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【综合题强化训练·50道必刷题】沪科版数学七年级下册期末试卷
1．双十一购物节期间，某商场对A，B两种品牌的教学设备进行促销活动，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
　 A B
进价（万元/套）
售价（万元/套） 2
A产品按原售价打8折出售，B产品按原售价打折出售，促销活动中A产品的销售量是B产品的2倍，若使得促销获利不少于万元，则B产品至少购进几件？
2．如图，某学校在校门口规划了一块长为米，宽为米的长方形区域，在最左边圈出一小块正方形区域修建了一间临时观察室，其余部分为进出学校人员体温检测区．
（1）求体温检测区的面积（用含a，b的式子表示）．
（2）若，，求体温检测区的面积．
3．为切实保障学生安全、便捷出行，某市计划购买甲、乙两种型号的电动公交车共辆，开通“学生公交专线”．已知购买辆甲型公交车和辆乙型公交车需万元，购买辆甲型公交车和辆乙型公交车需万元．
（1）求甲型公交车和乙型公交车每辆各多少万元．
（2）若购买甲型公交车的总费用不高于乙型公交车的总费用，则该市最多可购买多少辆甲型公交车？
4．又是一年春光好，江淮大地植树忙，某商家销售，两种果苗，进价分别为70元，50元，如表是近两天的销售情况：
　 销售量/棵 销售收入/元
果苗 果苗
第一天 4 3 625
第二天 5 5 875
（1）求，两种果苗的销售单价．
（2）若该商家购进这两种果苗总计50棵，购进费用不超过2900元，则最多购进种果苗多少棵？
（3）在（2）的条件下，该商家销售这50棵果苗的利润能否超过1340元？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
5．在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
6．某快递公司车队现有载重量为8吨、10吨的货车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨货物．
（1）求该车队有载重量8吨、10吨的货车各多少辆？
（2）随着快递事业的发展，该车队需要一次运输货物不低于180吨，为了能够完成任务，该公司车队准备新购进这两种货车共8辆，则最少购进载重量为10吨的货车多少辆？
7．某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B、C三类，A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算．
8．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）当时，
①若求的取值范围；
②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值．
9．按要求解答：
（1）计算： ；
（2）因式分解： ；
（3）先化简，再求值： ，其中 .
10．将一张长为8，宽为6的长方形纸片沿对角线剪开（如图1），得到两张三角形纸片，然后将两张纸片按如图2所示位置摆放．
（1）请在图（2）中画出△EDC沿DC方向将点D平移到AC中点的图形△E′D′C′；
（2）设平移后E′D′与BC交于点F，直接写出图（2）中所有与∠A度数相同的角．
11．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解.
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4.
12．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）．
（1）请画出△ABC沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法）．
（2）直接写出A′、B′、C′三点的坐标：
A′（　 　）； B′（　 　）；
C′（　 　 ）．
（3）求△ABC的面积　 　．
13．某商店想购进、两种商品，已知种商品每件的进价比种商品多5元，且用300元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的4倍．
（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少？
（2）商店决定购进、两种商品共50件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高20%后出售，要使所用商品全部出售后利润不少于210元，求至少种商品多少件？
14．解不等式（组）：
（1）5（x﹣4）≤2（x﹣3）+1；
（2）．
15．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数．
16．为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
17．随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．
（1）新分配到甲车间的人数有多少人？
（2）因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
18．看图解答
（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为　 　．
（2）运用你所得到的公式，计算下题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
19．如图，在中，分别平分，交于点.
（1）求证：；
（2）过点作，垂足为.若的周长为56，，求的面积.
20．如图，已知∠DAE+∠CBF =180°，CE 平分∠BCD，∠BCD =2∠E．
（1）求证：AD//BC；
（2）CD 与 EF 平行吗？写出证明过程；
（3）若 DF 平分∠ADC，求证CE⊥DF．
21．
（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是　 　；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为　 　；宽为　 　；面积为　 　．
（2）由（1）可以得到一个公式：　 　．
（3）利用你得到的公式计算：．
22．解下列一元一次不等式（组）：
（1）5x≥3x+1；
（2）并把它的解集表示在数轴上.
23．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本本，乙种笔记本本，共花费元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费元．
（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？
24．数学课上，陈老师说：“同学们，如果 的两边与 的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下 与 的数量关系吗 ”
（1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据 ， 的条件，得出了 的结论，请你帮他写出说理过程．
（2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗 　 　．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：　 　．
25．已知关于x、y的方程组 ．
（1）如果该方程组的解互为相反数，求k的值；
（2）若x为正数，y为负数，求k的取值范围．
26．某校师生积极为汶川地震灾区捐款捐物，在得知灾区急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元．学校花去捐款96000元采购这两种帐篷，正好可供2300人居住．学校准备租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将所购帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷．
（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人住的大帐篷；
（2）学校应如何安排甲、乙两种型号的卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有几种方案？
27．某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分
A 19 0 1 94
B 18 1 1 91
C 18 2 0 94
（1）由表格知，不答一题得　 　分，答错一题扣　 　分．
（2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？
（3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？
28．“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：
　 甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件．
（1）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
29．成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元．
（1）请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？
（2）店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值．
30．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融凭借可爱的外形收获了大批粉丝.如果购买20个冰墩墩手办和15个雪容融挂件，一共需要花费2630元；如果购买10个冰墩墩手办和20个雪容融挂件，一共需要花费2040元.
（1）冰墩墩手办和雪容融挂件的单价分别是多少元？
（2）如果七（1）班要购买冰墩墩手办和雪容融挂件共25个，并且预算总费用不超过2000元，那么最多能购买多少个冰墩墩手办？
31．下面是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解答过程 自我检查
解：去分母，得．…第一步去括号，得．…第二步移项，得．…第三步合并同类项，得．…第四步系数化为1，得．…第五步 第一步正确，其依据是____；第二步符合去括号法则，也正确；第三步出错了！
（1）第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：　 　
（2）第三步出错的原因是：　 　；
（3）请从第三步开始，写出正确解答过程．
32．在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同.
（1）求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；
（2）现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？
33．现有一个种植总面积为 的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共 垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于8垄，又不超过 垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：
（1）若设草莓共种植了 垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？
（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？
　 占地面积（m2/垄） 产量（千克/垄） 利润（元/千克）
西红柿 32 160 1.0
草莓 15 50 1.6
34．某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
35．某加工厂甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．
（1）求甲、乙每小时各做多少个零件；
（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种零件240个，由于乙另有任务，所以先由甲工作若干小时后，再由甲、乙共同完成剩余任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时．
36．某超市每天能出售甲、乙两种肉集装箱共21箱，且甲集装箱3天的销售量与乙集装箱4天的销售量相同．
（1）求甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售多少箱？
（2）若甲种肉类集装箱的进价为每箱200元，乙种肉类集装箱的进价为每箱180元，现超市打算购买甲、乙两种肉类集装箱共100箱，且手头资金不到18080元，则该超市有几种购买方案？
（3）若甲种肉类集装箱的售价为每箱260元，乙种肉类集装箱的售价为每箱230元，在（2）的情况下，哪种方案获利最多？
37．分解因式
（1）a3﹣2a2b+ab2
（2）x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）
38．
（1）采用夹逼法，利用 的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
因此 (精确到百分位)，
使用夹逼法，求出 的近似值(精确到百分位).
（2）我们规定用符号 表示数 的整数部分，例如
①按此规定 ；
②如果 的整数部分是 的小数部分是 求 的值.
39．下列5个数： ， ，1.5，π，0.
（1）属于无理数的是　 　.
（2）将他们表示在数轴上，并用“<”连接
40．已知m的算术平方根是3，n的平方根是与．
（1）求m和n的值：
（2）求．
41．观察以下等式
（1）按以上等式，填空： （　 　） ；
（2）利用多项式的乘法法则，证明(1)中的等式成立.
（3）利用(1)中的公式，化简求值：
其中
42．如图，已知 ，试再添上一个条件，使 成立．
（1）要求给出两个答案；
（2）选择其中一个进行证明．
43．小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下.
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由.
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC.BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数.
（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）.
44．如图已知直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，点E、点F在线段BC上，满足∠FOB=∠AOB=α，OE平分∠COF．
（1）用含有α的代数式表示∠COE的度数；
（2）若沿水平方向向右平行移动AB，则∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化找出变化规律；若不变，求其比值．
45．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12，16=52-32，24=72-52，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”．
（1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是　 　；
（2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为　 　；
（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意．
46．点 ， 分别在直线 ， 上，点 在直线 ， 之间， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，点 在 上， ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点 作 的垂线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，若 ， ，求 的度数．
47．已知直线，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，则和之间的数量关系是　 　；
（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B 交直线PQ于点D，为探究与的数量关系，小明过点B作，请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．
A 如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当时直接写出的度数；
B 如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作交直线PQ于点D，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当时，直接写出的度数．
48．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且 ．
（1）　 　， 　 　；
（2）判断 ， ， 的符号；
（3）求 的值．
49．在2016年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．
（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．
50．已知：直线 ∥ ，A为直线 上的一个定点，过点A的直线交 于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线 上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在 上，且在点B的左侧．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数　 　；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【综合题强化训练·50道必刷题】沪科版数学七年级下册期末试卷
1．双十一购物节期间，某商场对A，B两种品牌的教学设备进行促销活动，这两种教学设备的进价和售价如下表所示：
　 A B
进价（万元/套）
售价（万元/套） 2
A产品按原售价打8折出售，B产品按原售价打折出售，促销活动中A产品的销售量是B产品的2倍，若使得促销获利不少于万元，则B产品至少购进几件？
【答案】B产品至少购进件．
2．如图，某学校在校门口规划了一块长为米，宽为米的长方形区域，在最左边圈出一小块正方形区域修建了一间临时观察室，其余部分为进出学校人员体温检测区．
（1）求体温检测区的面积（用含a，b的式子表示）．
（2）若，，求体温检测区的面积．
【答案】（1）体温检测区的面积为
（2）当，时，体温检测区的面积为16平方米
3．为切实保障学生安全、便捷出行，某市计划购买甲、乙两种型号的电动公交车共辆，开通“学生公交专线”．已知购买辆甲型公交车和辆乙型公交车需万元，购买辆甲型公交车和辆乙型公交车需万元．
（1）求甲型公交车和乙型公交车每辆各多少万元．
（2）若购买甲型公交车的总费用不高于乙型公交车的总费用，则该市最多可购买多少辆甲型公交车？
【答案】（1）解：设甲型公交车每辆万元，乙型公交车每辆万元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型公交车每辆万元，乙型公交车每辆万元．
（2）设该市购买辆甲型公交车，则购买辆乙型公交车，
根据题意，得：，
解得：，
答：该市最多可购买辆甲型公交车．
【解析】【分析】（1）设甲型公交车每辆万元，乙型公交车每辆万元，结合购买辆甲型公交车和辆乙型公交车需万元，购买辆甲型公交车和辆乙型公交车需万元．列出二元一次方程组，求得方程组的解，即可求解；
（2）设该市购买辆甲型公交车，则购买辆乙型公交车，结合购买甲型公交车的总费用不高于乙型公交车的总费用，列出一元一次不等式，求得不等式的解集，即可求解．
4．又是一年春光好，江淮大地植树忙，某商家销售，两种果苗，进价分别为70元，50元，如表是近两天的销售情况：
　 销售量/棵 销售收入/元
果苗 果苗
第一天 4 3 625
第二天 5 5 875
（1）求，两种果苗的销售单价．
（2）若该商家购进这两种果苗总计50棵，购进费用不超过2900元，则最多购进种果苗多少棵？
（3）在（2）的条件下，该商家销售这50棵果苗的利润能否超过1340元？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）种果苗销售单价为100元，种果苗销售单价75元；
（2）20棵；
（3）购进种果苗19棵，购进种果苗31棵或购进种果苗20棵，购进种果苗30棵．
5．在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．
（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？
（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？
【答案】（1）解：设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：当时，则，
∴是原方程的解，
∴x+5=15，
答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为元；
（2）解：设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为盆，由（1）及题意得：
，
解得：，
∵m是整数，
∴m取最大值为17；
答：购买吊兰的数量最多为17盆．
【解析】【分析】（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为元，根据题意列出方程，再求解即可；
（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，根据题意列出不等式，再求解即可。
6．某快递公司车队现有载重量为8吨、10吨的货车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨货物．
（1）求该车队有载重量8吨、10吨的货车各多少辆？
（2）随着快递事业的发展，该车队需要一次运输货物不低于180吨，为了能够完成任务，该公司车队准备新购进这两种货车共8辆，则最少购进载重量为10吨的货车多少辆？
【答案】（1）解：设载重量为8吨、10吨的货车分别有x辆、y辆，
根据题意得： ，
解得： ．
答：载重量为8吨的货车有5辆，10吨的货车有7辆．
（2）解：设购进载重量为10吨的货车a辆，
依题意得：8（8－a＋5）＋10（7＋a）≥180，
解之得：a≥3，
所以最少购进载重量为10吨的货车3辆．
【解析】【分析】（1） 设载重量为8吨、10吨的货车分别有x辆、y辆， 根据：货车共12辆，且运输一次可以运输110吨货物，列出方程组，求解即可；
（2）设购进载重量为10吨的货车a辆， 根据车队需要一次运输货物不低于180吨，列出关于a的一元一次不等式，求出其最小整数解即可.
7．某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B、C三类，A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票比较合算．
【答案】（1）解：根据题意，需分类讨论．
因为80＜120，所以不可能选择A类年票；
若只选择购买B类年票，则能够进入该园林 ＝10（次）；
若只选择购买C类年票，则能够进入该园林 ≈13（次）；
若不购买年票，则能够进入该园林 ＝8（次）．
所以，计划在一年中用80元花在该园林的门票上，
通过计算发现：可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买C类年票．
（2）解：设一年中进入该园林x次时，购买A类年票比较合算，根据题意，
得 ．
由①，解得x＞30；
由②，解得x＞26 ；
由③，解得x＞12．
解得原不等式组的解集为x＞30．
答：一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算．
【解析】【分析】（1）根据题意，需分类讨论．因为80<120，所以不可能选择A类年票；若只选择购买B类年票，则能够进入该园林 ＝10 次，若只选择购买C类年票，则能够进入该园林 ≈13（次）； 若不购买年票，则能够进入该园林 ＝8（次），通过比较计算结果即可得出答案；
（2）设一年中进入该园林至少超过x次时，购买A类年票比较合算，则用其它几种方式进入园林的费用都应该大于120元，而B类方式进入园林需要的费用为（60+2x）元，C类方式进入园林需要的费用为（40+3x）元，不够年票进入园林需要的费用为10x元，从而列出不等式组，求解即可。
8．已知二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的函数表达式；
（2）当时，
①若求的取值范围；
②设直线AB 的函数表达式为求m的最大值．
【答案】（1）解：由题意得，将点代入，得：，
解得：，
∴二次函数的函数表达式；
（2）①解：∵，∴，
而二次函数，且过点，
∴，，
∵
∴或，
当时，有
结合图像化简得：，
解得：，
∴，
此时，
∴，
∴，
当时，有，
结合图像化简得：，
解得：，
∴，
此时，
∴，
综上所述，；
②将点代入，
得：，
由②①得：，
∴，
将代入①可得：，
∴，
∴，m取得最大值为4．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求解析式即可；
（2）①先表示出，，由得到或，然后代入数值求出取值范围解题；
②将点代入一次函数解析式得到，把代入①式得到，即可求出最值．
9．按要求解答：
（1）计算： ；
（2）因式分解： ；
（3）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】（1）
（2）解：a2-ab
=a（a-b）
（3）解：（x+2）2-x（x-2）
由 得，原式
【解析】【分析】（1）根据零指数次幂和负整数次幂计算；
（2）利用提公因式法分解因式，注意检查分解到不能再分解为止；
（3）利用完全平方公式和整式的混合运算化简求值即可.
10．将一张长为8，宽为6的长方形纸片沿对角线剪开（如图1），得到两张三角形纸片，然后将两张纸片按如图2所示位置摆放．
（1）请在图（2）中画出△EDC沿DC方向将点D平移到AC中点的图形△E′D′C′；
（2）设平移后E′D′与BC交于点F，直接写出图（2）中所有与∠A度数相同的角．
【答案】（1）如图所示：△D′E′C′即为所求
（2）解：与∠A度数相同的角有：∠A=∠E=∠D′FC=∠E′
【解析】【分析】（1）直接利用平移的性质得出平移后图形；（2）利用平移的性质结合平行线的性质得出与∠A度数相同的角．
11．对于多项式x3﹣5x2+x+10，我们把x＝2代入此多项式，发现x＝2能使多项式x3﹣5x2+x+10的值为0，由此可以断定多项式x3﹣5x2+x+10中有因式（x﹣2），（注：把x＝a代入多项式，能使多项式的值为0，则多项式一定含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），分别求出m、n后再代入x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），就可以把多项式x3﹣5x2+x+10因式分解.
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，用“试根法”分解多项式x3+5x2+8x+4.
【答案】（1）解：在等式x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），中，
分别令x＝0，x＝1，
即可求出：m＝﹣3，n＝﹣5
（2）解：把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，
用上述方法可求得：a＝4，b＝4，
所以x3+5x2+8x+4＝（x+1）（x2+4x+4），
＝（x+1）（x+2）2.
【解析】【分析】（1）根据x3﹣5x2+x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），得出有关m，n的方程组求出即可；（2）由把x＝﹣1代入x3+5x2+8x+4，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案.
12．在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的位置如图（每个小正方形的边长均为1）．
（1）请画出△ABC沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写画法）．
（2）直接写出A′、B′、C′三点的坐标：
A′（　 　）； B′（　 　）；
C′（　 　 ）．
（3）求△ABC的面积　 　．
【答案】（1）
（2）A′（0，5）；B′（﹣1，3）；C′（4，0）
（3）6.5
【解析】【解答】解：（2）A′（0，5），B′（﹣1，3），C′（4，0）；（3）△ABC的面积=5×5﹣ ×1×2﹣ ×5×3﹣ ×4×5，
=25﹣1﹣7.5﹣10，
=25﹣18.5，
=6.5．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；（3）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
13．某商店想购进、两种商品，已知种商品每件的进价比种商品多5元，且用300元购进种商品的数量是用100元购进种商品数量的4倍．
（1）求每件种商品和每件种商品的进价分别是多少？
（2）商店决定购进、两种商品共50件，种商品加价5元出售，种商品比进价提高20%后出售，要使所用商品全部出售后利润不少于210元，求至少种商品多少件？
【答案】（1）每件A种商品进价为15元，每件B种商品进价为20元；（2）至少购进A种商品10件．
14．解不等式（组）：
（1）5（x﹣4）≤2（x﹣3）+1；
（2）．
【答案】（1）解：5（x﹣4）≤2（x﹣3）+1，
去括号，得5x﹣20≤2x﹣6+1
移项，得5x﹣2x≤﹣6+1+20，
合并同类项，得3x≤15，
系数化为1，得x≤5；
（2）解：，
解不等式①，得x≥－2，
解不等式②，得x＜3，
所以不等式组的解集是－2≤x＜3．
【解析】【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解不等式即可；
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集.
15．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数．
【答案】（1）证明：∵FG∥AE，
∴∠2=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D=180°，
∵∠D=112°，
∴∠ABD=180°﹣∠D=68°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠4= ∠ABD=34°，
∵FG⊥BC，
∴∠1+∠4=90°，
∴∠1=90°﹣34°=56°．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠2=∠3， 再求出 ∠1=∠3， 最后证明平行即可；
（2）先求出∠ABD=68°，再求出∠4=34°，最后计算求解即可。
16．为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【答案】（1）解：设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得 ，解得 ，
答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．
（2）解：设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得： ，解得 ，
∴3≤a≤5，
∵x取整数，
∴x=3，4，5．
即共有3种方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
【解析】【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
17．随着全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，新能源汽车已经成为全球汽车产业转型发展的主要方向，重庆一些传统汽车零部件生产工厂也开始转型生产新能源汽车零部件某汽车零部件生产厂的甲车间有工人名，乙车间有工人名，因接到加急生产一批新能源汽车零部件的任务，所以工厂新增名工人分配到甲、乙两个车间，分配后甲车间的总人数为分配后乙车间总人数的．
（1）新分配到甲车间的人数有多少人？
（2）因为甲车间使用的是改良后的新设备，所以甲车间每名工人每天生产的零件数量为乙车间每名工人每天生产的零件数量的倍新增工人后，甲车间生产个零件的天数比乙车间生产个零件的天数少用天，则乙车间每名工人每天生产零件多少个？
【答案】（1）新分配到甲车间的人数有人；
（2）乙车间每名工人每天生产零件50个．
18．看图解答
（1）通过观察比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为　 　．
（2）运用你所得到的公式，计算下题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
【答案】（1）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
（2）解：①10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）=[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]=（2m）2﹣（n﹣p）2=4m2﹣n2+2np﹣p2
【解析】【分析】（1）左图的阴影部分面积=边长为a的正方形的面积﹣边长为b的正方形的面积，右两图的阴影部分面积=长为（a+b），宽为（a﹣b）的矩形的面积，根据两图中阴影部分面积相等列式即可；（2）①先将103×97变形为（100+3）（100﹣3），再利用平方差公式计算；②先将②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）化为[2m+（n﹣p）][2m﹣（n﹣p）]再利用平方差公式计算即可．
19．如图，在中，分别平分，交于点.
（1）求证：；
（2）过点作，垂足为.若的周长为56，，求的面积.
【答案】（1）证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，
∴.
（2）解：如图，作，
∵的周长为56，
∴，
∵平分，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质得∠ABC=∠ADC，AB∥CD，由平行线的性质得∠BAE=∠DCG，结合角平分线的概念可得∠ABE=∠CDG，利用ASA证△ABE≌△CDG，得到BE=DG，∠AEB=∠CGD，然后根据平行线的判定定理进行证明；
（2）作EQ⊥BC，根据平行四边形的周长结合平行四边形的性质可得AB+BC=28，根据角平分线的性质可得EQ=EF=6，然后根据S△ABC=S△ABE+S△EBC结合三角形的面积公式进行计算.
20．如图，已知∠DAE+∠CBF =180°，CE 平分∠BCD，∠BCD =2∠E．
（1）求证：AD//BC；
（2）CD 与 EF 平行吗？写出证明过程；
（3）若 DF 平分∠ADC，求证CE⊥DF．
【答案】（1）解：，，
，
；
（2）解：与平行．
平分，
，
又，
，
；
（3）解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据补角的性质可求出 ，根据同位角相等两直线平行即证 （2）平行.理由：由角平分线的定义可得 ，结合 ，可得∠E=∠DCE
根据平行线的判定即证结论；
（3）由角平分线的定义可得 ， 结合 可得 ，
由 可得 ，从而得出∠CDF+∠DCE =90°，继而得出∠COD=90°，根据垂直定义即证结论.
21．
（1）如图1，若大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则阴影部分的面积是　 　；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它长为　 　；宽为　 　；面积为　 　．
（2）由（1）可以得到一个公式：　 　．
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1）；a+b；a﹣b；（a+b）（a﹣b）
（2）＝（a+b）（a﹣b）
（3）解：由（2）题结果＝（a+b）（a﹣b），
可得
【解析】【解答】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是；图2的长为a+b，宽为a﹣b，其面积（a+b）（a﹣b）；
故答案为：，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；
（2）由（1）结果可得等式＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：＝（a+b）（a﹣b）；
【分析】（1）由图形所示与正方形、长方形的面积公式可得答案；
（2）根据阴影部分的面积不同表达式可得＝（a+b）（a﹣b）；
（3）将代数式变形为，再利用平方差公式计算即可。
22．解下列一元一次不等式（组）：
（1）5x≥3x+1；
（2）并把它的解集表示在数轴上.
【答案】（1）解：∵5x≥3x+1，
∴5x-3x≥1，
则2x≥1，
∴x≥；
（2）解：由2x-1＜-x+2，得：x＜1，
由＜，得：x＞-5，
则不等式组的解集为-5＜x＜1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）分别求出两个不等式的解集，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据解集的表示方法表示在数轴上即可.
23．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本本，乙种笔记本本，共花费元，已知购买一本甲种笔记本比购买一本乙种笔记本多花费元．
（1）求购买一本甲种、一本乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求至多需要购买多少本甲种笔记本？
【答案】（1）一本甲种笔记本元，一本乙种笔记本元；
（2）至多需要购买本甲种笔记本．
24．数学课上，陈老师说：“同学们，如果 的两边与 的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下 与 的数量关系吗 ”
（1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据 ， 的条件，得出了 的结论，请你帮他写出说理过程．
（2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗 　 　．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：　 　．
【答案】（1）解： ，
， （两直线平行，同位角相等）
（等量代换）
（2）不同意；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补
【解析】【解答】（2）理由如下：如图， 交于点 ，
，
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，同旁内角互补）
（对顶角相等）
（等量代换）
两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补．
【分析】（1）由已知 ， ，根据平行线的性质得出 ， ，即可得出 ；
（2）画出图形，由已知 ， ，得出，由，得出，即可得出结论。
25．已知关于x、y的方程组 ．
（1）如果该方程组的解互为相反数，求k的值；
（2）若x为正数，y为负数，求k的取值范围．
【答案】（1）解： ，
解得： ，
根据题意得：x+y=0，即 + =0，
解得：k=﹣4；
（2）解：根据题意得： ，
解得：k＞8．
【解析】【分析】①根据x与y互为相反数，得到y=-x，代入方程组计算可求出k值；
②将k作为已知数表述出x与y，根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集确定k的取值范围.
26．某校师生积极为汶川地震灾区捐款捐物，在得知灾区急需帐篷后，立刻到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格，可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元．学校花去捐款96000元采购这两种帐篷，正好可供2300人居住．学校准备租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将所购帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷．
（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人住的大帐篷；
（2）学校应如何安排甲、乙两种型号的卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有几种方案？
【答案】（1）解：设该校采购了x顶小帐篷，y顶大帐篷，根据题意，得
，
解这个方程组，得 ．
答：该校采购了100顶3人小帐篷，200顶10人住的大帐篷．
（2）解：设甲型卡车安排了a辆，则乙型卡车安排了（20﹣a）辆根据题意，得
，
解这个不等式组得15≤a≤17.5，
∵车辆数为正整数，
∴a=15或16或17，
∴20﹣a=5或4或3．
答：学校可安排甲型卡车15辆，乙型卡车5辆或安排甲型卡车16辆，乙型卡车4辆或安排甲型卡车17辆，乙型卡车3辆，可一次性将这批帐篷运往灾区．有3种方案．
【解析】【分析】（1）先设采购了x顶3人小帐篷，y顶10人大帐篷，列出方程组，解出x，y的值，即可求出答案．（2）先设甲型卡车安排了a辆，得出乙型卡车安排的辆数，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出方案．
27．某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分
A 19 0 1 94
B 18 1 1 91
C 18 2 0 94
（1）由表格知，不答一题得　 　分，答错一题扣　 　分．
（2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？
（3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？
【答案】（1）2；1
（2）解：设该选手不答题数为，
∴则答错题数为，
∴答对题数为道，
，
解得：，
∴答对题数；
（3）解：前10道题得分为：分，
设后10道题答对道题，
则，，
解得：，
∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分．
【解析】【解答】解：（1）由C可知，不答一题的得分为：
，
由A可知，答错一题的得分为：
；
故答案是：2，1；
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以计算出答案；
（2）根据题意设出未知数，列出相应的方程，即可得出参赛者M答对了几道题目；
（3）根据题意可以计算出前10道的得分，再根据题意可知后10道题目除了答对剩下来的全部放弃，即可计算出至少答对几道题才有可能使最后得分不低于79分。
28．“地摊经济”成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：
　 甲商品 乙商品
进价（元/件） 65 5
售价（元/件） 90 10
小明计划购进甲、乙商品共100件进行销售，设小明购进甲商品x件．
（1）小明用不超过3500元资金一次性购进甲、乙两种商品，求x的取值范围．
（2）在（1）的条件下，若要求甲，乙商品全部销售完后获得的利润不少于1450元，请说明小明有哪些可行的进货方案，并计算哪种进货方案的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）购进甲种商品48件，乙种商品52件；购进甲种商品49件，乙种商品51件；购进甲种商品50件，乙种商品50件；当购进甲种商品50件，乙种商品50件时，获得利润最大，最大利润为1500元
29．成都大运会期间，吉祥物“蓉宝”的周边商品的销量不断上升．一家网店的店主统计了前两周的“蓉宝”单肩包的销售情况，发现第一周A型单肩包的销量是100个，B型单肩包销量是120个，总利润是2800元；第二周A型单肩包的销量是180个，B型单肩包的销量是200个，总利润是4800元．
（1）请问1个A型单肩包、1个B型单肩包的利润分别是多少元？
（2）店主在第三周调整了价格，A型单肩包每个涨价元，B型单肩包每个降价a元，统计后发现，调整后的这周A、B两种型号单肩包的销量一样，并且A型单肩包的总利润达2400元，B型单肩包的总利润达2600元．求出a的值．
【答案】（1）1个A型单肩包的利润是10元，1个B型单肩包的利润是15元
（2）
30．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩、雪容融凭借可爱的外形收获了大批粉丝.如果购买20个冰墩墩手办和15个雪容融挂件，一共需要花费2630元；如果购买10个冰墩墩手办和20个雪容融挂件，一共需要花费2040元.
（1）冰墩墩手办和雪容融挂件的单价分别是多少元？
（2）如果七（1）班要购买冰墩墩手办和雪容融挂件共25个，并且预算总费用不超过2000元，那么最多能购买多少个冰墩墩手办？
【答案】（1）解：设冰墩墩手办的单价为x元，雪容融挂件的单价为y元.
根据题意，得 .
解这个方程组，得
答：冰墩墩手办和雪容融挂件的单价分别是88元和58元；
（2）解：设购买冰墩墩手办a个 .
根据题意，得.
解这个不等式，得.
答：最多能购买18个冰墩墩手办.
【解析】【分析】（1）设冰墩墩手办的单价为x元，雪容融挂件的单价为y元，根据购买20个冰墩墩手办和15个雪容融挂件，一共需要花费2630元可得20x+15y=2630；根据购买10个冰墩墩手办和20个雪容融挂件，一共需要花费2040元可得10x+20y=2040，联立求解即可；
（2）设购买冰墩墩手办a个 ，根据冰墩墩手办的单价×个数+雪容融挂件的单价×个数=总费用结合总费用不超过2000元可得关于a的不等式，求解即可.
31．下面是小彬求解一元一次不等式及自我检查的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解答过程 自我检查
解：去分母，得．…第一步去括号，得．…第二步移项，得．…第三步合并同类项，得．…第四步系数化为1，得．…第五步 第一步正确，其依据是____；第二步符合去括号法则，也正确；第三步出错了！
（1）第一步的依据是不等式的一条性质，请写出这一性质的内容：　 　
（2）第三步出错的原因是：　 　；
（3）请从第三步开始，写出正确解答过程．
【答案】（1）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变
（2）移项没有变号
（3）解：移项，得： 5x 2x＞ 10＋5 6，
合并同类项，得 7x＞ 11，
系数化为1，得x＜．
【解析】【解答】解：(1)一步的依据是不等式性质2，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
故答案为：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．
(2)第三步开始出现不正确，这一步错误的原因是：移项没有变号．
故答案为：移项没有变号．
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可。
32．在防控新型冠状病毒期间，甲、乙两个服装厂都接到了制做同一种型号的医用防护服任务，已知甲、乙两个服装厂每天共制做这种防护服100套，甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同.
（1）求甲、乙两个服装厂每天各制做多少套这种防护服；
（2）现有1200套这种防护服的制做任务，要求不超过10天完成，若乙服装厂每天多做8套，那么甲服装厂每天至少多做多少套？
【答案】（1）解：设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，
依题意得：3x＝2（100﹣x），
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60.
答：甲服装厂每天制做40套这种防护服，乙服装厂每天制做60套这种防护服.
（2）解：设甲服装厂每天多做m套，
依题意得：10[（40+m）+（60+8）]≥1200，
解得：m≥12.
答：甲服装厂每天至少多做12套.
【解析】【分析】（1）设甲服装厂每天制做x套这种防护服，则乙服装厂每天制做（100﹣x）套这种防护服，根据“甲服装厂3天制做的防护服与乙服装厂2天制做的防护服套数相同.”列出方程，并求解即可；
（2）设甲服装厂每天多做m套，根据10天内完成的套数不低于1200，列出不等式，求出最小整数值即可.
33．现有一个种植总面积为 的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共 垄，种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于8垄，又不超过 垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：
（1）若设草莓共种植了 垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？
（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？
　 占地面积（m2/垄） 产量（千克/垄） 利润（元/千克）
西红柿 32 160 1.0
草莓 15 50 1.6
【答案】（1）解：草莓共种植了 垄，根据题意西红柿种了( )垄，则有
15x+32(24-x)≤530，
解得x≥14，
∵x≤16，且x是正整数，
∴x=14，15，16
共有三种种植方案，分别是：
方案一：草莓种植14垄，西红柿种植10垄；
方案二：草莓种植15垄，西红柿种植9垄；
方案三：草莓种植16垄，西红柿种植8垄；
（2）解：方案一获得的利润：14×50×1.6+10×160×1.0=2720(元)，
方案二获得的利润：15×50×1.6+9×160×1.0=2640(元)，
方案三获得的利润：16×50×1.6+8×160×1.0=2560(元)，
所以当草莓种植14垄，西红柿种植10垄，获得的利润最大，最大利润是2720元.
【解析】【分析】(1)由于种植草莓或西红柿垄数是不确定的，所以应利用不等式来解答.由于塑料温棚的种植面积为530m2，所以可以列出不等式15x+32(24-x)≤530，由此可以先求得x的取值范围，然后再确定整数x的值，从而确定种植的方案；(2)根据(2)中的方案分别求出每种方案获得的利润进行比较即可得.
34．某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是 元，
，
解得， ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ ，
答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元
（2）解：设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果 千克，利润为w元， ， ∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元， ∴ ， 解得， ，
∴当 时，w取得最大值，此时 ， ，
答：水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元
【解析】【分析】（1）根据甲、乙的数量相同可列出方程，解出即可。
（2）根据甲、乙水果数量的关系，可列出不等式组，得出最大利润值。
35．某加工厂甲乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．
（1）求甲、乙每小时各做多少个零件；
（2）该加工厂急需甲、乙二人制造该种零件240个，由于乙另有任务，所以先由甲工作若干小时后，再由甲、乙共同完成剩余任务，工厂要求必须不超过10小时完成任务，请你求出乙至少工作多少小时．
【答案】（1）乙每小时做12个零件，甲每小时做18个零件；（2）乙至少加工5小时
36．某超市每天能出售甲、乙两种肉集装箱共21箱，且甲集装箱3天的销售量与乙集装箱4天的销售量相同．
（1）求甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售多少箱？
（2）若甲种肉类集装箱的进价为每箱200元，乙种肉类集装箱的进价为每箱180元，现超市打算购买甲、乙两种肉类集装箱共100箱，且手头资金不到18080元，则该超市有几种购买方案？
（3）若甲种肉类集装箱的售价为每箱260元，乙种肉类集装箱的售价为每箱230元，在（2）的情况下，哪种方案获利最多？
【答案】（1）解：设甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售x箱和y箱，根据题意得：
，
解得： ，
答：甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售12箱和9箱
（2）解：设甲种肉类集装箱购买a（a＞0）箱，乙种肉类集装箱购买（100﹣a）箱，根据题意得：
200a+180（100﹣a）＜18080，
解得；a＜4，
∵a是正整数，
∴a=1，2，3，
∴该超市有三种购买方案，
方案一：购买甲种肉类集装箱1箱，购买乙种肉类集装箱99箱；
方案二：购买甲种肉类集装箱2箱，购买乙种肉类集装箱98箱；
方案三：购买甲种肉类集装箱3箱，购买乙种肉类集装箱97箱
（3）解：∵方案一获利是：（260﹣200）×1+（230﹣180）×99=5010（元），
方案二获利是：（260﹣200）×2+（230﹣180）×98=5020（元），
方案三获利是：（260﹣200）×1+（230﹣180）×99=5030（元），
∴方案三获利最多
【解析】【分析】（1）设甲、乙两种肉类集装箱每天分别能出售x箱和y箱，根据每天能出售甲、乙两种肉集装箱共21箱和甲集装箱3天的销售量与乙集装箱4天的销售量相同，列出方程组，求解即可；（2）设甲种肉类集装箱购买a（a＞0）箱，乙种肉类集装箱购买（100﹣a）箱，根据甲、乙两种肉类集装箱共100箱，且手头资金不到18080元，列出不等式，再求解即可；（3）根据（2）得出的方案，分别计算出方案一、方案二和方案三的获利情况，再进行比较即可得出答案．
37．分解因式
（1）a3﹣2a2b+ab2
（2）x2（m﹣n）﹣y2（m﹣n）
【答案】（1）解：原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2；
（2）解：原式=（x2﹣y2）（m﹣n）=（x+y）（x﹣y）（m﹣n）．
【解析】【分析】（1）原式提取a，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
38．
（1）采用夹逼法，利用 的一系列不足近似值和过剩近似值来估计它的大小的过程如下：
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴
因此 (精确到百分位)，
使用夹逼法，求出 的近似值(精确到百分位).
（2）我们规定用符号 表示数 的整数部分，例如
①按此规定 ；
②如果 的整数部分是 的小数部分是 求 的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
因此 .
（2）①5；
②解：∵ ， ∴ ， ∴原式 .
【解析】【解答】解：（2）①∵3.12=9.61，3.22=10.24，
∴ ，
∴ ，
∴ 5；
故答案为：5；
【分析】（1）仿照使用夹逼法求近似值的方法求解即可；
（2）①先利用夹逼法确定的范围，然后可确定+2的范围，再根据规定求解即可；
②先确定、的范围，从而得出a、b的值，然后代入化简计算即可.
39．下列5个数： ， ，1.5，π，0.
（1）属于无理数的是　 　.
（2）将他们表示在数轴上，并用“<”连接
【答案】（1） ，
（2）解：数轴表示如下：
【解析】【解答】解：（1）无理数有 ， ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，②的倍数的数，③像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义即可一一判断得出答案；
（2）根据数轴上的点所表示的数的特点，在数轴上找出表示各个数的点，用实心的小黑点做好标注，并在小黑点上方写出该点所表示的数，最后根据数轴上的点所表示的数右边的总比左边的大即可比出大小得出答案.
40．已知m的算术平方根是3，n的平方根是与．
（1）求m和n的值：
（2）求．
【答案】（1）解：根据题意得：，，
∴，
∴
（2）解：．
【解析】【分析】（1）利用算式平方根和平方根的性质求出m、n的值即可；
（2）将m、n的值代入计算即可。
41．观察以下等式
（1）按以上等式，填空： （　 　） ；
（2）利用多项式的乘法法则，证明(1)中的等式成立.
（3）利用(1)中的公式，化简求值：
其中
【答案】（1）a2-ab+b2
（2）解：（a+b）（a2-ab+b2 ）
=a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3
= ；
（3）解：原式=x3+y3-（x3-y3）
=2y3
∴当x=99，y= 时，
原式=2×（ ）3
=
【解析】【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3，
故答案为：a2-ab+b2 ；
【分析】（1）观察等式可得(a+b)(a2-ab+b2)＝a3+b3；
（2）利用多项式与多项式的乘法法则将(a+b)(a2-ab+b2)展开并合并即可；
（3）利用立方和与立方差公式分别去括号，再合并化为最简形式，然后将y的值代入计算即可.
42．如图，已知 ，试再添上一个条件，使 成立．
（1）要求给出两个答案；
（2）选择其中一个进行证明．
【答案】（1）答案不唯一（只要合理均可给分）；
比如CF//BE或∠EBC=∠FCB等等
（2）我选∠EBC=∠FCB
证明：∵AB//CD
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC-∠EBC=∠BCD-∠FCB，
即是∠2=∠1
【解析】【分析】（1）根据直线平行的性质，证明得到∠1=∠2即可；
（2）由直线平行的性质，两直线平行，内错角相等，即可得到∠ABC=∠BCD，由作差法求出答案即可。
43．小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下.
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由.
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC.BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数.
（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）.
【答案】（1）解：如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，
∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE.
（2）解：如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD=50°，
∴∠FAD=∠ADC=50°.
∵DE平分∠ADC，∠ADC=50°，
∴∠EDC= ∠ADC=25°.
∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠ABE= ∠ABC=20°.
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE=∠BEH=20°，∠CDE=∠DEH=25°，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°.
（3）解：∠BED的度数改变.
过点E作EG∥AB.
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠GAD=m°，
∴∠ABE= ∠ABC= n°，∠CDE= ∠ADC= m°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG=180°﹣∠ABE=180°﹣ n°，∠CDE=∠DEG= m°，
∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°﹣ n°+ m°.
故答案为：180°﹣ n°+ m°.
【解析】【分析】（1）作EF∥AB，由平行线的传递性可得EF∥CD，然后由平行线的性质即可求解；
（2）过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可求解；
（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可求解．
44．如图已知直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，点E、点F在线段BC上，满足∠FOB=∠AOB=α，OE平分∠COF．
（1）用含有α的代数式表示∠COE的度数；
（2）若沿水平方向向右平行移动AB，则∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化找出变化规律；若不变，求其比值．
【答案】（1）解：∵CB∥OA，∴∠C+∠AOC=180°．
∵∠C=100°，∴∠AOC=80°．
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB= ∠COF+ ∠FOA
= （∠COF+∠FOA）= ∠AOC=40°．
又OE平分∠COF，
∴∠COE=∠FOE=40°﹣α；
（2）解：∠OBC：∠OFC的值不发生改变．
∵BC∥OA，
∴∠FBO=∠AOB，
又∵∠BOF=∠AOB，
∴∠FBO=∠BOF，
∵∠OFC=∠FBO+∠FOB，
∴∠OFC=2∠OBC，
即∠OBC：∠OFC=∠OBC：2∠OBC=1：2= ．
【解析】【分析】（1）根据CB∥OA，可得∠C与∠OCA的关系，再根据∠C=∠OAB=100°，根据∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF，即可得到∠EOB=∠BOF+∠EOF，及可求得答案；
（2）根据∠FOB=∠AOB，即可得到∠AOB：∠AOF=1：2，再根据CB∥OA，可得∠AOB=∠OBF，∠AOF=∠OFC，进而得出结论.
45．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如8=32-12，16=52-32，24=72-52，因此，8，16，24这三个数都是“和谐数”．
（1）在32，75，80这三个数中，是和谐数的是　 　；
（2）若200为和谐数，即200可以写成两个连续奇数的平方差，则这两个连续奇数的和为　 　；
（3）小鑫通过观察发现以上求出的“和谐数”均为8的倍数，设两个连续奇数为2n-1和2n+1（其中n取正整数），请你通过运算验证“和谐数是8的倍数”这个结论是否符合题意．
【答案】（1）32；80
（2）100
（3）证明：∵ ，
∴“和谐数是8的倍数”这个结论是正确的．
【解析】【解答】解：（1）由“和谐数”的定义，设这两个连续的奇数分别为 ， ，
则和谐数可表示为： ，（其中 表示正整数）
∴“和谐数”就是8的正整数倍，
∴32，80是和谐数，75不是和谐数，且32=92-72，80=212-192，
故答案为：32；80.（2）∵ 200，即 200，
∴ ，
∴ ， ，
∵49+51=100，
∴这两个连续奇数的和为100，
故答案为：100.
【分析】（1）根据“和谐数”的定义，设出一般的情况，看和谐数应满足什么条件，以此条件判断32，75，80这三个数中，哪些数是和谐数；（2）用字母表示两个连续奇数与和谐数，由和谐数是200，列出方程，解出即得到这两个连续的奇数，从而可以求得这两个连续奇数的和；（3）用字母表示两个连续奇数与和谐数，通过化简，可以证明结论成立．
46．点 ， 分别在直线 ， 上，点 在直线 ， 之间， ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，点 在 上， ，求证： ；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点 作 的垂线交 于点 ， 的平分线交 于点 ，若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）过点 作平行线AD//MN，
∵AD//MN， ，
∴AD//MN//PQ，
∴ ，
∴ .
（2）∵
∴
∵
又
∴
（3）证得
设
由（1）可知
列出关系式
由（1）可知
列出关系式
解得：
结论：
【解析】【分析】（1）根据题意过点 作平行线AD//MN，证出三条直线互相平行并由平行得出与 和 相等的角即可得出结论；（2）由题意利用垂直线定义以及三角形内角和为180°进行分析即可证得 ；（3）根据题意设 ，由（1）列出关系式 和 ，解出方程进而得出结论．
47．已知直线，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，于点C．
（1）如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，则和之间的数量关系是　 　；
（2）如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B 交直线PQ于点D，为探究与的数量关系，小明过点B作，请根据他的思路，写出与的关系，并说明理由；
（3）请从下面A，B两题中任选一题作答．
A 如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当时直接写出的度数；
B 如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作交直线PQ于点D，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当时，直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：选择A
过点B作，设，则，
由（2）得：，
∴，，
∵BE平分
∴，
∵，
∴，
解得
或选择B
设，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BE平分 ，
∴ ，
在 中， ，
在 中，
，
∴ ，
∵，
∴ ，解得： ，
∴ ．
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴，
∴；
【分析】（1）利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可；
（2）构造平行线，利用平行线的性质求解即可；
（3）A：过点B作，设，则，再求出，，再利用角平分线的性质可得，即可得到
，再求解即可；
B：设，求出，
，再利用
，可得
，再求出x的值即可。
48．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且 ．
（1）　 　， 　 　；
（2）判断 ， ， 的符号；
（3）求 的值．
【答案】（1）0；
（2）解：∵c＜b＜0＜a，且|a|=|b|，
∴b+c＜0，a-c＞0，（b+c）（a-b）＜0；
（3）解：∵c＜b＜0＜a， ，
∴
=
=
=2
【解析】【解答】解：（1）∵从数轴可知：c＜b＜0＜a，且|a|=|b|，
∴a+b=0，
，
故答案为：0，-1；
【分析】（1）根据数轴和
，进行计算求解即可；
（2）根据 c＜b＜0＜a，且|a|=|b| ，判断代数式的取值范围即可；
（3）根据 c＜b＜0＜a， ， 再求代数式的值即可。
49．在2016年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量来计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的2倍．
（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．
【答案】（1）解：设甲车单独完成任务需要x天，则乙车单独完成任务需要2x天，
（ ）×10=1
解得，x=15
∴2x=30
即甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天
（2）解：设甲车的租金每天a元，则乙车的租金每天（a-1500）元，
[a+（a-1500）]×10=65000
解得，a=4000
∴a-1500=2500
当单独租甲车时，租金为：15×4000=60000，
当单独租乙车时，租金为：30×2500=75000，
∵60000＜65000＜75000，
∴单独租甲车租金最少．
【解析】【分析】（1）根据题意可以得到相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据题意和第（1）问中的结果可以分别求得三种方式的费用，从而可以解答本题．
50．已知：直线 ∥ ，A为直线 上的一个定点，过点A的直线交 于点B，点C在线段BA的延长线上．D，E为直线 上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AE，满足∠AED＝∠DAE．点M在 上，且在点B的左侧．
（1）如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数　 　；
（2）射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；
② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数 ．
【答案】（1）125°
（2）解：① ．
证明：设 ， ．
∴ ．
∵ 为 的角平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
② 或
【解析】【解答】解：（1）设在 上有一点N在点A的右侧，如图所示：
∵
∴ ，
∴
∴
（2）②当点D在点B右侧时，如图：
由①得：
又∵
∴
∵
∴
当点D在点B左侧，E在B右侧时，如图：
∵ 为 的角平分线
∴
∵
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
当点D和F在点B左侧时，设在 上有一点G在点B的右侧如图：
此时仍有 ，
∴
∴
综合所述： 或
【分析】（1）根据平行线的性质得出 ， ，从而可得∠ABM=
；
（2）①设 ， ，得出，利用角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，从而求出，继而得出 ②分三种情况：当点D在点B右侧时；当点D在点B左侧，E在B右侧时；当点D和F在点B左侧时，据此分别解答即可.
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