57.6；32
（2）解：从A、B、C、D四个类别各评出一个第一名，美术老师准备从这四份第一名作品中，随机抽取两份进行展示的可能性有：AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC，共12种情况，则抽取的作品恰好是A类第一名和B类第一名有2种情况，
故概率为
【解析】【解答】解：（1）由条形统计图及扇形统计图可得：
美术兴趣小组期末作品的总数为 （份），
表示“D类别”的扇形的圆心角度数为 ，
，
“B类别”为25-3-8-4=10（份），补全条形图如图所示：
故答案为25，57.6，32；
【分析】（1）根据条形统计图及扇形统计图可求出美术兴趣小组期末作品的总数，然后根据“D类别”所占的百分比进行求解圆心角度数，进而可求m的值；
（2）利用列举法得出所有等可能的情况，然后找出刚好是A类第一名和B类第一名的情况数，即可求出概率．
16．某校组织一项公益知识竞赛，比赛规定：每个代表队由3名男生、4名女生和1名指导老师组成.但参赛时，每个代表队只能有3名队员上场参赛，指导老师必须参加，另外2名队员分别在3名男生和4名女生中各随机抽出一名.七年级（1）班代表队有甲、乙、丙三名男生和A、B、C、D4名女生及1名指导老师组成.求：
（1）抽到D上场参赛的概率；
（2）恰好抽到由男生丙、女生C和这位指导老师一起上场参赛的概率.（请用“画树状图”或“列表”的方式给出分析过程）
【答案】（1）解：抽到D上场参赛的概率＝
（2）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到由男生丙、女生C和这位指导老师一起上场参赛的结果数为1，
所以恰好抽到由男生丙、女生C和这位指导老师一起上场参赛的概率＝
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到由男生丙、女生C和这位指导老师一起上场参赛的结果数，然后根据概率公式求解.
17．五一期间，某商场为了吸引顾客.开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“20元”、“30元”、“40元”、“50元”的字样（如图）.规定：同一日内，顾客在本商场每消费满200元，就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的代金券.某顾客当天消费500元，转了两次转盘.
（1）该顾客最少可得　 　元代金券，最多可得　 　元代金券；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求该顾客所获代金券金额不低于80元的概率.
【答案】（1）40；100
（2）解：根据题意画树状图如下：
∵共有16种等可能的结果，该顾客所获代金券金额不低于80元的有6种情况，
∴该顾客所获代金券金额不低于80元的概率为： ＝ .
【解析】【解答】解：（1）该顾客最少可得40元代金券，最多可得100元代金券；
故答案为：40，100；
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得该顾客最少可得40元代金券，最多可得100元代金券；
（2）由（1）中的树状图即可求得所有等可能的结果与该顾客所获代金券金额不低于80元的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.
18．如图，四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD.
（1）求证：BE＝AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由.
【答案】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠BCE+∠DBC＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠EBC，
在△DAB和△EBC中，
，
∴△DAB≌△EBC（ASA）
∴AD＝BE
（2）证明：∵E是AB的中点，即AE＝BE，
∵BE＝AD，
∴AE＝AD，
∴点A在ED的垂直平分线上（到角两边相等的点在角的平分线上），
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°，
在△EAC和△DAC中，
，
∴△EAC≌△DAC（SAS）
∴CE＝CD，
∴点C在ED的垂直平分线上
∴AC是线段ED的垂直平分线.
（3）解：△DBC是等腰三角形
∵△DAB≌△EBC，
∴DB＝EC
∵△AEC≌△ADC，
∴EC＝DC，
∴DB＝DC，
∴△DBC是等腰三角形.
【解析】【分析】（1）利用已知条件证明△DAB≌△EBC（ASA），根据全等三角形的对应边相等即可得到AD＝BE；（2）分别证明AD＝AE，CE＝CE，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；（3）△DBC是等腰三角形，由△DAB≌△EBC，得到DB＝EC，又有△AEC≌△ADC，得到EC＝DC，所以DB＝DC，即可解答.
19．“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　°；
（2）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为　 　人；
（3）若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．
【答案】（1）60；30
（2）300
（3）解：画树状图如下： 所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A的情况有2种，
所以P（抽到女生A）＝ ＝
【解析】【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；
∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）＝5，
∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为： ×360°＝30°；
故答案为：60，30；（2）根据题意得：900× ＝300（人），
则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，
故答案为：300；
【分析】（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
20．在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），
其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为 ．
（1）求袋中黄球的个数．
（2）第一次摸出一个球（放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率．
（3）若规定每次摸到红球得5分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得1分，小芳摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，请直接写出小芳有哪几种摸法？（不分球颜色的先后顺序）
【答案】（1）解：
（2）解：画树状图或列表法正确
P(两次都是红球)
（3）解：设摸到红球 次，摸到黄球 次，摸到蓝球（ ）次．
由题意可得：
化简，得
所以共有3种摸法：①摸到红球1次，黄球5次，蓝球0次．
②摸到红球2次，黄球3次，蓝球1次．
③摸到红球3次，黄球1次，蓝球2次
【解析】【分析】（1）根据红球的概率为可求得袋内共有的球数为：1=3，则黄球的个数=3-1-1；
（2）根据画树状图或列表法可求得两次摸到都是红球的概率=；
（3）设摸到红球 x 次，摸到黄球 y 次，摸到蓝球（6 x y）次．由题意摸到红球得5分，则摸到红球 x 次可得5x分；摸到黄球得3分，则摸到黄球 y 次可得3y分；摸到蓝球得1分，则摸到蓝球（6 x y）次可得蓝球（6 x y）分。于是根据合计得20分可列方程5x+3y+(6 x y)=20，再由x、y取正整数可求解。
21．冰天雪地也是金山银山，北京张家口即将联合举办2022年北京冬季奥运会（简称“冬奥会“），在我国刮起了冰雪运动的旋风．某校为了了解七年级学生最喜爱的冬奥会项目，校团委宣传部李老师通过学校公众号向七年级学生发放调查问卷，要求如实填写并提交．
收集数据：李老师从中随机抽查了40份问卷，得到如下数据：
ADABDCADEBEBCEDACADCCADDCDBDAECECDCADCDC
整理分析：李老师整理了这组数据并将结果绘制成两幅均不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，m＝　 　，“项目E”所对应扇形圆心角的度数为　 　．
（3）最喜爱“B．滑冰”项目的有1名女生和3名男生，从中任选2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：由题意得：最喜爱“D．冰球和冰壶”项目的人数为12人，最喜爱“E．冬季两项”项目的人数为5人，
∴补全统计图如下：
（2）30；45°
（3）解：解列树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好为1名男生1名女生的结果数为6种，
∴恰好选中1名男生和1名女生的概率为．
【解析】【解答】解：（2）解：由题意得：，
∴，
“项目E”所对应扇形圆心角的度数为
【分析】（1）先求出“D”、“E”的人数，再作出条形统计图即可；
（2）利用“D”的人数除以总人数可得m的值，再利用“E”的百分比乘以360°可得答案；
（3）利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
22．已知：x+y＝6，xy＝3.求下列各式的值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：∵x+y＝6，xy＝3，
∴
；
（2）解：∵x+y＝6，xy＝3，
∴
＝
＝
＝30，
∴
＝
＝
＝882.
【解析】【分析】（1）待求式可变形为(x+y)2+2xy，然后将已知条件代入进行计算；
（2）根据x2+y2=(x+y)2-2xy求出x2+y2的值，然后根据x4+y4=(x2+y2)2-2x2y2进行计算.
23．将图中的 型（正方形）、 型（菱形）、 型（等腰直角三角形）纸片分别放在 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 个盒子装入一只不透明的袋子中.
（1）搅匀后从中摸出 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是　 　；
（2）搅匀后先从中摸出 个盒子（不放回），再从余下的 个盒子中摸出 个盒子，把摸出的 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率.（不重叠无缝隙拼接）
【答案】（1）
（2）解：画树状图为：
共有 种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有 种： 和 ， 和 ，
拼成的图形是轴对称图形的概率为
【解析】【解答】解：（1）搅匀后从中摸出 个盒子，可能为 型（正方形）、 型（菱形）或 型（等腰直角三角形）这 种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 种，
盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
故答案为： ；
【分析】（1）由题意可知这三个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个，再利用概率公式列式计算。
（2）此事件是抽取不放回，列出树状图，利用树状图求出所有等可能的结果数及拼成的图形是轴对称图形的情况数，然后利用概率公式列式计算即可。
24．八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：
（Ⅰ）如图5-1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长；
（Ⅱ）如图5-2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.
阅读后1回答下列问题：
（1）方案（Ⅰ）是否可行？说明理由.
（2）方案（Ⅱ）是否可行？说明理由.
（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是　 　；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°， 方案（Ⅱ）是否成立？　 　.
【答案】（1）解：在△ACB和△DCE中
∵AC=DC
∠ACB=∠DCE
BC=EC
∴△ACB≌△DCE(SAS)
∴AB=DE，
故方案（Ⅰ）可行；
（2）解：∵CB⊥AB、CD⊥DE
∴∠ABC=∠EDC=90°
在△ABC和△EDC中
∵∠ABC=∠EDC
BC=DC
∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC (ASA)
∴ED=AB，
故方案（Ⅱ）可行；
（3）∠ABD=∠BDE=90°；成立
【解析】【解答】解：（3）作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是 作∠ABC=∠EDC=90°；
如果∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以利用ASA证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED.
故答案为：（1）见解析；（2）见解析；（3）∠ABD=∠BDE=90°，成立.
【分析】（1）由题意可证明△ACB≌△DCE，AB=DE，故方案（Ⅰ）可行；（2）由题意可证明△ABC≌△EDC，AB=ED，故方案（Ⅱ）可行；（3）方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是∠ABD=∠BDE；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90°，仍可以证明△ABC≌△EDC，则也可得到AB=ED.
25．如图，在中，，，点D是线段上任意一点，连接，作，交线段于点E．
（1）若，求和的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴．
【解析】【分析】（1）直接根据三角形的内角和可算出∠BAD的度数，根据平角的定义算出∠EDC的度数，根据等边对等角可得∠C=∠B=40°，最后再根据三角形的内角和定理可算出∠DEC的度数；
（2）根据角的和差及三角形外角性质可得∠BAD=∠EDC，从而利用ASA判断出△ABD≌△DCE.
26．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，试求：
（1）∠EDC的度数；
（2）若∠BCD=n°，试求∠BED的度数。(用含n的式子表示）
【答案】（1）∵AB//CD，∴∠BAD=∠ADC又∵∠BAD=80°，∴∠ADC=80°.∵BE平分∠ABC，∴∠EDC=∠ADC=40°.
（2）过点E作EF//AB，则有∠BEF=∠1.又∵AB//CD，EF//AB∴EF//CD.∴∠ABC=∠BCD=n°.又∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠ABC=.∠BEF=∴∠BED=∠BEF+∠FED=.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质，两直线平行内错角相等得∠ADC=800，在根据平分线定义即可求得；
（2）平行线间出现折线时，可过折点作平行线，证出∠BED=∠ABE+∠EDC，进而表示出BED的度数.
27．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2），B（﹣4，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点△A1，B1，C1的坐标（直接写答案）：A1　 　；B1　 　；C1　 　；
（3）△A1B1C1的面积为　 　；
（4）在y轴上画出点P，使PB+PC最小．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）（3，2）；（4，-3）；（1，-1）
（3）
（4）略
【解析】【解答】（2）A1（3，2），B1（4，-3），C1（1，-1）；（3）S△ABC=5×3- ×5×1- ×2×3- ×2×3= ．
故答案为：3，2；4，-3；1，-1； ．
【分析】（1）根据题意，作出三角形的三个顶点关于y轴的对称点，作出图象即可。
（2）根据（1）中的图形，求出三个点的坐标即可得到答案。
（3）利用割补法，根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案。
（4）连接BC1，交y轴于一点P，该点P即为所求，得到答案即可。
28．如图，已知AB∥CD，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD.
（1）若∠1＝50°，求∠2的度数；
（2）若EH平分∠AEF，判断EH，FG是否平行，并说明理由.
【答案】（1）解：∵EG平分∠BEF，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵FG平分∠EFD，
∴ .
（2）解：∵EG平分∠BEF，EH平分∠AEF，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
同理，由EG平分∠BEF，FG平分∠EFD， ，
可得： ，
∴ ，
所以 ，
∴ .
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义可得，从而求出，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得（2）由角平分线的定义可得从而求出∠HEG=，同理求出，利用三角形内角和求出∠G=90°，从而得出，利用平行线的判定即证结论.
29．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△ABlCl；
（2）点P在x轴上，且点P到点B与点C的距离之和最小，直接写出点P的坐标为　 　．
【答案】（1）解：△ABC关于y轴对称的△ABlCl如图所示；
（2）（﹣ ，0）
【解析】【解答】解：（2）如图，点P即为所求作的到点B与点C的距离之和最小，
点C′的坐标为（﹣1，﹣1），
∵点B（﹣2，2），∴点P到CC′的距离为 = ，
∴OP=1+ = ，点P（﹣ ，0）．故答案为：（﹣ ，0）．
【分析】（1）根据轴对称的性质，利用方格纸的特点，分别做出B，C关于y轴的对称点 Bl，Cl ，再顺次连接A， Bl，Cl即可；
（2）作点C关于x轴的对称点C'点，并连接BC'交x轴于点P，点P就是所求的点，根据B，C'的坐标，利用待定系数法求出直线BC'的解析式，然后将y=0代入即可求出对应的自变量的值，从而得出P点的坐标。
30．已知：是经过的顶点C的一条直线，．E、F是直线上两点，．
（1）若直线经过的内部，．
①如图1，，，直接写出，，间的等量关系： ▲ ．
②如图2，与具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出与的数量关系，并对结论进行证明；
（2）如图3，若直线经过的外部，，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明．
【答案】（1）①；
②满足，理由如下：
∵，
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
（2）解：不成立，，理由如下：
∵，，
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∵，
∴
【解析】【解答】（1）①∵，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵
∴；
【分析】（1）①先利用“AAS”证明，可得
，
，再利用线段的和差及等量代换可得
；②方法同①，先利用“AAS”证明，可得
，，再利用线段的和差及等量代换可得
；
（2）先利用“AAS”证明，可得
，，再利用线段的和差及等量代换可得
。
31．为了解某校八、九年级学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如下表统计图表．
睡眠情况分组表（单位：时）
组别 睡眠时间x
A 4.5≤x＜5.5
B 5.5≤x＜6.5
C 6.5≤x＜7.5
D 7.5≤x＜8.5
E 8.5≤x＜9.5
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）求统计图中的a；
（2）抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在C组的有多少人？
（3）睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？
（4）请从两个不同的角度评价一下八、九年级学生的总体睡眠情况，并给学校提出合理化的建议．
【答案】（1）解：a=1﹣10%﹣25%﹣35%﹣25%=5%，
即统计图中a的值是5%
（2）解：由题意可得，
（6+19+17+10+8）×35%=60×35%=21（人），
即抽取的样本中，九年级学生睡眠时间在C组的有21人
（3）解：八年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为： ，
九年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：5%+25%=30%=0.3，
即八年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为： ，
九年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为0.3；
（4）解：从众数看，八年级落在B组，九年级落在C组，但九年级人数比八年级人数多，说明八年级学生严重睡眠不足的人数多，九年级睡眠较好，八年级学生应增加睡眠时间才能更好的学习；从中位数看，八年级和九年级都落在C组，说明八九年级都有超过半数的学生睡眠时间较多，但最好是增加学生睡眠时间，让更多的学生可以更好的学习
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图可以求得a的值；（2）根据统计图可以求得九年级学生睡眠时间在C组的人数；（3）根据统计图中的数据可以求得该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性；（4）根据统计图中的数据可以解答本题，可以从众数和中位数两方面进行说明．
32．在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个．
（1）请你补全完全平方公式的推导过程：
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+　 　+　 　+b2=a2+　 　+b2
（2）如图，将边长为a+b的正方形分割成I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分，请用不同的方法分别表示出这个正方形的面积，并结合图形给出完全平方公式的几何解释．
【答案】（1）ab；ab；2ab
（2）解：边长为a+b的正方形的面积，等于边长分别为a和b的两个小正方形面积的和，再加上两个长为a，宽为b的长方形的面积．
【解析】【解答】（1）(a+b)2=(a+b)(a+b)
=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2
故答案为：ab，ab，2ab；
【分析】（1）依据多项式乘多项式法则，即可得到结果；（2）依据边长为a+b的正方形分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四部分，即可得到完全平方公式的几何解释；
33． 2023年电影《满江红》和《流浪地球2》分别夺得春节档票房的冠、亚军．乐乐和爸爸准备一起去看电影，乐乐想看《流浪地球2》，但是爸爸想看《满江红》，于是他们决定采用摸牌的办法决定去看哪部电影．摸牌规则如下：把一副新扑克牌中的红桃3，4，5，6四张背面朝上洗匀后放置在桌面上，乐乐从中随机摸出一张牌，记下数字后不放回，爸爸再从中摸出一张牌，记下数字．若两次数字之和为奇数，则看《流浪地球2》，若两次数字之和为偶数，则看《满江红》．
（1）请用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，表示出两数和的所有可能结果；
（2）请问这个摸牌规则是否公平？请说明理由．
【答案】（1）解：列表如下：
3 4 5 6
3 　 7 8 9
4 7 　 9 10
5 8 9 　 11
6 9 10 11 　
共有12种等可能结果．
（2）解：这个摸牌游戏不公平，
由表知，共有12种等可能结果，其中和为奇数的有7种结果，和为偶数的有5种结果，
所以看《流浪地球2》的概率为，看《满江红》的概率为，
∵，
∴这个摸牌游戏不公平．
【解析】【分析】（1）先列表，进而即可得到共有12种等可能结果。
（2）根据列表即可得到共有12种等可能结果，其中和为奇数的有7种结果，和为偶数的有5种结果，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
34．用一条长21厘米的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果腰长是底边的3倍，那么各边的长是多少？
（2）能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形吗？为什么？
【答案】（1）解：设底边长为xcm，则腰长为3xcm，由题意得：3x+3x+x=21，解得 x=3，
所以：三边长分别为：3cm，9cm，9cm.
（2）解：分情况讨论：
①当底边为5cm时，三边长为5cm，8cm，8cm，此时5+8>8，所以能围成三角形；
②当腰长为5cm时，三边长为5cm，5cm，11cm，此时5+5<11，所以不能围成三角形.
综上，当三边长为5cm，8cm，8cm时，能围成有一边的长是5厘米的等腰三角形.
【解析】【分析】（1）先求出 3x+3x+x=21， 再解方程即可；
（2）分类讨论，利用三角形的三边关系求解即可。
35．如图，已知 和 的度数满足方程组 ，且 ， .
（1）分别求 和 的度数；
（2）求 的度数.
【答案】（1）解：解方程组 ，
①②得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
解得： ；
（2）解：∵∠α+∠β=50°+130°=180°，
∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
又∵CD∥EF，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE=90°，
∴∠C=180°-90°-50°=40°.
【解析】【分析】（1）观察方程组中同一个未知数的系数特点：∠β的系数为1，因此由①-②，可求出∠α的度数；然后求出∠β的度数.
（2）先求出∠α+∠β=180°，利用同旁内角互补，两直线平行，可证得AB∥EF，因此可推出AB∥CD，利用平行线的性质可证得∠C+∠CAB=180°，利用垂直的定义可求出∠CAE的度数，由此可求出∠C的度数.
36．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
（1）若固定三根木条 ， ， 不动， ， ，如图，量得第四根木条 ，判断此时 与 是否相等，并说明理由．
（2）若固定二根木条 ， 不动， ， ，量得木条 ， ，写出木条 的长度可能取到的一个值（直接写出一个即可）．
（3）若固定一根木条 不动， ，量得木条 ．如果木条 ， 的长度不变，当点 移到 的延长线上时，点 也在 的延长线上；当点 移到 的延长线上时，点 ， ， 能构成周长为 的三角形，求出木条 ， 的长度．
【答案】（1）解：相等. 理由如下：连结 ，如图所示： ，
，
（2）解：连结 ，
，
，
.
（只要直接写出一个符合要求的值即可，如：1，2等）
（3）解：设 ， ，①当点 在点 右侧时， ，解得： ， .
②当点 在点 左侧时， ，解得： ，
.
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定定理，可证得ΔABC ΔADC ，再根据全等三角形的性质，可证得结论。
（2）利用勾股定理求出AC的长，再利用三角形的三边关系定理求出AD的取值范围，就可写出AD的长度可能取到的一个值。
（3）设 AD=x ， BC=y ，分两种情况讨论：①当点 C 在点 D 右侧时；②当点 C 在点 D 左侧时，根据题意分别建立方程组，求出方程组的解，就可得出木条AD、BC的长度。
37．如图，BD平分∠ABC，∠ABC=50°，∠A=70°，∠EDB=25°.
（1）求证：DE∥AB；
（2）求∠ADB的度数.
【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC=50°，
∴∠ABD= ∠ABC=25°，
∵∠EDB=25°，
∴∠ABD=∠EDB，
∴DE∥AB；
（2）解：由（1）得∠ABD=25°，
∵∠A=70°，
∴∠ADB=180° ∠A ∠ABD=85°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线性质得出∠ABD=25°，然后根据内错角相等，二直线平行，由∠ABD=∠EDB得出DE∥AB；
（2）利用三角形内角和为180°计算即可.
38．如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，PA=2，求线段DE的长．
【答案】（1）解：DE⊥DP，
理由如下：∵PD=PA，
∴∠A=∠PDA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠PDA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴DE⊥DP
（2）解：连接PE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠PDE=90°，
∴PC2+CE2=PE2=PD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠PDA，根据线段垂直平分线的性质得到EB=ED，于是得到结论；（2）连接PE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，根据勾股定理即可得到结论．
39．已知 ，点 在 的内部，点 和点 关于 对称，点 关于 的对称点是 ，连接 交 于 ，交 于 ，
（1）补全图，并且保留作图痕迹.
（2）写出 　 　°. 的周长为　 　.
【答案】（1）解：如图即为所求
（2）60；15
【解析】【解答】解：（2）连接OC、OD、OP、MP、NP，由对称的定义可知AO垂直平分CP，BO垂直平分DP，
易得OM平分 ，ON平分 ，
点M在AO上，点N在BO上
所以 ， 的周长为15.
【分析】（1）依据过直线外一点作直线的垂线的作图方法作出过点P的OA的垂线，再由P与点C到OA的距离相等即可确定C点位置，同理可确定点D位置，连接CD即可；（2）由对称的定义可知AO垂直平分CP，BO垂直平分DP，由角平分线的性质可得 ，结合 可得的度数，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得 ，结合 ，易得 的周长.
40．为了响应国家有关开展中小学生：“课后服务”的政策，某学校课后开设了五门课程供学生选择，分别是A：足球：B：书法：C：阅读：D：绘画：E：合唱.学生需要从中选报自己喜欢的两门课程.
（1）若甲同学选第一门课程时，从上面课程中随机挑选一门，则甲同学选中“A：足球”的概率为　 　.
（2）若甲同学和乙同学第一次都选择了“A：足球”，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他们第二次选课相同的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明.
【答案】（1）
（2）解：根据题意画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们第二次选课相同的结果数为4，所以他们第二次选课相同的概率为.
【解析】【解答】解：(1)从5门课程中随机挑选一门，则甲选中课程A的概率为；
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）利用树状图列举出共有16种等可能的结果数，其中他们第二次选课相同的结果数为4，然后利用概率公式计算即可.
41．在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O.
（1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为　 　；
（2）点D在BA，AC边上运动.
①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB.试说明：∠ADO＝∠AOC；
②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC者之间的数量关系.
【答案】（1）
（2）解：① 平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
是 的一个外角，
，
；
②当点 在 上时， 平分 ，
，
，
，
；
当点 在 上时， ， ，
，
，
，
，
综上所述， 或 .
【解析】【解答】解：（1） ，
，
平分 ， 平分 ，
， ，
，
，
故答案为： ；
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC＋∠ACB＝140°，由角平分线定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，再根据三角形内角和定理计算即可求解；
（2）①由AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，可得∠AOC＝90°＋∠ABC，利用三角形外角的性质可得∠ADO＝∠ABO＋∠BOD＝90°＋∠ABC，即可求解；
②由题意分两种情况讨论：当点D在AE上时，利用角平分线性质和三角形外角的性质，进行计算可得2∠ADP＝∠BAC ∠ACB＋360°；当点D在CE上时，利用角平分线性质和三角形外角的性质，进行计算可得2∠ADP＝∠ACB ∠BAC；综合两种情况可求解．
42．如图，直线ABCD，直线与、分别交于点、，小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
（1）填空：　 　（填“”“”或“”）；
（2）若的平分线交直线于点，如图②．
①当ONEF，PMEF时，求的度数；
②小安将三角板保持PMEF并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）=
（2）解：①，，，，，，平分，，，，；②点在的右侧时，如图②，
，，，，，，平分，，，；点在的左侧时，如图，
，，，，，，，平分，，，综上所述，的度数为或．
【解析】【解答】（1）解：过点作，
，，，，，故答案为：.
【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解；
（2）①利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义和平行线的性质可得；
②分两种情况： 第一种情况，当在的右侧时， 第二种情况，当点在的左侧时，分别画出图象再求解即可。
43．如图1，已知直线，点为直线AB，ED之间（不在直线上）的一个动点，连接CB，CD，BE平分平分和DA交于点．
（1）证明：，
（2）如图2，连接CF，则在点的运动过程中，当满足时：
①若，求的度数；
②若，求的度数．
【答案】（1）证明：平分，
（2）解：①，
②设，则，
的平分线交直线ED于点，
【解析】【分析】(1)根据平分， ，内错角相等证明即可；
（2）① 由题意得，由有又因为，所以即；
②设，则，由
有又由有根据得即则所以
44．边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2
（1）如图1，将△DEC沿射线方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
【答案】（1）解：当CC'= 时，四边形MCND'是菱形．
理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°，
∵CN是∠ACC'的角平分线，
∴∠D'E'C'= ∠ACC'=60°=∠B，
∴∠D'E'C'=∠NCC'，
∴D'E'∥CN，
∴四边形MCND'是平行四边形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，
∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，
∴MC=CE'，NC=CC'，
∵E'C'=2 ，
∵四边形MCND'是菱形，
∴CN=CM，
∴CC'= E'C'=
（2）解：①AD'=BE'，
理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，
由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，
∴△ACD'≌△BCE'，
∴AD'=BE'，
当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，
即：AD'=BE'，
综上可知：AD'=BE'．
②如图连接CP，
在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，
∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，
如图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'= ，
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'= =2 ．
【解析】【分析】（1）先判断出四边形MCND'为平行四边形，再由菱形的性质得出CN=CM，即可求出CC'；（2）①分两种情况，利用旋转的性质，即可判断出△ACD≌△BCE'即可得出结论；
②先判断出点A，C，P三点共线，先求出CP，AP，最后用勾股定理即可得出结论．
45．如图1，在四边形 中， ， ，它的两边分别交 点 ．且 ．
（1）求证：
（2）如图2，当 的两边分别交 的延长线于点 ，其余条件均不变时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）证明：延长 到 ，使 ，连接 ，如图所示：
，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
，
在 和 中
，
，
；
（2）解：不成立，AE=CF+EF，理由如下：
在AE上截取AH=CF，连接BH，如图所示：
，
，
∵AB=CB，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH=BF，∠ABH=∠CBF，
∵ ，∠EBF=∠CBF+∠CBE，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH，
∴∠EBF=∠EBH，
∵EB=EB，
∴△EBF≌△EBH（SAS），
∴CF=AH，EF=EH，
∵AE=AH+HE，
∴AE=CF+EF．
【解析】【分析】（1）通过旋转，将绕点B旋转到，利用“SAS”证出，再利用全等的性质得到对应边相等，进行转换即可；（2）利用“截长补短”证明，继续利用全等的性质，进行转换，证出线段之间的关系。
46．如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，求∠HPQ的度数．
【答案】（1）解：AB∥CD，
理由如下：
∵∠1与∠2互补，
∴∠1+∠2=180°，
又∵∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∵∠PHK=∠HPK，
∴∠PKG=2∠HPK．
又∵GH⊥EG，
∴∠KPG=90°﹣∠PKG=90°﹣2∠HPK，
∴∠EPK=180°﹣∠KPG=90°+2∠HPK．
∵PQ平分∠EPK，
∴ ，
∴∠HPQ=∠QPK﹣∠HPK=45°．
答：∠HPQ的度数为45°．
【解析】【分析】（1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF、∠CFE互补，所以易证AB∥CD；（2）利用（1）中平行线的性质推知∠BEF+∠EFD=180°；然后根据角平分线的性质、三角形内角和定理证得∠EPF=90°，即EG⊥PF，故结合已知条件GH⊥EG，易证PF∥GH；（3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得 ；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知 ；最后根据图形中的角与角间的和差关系求得∠HPQ=45°．
47．已知∶点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE．
（1）如图①，当∠A=58°，∠B=118°时，求∠C的度数；
（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；
（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥OB，QP⊥PB，直接写出∠DAC∶∠ACB∶∠CBE的值．
【答案】（1）解：在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B，
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-（∠B-∠A）=120°．
（2）解：在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD=∠CAD，∠EBQ=∠CBE，
∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=（∠CBE-∠CAD）．
∵由（1）可得∠C=180°-（∠CBE-∠CAD）=180°-2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C=180°．
（3）解：∵AC∥QB，
∴∠AQB=∠CAP=∠CAD，∠ACP=∠PBQ=∠CBE，
∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB=180°，
∴∠CAD=∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，
∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，
∴∠ACB=180°-（∠CBE-∠CAD）=120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质求出 ∠ACF=∠A，∠BCF=180°-∠B， 再求解即可；
（2）先求出 ∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ，再求出∠AQB=∠BQM-∠AQM=（∠CBE-∠CAD），最后求解即可；
（3）利用平行线的性质求解即可。
48．如图①，点A、点B分别在直线和直线上，，，射线从射线的位置开始，绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时射线从射线的位置开始，绕点B以每秒的速度顺时针旋转，射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）______；
（2）在转动过程中，当射线与射线所在直线的夹角为，直接写出t的值______．
（3）在转动过程中，若射线与射线交于点H，过点H作交直线于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值：如果改变，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或
（3）解：的值不变，理由为：解：如图，由（2）可知，
∵，
∴，
∵，
∴，
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
故答案为135；
解：（2）设射线与射线所在直线的交点为点，
旋转时间为秒时，，，
即，
①如图，当时，过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，
②如上图，当时，则，
由①可知，即，
解得，
综上所述，当时，射线与射线所在直线的夹角为.
【分析】1）由， 根据两直线平行，同旁内角互补，结合，进行计算，即可得到答案；
（2）设射线与射线所在直线的交点为点，得到，，，过点P作，由平行线的性质，得到，分或，两种情况讨论，分别列出关于t的方程，求得t的值，即可得到答案；
（3）由（2），得到，再由， 得到，根据，求得的值，即可得到答案.
49．知识链接：
“转化、化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决.
（1）问题背景：已知：△ABC.试说明：∠A+∠B+∠C=180°.
问题解决：（填出依据）
解：如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC.
∵BF∥AC（作图）
∴∠1=∠C（ ）
∠2=∠A（ ）
∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义）
∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）
小结反思：本题通过添加适当的辅助线，把三角形的三个角之和转化成了一个平角，利用平角的定义，说明了数学上的一个重要结论“三角形的三个内角和等于180°.”
（2）类比探究：请同学们参考图②，模仿（1）的解决过程试说明“三角形的三个内角和等于180°”
（3）拓展探究：如图③，是一个五边形，请直接写出五边形ABCDE的五个内角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=　 　.
【答案】（1）解：如图①，延长AB到E，过点B作BF∥AC.
∵BF∥AC（作图）
∴∠1=∠C（两直线平行，内错角相等）
∠2=∠A（两直线平行，同位角相等）
∵∠2+∠ABC+∠1=180°（平角的定义）
∴∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）
（2）解：如图②，过C作MN∥AB
∵MN∥AB
∴∠1=∠B，∠2=∠A（两直线平行，内错角相等）
又∵∠1+∠ACB+∠2=180°（平角的定义）
∴A+∠ABC+∠C=180°
（3）540°
【解析】【解答】解：（3）如图：连接EC、EB，
∵在△ABC、△ACD和△AED中，
∴∠BAC+∠B+∠ACB=180"，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°∠DAE+∠E+∠ADE=180°
∴∠BAE+∠B+∠DCB+ ∠CDE+∠E
=∠BAC+∠CAD+∠DAE+∠BCA+∠ACD+∠ADE+∠ADC+∠B+∠E
=（∠BAC+∠B+∠ACB）+（ ∠DAC+∠ACD+∠ADC）+（ ∠DAE+∠E+∠ADE）
=540°。
故答案为：540°.
【分析】（1）运用平行线的性质进行分析即可；
（2）运用两次两直线平行，内错角相等即可；
（3）连接EC、EB，转换成三个三角形的内角和即可.
50．如图1是一个长为2a、宽为2b的长方形（其中a，b均为正数，且a＞b），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形.
（1）你认为图2中大正方形的边长为　 　；小正方形（阴影部分）的边长为　 　.（用含a、b的代数式表示）
（2）仔细观察图2，请你写出下列三个代数式：（a﹣b）2，（a+b）2，ab所表示的图形面积之间的相等关系，并选取适合a、b的数值加以验证.
（3）已知a+b=4，ab=3.求代数式a﹣b的值.
【答案】（1）a+b；a﹣b
（2）解：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab.
例如：当a=5，b=2时，
（a+b）2=（5+2）2=49
（a﹣b）2=（5﹣2）2=9
4ab=4×5×2=40
因为49=40+9，
所以（a+b）2=（a﹣b）2+4ab.
（3）解：∵a+b=4，
（a+b）2=16，
∵（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，ab=3，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=16﹣4×3=4，
∴a﹣b=2或a﹣b=﹣2，
∵a＞b，
∴a﹣b=2.
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
大正方形的边长为a+b；
小正方形（阴影部分）的边长为a﹣b；
故答案为：a+b，a﹣b；
【分析】(1 )观察图形可知大正方形的边长等于小矩形的长与宽的和，小正方形的边长等于小矩形的长与宽的差；
(2)观察图形可知大正方形的面积(a+b)2减去阴影部分的正方形的面积(a-b)2等于四块小长方形的面积4ab，即(a+b) 2 =(a-b) 2+4ab；
（3）根据（2）的结论可以求出（a-b)2的值，再开方并检验即可得出答案.
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