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【50道热点题型】北师大版数学八年级下册期末试卷·综合题专练
1．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
2．某超市用1000元购进一批拖鞋，很快销售完毕，接着又用了1200元购进第二批拖鞋，已知两批拖鞋的数量相等，且第一批拖鞋每双的进货价比第二批的每双进货价少2元．
（1）这两批拖鞋进货价每双各是多少元？
（2）第一批拖鞋以每双18元全部售出后，若想两批所得的利润不低于50%，则第二批拖鞋的售价最少为多少元？
3．如图，在 中， 是 边上的中线，E是 边上一点，过点 作 交 的延长线于点F.
（1）求证： .
（2）当 ， ， 时，求 的长.
4．为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知购买1本甲种和1本乙种数学课外读物共需元，购买1本甲种和2本乙种数学课外读物共需元．
（1）求甲、乙两种数学课外读物的单价；
（2）该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共本，总费用不超过元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？
5．甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多 50 米，甲队修路 600米与乙队修路 300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建，若甲队每天所需费用为1.2 万元，乙队每天所需费用为0.5 万元，在总费用不超过 40 万元的情况下，至少安排乙队施工几天？
6．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E.
（1）若，求证：；
（2）若，，，求的长.
7．因式分解：
（1） ；
（2）
8．某文具商店首次购进了甲、乙两种畅销笔记本．已知每个甲种笔记本的进价比每个乙种笔记本的进价多4元，且购进150个甲种笔记本比购进200个乙种笔记本多花400元．
（1）求本次购进甲、乙两种笔记本的进价分别是每个多少元？
（2）为满足更多学生需求，该超市准备再次购进甲、乙两种笔记本共200个，若购进这200个笔记本的总金额不超过1150元，求最多购进多少个甲种笔记本？
9．春节，即农历新年，是一年之岁首，传统意义上的年节．为喜迎新春，某水果店推出水果篮和坚果礼盒，若花费4800元购进的水果篮的数量是花费4800元购进坚果礼盒的数量的 ，已知每个水果篮的进价比每盒坚果礼盒的进价多40元．
（1）求一个水果篮、一盒坚果礼盒的进价各是多少元
（2）老板花费4800元购进坚果礼盒后，以每盒200元的价格销售坚果礼盒，当坚果礼盒售出 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使坚果礼盒的销售利润不低于2240元，剩余的坚果礼盒每盒售价至少要多少元
10．如图， 和 都是等边三角形，并且 .
求证：
（1） ；
（2）求 的度数.
11．某学校准备购买体育教学用的器材A和B，下表是这两种器材的价格信息：
A B 总费用
3件 1件 500元
1件 2件 250元
（1）求每件器材A、器材B的销售价格；
（2）若该学校准备用不多于2700元的金额购买这两种器材共25件，且购买器材A不少于12件，则有哪几种购买方案，并求出最少费用是多少元？
12．大数据显示，新能源汽车需求量正倍速的增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计75万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划以不超过300万元购进以上两种型号的新能源汽车共10辆，并且该汽车销售公司销售1辆A型汽辆车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，假如这些新能源汽车全部售出，至少要获得62000元的利润，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
13．如图，在边长为1个单位长的正方形网格图中，将三角形经过平移后得到三角形的图形，点，，均在格点上，其中，.
（1）在网格图中画出平面直角坐标系及三角形；
（2）写出点，和点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使得三角形的面积等于三角形的面积，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
14． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，0）．
（1）如图1所示，平移线段AB到线段DC，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（-2，4），则点D的坐标为　 　；、
（2）平移线段AB到线段DC，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示，若△BCD的面积为7，求点C、D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使△PBD与△BCD的面积之比为12∶7？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，在 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ．
（1）说明： ；
（2）求线段 的长．
16．
（1）解不等式：
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
17．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副．
18．人工智能行业的快速展，引领传统行业快速转型，为人民提供更便捷的服务和更高的生活品质．海浪科技公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进3片型芯片和1片型芯片共需1250元，购进2片型芯片和3片型芯片共需1300元．
（1）求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？
（2）若该公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？
19．P为等边内的一点，PA=10，PB=6，PC=8，将绕点B顺时针旋转到位置．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数．
20．如图所示，将ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，点E在AD上。
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若AB=4，BC=6，求四边形ABFE的周长。
21．转眼就是毕业季啦，新华中学准备为毕业生统一定制一批纪念徽章，咨询了甲、乙两家网店，他们给出的收费标准如图所示，设定制数量为x（份），甲、乙两家网店的收费分别为（元）和（元）．
（1）分别求，关于x的函数表达式．
（2）根据新华中学毕业人数的不同，选择哪家网店比较优惠？
22．如图， 为 内一点， ， ，将 绕着点 顺时针旋转 能与线段 重合.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
23．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.
（1）求∠DBC的度数.
（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长.
24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点 （顶点是网格的交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为 ，
（1）①请在如图所示的网格内画出对应的平面直角坐标系；
②再把 先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到 ，且点 的对应点分别为 ，请你在图中画出 ；
（2）在Y轴上是否存在点P，使 的面积等于 的面积的一半，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由.
25．解不等式，并将解集在数轴上表示出来.
（1）；
（2）.
26．某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
27．如图，在 中，已知 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接
（1）若 ，则 的度数是　 　度
（2）若 ， 的周长是
①求 的长度；
②若点 为直线 上一点，请你直接写出 周长的最小值
28．在第24届北京冬奥会举办期间，某中学举办了以“童心绘冬奥一起向未来”为主题绘画比赛．学校计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A种学习用品比购买一个B种学习用品多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半．
（1）求A、B两种学习用品每件多少元？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A种学习用品赠送一个B种学习用品的优惠，如果该校需要B种学习用品的个数是A种学习用品个数的2倍还多8个，且该公司购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A种学习用品？
29．列分式方程解决问题：
某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元．
30．在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为（－1，0）、（－2，3）、（－3，1）.
（1）写出△ABC的面积，S△ABC＝　 　； △ABC形状是　 　；
（2）在y轴上找一点D，使得BD＋DA的值最小，求D点的坐标.
31．进入四月份，樱桃开始上市，某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克15元.
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中大樱桃损耗了15%.若大樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的70%，小樱桃的售价最少应为多少？
32．【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分、于D，猜想、、的数量关系．　
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
10 30 30 20 20
70 70 60 60 80
30 a 15 20 30
上表中a＝　 　，猜想与、的数量关系并证明　 　．
（2）【变式应用】
小明继续研究，在图②中，，，其它条件不变，若把“于D”改为“点F是线段上任意一点，于D”，则　 　（直接写出结果）．
（3）小明提出问题，在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于D，试探究与、的数量关系　 　（直接写出结论，不需证明）．
33．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
34．因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用辆车．已知每辆大型冷链车的运货量比每辆小型冷链车增加，则每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？
35．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
36．为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？
37．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为（－1，4）．
（1）写出点B，C的坐标：B（　 　，　 　），C（　 　，　 　）；
（2）要将△ABC完全平移到第四象限（不含坐标轴），且顶点都在网格点上，至少需要将此三角形向　 　（填“左”或“右”）平移　 　个单位长度，再向　 　（填“上”或“下”）平移　 　个单位长度．若此时位置记作，则的三个顶点坐标分别是A'（　 　，　 　），B'（　 　，　 　），C'（　 　，　 　）．
（3）已知是由△ABC平移得到的，A点的对应点，B点对应点，当和两点坐标满足和时，请直接写出是由△ABC经过怎样的平移得到的．
38．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
39．今年5月以来，渭南多地松绑政策，点亮地摊经济，一夜市摊贩购买了，两种布偶玩具，在夜市贩卖，已知每件布偶比布偶便宜2元，购买一定数量的布偶所用资金为3000元，购买相同数量的布偶所用资金为3300．
（1）求，两种布偶的单价分别是多少元？
（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降促销．要使所有布偶销售完后盈利1800元，求的值．
40．已知a为大于2的整数，若关于x的不等式组无解．
（1）求a的值．
（2）化简并求值：．
41．如图，在四边形中，．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图1，连接，射线沿翻折交边于点E，点F，G在上，点H在上，连接，若，求证：；
（3）如图2，在（2）的条件下，G为中点，若， ，求的长．
42．在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作，，的角，可以采用如下的方法：
【操作感知】
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开.
第二步；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图1）.
（1）【猜想论证】
写出图1中一个的角：　 　.
（2）若延长交于点，如图所示，试判断的形状，并证明.
（3）【迁移探究】
小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照操作感知的方式操作，并延长交于点，连接.当点在上时，，求正方形的边长.
43．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于点A，点B，OA=2，AB=2 ，直线OC经过线段AB的中点C，另一动直线L垂直于x轴，从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线L分别交线段AB，直线OC于点D，E，以DE为斜边向左侧作等腰Rt△DEF，当直线L经过点A时，直线L停止运动，设直线L的运动时间为t(秒)
（1）直接写出：点B的坐标是　 　 ，直线OC的解析式是
　 　 ：
（2）当0≤t≤1时，请用含t的代数式表示线段DE的长度：
（3）直线L平移过程中，是否存在点F，使△FOC为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
44．在正方形中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
（1）当时，　 　；
（2）在上取点F，使，连接．若，当时，的最小值为　 　．
45．如图①，直线 表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线 上，小明从点A出发，沿公路 向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路 上的点G处，最后沿公路 回到点A处.设AE=x米
(其中x>0)，GA=y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，
（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径(即△EFG)是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由.
46．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
（1）一个角的平分线　 　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝x，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　 　；（用含x的代数式表示出所有可能的结果）
（3）深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒.当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
47．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其中A种产品的生产成本为每件3万元，B种产品的生产成本为每件5万元；并且销售一件A种产品的利润为1万元，销售一件B种产品的利润为2万元。
（1）若工厂计划获得总利润为14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂投入两种产品的总生产成本不多于44万元，且获得总利润多于14万元，问工厂有哪几种生产方案（即A，B两种产品各生产多少件）？
48．已知：如图，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE延长线于点F，连接CF.
图1 图2
（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）如图2.连接CE，在不添加任何助线的情况下，请直接写出图2中所有与△BEC面积相等的三角形。
49．在平面直角坐标系 中，将直线 向下平移 个单位后，与一次函数 的图象相交于点 ．
（1）求点 的坐标．
（2）若 是 轴上一点，且满足 是等腰三角形，直接写出点 的坐标．
50．为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品.小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元.
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，小亮最多能买多少个笔记本？
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【50道热点题型】北师大版数学八年级下册期末试卷·综合题专练
1．如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（-4，2）、B（-1，-2），
∴C（4，-2）、D（1，2）；
（2）解：线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°或线段AB沿x轴方向向右平移5个单位长度得到线段CD
（3）解：由（1）得：A到y轴的距离为4，D到y轴的距离为1，A到x轴的距离为2，B到x轴的距离为2，
∴SABCD可以转化为边长为5和4的矩形面积，∴SABCD=5×4=20.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的中心对称性可知点C，D关于原点O的对称点分别为点A，点B，即可写出点C，D的坐标；（2）变换过程有平移与旋转，也可二者结合进行变换；（3）借助点的坐标求得平行四边形的边长及其上的高即可.
2．某超市用1000元购进一批拖鞋，很快销售完毕，接着又用了1200元购进第二批拖鞋，已知两批拖鞋的数量相等，且第一批拖鞋每双的进货价比第二批的每双进货价少2元．
（1）这两批拖鞋进货价每双各是多少元？
（2）第一批拖鞋以每双18元全部售出后，若想两批所得的利润不低于50%，则第二批拖鞋的售价最少为多少元？
【答案】（1）第一批拖鞋每双的进货价为10元，第二批拖鞋每双的进货价为12元
（2）第二批拖鞋的售价最少为15元/双
3．如图，在 中， 是 边上的中线，E是 边上一点，过点 作 交 的延长线于点F.
（1）求证： .
（2）当 ， ， 时，求 的长.
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
（2）解：∵△BDE≌△CDF，
∴BE＝CF＝4
∴AB＝AE+BE＝2+4＝6，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AC＝AB＝6.
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝CF＝4，求得AB＝AE＋BE＝2＋4＝6，于是得到结论.
4．为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知购买1本甲种和1本乙种数学课外读物共需元，购买1本甲种和2本乙种数学课外读物共需元．
（1）求甲、乙两种数学课外读物的单价；
（2）该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共本，总费用不超过元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？
【答案】（1）甲种数学课外读物的单价是元，乙种数学课外读物的单价是元
（2）至少可购买甲种数学课外读物本
5．甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度比乙队每天修路的长度多 50 米，甲队修路 600米与乙队修路 300米用的天数相同．
（1）求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
（2）计划修建长度为3600米的公路，因工程需要，甲、乙两支工程队都要参与这条公路的修建，若甲队每天所需费用为1.2 万元，乙队每天所需费用为0.5 万元，在总费用不超过 40 万元的情况下，至少安排乙队施工几天？
【答案】（1）解：设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路（x+50）米，
依题意，得：，
解得：x=50，
经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，
∴x+50=100．
答：甲工程队每天修路100米，乙工程队每天修路50米．
（2）解：设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工=（36-0.5m）天，
依题意，得：0.5m+1.2（36-0.5m）≤40，
解得：m≥32．
即：至少安排乙工程队施工32天．
故答案是：32．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再解方程即可；
（2）先求出 0.5m+1.2（36-0.5m）≤40， 再求解即可。
6．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E.
（1）若，求证：；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3.
∴AC＝6，BC＝8.
∵.
∴.
∴△ABC是直角三角形.
∴.
（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，
∴，.
∵AD、BE分别为边BC、AC的中线.
∴，.
∴，.
∴.
∴.
∴.
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行解答即可；
（2）由三角形中线的定义可得，，由勾股定理可得，，据此可求出，再根据勾股定理可求出AB的长.
7．因式分解：
（1） ；
（2）
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：原式=
=
【解析】【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用完全平方公式进行因式分解即可；
8．某文具商店首次购进了甲、乙两种畅销笔记本．已知每个甲种笔记本的进价比每个乙种笔记本的进价多4元，且购进150个甲种笔记本比购进200个乙种笔记本多花400元．
（1）求本次购进甲、乙两种笔记本的进价分别是每个多少元？
（2）为满足更多学生需求，该超市准备再次购进甲、乙两种笔记本共200个，若购进这200个笔记本的总金额不超过1150元，求最多购进多少个甲种笔记本？
【答案】（1）甲种笔记本的进价是8元，乙种笔记本的进价是4元
（2）最多购进87个甲种笔记本
9．春节，即农历新年，是一年之岁首，传统意义上的年节．为喜迎新春，某水果店推出水果篮和坚果礼盒，若花费4800元购进的水果篮的数量是花费4800元购进坚果礼盒的数量的 ，已知每个水果篮的进价比每盒坚果礼盒的进价多40元．
（1）求一个水果篮、一盒坚果礼盒的进价各是多少元
（2）老板花费4800元购进坚果礼盒后，以每盒200元的价格销售坚果礼盒，当坚果礼盒售出 时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使坚果礼盒的销售利润不低于2240元，剩余的坚果礼盒每盒售价至少要多少元
【答案】（1）一个水果篮的进价是160元， 一盒坚果礼盒的进价是120元；
（2）剩余的坚果礼盒每盒售价至少是140元
10．如图， 和 都是等边三角形，并且 .
求证：
（1） ；
（2）求 的度数.
【答案】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ （SAS）；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在四边形 中， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据已知条件求出 ，然后利用SAS证明△ACE≌△BCD即可；（2）由全等三角形的性质得出 ，再通过角之间的转化，利用四边形内角和定理求出 即可解决问题．
11．某学校准备购买体育教学用的器材A和B，下表是这两种器材的价格信息：
A B 总费用
3件 1件 500元
1件 2件 250元
（1）求每件器材A、器材B的销售价格；
（2）若该学校准备用不多于2700元的金额购买这两种器材共25件，且购买器材A不少于12件，则有哪几种购买方案，并求出最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：每件器材A的销售价格为150元，每件器材B的销售价格为50元
（2）解：设购买m件器材A，则购买（25﹣m）件器材B，
依题意，得： ，
解得：12≤m≤14 ，
∵m为正整数，
∴m可以取12，13，14，
∴共有3种购买方案，方案1：购买12件器材A，13件器材B；方案2：购买13件器材A，12件器材B；方案3：购买14件器材A，11件器材B．
方案1所需费用为150×12+50×13＝2450（元）；
方案2所需费用为150×13+50×12＝2550（元）；
方案3所需费用为150×14+50×11＝2650（元）．
∵2450＜2550＜2650，
∴最少费用是2450元．
答：共有3种购买方案，方案1：购买12件器材A，13件器材B；方案2：购买13件器材A，12件器材B；方案3：购买14件器材A，11件器材B．最少费用是2450元．
【解析】【分析】（1） 设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元， 根据“购买3件器材A和1件器材B，共需500元；购买1件器材A和2件器材B，共需250元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2） 设购买m件器材A，则购买（25﹣m）件器材B， 根据购买器材A不少于12件且购买费用不超过2700元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数即可得出各购买方案，再分别求出各购买方案所需费用，比较后即可找出最少费用。
12．大数据显示，新能源汽车需求量正倍速的增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计75万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划以不超过300万元购进以上两种型号的新能源汽车共10辆，并且该汽车销售公司销售1辆A型汽辆车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，假如这些新能源汽车全部售出，至少要获得62000元的利润，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？
【答案】（1）解：设A型汽车每辆进价为x元，B型汽车每辆进价为y元，
由题意可得：，
解得：，
∴A型汽车每辆进价为35万元，B型汽车每辆进价为20万元；
（2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，
由题意可得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴m的取值为5或6，
∴共有2种方案，
方案一：购进A型汽车5辆，则购进B型汽车5辆，
获得的利润为元；
方案二：购进A型汽车6辆，则购进B型汽车4辆，
获得的利润为元；
∴该公司有2种购进方案，方案二：购进A型汽车6辆，则购进B型汽车4辆获得的利润最多，最多利润是68000元．
【解析】【分析】 （1）设A型汽车每辆进价为x元，B型汽车每辆进价为y元，根据1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计75万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元，可得方程组，解方程组，即可求得答案；
（2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车（10-m）辆， 根据本金不超过300万，和至少获得62000元的利润，可列不等式组，求得不等式组的解集，并根据题意求出m的正整数解，从而得出所有方案，并分别计算各种方案的利润，得出获得最大利润的方案，并求出最大利润即可。
13．如图，在边长为1个单位长的正方形网格图中，将三角形经过平移后得到三角形的图形，点，，均在格点上，其中，.
（1）在网格图中画出平面直角坐标系及三角形；
（2）写出点，和点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使得三角形的面积等于三角形的面积，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，三角形为所作；
（2）解：，，.
（3）解：存在.
三角形的面积，
设点.
由题意得，
解得或13.
点的坐标为或.
【解析】【分析】（1）以C为坐标原点建立平面直角坐标系，根据点B、B1的坐标可得平移方式为：先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，据此找出点A1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据画出的图形可得对应点的坐标；
（3）首先利用方格纸的特点及割补法，用△A1B1C1外接矩形的面积分别减去周围三个矩形的面积，求出△A1B1C1的面积，设M（m，0），根据三角形的面积公式可求出m的值，进而可得点M的坐标.
14． 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，0）．
（1）如图1所示，平移线段AB到线段DC，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（-2，4），则点D的坐标为　 　；、
（2）平移线段AB到线段DC，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示，若△BCD的面积为7，求点C、D的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使△PBD与△BCD的面积之比为12∶7？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：点在轴上，点在第二象限，
线段向左平移3个单位，再向上平移个单位，符合题意，
，，
连接，
，
，
，
（3）解：由（2）得
∵。 ，
∴
①当P在x轴上方时，如图1
OP=6
∴P(0，6)
②当P在x轴下方时，如图2
∴P(0，
存在点，其坐标为(0，6)或．
15．如图，在 中， ， ， 、 分别是其角平分线和中线，过点 作 于点 ，交 于点 ，连接 ．
（1）说明： ；
（2）求线段 的长．
【答案】（1）证明： 平分
∴△AGF≌△ACF（ASA）．
∴AG=AC
（2）解： ， ，
∴GF=CF，
是 的中线，
BE=CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴ ．
答：EF的长为2cm，
【解析】【分析】（1）先利用“ASA”证明 △AGF≌△ACF ，则 AG=AC；
（2）先利用全等三角形的性质证明EF是△BCG的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解。
16．
（1）解不等式：
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）解：3x﹣2≥x+1，
移项得，3x﹣x≥1+2，
合并同类项得，2x≥3，
系数化为1得，x≥1.5；
（2）解：，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】【分析】（1）利用不等式的性质求解即可；
（2）先求出 不等式组的解集为x≤1， 再求解即可。
17．党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”．某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买乒乓球拍和羽毛球拍用于“阳光体育大课间”和学生社团活动．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍多元，且用元购买乒乓球拍的数量和用元购买羽毛球拍的数量一样．
（1）求每副乒乓球拍和每副羽毛球拍的价格；
（2）学校计划采购乒乓球拍和羽毛球拍共计副，且乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍，求最多购买乒乓球拍多少副．
【答案】（1）解：设每副乒乓球拍的价格是元，则每副羽毛球拍的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解且符合题意，
∴（元）．
答：每副乒乓球拍的价格是元，每副羽毛球拍的价格是元；
（2）解：设购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为．
答：最多购买乒乓球拍副．
【解析】【分析】（1）先求出每副羽毛球拍的价格是元，再找出等量关系求出，最后解方程求解即可；
（2）先求出购买羽毛球拍副，再根据“乒乓球拍的数量不超过羽毛球拍数量的倍”求出，最后计算求解即可。
18．人工智能行业的快速展，引领传统行业快速转型，为人民提供更便捷的服务和更高的生活品质．海浪科技公司计划投入一笔资金购进、两种型号的芯片．已知购进3片型芯片和1片型芯片共需1250元，购进2片型芯片和3片型芯片共需1300元．
（1）求购进1片型芯片和1片型芯片各需多少元？
（2）若该公司计划购进、两种型号的芯片共10万片，根据生产的需要，购进型芯片的数量不低于型芯片数量的4倍，问该公司如何购买芯片所需资金最少？最少资金是多少万元？
【答案】（1）购进1片型芯片需元，购进1片型芯片需元；
（2）该公司购买型芯片8万片，型芯片2万片所需资金最少，最少资金是万元
19．P为等边内的一点，PA=10，PB=6，PC=8，将绕点B顺时针旋转到位置．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：△BPP′是等边三角形；理由如下：
∵△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP′位置，
∴BP=BP′，∠PBP′=60°，AP=CP′=10，
∴△BPP′是等边三角形；
（2）解：∵△BPP′是等边三角形，
∴∠BPP′=60°，PP′=PB=6，
∵，
∴，
∴△PCP′是直角三角形，∠P′PC=90°，
∴∠BPC=∠BPP′+∠P′PC=60°+90°=150°．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到BP=BP'，∠PBP'=60°，AP=CP'=10，则利用等边三角形的判定方法可判断△BPP′是等边三角形；
（2）利用△BPP′是等边三角形得到∠BPP'=60°，PP'=PB=6，然后利用勾股定理的逆定理可证明△PCP′是直角三角形，∠P′PC=90°，再计算∠BPC=∠BPP′+∠P′PC即可。
20．如图所示，将ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，点E在AD上。
（1）求证：四边形ABFE为平行四边形；
（2）若AB=4，BC=6，求四边形ABFE的周长。
【答案】（1）证明：∵将ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处.
EF=ED，∠CFE=∠CDE
∵四边形ABCD是平行四边形，
AD∥BC，∠B=∠CDE，
AE∥BF，∠B=∠CFE
AB∥EF.
四边形ABFE为平行四边形。
（2）解：∵四边形ABFE为平行四边形，
EF=AB=4，
EF=ED，
∴ED=4，
AE=BF=6-4=2，
∴四边形ABFE的周长=AB+BF+EF+EA=12。
【解析】【分析】(1)根据折叠的性质得出EF=ED，∠CFE=∠CDE，结合平行四边形的性质推出AB∥EF，结合AE∥BF，则可证出四边形ABFE为平行四边形；
(2)根据折叠的性质和线段间的和差关系求出AE长，最后根据周长的定义计算即可.
21．转眼就是毕业季啦，新华中学准备为毕业生统一定制一批纪念徽章，咨询了甲、乙两家网店，他们给出的收费标准如图所示，设定制数量为x（份），甲、乙两家网店的收费分别为（元）和（元）．
（1）分别求，关于x的函数表达式．
（2）根据新华中学毕业人数的不同，选择哪家网店比较优惠？
【答案】（1），
（2）当定制数量为375份时，两家网店收费一样，定制数量超过375份时，选择乙网店优惠一些，定制数量少于375份时，选择甲网店优惠一些
22．如图， 为 内一点， ， ，将 绕着点 顺时针旋转 能与线段 重合.
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明：由旋转可知，AE=AD，∠EAD=∠BAC=50°，
∴∠EAB=∠DAC，
∵AB=AC，
∴△AEB≌△ADC，
∴ .
（2）解：∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC=115°，
∵AE=AD，∠EAD=50°，
∴∠AED= ，
∠BED=115°-65°=50°.
【解析】【分析】（1） 由旋转可知AE=AD，∠EAD=∠BAC=50°，从而得出∠EAB=∠DAC， 根据SAS证明△AEB≌△ADC，可得 ；
（2）利用全等三角形的性质可得∠AEB=∠ADC=115°， 由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠AED=65°，由∠BED=∠AEB-∠AED计算即得结论.
23．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.
（1）求∠DBC的度数.
（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°；
（2）解：∵MN是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∵△DBC的周长为14cm，
∴BD+BC+CD＝14cm，
∵BC＝5cm，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm，
∵AB＝AC，
∴AB＝9cm.
【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到∠ABC＝∠ACB＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质计算即可；(2)根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算，得到答案.
24．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，格点 （顶点是网格的交点的三角形）的顶点A，C坐标分别为 ，
（1）①请在如图所示的网格内画出对应的平面直角坐标系；
②再把 先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到 ，且点 的对应点分别为 ，请你在图中画出 ；
（2）在Y轴上是否存在点P，使 的面积等于 的面积的一半，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由.
【答案】（1）解：平面直角坐标系如图所示，△A′B′C′即为所求
（2）解：△ABC的面积为4×4- ×2×4- ×2×1- ×4×3=5，
y轴上存在点P，使△PBC的面积等于△ABC的面积的一半，
设P（0，y），则CP=|y-3|，
×|y-3|×1= ×5，
解得y=8或-2，
∴点P的坐标为（0，8）或（0，-2）.
【解析】【分析】(1)根据平移的方法， 将A、B、C三点分别先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到A'、B'和C'，然后将这三点顺次连接起来即可；
(2)△ABC的面积等于其外接矩形的面积减去周围三个小三角形的面积，设P（0，y）， 然后把PC的长度表示出来，根据△PBC的面积等于△ABC的面积的一半列出含绝对值的一元一次方程求解即可解答.
25．解不等式，并将解集在数轴上表示出来.
（1）；
（2）.
【答案】（1）解：，
移项得，
合并得，
用数轴表示为：
（2）解，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为得，
用数轴表示为：
【解析】【分析】（1）利用移项合并、系数化为1先解出不等式，然后将解集在数轴上表示即可；
（2）利用去分母、去括号后、移项合并、系数化为1先解出不等式，然后将解集在数轴上表示即可；
26．某商场欲购进A和B两种家电，已知B种家电的进价比A种家电的进价每件多100元，经计算，用1万元购进A种家电的件数与用1.2万元购进B种家电的件数相同．请解答下列问题：
（1）这两种家电每件的进价分别是多少元？
（2）若该商场欲购进两种家电共100件，总金额不超过53500元，且A种家电不超过67件，则该商场有哪几种购买方案？
（3）在（2）的条件下，若A和B两种家电的售价分别是每件600元和750元，该商场从这100件中拿出两种家电共10件奖励优秀员工，其余家电全部售出后仍获利5050元，请直接写出这10件家电中B种家电的件数．
【答案】（1）解：设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为元．
根据题意，得
．
解得．
经检验是原分式方程的解．
．
答：A种家电每件的进价为500元，B种家电每件的进价为600元；
（2）解：设购进A种家电a件，购进B种家电件．
根据题意，得．
解得．
，．
为正整数，，则，
共有三种购买方案，
方案一：购进A种家电65件，B种家电35件，
方案二：购进A种家电66件，B种家电34件，
方案三：购进A种家电67件，B种家电33件；
（3）解：设A种家电拿出件，则B种家电拿出件，
根据（1）和（2）及题意，当购进A种家电65件，B种家电35件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电66件，B种家电34件时，得：
，
整理得：，
解得：，不符合实际；
当购进A种家电67件，B种家电33件时，得：
，
整理得：，
解得：，符合实际；则B种家电拿出件．
【解析】【分析】（1）设A种家电每件进价为x元，B种家电每件进价为(x+100)元，用1万元购进A种家电的件数为，用1.2万元购进B种家电的件数为，然后根据件数相同列出方程，求解即可；
（2）设购进A种家电a件，购进B种家电(100-a)件，根据A的进价×件数+B的进价×件数=总费用以及 A种家电不超过67件结合题意可得关于a的不等式，求出a的范围，进而可得购买方案；
（3）设A种家电拿出b件，则B种家电拿出(10-b)件，根据(售价-进价)×件数-b件A的价钱-(10-b)件B的价钱=总利润结合题意可得关于b的方程，求解即可.
27．如图，在 中，已知 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接
（1）若 ，则 的度数是　 　度
（2）若 ， 的周长是
①求 的长度；
②若点 为直线 上一点，请你直接写出 周长的最小值
【答案】（1）40
（2）解：① ，
的周长是 ，
即
，
，
，
．
答： 的长度为 ．
②点B关于MN对称点为A，AC与MN交于点M，
∴当点 与点 重合时， 周长的值最小，且为AC+BC=10+8=18cm，
∴ 的周长的最小值为 ．
【解析】【解答】解：（1） ，
，
，
，
是 的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故答案为 ．
【分析】（1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得 ，再根据等腰三角形的性质即可求解；（2）①根据垂直平分线的性质得 ， 的周长是 18cm ， ，即可求 的长度；②当点 与点 重合时， 周长的最小，即为 的周长.
28．在第24届北京冬奥会举办期间，某中学举办了以“童心绘冬奥一起向未来”为主题绘画比赛．学校计划购买A、B两种学习用品奖励学生，已知购买一个A种学习用品比购买一个B种学习用品多用20元，若用400元购买A种学习用品的数量是用160元购买B种学习用品数量的一半．
（1）求A、B两种学习用品每件多少元？
（2）经商谈，商店给该校购买一个A种学习用品赠送一个B种学习用品的优惠，如果该校需要B种学习用品的个数是A种学习用品个数的2倍还多8个，且该公司购买A、B两种奖品的总费用不超过670元，那么该校最多可购买多少个A种学习用品？
【答案】（1）解：设购买一个 B种学习用品需要 x 元，则购买一个 A 种学习用品需要（x＋20）元，根据题意得：
解得： x=5
经检验，x=5 是原方程的解．
所以 ：x＋20=25．
答：购买一个 A 种学习用品需要 25 元，购买一个 B 种学习用品需要 5 元；
（2）解：设公司购买 A 种学习用品个数为 a 个，则购买 B 种学习用品的个数是（2a＋8）个
由题意得：25a＋5（2a＋8-a）≤670
解得：a≤21
答：最多可购买21个A种学习用品．
【解析】【分析】（1）设购买一个 B种学习用品需要 x 元，则购买一个 A 种学习用品需要（x＋20）元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设公司购买 A 种学习用品个数为 a 个，则购买 B 种学习用品的个数是（2a＋8）个，根据题意列出不等式25a＋5（2a＋8-a）≤670 求解即可。
29．列分式方程解决问题：
某公司决定采购A型和B型两款新能源汽车，已知每辆A型汽车的进价比每辆B型汽车的进价多5万元，若用3000万元购进A型汽车的数量与用2000万元购进B型汽车的数量相同，求每辆B型汽车的进价是多少万元．
【答案】每辆B型汽车的进价是10万元．
30．在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C的坐标分别为（－1，0）、（－2，3）、（－3，1）.
（1）写出△ABC的面积，S△ABC＝　 　； △ABC形状是　 　；
（2）在y轴上找一点D，使得BD＋DA的值最小，求D点的坐标.
【答案】（1）2.5；等腰直角三角形
（2）解：作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于点D，此时，AB′长度即为BD＋DA的最小值，
∵点B与点B′关于y轴对称，
∴B′（2，3），
连接AB′，交y轴于点D，可得D点坐标为（0，1）.
【解析】【解答】解：（1）S△ABC＝2×3 ×1×2 ×1×3 ×1×2＝2.5，
AB＝ ，AC＝ ，BC＝＝ ，
∴ AC＝BC， ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：2.5，等腰直角三角形；
【分析】（1）割补法用过△ABC三个顶点的方格线围成的一个矩形的面积减去三个顶点处的三个三角形的面积求解可得△ABC的面积，根据勾股定理算出各边的长度，进而根据勾股定理的逆定理可判断△ABC的形状；
（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于点D，此时AB′长度即为BD＋DA的最小值.
31．进入四月份，樱桃开始上市，某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克15元.
（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少钱？
（2）该水果商第二次仍用8000元从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中大樱桃损耗了15%.若大樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的70%，小樱桃的售价最少应为多少？
【答案】（1）解：设小樱桃的进价是每千克x元，则大樱桃的进价是每千克元，
依题意得：，
解得：，
，
销售总利润（元.
答：大樱桃的进价是每千克30元，小樱桃的进价是每千克10元，销售完后，该水果商共赚了3000元钱.
（2）解：设小樱桃的售价为每千克y元，
依题意得：，
解得：.
答：小樱桃的售价最少应为每千克元.
【解析】【分析】(1)设小樱桃的进价是每千克x元，则大樱桃的进价是每千克(x+20)元，根据“总价=单价×数量”，列出关于x的一元一次方程求解，求出小樱桃的进价，则可求出大樱桃的进价，再根据“总利润=每千克的利润×销售数量”，即可求出结论；
(2)设小樱桃的售价为每千克y元，根据“利润=销售额-成本”，结合第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的70%， 列出关于y的一元一次不等式求解，取其中的最小值即可得出结论.
32．【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在中，，平分、于D，猜想、、的数量关系．　
（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的特殊值求值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
10 30 30 20 20
70 70 60 60 80
30 a 15 20 30
上表中a＝　 　，猜想与、的数量关系并证明　 　．
（2）【变式应用】
小明继续研究，在图②中，，，其它条件不变，若把“于D”改为“点F是线段上任意一点，于D”，则　 　（直接写出结果）．
（3）小明提出问题，在中，，平分，若点F是线段延长线上一点，于D，试探究与、的数量关系　 　（直接写出结论，不需证明）．
【答案】（1）20；解：，，， ， ．
（2）20
（3）
【解析】【解答】解：（1） ， ，
，
中， ，
平分 ，
，
，
；
（2）过点A作 于G，如图所示：
， ，
，
，
， ，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：20．
（3）过A作 于G，而 ，如图所示：
，
，
由（1）同理可得： ，
，
故答案为：
【分析】（1）先根据三角形内角和定理即可得到 ，再结合题意运用角平分线的性质即可求解；
（2）过点A作 于G，先根据平行线的判定与性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解；
（3）过A作 于G，而 ，先根据平行线的性质即可得到 ，由（1）同理可得： ，进而即可求解。
33．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
【答案】（1）证明：∵AD+EC=AB=AD+DB，
∴EC=DB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFE中
∴△BED≌△CFE，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形
（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
∵由（1）知△BED≌△CFE，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°-∠B=110°，
∴∠DEF=180°-（∠DEB+∠FEC）=70°
（3）解：∵若△DEF是等腰直角三角形，则∠DEF=90°，
∴∠DEB+∠BDE=90°，
∴∠B=90°，因而∠C=90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
【解析】【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根据SAS推出△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE=EF即可；
（2）根据三角形内角和定理求出∠B=∠C=70°，根据全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；
（3）根据等腰直角三角形得出∠DEF=90°，求出∠B=90°，∠C=90°，根据三角形内角和定理即可得出答案．
34．因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用辆车．已知每辆大型冷链车的运货量比每辆小型冷链车增加，则每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？
【答案】每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为
35．为了美化校园，我校欲购进甲、乙两种工具，如果购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元．
（1）甲、乙两种工具每件各多少元？
（2）现要购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元，那么甲种工具最多购买多少件？
【答案】（1）解：设甲种工具每件 元，乙种工具每件 元，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲种工具每件16元，乙种工具每件4元．
（2）解：设甲种工具购买了 件，则乙种工具购买了 件，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲种工具最多购买50件．
【解析】【分析】（1）设甲种工具每件 元，乙种工具每件 元，根据“购买甲种3件，乙种2件，共需56元；如果购买甲种1件，乙种4件，共需32元”列出二元一次方程组求解即可；
（2）设甲种工具购买了 件，则乙种工具购买了 件，根据“购买甲、乙两种工具共100件，总费用不超过1000元”列出不等式求解即可。
36．为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元．
（1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？
（2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？
【答案】（1）证明：设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元.
由题意可得：
解得：
答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元.
（2）解：设购买B型垃圾箱n个，则购买A型垃圾箱（20-n）个，
根据题意得 ，解得5≤n≤ ，
又∵n为正整数
∴n=5，6，7
方案1：A型垃圾箱15个，B型垃圾箱5个 ；
方案2：A型垃圾箱14个，B型垃圾箱6个；
方案3：A型垃圾箱13个，B型垃圾箱7个
【解析】【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“ 购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元 ”列出方程组，求解即可；
（2）设购买B型垃圾箱n个，则购买A型垃圾箱（20-n）个，根据购买n个B型垃圾桶的费用+购买（20-n）个垃圾桶的费用不多于1500元及购买A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，列出不等式组，求解并取出整数解即可.
37．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为（－1，4）．
（1）写出点B，C的坐标：B（　 　，　 　），C（　 　，　 　）；
（2）要将△ABC完全平移到第四象限（不含坐标轴），且顶点都在网格点上，至少需要将此三角形向　 　（填“左”或“右”）平移　 　个单位长度，再向　 　（填“上”或“下”）平移　 　个单位长度．若此时位置记作，则的三个顶点坐标分别是A'（　 　，　 　），B'（　 　，　 　），C'（　 　，　 　）．
（3）已知是由△ABC平移得到的，A点的对应点，B点对应点，当和两点坐标满足和时，请直接写出是由△ABC经过怎样的平移得到的．
【答案】（1）－4；－1；1；1
（2）右；5；下；5；4；-1；1；-6；6；-4
（3）解：向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到．
【解析】【解答】（1）解：B（－4，－1），C（1，1）
（2）解：根据图象可得，要将△ABC完全平移到第四象限（不含坐标轴），且顶点都在网格点上，至少需要将此三角形向右平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度．若此时位置记作，则的三个顶点坐标分别是A'（4，－1），B'(1，－6)，C'(6，－4)．
故答案为：右，5，下，5，，，
解：(3)向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到．∵A（－1，4），B（－4，－1），∴设，，由于和∴，解得：∴是向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到．
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接写出点B、C的坐标即可；
（2）利用点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可；
（3）利用点坐标平移的特征可得，再求出a、b的值，即可得到答案。
38．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD
（1）求证：△ABD≌△BCE；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．
（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△BAD和△CBE中，
，
∴△BAD≌△CBE（ASA），
（2）证明：∵E是AB中点，
∴EB＝EA，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD，
∵AD∥BC，
∴∠7＝∠ACB＝45°，
∵∠6＝45°，
∴∠6＝∠7，
又∵AD＝AE，
∴AM⊥DE，且EM＝DM，
即AC是线段ED的垂直平分线；
（3）解：△DBC是等腰三角形（CD＝BD）．
理由如下：
∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD，
∴CD＝BD．
∴△DBC是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）利用ASA证明三角形全等即可；
（2）先求出 EB＝EA， 再求出 EM＝DM， 最后证明求解即可；
（3）先求出 CD＝BD ，再求解即可。
39．今年5月以来，渭南多地松绑政策，点亮地摊经济，一夜市摊贩购买了，两种布偶玩具，在夜市贩卖，已知每件布偶比布偶便宜2元，购买一定数量的布偶所用资金为3000元，购买相同数量的布偶所用资金为3300．
（1）求，两种布偶的单价分别是多少元？
（2）该摊贩计划将两种布偶混在一起销售，售价均定为每件30元，销售一半后，将售价下降促销．要使所有布偶销售完后盈利1800元，求的值．
【答案】（1）解：设种布偶的单价是元，则种布偶的单价是元，
由题意得，解得，经检验，是原分式方程的解．
．
答：种布偶的单价是20元，种布偶的单价是22元．
（2）解：购买布偶的件数购买布偶的件数．
由题意得，整理得，解得故所求的值为20．
【解析】【分析】（1）此题的等量关系为：每件A布偶的单价=每件B布偶的单价-2；3000÷每件A布偶的单价=3300÷每件B布偶的单价；再设未知数，列方程，然后求出方程的解即可.
（2）先求出购买布偶A、B的件数，再根据要使所有布偶销售完后盈利1800元，可得到关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解.
40．已知a为大于2的整数，若关于x的不等式组无解．
（1）求a的值．
（2）化简并求值：．
【答案】（1）解：由不等式组的解为，
∵关于x的不等式组无解，
∴＜2，
∴a＜4，
又∵a为大于2的整数，
∴2＜a＜4且a为整数，
∴a的值是3；
（2）解：
，
当a=3时，原式．
【解析】【分析】（1）先求出 ＜2， 再求出 a＜4， 最后求解即可；
（2）先化简分式，再将a的值代入计算求解即可。
41．如图，在四边形中，．
（1）如图1，求证：四边形是平行四边形；
（2）如图1，连接，射线沿翻折交边于点E，点F，G在上，点H在上，连接，若，求证：；
（3）如图2，在（2）的条件下，G为中点，若， ，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵．
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，．
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵射线沿翻折交边于点E，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
（3）解：在上截取，作EK⊥BC于K，延长交于N，过D作交于P．
∵，，
∴．
∴
∵，
∴
∵
∴
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵
∴，
∵
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴
设，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴解得，
∴．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABC+∠BCD=180°，再证∠ABC+∠DAB=180°，则AD∥BC，根据两组对边分别平行可证四边形是平行四边形；
（2）由平行线的性质可得∠ABC+∠BCD=180°，结合已知可求，，设，则，由等腰三角形的性质及角的和差可得，，根据折叠的性质可得从而得出， 继而得解；
（3） 在上截取，作EK⊥BC于K，延长交于N，过D作交于P．证明，可得再证可得从而证得为等边三角形，可得，易求，设，则， EK=x，，，由建立关于x方程并解之即可.
42．在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作，，的角，可以采用如下的方法：
【操作感知】
第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开.
第二步；再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图1）.
（1）【猜想论证】
写出图1中一个的角：　 　.
（2）若延长交于点，如图所示，试判断的形状，并证明.
（3）【迁移探究】
小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片按照操作感知的方式操作，并延长交于点，连接.当点在上时，，求正方形的边长.
【答案】（1）
（2）解：是等边三角形，
证明：如图所示，
由（1）可知，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
（3）解：由（2）可得，
在中，，，
∴，，
∵折叠，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴.
【解析】【解答】解：（1）设交与点，连接，
由折叠可知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）设BM交EF交于点H，连接AH，由折叠可知AE=BE，∠3=∠2，AH=BH，AH=HN，∠MNB=∠BAM=90°，则HB=HN，根据等腰三角形的性质可得∠5=∠6，由等角的余角相等可得∠1=∠2，根据平行线的性质得∠1=∠4，则∠2=∠3=∠4，结合平角的概念可得∠2的度数，据此解答；
（2）由（1）可知∠BMP=∠1=60°，根据平行线的性质可得∠1=∠2=60°，然后根据等边三角形的判定定理进行解答；
（3）由（2）可得∠DMN=60°，易得MQ、DQ的值，根据折叠的性质可得AB=BN，则BN=BC，利用HL证明△BNQ≌△BCQ，得到NQ=CQ，则MQ=MA+CQ，然后根据AD+DC=AM+MD+DQ+CQ=MQ+MD+DQ进行计算.
43．如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴的正半轴，y轴的正半轴于点A，点B，OA=2，AB=2 ，直线OC经过线段AB的中点C，另一动直线L垂直于x轴，从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线L分别交线段AB，直线OC于点D，E，以DE为斜边向左侧作等腰Rt△DEF，当直线L经过点A时，直线L停止运动，设直线L的运动时间为t(秒)
（1）直接写出：点B的坐标是　 　 ，直线OC的解析式是
　 　 ：
（2）当0≤t≤1时，请用含t的代数式表示线段DE的长度：
（3）直线L平移过程中，是否存在点F，使△FOC为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，4）；y=2x
（2）解： 设直线AB解析式为y=ax+b（a≠0），
∵A（2，0），B（0，4）在y=ax+b，
∴，
解得：，
∴直线AB解析式为y=-2x+4，
依题可得：直线L解析式为：x=t，
∵0≤t≤1，
∴D（t，-2t+4），E（t，2t），
∴DE=-2t+4-2t=4-4t.
（3）解： 过点F作FM⊥DE于点M，如图所示：
∵ △DEF为等腰直角三角形，
∴FM=DE，
①当0≤t≤1时，
由（2）知DE=4-4t，D（t，-2t+4），
∴FM=DM=DE=2-2t，
∴M（t，2），
∴F（t-（2-2t），2），
即F（3t-2，2），
②当1＜t≤2时，
DE=4t-4，D（t，-2t+4），
∴FM=DM=DE=2t-2，
∴M（t，2），
∴F（t-（2t-2），2），
即F（2-t，2），
∴设点F（x，2）（-2≤x＜1），
∴OF=，
∵C（1，2），
∴OC==，CF==1-x，
∵△FOC为等腰三角形，
①当OF=CF时，
∴x2+4=（1-x）2，
解得：x=-
∴F（-，2）；
②当OF=OC时，
∴x2+4=5，
解得：x=-1或x=1（舍去），
∴F（-1，2）；
③当OC=CF时，
∴1-x=，
解得：x=1-
∴F（1-，2）；
综上所述：存在点F，使得△FOC为等腰三角形，F（-，2）或F（-1，2）或F（1-，2）.
【解析】【分析】（1）在Rt△AOB中，根据勾股定理求得OB=4，从而可得B（0，4），A（2，0），由C点为线段AB中点得C（1，2），用待定系数法求即可求得直线OC解析式.
（2）设直线AB解析式为y=ax+b（a≠0），用待定系数法求得直线AB解析式，根据题意可得直线L解析式为x=t，由0≤t≤1结合题意可得点D、E坐标，从而求得DE长.
（3）由△FOC为等腰三角形，分情况讨论：①当OF=CF时，②当OF=OC时，③当OC=CF时，根据等腰三角形的性质列出方程，解之即可得出答案.
44．在正方形中，将绕点B逆时针旋转得到，连接．
（1）当时，　 　；
（2）在上取点F，使，连接．若，当时，的最小值为　 　．
【答案】（1）135
（2）
【解析】【解答】解：（1）如图所示：连接CE
∵将BC绕点B逆时针旋转60°得到BE，
∴BC = BE，∠CBE = 60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴BC = BE= CE，∠BEC = ∠BCE= 60°，
∴CE = CD，∠ECD= 30°，
∴∠CED = 75°，
∴∠BED =∠BEC+∠CED= 135°，
故答案为：135；
（2）如图所示：在BC上截取BH=BF，连接EH，
∵EF = 2BF，BC=BE =6，
∴BF = 2，
∴BH=BF=2，
∵BE =BC，∠CBF = ∠EBH，
∴△CBF≌△EBH(SAS)，
∴CF=EH，
∴DE+CF = DE+EH，
∴当点E，D，H三点共线时，DE+CF有最小值，最小值为DH的长，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据旋转的性质求出BC = BE，∠CBE = 60°，再求出△BEC是等边三角形，最后计算求解即可；
（2）先作图，再结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理等计算求解即可。
45．如图①，直线 表示一条东西走向的笔直公路，四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地，点A，D在直线 上，小明从点A出发，沿公路 向西走了若干米后到达点E处，然后转身沿射线EB方向走到点F处，接着又改变方向沿射线FC方向走到公路 上的点G处，最后沿公路 回到点A处.设AE=x米
(其中x>0)，GA=y米，已知y与x之间的函数关系如图②所示，
（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；
（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处，所走过的路径(即△EFG)是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应x的值；如果不可以，说明理由.
【答案】（1）解：设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b，
将M（30，230）、N（100，300）代入y=kx+b，
，解得： ，
∴线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200
（2）解：分三种情况考虑：
①考虑FE=FG是否成立，连接EC，如图所示.
∵AE=x，AD=100，GA=x+200，∴ED=GD=x+100.
又∵CD⊥EG，∴CE=CG，∴∠CGE=∠CEG，∴∠FEG＞∠CGE，
∴FE≠FG；
②考虑FG=EG是否成立.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥EG，∴△FBC∽△FEG.
假设FG=EG成立，则FC=BC成立，∴FC=BC=100.
∵AE=x，GA=x+200，∴FG=EG=AE+GA=2x+200，
∴CG=FG﹣FC=2x+200﹣100=2x+100.
在Rt△CDG中，CD=100，GD=x+100，CG=2x+100，
∴1002+（x+100）2=（2x+100）2，
解得：x1=﹣100（不合题意，舍去）， ；
③考虑EF=EG是否成立.
同理，假设EF=EG成立，则FB=BC成立，
∴BE=EF﹣FB=2x+200﹣100=2x+100.
在Rt△ABE中，AE=x，AB=100，BE=2x+100，
∴1002+x2=（2x+100）2，
解得：x1=0（不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）.
综上所述：当 时，△EFG是一个等腰三角形.
【解析】【分析】（1）设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b，将M、N的坐标代入解析式中，可得关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值即可.
（2）分三种情况考虑，①考虑FE=FG是否成立，连接EC，如图所示，②考虑FG=EG是否成立.③考虑EF=EG是否成立.分别判断是否成立，然后根据正方形的性质及勾股定理求出x的值即可.
46．探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
（1）一个角的平分线　 　这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝x，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝　 　；（用含x的代数式表示出所有可能的结果）
（3）深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒.当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
【答案】（1）是
（2） 或者 或者
（3）解：依题意有三种情况：
① ∠NPQ=∠NPM，
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得t=18(秒)；
②
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得t=12(秒)；
③ ∠NPQ=∠NPM
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得：t=9(秒)，
故t为18秒或12秒或9秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”.
【解析】【解答】（1）解：当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，
∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”；
故答案为：是；
（2）解：分三种情况，①∵射线PQ是的“巧分线”，
∴∠MPN =2 =x，
∴ = ，
②∵射线PQ是∠MPN 的“巧分线”，
∴∠QPN =2 ，
∵∠QPN+∠QPM=x，
∴3 =x，
∴ = x，
③∵射线PQ是∠MPN 的“巧分线”，
∴2∠QPN =∠QPM ，
∵∠QPN+∠QPM=x，
∴3∠QPN =x，
∴∠QPN = x，
∴∠QPM = x，
∴∠MPQ= 或者 或者 ；
故答案为： 或者 或者 ；
【分析】（1）根据"巧分线定义即可解答；
（2）射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，分①∠MPN =2∠MPQ=x，②∠QPN =2∠MPQ，③2∠QPN =∠QPM ，然后根据角的和差进行解答；
（3）分3种情况，即 ① ∠NPQ=∠NPM，② ， ③ ∠NPQ=∠NPM ，根据旋转的性质分别列出方程求解即可.
47．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其中A种产品的生产成本为每件3万元，B种产品的生产成本为每件5万元；并且销售一件A种产品的利润为1万元，销售一件B种产品的利润为2万元。
（1）若工厂计划获得总利润为14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂投入两种产品的总生产成本不多于44万元，且获得总利润多于14万元，问工厂有哪几种生产方案（即A，B两种产品各生产多少件）？
【答案】（1）解：设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10 x）件，
由题意，x＋2（10 x）＝14，
解得x＝6，
∴10 x＝4，
∴A种产品应生产6件，B种产品应生产4件
（2）解：设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10 m）件，
由题意得 ，
解这个不等式组，得3≤m＜6，
∵m为正整数，m可以取3或4或5，
∴生产方案有三种：
①生产A种产品3件，B种产品7件；
②生产A种产品4件，B种产品6件；
③生产A种产品5件，B种产品5件.
【解析】【分析】（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10 x）件，列出方程即可解决；（2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10 m）件，列出不等式组解决问题.
48．已知：如图，AD是△ABC的中线，E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE延长线于点F，连接CF.
图1 图2
（1）如图1，求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）如图2.连接CE，在不添加任何助线的情况下，请直接写出图2中所有与△BEC面积相等的三角形。
【答案】（1）证明：∵D为BC的点、E为AD的中点，∴BD=CD，AE=DE．
∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．
在△AEF和△DEB中，∵∠AFE=∠DBE，∠AEF=∠DEB，AE=DE，∴ △AEF≌△DEB，
∴AF=DB．又∵BD=CD，∴AF=CD．
又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形
（2）解：△CFE、 △ABD、 △ACD 、△ACF、 △ABF．
【解析】【分析】（1）先证明△AEF≌△DEB，得到AF=DB，又由BD=CD，得到AF=CD．
由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到结论．（2）与△BEC面积相等的三角形有△CFE、 △ABD、 △ACD 、△ACF、 △ABF．
49．在平面直角坐标系 中，将直线 向下平移 个单位后，与一次函数 的图象相交于点 ．
（1）求点 的坐标．
（2）若 是 轴上一点，且满足 是等腰三角形，直接写出点 的坐标．
【答案】（1）解：∵直线 向下平移 个单位，
∴ ，
∵与一次函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴解得 ，
∴点 为
（2）解：点 的坐标为 ， ， ， ．
∵ 是等腰三角形，且点 在 轴上，
∴①当 时， ，
此点 为 或 ．
②当 时，点 为 ．
③当 时，点 为
【解析】【分析】（1）可根据一次函数图象上下、左右平移变换时，函数表达式变化情况和两个一次函数图象相交点求法便可以得到结果。
（2）可以根据以不同线段为边的等腰三角形，得到不同结论的P点位置，然后再求解。
50．为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派生活委员小亮到文具店为获奖同学购买奖品.小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元.
（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？
（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，小亮最多能买多少个笔记本？
【答案】（1）解：设每个笔记本x元，每支钢笔y元
依题意得：
解得：
答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元．
（2）解：设购买笔记本m个，则购买钢笔（24-m）个
依题意得：
解得：12≥m≥10
∵m取正整数
∴m=10或11或12
∴有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．
②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．
③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
【解析】【分析】（1）根据题意，分别设出笔记本和钢笔的价钱，列出二元一次方程组求解即可；（2）根据需要奖励24名同学，每人一个奖品，设买笔记本m个，则购买钢笔（24-m）个，按照购买费用不超过100元，钢笔数不少于笔记本数，列出一元一次不等式组，求出m的范围，且m是个数，取正整数，列出3种购买方案即可。
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