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【综合题强化训练·50道必刷题】沪科版数学八年级下册期末试卷
1．某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此种草莓每盒的售价为x元．
（1）每盒此种草莓的利润为______元，每天可卖出此种草莓的数量为______盒；（用含x的代数式表示）
（2）若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，此种草莓每盒的售价至少应定为多少元？
2．“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率．
3．石子饼是陕西的特色小吃，制作方式古老，经久耐贮，携带方便，因其油酥咸香，营养丰富，深受省内外人们的喜爱，目前，石子饼已经进入西安高级饭店，成为了食用及馈赠佳品某超市2021年共销售某种袋装石子饼2000袋，这两年这种袋装石子饼的销售量在逐年增长，2023年该超市共销售这种袋装石子饼3380袋，求这两年该超市销售这种袋装石子饼数量的年平均增长率．
4．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为多少元时，才能使每天的利润为640元？
5．为丰富校园生活，某校举办A、B、C、D四项活动．现随机抽取部分学生进行调查了解学生喜欢参加哪个活动，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“C”的圆心角为108°．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）抽样调查　 　名学生；若学校有3000名学生，则有　 　名学生喜欢参加“A”活动；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）根据调查结果，某同学认为全校选择“D”活动学生人数最多，你认为合理吗？说明理由．
6．如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
7．今年5月22日，我国“杂交水稻之父”、中国工程院院士、“共和国勋章”获得者、让国人吃饱饭的伟大科学家袁隆平先生不幸逝世.“一粥一饭，当思来之不易”，倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，某校政教处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.
（1）这次被调查的同学共有　 　名；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）学校政教处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人食用一餐，据此估算，该校3800名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
8．2023年是中国共产主义青年团建团101周年.某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，八，九年级各有400名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析.下面给出了部分信息：
a.八年级学生的成绩整理如下(单位：分)：57，67，69，75，75，75，77，77，78，78，80，80，80，80，86，86，88，88，89，96.
b.九年级成绩的频数分布直方图如下(数据分成四组：，，，)：
期中成绩在的数据如下(单位：分)：80、82、82、82、82、82、85、86、87、89；
c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.05 79 m
九年级 79.2 n 82
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）若成绩达到80分及以上为优秀，估计九年级此次测试成绩优秀的总人数；
（3）哪个年级学生的整体成绩比较好？（至少从两个不同的角度说明合理性）
9．新冠疫情防控期间，某市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动.为了了解初中生每日线上学习时长t（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？并补全条形统计图.
（2）若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有多少名？
10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：∠BAC=∠DAC．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
11．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务.小华随机抽取该校部分学生进行问卷调查，问卷调查表如图所示，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.
平均每周做家务的时间调查表设平均每周做家务的时间为x小时，则最符合你的选项是（　　）（单选）(A)0≤x<1 (B)1≤x<2 (C)2≤x<3 （D）x≥3
学校部分学生平均每周做家务的
请根据上述图标，解答下列问题：
（1）小华共调查了多少人？其中平均每周做家务的时间少于1小时的同学有多少人？
（2）该校有1800名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生人数．
（3）根据本次调查发表一条你的看法．
12．如图， 为等边三角形 内一点，分别连接 ， ．以 为边作等边三角形 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）求 的度数．
13．如图1，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，设OB的长度为x米．
（1）用含有x的式子表示AB的长．
（2）求OB的长度；
（3）如图2，若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．
14．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
15．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE。
求证：
（1）BE=DE。
（2）四边形BEDF是菱形。
16．清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，节期在仲春与暮春之交，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节．清明节兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日，扫墓祭祖与踏青郊游是清明节的两大礼俗主题，这两大传统礼俗主题在中国自古传承，至今不辍．某学校数学兴趣小组为了了解该校学生对清明节的了解情况，在全校范围内随机抽取一部分学生进行问卷调查，并将调查结果适当整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查抽查了 ▲ 人，请补全条形统计图；
（2）本次调查的中位数落在　 　（填了解程度），扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角为　 　度；
（3）已知该学校共有人，请你估计该校学生对清明节“不了解”的人数．
17．如图，点D、E分别为的边AC、BC的中点，连接DE.求证：
（1）DE//AB；
（2）.
18．如图，四边形ABCD中，AD BC，AB＝AD＝CD BC.分别以B、D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧交于点M.画射线AM交BC于E，连接DE.
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长.
19．如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB=90°）土地划出一个△ADC后，测得CD=3，AD=4，BC=12，AB=13.
（1）根据条件，求AC的长；
（2）判断△ADC的形状，并说明理由；
（3）求图中阴影部分土地的面积.
20．如图①，在平行四边形 中，将对角线 分别向两端延长到点E和F，使得 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图②，连接 ， ， ，若 ，四边形 是何种特殊四边形？
21．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？
22．某学校举行“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”为主题的体育活动，并开展了以下体育项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项。为了解选择各项体育活动的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：
（1）这次活动一共调查了　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）求选择篮球项目的人数在扇形统计图中所占的百分比？
（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择乒乓球项目的学生人数约是多少人？
23．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．
24．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD.
（1）求证：四边形OCED是菱形.
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长.
25．在和中，，，，连接，，是边上的中线．
（1）如图，当点D，E分别在边，延长线上时，请直接写出与的数量关系：　 　；
（2）将绕点A旋转到如图的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请完成证明；若不成立，写出你的结论并说明理由；
（3）若，，在绕点A旋转的过程中，当点C，D，E三点共线时，请直接写出线段的长．
26．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少？
（2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元．
27．一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
28．某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为组，：，：，：，：，：．
（1）请补全频数分布直方图；
（2）本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比；
（3）为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中，组的名学生的成绩依次为：，，，，，，，，，，．若要将占总人数的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的的值，并说明理由．
29．已知：ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在四边形ABCD中，求的值．
30．若.
（1）若以a、b、c为边的三角形，判断这个三角形的形状：
（2）解方程；
（3）若一元二次方程有实数根，求m的取值范围.
31．王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10；
选手 平均数 中位数 众数 方差
甲 a b 6 2.6
乙 7 7 c d
（1）以上成绩统计分析表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）d　 　2.6；（填“>”、“<”或“=”）
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
32．操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．
33．在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.
（1）如图①，若AB＝，BC＝5，求AC的长；
（2）如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.
34．某工厂生产一批小家电，2020年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术、降低成本，这两年出厂价下降的百分率相同，2022年的出厂价调整为100元．
（1）求这两年出厂价下降的百分率．
（2）某商场2022年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了尽快减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，小家电售价每降低5元，每天可多售出10台，若每天要盈利1250元，小家电的售价应为多少元？
35．2020年初我国新冠肺炎疫情牵动全国人民的心某社区积极组织社区居民为疫情地区的人民献爱心活动为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图已知A、B两组捐款户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．
捐款分组统计表
组别 捐款额（x）元
A
B
C
D
E
（1）A组的频数是多少？本次调查样本的容量是多少？
（2）求出C组的频数并补全直方图；
（3）若该社区有500户住户，请估计捐款不少于300元的户数是多少？
36．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值.
37．已知一元二次方程mx2＋nx－(m＋n)＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1 x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．
38．如图，直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，连接 交直线 于 点， .
（1）尺规作图：在直线 上从左到右依次确定 ， 两点，使得四边形 是矩形(保留作图痕迹，不必写作法及证明)；
（2）在（1）的情况下，若 ， ，求矩形 的周长.
39．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
40．我市在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查.其中A，B两小区分别有300名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
（信息一）A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
（信息二）上图中，从左往右第四组的成绩如下：
75 75 79 79 79 79 80 80
81 82 82 83 83 84 84 84
（信息三）A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
A 75.1 x 79 40% 277
B 75.1 77 76 45% 211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： 　 　；
（2）请估计A小区300名居民成绩能超过平均数的人数.
（3）请从两个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况.
41．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长．
（2）作AF⊥CD于点F，连结EF，BD，求证：EF∥BD．
（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1-S2是的值．
42．某学校跳绳活动月即将开始，其中有一项为跳绳比赛，体育组为了了解七年级学生的训练情况，随机抽取了七年级部分学生进行1分钟跳绳测试，并将这些学生的测试成绩(即1分钟的个数，且这些测试成绩都在60~180范围内)分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在50~90范围内的记为D级，90～120范围内的记为C级，120~150范围内的记为B级，150~180范围内的记为A 级.现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中在扇形统计图中A级对应的圆心角为90°，请根据图中的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，求A级所占百分比；
（2）在这次测试中，求一共抽取学生的人数，并补全频数直方图；
（3）在扇形统计图中，求D级对应的圆心角的度数.
43．如图，已知 为坐标原点，四边形 为长方形， ，点 是 的中点，点 在线段 上运动.
（1）写出点 的坐标；
（2）当 是腰长为5的等腰三角形时，求点 的坐标.
44．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动；同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．连接，设运动时间为．
（1）试求当t为何值时，与互相平分；
（2）试求当t为何值时，四边形是菱形．
45．如图，已知，P为BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，连接DP，在线段DP上取一点E，使，直线CE与线段AP，AB分别相交于点M，F（点F与点A、B不重合），
（1）求证：；
（2）分别判断CF与AB，CF与BG的位置关系，并说明理由．
46．在菱形 中， .
（1）如图1，点 为线段 的中点，连接 ， .若 ，求线段 的长.
（2）如图2， 为线段 上一点（不与 ， 重合），以 为边向上构造等边三角形 ，线段 与 交于点 ，连接 ， ， 为线段 的中点.连接 ， 判断 与 的数量关系，并证明你的结论.
（3）在（2）的条件下，若 ，请你直接写出 的最小值.
47．如图，在长方形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm、s的速度移动.如果P、Q同时出发，用 (秒)表示移动的时间，那么：
（1）如图1，当 为何值时，△QAP为等腰直角三角形
（2）如图2，当 为何值时，△QAB的面积等于长方形面积的
（3）如图3，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动.当 为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半
48．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）线段AF与BE的数量关系为　 　，位置关系为　 　．
（2）若，AE=2，求线段BH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，求的值．
49．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，已知 ，这时我们把关于x的形如 二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” ，必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△ABC的面积.
50．已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB、OA为边作矩形OBCA，点E、H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处．
（1）如图1，求证：四边形OECH是平行四边形；
（2）如图2，当点B运动到使得点F、G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；
（3）当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，如图3，如图4，分别求点B的坐标．
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【综合题强化训练·50道必刷题】沪科版数学八年级下册期末试卷
1．某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此种草莓每盒的售价为x元．
（1）每盒此种草莓的利润为______元，每天可卖出此种草莓的数量为______盒；（用含x的代数式表示）
（2）若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，此种草莓每盒的售价至少应定为多少元？
【答案】（1），
（2）90元
2．“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，3月份售出150个，5月份售出216个．求该品牌头盔月销售量的平均增长率．
【答案】该品牌头盔月销售量的平均增长率为．
3．石子饼是陕西的特色小吃，制作方式古老，经久耐贮，携带方便，因其油酥咸香，营养丰富，深受省内外人们的喜爱，目前，石子饼已经进入西安高级饭店，成为了食用及馈赠佳品某超市2021年共销售某种袋装石子饼2000袋，这两年这种袋装石子饼的销售量在逐年增长，2023年该超市共销售这种袋装石子饼3380袋，求这两年该超市销售这种袋装石子饼数量的年平均增长率．
【答案】
4．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在某APP上对一款成本价为每件8元的小商品进行直播销售．如果按每件10元销售，每天可卖出200件．通过市场调查发现，每件小商品的售价每上涨1元，每天的销售件数就减少20件．将每件小商品的售价定为多少元时，才能使每天的利润为640元？
【答案】将每件小商品的售价定为12元或16元时，才能使每天的利润为640元
5．为丰富校园生活，某校举办A、B、C、D四项活动．现随机抽取部分学生进行调查了解学生喜欢参加哪个活动，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，在扇形统计图中，“C”的圆心角为108°．请结合图中的信息解答下列问题：
（1）抽样调查　 　名学生；若学校有3000名学生，则有　 　名学生喜欢参加“A”活动；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）根据调查结果，某同学认为全校选择“D”活动学生人数最多，你认为合理吗？说明理由．
【答案】（1）50；600
（2）解：参加活动的人数为：
（人）
参加活动的人数为：
（人）
补全条形图如下：
（3）根据样本估计总体的方法，可估算全校选择活动的人数最多，所以该同学说法是合理的．
【解析】【解答】（1）解：抽样调查学生总人数为：
（名）
喜欢参加活动的人数为：
（名）
故答案为：50；600
【分析】（1）根据参加A活动小组的人数及其百分比可得总人数，用样本估计总体，用3000×样本中喜欢参加A活动小组所占的百分比，即可估计该校喜欢参加A活动小组的人数；
（2）总人数×参加C活动小组所占百分比，求出参加C活动小组的人数，进而得出参加B活动小组的人数，据此补全统计图即可；
（3）用样本估计总体，所以该同学认为全校选择D活动学生人数最多是合理的。
6．如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？
【答案】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下：
∵的对角线交于点，
∴，
∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，
∴
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，
∴且时，四边形是正方形．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，由作图可得BP=AC=OC，CP=BD=OB，然后根据平行四边形的判定定理进行解答；
（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形进行解答.
7．今年5月22日，我国“杂交水稻之父”、中国工程院院士、“共和国勋章”获得者、让国人吃饱饭的伟大科学家袁隆平先生不幸逝世.“一粥一饭，当思来之不易”，倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，某校政教处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图.
（1）这次被调查的同学共有　 　名；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）学校政教处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人食用一餐，据此估算，该校3800名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【答案】（1）1000
（2）解：由（1）可知，“剩少量”的人数=1000-400-250-150=200人，
∴补充完整的条形统计图如图所示；
（3）解：∵1000人浪费的粮食可供200人食用一餐.
∴ ，
∴这餐饭3800名学生浪费的粮食大约可供760人食用一餐.
【解析】【解答】解：（1）由题意得这次被调查的同学共有 名；
故答案为：1000；
【分析】（1）利用没有剩的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）根据总人数求出剩少量的人数，进而补全条形统计图；
（3）首先求出一人的食用量，然后乘以3800即可.
8．2023年是中国共产主义青年团建团101周年.某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，八，九年级各有400名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析.下面给出了部分信息：
a.八年级学生的成绩整理如下(单位：分)：57，67，69，75，75，75，77，77，78，78，80，80，80，80，86，86，88，88，89，96.
b.九年级成绩的频数分布直方图如下(数据分成四组：，，，)：
期中成绩在的数据如下(单位：分)：80、82、82、82、82、82、85、86、87、89；
c.两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级 平均数 中位数 众数
八年级 79.05 79 m
九年级 79.2 n 82
根据所给信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）若成绩达到80分及以上为优秀，估计九年级此次测试成绩优秀的总人数；
（3）哪个年级学生的整体成绩比较好？（至少从两个不同的角度说明合理性）
【答案】（1）80；81
（2）解：由题意可得：（人），
答：估计九年级此次测试成绩优秀的总人数是220人.
（3）解：由统计图中的数据可得：
从平均数看：79.0579.2，即九年级的平均数大于八年级的平均数；
从中位数看：79，即九年级的中位数大于八年级的中位数；
从众数看：8082，九年级的众数大于八年级的众数；
所以九年级学生的整体成绩比较好.（任选两项进行比较均可得分）.
【解析】【解答】解：（1）根据八年级学生的成绩可知，80出现了4次，出现的次数最多，
∴，
由题意可知，九年级的成绩中第10、11位数字分别为：80、82，
，
故答案为：80，81.
【分析】（1）找出出现次数最多的数据即为众数m的值，将数据按照由小到大的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数n的值；
（2）利用成绩在80分以上的人数除以总人数，然后乘以400即可；
（3）根据平均数、中位数、众数的大小进行分析判断.
9．新冠疫情防控期间，某市某中学积极开展“停课不停学”网络教学活动.为了了解初中生每日线上学习时长t（单位：小时）的情况，在全校范围内随机抽取了部分初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图.根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名初中生？并补全条形统计图.
（2）若该校有2000名初中生，请你估计该校每日线上学习时长在“3≤t＜4”范围的初中生共有多少名？
【答案】（1）解：由题意得：（名），
（名），
补全条形统计图如图：
.
答：在这次调查活动中，一共抽取了500名初中生
（2）解：条形统计图中，的人数为150名，
则估计该校每日线上学习时长在“”范围的初中生共有：（名），
答：估计该校每日线上学习时长在“”范围的初中生共有600名.
【解析】【分析】（1）利用B的人数除以所占的比例可得总人数，进而求出D的人数，据此可补全条形统计图；
（2）利用D的人数除以总人数，然后乘以2000即可.
10．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．
（1）求证：∠BAC=∠DAC．
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【答案】（1）证明：在△ABC和△ADC中，
∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC．
（2）证明：∵，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠ACD=∠CAD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】【分析】（1）由 AB=AD，CB=CD， 结合AC=AC，用SSS证明△ABC≌△ADC， 得∠BAC=∠DAC；
（2）根据平行线的性质得出∠DCA=∠BAC，结合∠BAC=∠DAC，得出 ∠ACD=∠CAD，根据等角对等边得AD=CD，结合AB=AD， CB=CD，推出AB=BC=CD=AD，即可判定四边形ABCD是菱形.
11．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务.小华随机抽取该校部分学生进行问卷调查，问卷调查表如图所示，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图.
平均每周做家务的时间调查表设平均每周做家务的时间为x小时，则最符合你的选项是（　　）（单选）(A)0≤x<1 (B)1≤x<2 (C)2≤x<3 （D）x≥3
学校部分学生平均每周做家务的
请根据上述图标，解答下列问题：
（1）小华共调查了多少人？其中平均每周做家务的时间少于1小时的同学有多少人？
（2）该校有1800名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生人数．
（3）根据本次调查发表一条你的看法．
【答案】（1）解：由条形统计图和扇形统计图可得：
本次问卷调查的学生数是：20÷40%=50人，
C等级人数为50×32%=16人，
A等级人数为50-20-16-8=6人.
答：小华共调查50人，其中平均每周做家务时间少于1小时的同学有6人.
（2）解：1800×=864人.
答：该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生有864人.
（3）解：本次调查大部分同学一周做家务时间不到2小时，建议同学每周利用业余时间参加家务劳动，多帮助爸爸妈妈做家务，培养热爱劳动的优良品质.
【解析】【分析】（1）根据选择B的人数和所占百分比求出调查的学生总数，进而求出C等级的人数，最后用总数减去其他三个等级的人数，求出A等级的人数，即可解决问题；
（2）该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生为C和D组，先求出C和D人数所占的百分比，再乘以1800即可求出该校平均每周做家务的时间不少于2小时的学生人数；
（3）回答与学生做家务相关的积极的看法即可.（答案不唯一，符合即可）
12．如图， 为等边三角形 内一点，分别连接 ， ．以 为边作等边三角形 ，连接 ．
（1）求证： ．
（2）求 的度数．
【答案】（1）∵ 、 都是等边三角形，
∴∠DAP=∠BAC=∠APD =60°，AD=AP，AB=AC，
∴∠DAB+∠BAP =∠PAC+∠BAP =60°，
∴∠DAB =∠PAC，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ 是等边三角形，
∴AP=PD=6，
∵ ，
∴BD=PC=10，
而PB=8，
∵ ，
，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且∠DPB=90°，
∴∠APB=∠DPB+∠APD=90°+60°=150°．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠DAB+∠BAP =∠PAC+∠BAP =60°， 再求出 ∠DAB =∠PAC， 最后证明求解即可；
（2）先求出 BD=PC=10， 再利用勾股定理计算求解即可。
13．如图1，一架云梯AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为20米，云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，设OB的长度为x米．
（1）用含有x的式子表示AB的长．
（2）求OB的长度；
（3）如图2，若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，试判断云梯的底部B是否也外移了5米？请说明理由．
【答案】（1）解：∵云梯AB的长度比OB的长度（云梯底端离墙的距离）大10米，OB的长度为x米，
∴AB的长为（x+10）米．
（2）解：在Rt△AOB中，由勾股定理得，
所以202 + x2＝（x+10）2
解得 ，
∴OB的长度为15米．
（3）解：若云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处，
则云梯的底部B也外移了5米，理由如下：
如图2，由（1）（2）知OB=15米， 米，
∵云梯的顶端A沿墙下滑了5米到达点C处
∴ (米)，
CD= AB= (米)，
∴在Rt△COD中， OD＝ (米)
∴BD= OD –OB= (米)，
∴云梯的底部B也外移了5米．
【解析】【分析】（1）由题意可得AB=(x+10)米；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可得x的值，即为OB的值；
（3） 由（1）（2）知OB=15米，AB=25米，由题意可得CO=AO-AC=15米，CD=AB=25 米，在Rt△COD中，利用勾股定理求出OD，然后根据BD= OD-OB进行计算.
14．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
【答案】（1）20%（2）能．
15．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE。
求证：
（1）BE=DE。
（2）四边形BEDF是菱形。
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，
∠DAE=∠BAE=∠BCF=∠DCF=45°
在△ABE和△ADE中，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=DE
（2）解：同理可得△BFC≌△DFC，
可得BF=DF，
∵AF=CE，
∴AF－EF=CE－EF，即AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴BE=BF，
∴BE=BF=DE=DF，
∴四边形BEDF是菱形.
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质，通过SAS可证出 △ABE≌△ADE 全等，得出BE=DE.
（2）通过SAS可证 △BFC≌△DFC 也全等，得出BF=ED，从而可证四边形BEDF是平行四边形，又因为BE=BF，从而可判定四边形BEDF是菱形.
16．清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，节期在仲春与暮春之交，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节．清明节兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日，扫墓祭祖与踏青郊游是清明节的两大礼俗主题，这两大传统礼俗主题在中国自古传承，至今不辍．某学校数学兴趣小组为了了解该校学生对清明节的了解情况，在全校范围内随机抽取一部分学生进行问卷调查，并将调查结果适当整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查抽查了 ▲ 人，请补全条形统计图；
（2）本次调查的中位数落在　 　（填了解程度），扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角为　 　度；
（3）已知该学校共有人，请你估计该校学生对清明节“不了解”的人数．
【答案】（1）解：本次调查抽查的人数为（人）
“非常了解”的人数为（人）
补全条形统计图如图所示：
（2）比较了解；
（3）解：该校学生对清明节“不了解”的人数为（人），
答：该校学生对清明节“不了解”的人数约为60人．
【解析】【解答】解：（2）本次调查的中位数落在比较了解上，
∴扇形图中“了解一点”对应的扇形的圆心角为，
故答案为：比较了解，.
【分析】（1）先根据题意计算出总人数，进而运用总人数乘“非常了解”所占的百分比即可得到其人数，进而补充条形统计图即可求解；
（2）根据中位线的定义结合圆心角的计算公式即可求解；
（3）直接根据样本估计总体的知识即可求解。
17．如图，点D、E分别为的边AC、BC的中点，连接DE.求证：
（1）DE//AB；
（2）.
【答案】（1）证明：延长DE至点F，使，连接BF.
∵点E为BC的中点，∴，
∵，∴≌，
∴，，
∴，即.
∵点D为AC的中点，∴，∴，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴，即.
（2）证明：由（1）知：四边形ABFD是平行四边形，∴.
∵，∴，∴.
【解析】【分析】（1）延长DE至点F，使EF=DE，连接BF，由中点的概念得CE=BE，证明△CDE≌△BFE，得到CD=FB，∠C=∠FBC，推出BF∥AD，根据中点的概念可得CD=AD，则AD=BF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形推出四边形ABFD是平行四边形，进而根据平行四边形的对边平行可得结论；
（2）由（1）知：四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，结合DE=EF可得DE=DF，据此证明.
18．如图，四边形ABCD中，AD BC，AB＝AD＝CD BC.分别以B、D为圆心，大于 BD长为半径画弧，两弧交于点M.画射线AM交BC于E，连接DE.
（1）求证：四边形ABED为菱形；
（2）连接BD，当CE＝5时，求BD的长.
【答案】（1）证明：如图所示，连接BD，
由题意可知，AE是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，BE=DE，BO=OD，
∵AD∥BC，
∴∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE，
在△OAD和△OEB中，
，
∴△OAD≌△OEB（AAS），
∴AD=BE，
∴AD=AB=BE=ED，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）得AD=AB=BE=ED，
∴∠DBE=∠EDB，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴三角形DEC是等边三角形，
∴∠C=∠DEC=∠CDE=60°，
∵∠BDE+∠EBD=∠DEC，
∴∠BDE=30°，
∴∠BDC=90°
∴
【解析】【分析】（1）连接BD，由垂直平分线的性质可得AB=AD，BE=DE，BO=OD，由平行线的性质可得∠OAD=∠OEB，∠ODA=∠OBE，证明△OAD≌△OEB，得到AD=BE，然后根据菱形的判定定理进行证明；
（2） 由（1）得AD=AB=BE=ED，根据等腰三角形的性质可得∠DBE=∠EDB，易得△DEC是等边三角形，得到∠C=∠DEC=∠CDE=60°，由三角形外角的性质可得∠BDE+∠EBD=∠DEC，据此可求得∠BDE、∠BDC的度数，据此求解.
19．如图，把一块直角三角形ABC（其中∠ACB=90°）土地划出一个△ADC后，测得CD=3，AD=4，BC=12，AB=13.
（1）根据条件，求AC的长；
（2）判断△ADC的形状，并说明理由；
（3）求图中阴影部分土地的面积.
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13，根据勾股定理得，
==5
（2）解：△ADC是直角三角形，理由如下：
∵CD2+AD2=32+42=25，AC2=25
即CD2+AD2=AC2，根据勾股定理逆定理知，
∴△ADC是直角三角形
（3）解：阴影部分土地的面积为：
=24
【解析】【分析】（1）因为是直角三角形，由勾股定理求出AC=5；
（2）由勾股定理的逆定理求出证出∠ADC=90°即可；
（3）因为和是直角三角形，由三角形面积公式求出阴影部分面积.
20．如图①，在平行四边形 中，将对角线 分别向两端延长到点E和F，使得 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）如图②，连接 ， ， ，若 ，四边形 是何种特殊四边形？
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DCF=∠BAE，
∵AE=CF，
∴ （SAS）；
（2）解：连接DE，BD，BF，
∵ ，
∴DF=BE，∠DFE=∠BEF，
∵ ，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又AC⊥BD，
∴四边形 是菱形．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可证 ；
（2） 连接DE，BD，BF， 根据 ，可证四边形BEDF是平行四边形，由AC⊥BD可得四边形 是菱形．
21．在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？
【答案】每轮传播中平均一人传播了11人
22．某学校举行“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”为主题的体育活动，并开展了以下体育项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项。为了解选择各项体育活动的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答问题：
（1）这次活动一共调查了　 　名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）求选择篮球项目的人数在扇形统计图中所占的百分比？
（4）若该学校有1500人，请你估计该学校选择乒乓球项目的学生人数约是多少人？
【答案】（1）250
（2）解：选择篮球项目的人数 （人）
补全条形统计图如下：
（3）解：
答：选择篮球项目的人数在扇形统计图中所占的百分比为 ．
（4）解： （人）
答：该学校选择乒乓球项目的学生人数约是240人．
【解析】【解答】解：（1）这次活动一共调查了80÷32%=250（名）
故答案为：250．
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出 选择篮球项目的人数 为70人，再补全条形统计图即可；
（3）求出 即可作答；
（4）根据该学校有1500人， 计算求解即可。
23．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，且AD＝AF．
（1）判断四边形ABFC的形状并证明；
（2）若AB＝3，∠ABC＝60°，求EF的长．
【答案】（1）解：四边形ABFC是矩形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠BAE＝∠CFE，∠ABE＝∠FCE，
∵E为BC的中点，
∴EB＝EC，
在△ABE和△FCE中，
，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AB＝CF．
∵，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AD＝BC，AD＝AF，
∴BC＝AF，
∴四边形ABFC是矩形．
（2）解：∵四边形ABFC是矩形，
∴BC＝AF，AE＝EF，BE＝CE，
∴AE＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE＝3，
∴EF＝3．
【解析】【分析】（1）利用“AAS”判定△ABE≌△FCE，从而得到AB=CF，由已知可得四边形ABFC是平行四边形，BC=AF，根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得四边形ABFC是矩形；
（2）先证明三角形ABE是等边三角形，可得AB=AE=EF=3。
24．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE//AC，CE//BD.
（1）求证：四边形OCED是菱形.
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长.
【答案】（1）证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∴四边形OCED是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=10，
即OC=AC=5，
∵四边形OCED是菱形，
∴OC=OD=DE=CE=5，
∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20
【解析】【分析】（1）由两组对边分别平行可证四边形OCED是平行四边形，由矩形的性质可得OD=OC，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即证；
（2）由勾股定理得AC=10，由矩形性质得OC=AC=5， 由菱形性质得OC=OD=DE=CE=5， 从而求出其周长.
25．在和中，，，，连接，，是边上的中线．
（1）如图，当点D，E分别在边，延长线上时，请直接写出与的数量关系：　 　；
（2）将绕点A旋转到如图的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请完成证明；若不成立，写出你的结论并说明理由；
（3）若，，在绕点A旋转的过程中，当点C，D，E三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）
（2）解：成立，证明如下：
延长至H，使得，连接，
，，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
．
（3）或
【解析】【解答】解：(1)，理由如下：
在和中，，
，
，，
，
，
是边上的中线，
，
，
故答案为：；
(3)当点E在CD的延长线上时，
过点A作AM⊥CE于点M，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点E在线段CD上时，
过点A作AN⊥CE于点N，
可得是等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得，
，
；
综上，AF的长为或．
【分析】（1）由SAS证出，得出，由直角三角形的性质得出结论；
（2）由SAS证出，得出，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理CH的长，即可得解。
26．社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少？
（2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元．
【答案】（1）解：由题意得，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
（2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元，
根据题意得， ，
整理得，，
解得或（舍去）．
答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元．
【解析】【分析】（1）利用平移的思想可得铺花砖的面积就是一个长为（52-2x）米，宽为（28-2x）米的矩形的面积，结合 铺花砖的面积为640平方米，建立方程，求解并检验可得答案；
（2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，每个车位的月租金为（30+a）元，根据月租金每个车位的月租金×每月租出的车位数，列出方程并解答即可．
（1）解：由题意得，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
（2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元，
根据题意得， ，
整理得，，
解得或（舍去）．
答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元．
27．一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
【答案】（1）解：由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，
在Rt，由勾股定理得：
AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，
解得AO=12米，
答：这个梯子的顶端距地面有12米高
（2）解：由题意得，AC=7米，
由（1）得AO=12米，
∴CO=AO-AC=12-7=5米，
在Rt，由勾股定理得：
OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，
解得OD=12米
∴BD=OD-OB=12-5=7米，
答：梯子的底端在水平方向滑动了7米
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案。
（2）根据题意可得 CO=AO-AC=12-7=5米，根据勾股定理即可求出答案。
28．某校七年级在实施数学作业分层布置方案前，对学生某次考试的数学成绩进行了随机抽样调查，并将获得的名学生的数学成绩（单位：分）绘制成不完整的频数分布直方图，数据分为组，：，：，：，：，：．
（1）请补全频数分布直方图；
（2）本次考试的数学成绩在______组的学生最多，求出该组学生占总人数的百分比；
（3）为给学生分层布置作业，需要确定一个分层标准，将本次考试的数学成绩为的学生认定为优秀学生，已知抽样结果中，组的名学生的成绩依次为：，，，，，，，，，，．若要将占总人数的学生认定为优秀学生，请写出一个合理的的值，并说明理由．
【答案】（1）解：组的学生人数（人），
补全后的频数分布直方图如下：
（2）B
解：组学生占总人数的百分比组学生人数总人数
（3）解：，理由如下：
优秀学生的人数（人），
组的学生人数为，
组的优秀学生人数为2人，
∴ 87≤m＜88，
∴ m=87
【解析】【解答】解：（2）解：由频数分布直方图可以看出：组的学生最多，
故答案为：B.
【分析】（1）用学生总人数减去，，，组的学生人数，即可得到组的学生人数即可；
（2）由频数分布直方图即可知B组的学生最多，用该组学生人数除以总人数，即可求得所占百分比；
（3）先根据总人数乘以求出应认定为优秀学生的人数，可推出D组优秀人数，即可求得m的取值范围，再选一个合理值即可.
（1）解：组的学生人数学生总人数，，，组的学生人数
（人），
补全后的频数分布直方图如下：
（2）解：由频数分布直方图可以看出：组的学生最多，
组学生占总人数的百分比组学生人数总人数；
（3）解：，理由如下：
应认定为优秀学生的人数总人数
（人），
组的学生人数为，
组的优秀学生人数应认定为优秀学生的人数组的学生人数
（人），
又组的名学生的成绩由高到低依次为：，，，，，，，，，，，
．
29．已知：ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在四边形ABCD中，求的值．
【答案】（1）证明：连结OE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=OB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=BE，
∴EO⊥BD，
∴∠DOE=90°，即∠DAE=90°，
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：∵四边形DEBF是菱形，
∴∠FDB=∠EDB，
又由题意知∠EDB=∠EDA，
由（1）知四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°，则∠ABD=30°，
∴在Rt△ADB中，有tan30°=1∶，
∴．
【解析】【分析】（1）连接OE，先证明∠DOE=90°，即∠DAE=90°，再结合四边形ABCD是平行四边形，即可得到四边形ABCD是矩形；
（2）根据矩形的性质可得∠ADF=90°，即∠FDB+∠EDB+∠ADE=90°，则∠ABD=30°，再利用正切的定义可得tan30°=1∶，再求出即可。
30．若.
（1）若以a、b、c为边的三角形，判断这个三角形的形状：
（2）解方程；
（3）若一元二次方程有实数根，求m的取值范围.
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：由（1）得原方程组为
得，，解得，
把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为；
（3）解：由（1）得原方程为，
∵方程有实数根，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）对已知条件进行变形可得(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，根据偶次幂的非负性可得a-3=0、b-4=0、c-5=0，求出a、b、c的值，然后根据勾股定理逆定理进行解答；
（2）根据a、b、c的值可得对应的方程组，利用第一个方程的3倍减去第二个方程的4倍可求出x的值，将x的值代入第一个方程中求出y的值，据此可得方程组的解；
（3）根据a、b的值可得对应的方程为3x2+4x+m=0，由方程有实数根可得△≥0，代入求解可得m的范围.
31．王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10，
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10；
选手 平均数 中位数 众数 方差
甲 a b 6 2.6
乙 7 7 c d
（1）以上成绩统计分析表中a=　 　，b=　 　，c=　 　；
（2）d　 　2.6；（填“>”、“<”或“=”）
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）7；6；7
（2）<
（3）解：选择乙同学，
理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．
【解析】【解答】解：（1）甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数b=6；甲的平均数；乙数据中出现最多的是7，出现了4次，∴众数c=7；
（2）∵，
∴d＜2.6，
故答案为：＜；
（3）选择乙同学，
理由：乙同学的中位数和众数都比甲大，并且乙的方差比甲小，成绩更稳定.
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数定义即可求出结果；
（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；
（3）比较甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可.
32．操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．
【答案】（1）证明：由图①知BC=DE，
∴∠BDC=∠BCD．
∵∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD=75°．
∵∠ACB=45°，
∴∠DOC=30°+45°=75°．
∴∠DOC=∠BDC．
∴△CDO是等腰三角形．
（2）解：作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，
在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，
∴DH=4，HF=4．
在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，
∴DB=8，BF=16．
∴BC=BD=8．
∵AG⊥BC，∠ABC=45°，
∴BG=AG=4．
∴AG=DH．
∵AG∥DH，
∴四边形AGHD为矩形．
∴AD=GH=BF-BG-HF=16-4-4=12-4．
【解析】【分析】（1）先求出∠BDC=∠BCD=75°，再利用角的运算求出∠DOC=30°+45°=75°，可得∠DOC=∠BDC，即可得到△CDO是等腰三角形；
（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，先证出四边形AGHD为矩形，再利用线段的和差求出AD的长即可。
33．在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.
（1）如图①，若AB＝，BC＝5，求AC的长；
（2）如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.
【答案】（1）解：∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，
∴AM＝BM＝AB＝×3＝3，
则CM＝BC-BM＝5-3＝2，
∴AC＝；
（2）证明：延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG.如图所示：
在△BMD和△AMC中，，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴BD＝AC，
又∵CE＝AC，
∴BD＝CE，
在△BFG和△CFE中，，
∴△BFG≌△CFE（SAS），
∴BG＝CE，∠G＝∠CEF，
∴BD＝CE＝BG，
∴∠BDF＝∠G＝∠CEF.
【解析】【分析】（1）由题意可得△ABM为等腰直角三角形，则AM＝BM=AB＝3，CM＝BC-BM＝2，然后利用勾股定理计算即可；
（2）延长EF到点G，使得FG＝EF，连接BG，利用SAS证明△BMD≌△AMC，△BFG≌△CFE，得到BD=AC，BG＝CE，∠G＝∠CEF，推出BD＝CE＝BG，然后根据等腰三角形的性质进行证明.
34．某工厂生产一批小家电，2020年的出厂价是144元，2021年、2022年连续两年改进技术、降低成本，这两年出厂价下降的百分率相同，2022年的出厂价调整为100元．
（1）求这两年出厂价下降的百分率．
（2）某商场2022年销售这批小家电的售价为140元时，平均每天可销售20台，为了尽快减少库存，商场决定降价销售，经调查发现，小家电售价每降低5元，每天可多售出10台，若每天要盈利1250元，小家电的售价应为多少元？
【答案】（1）
（2）125元
35．2020年初我国新冠肺炎疫情牵动全国人民的心某社区积极组织社区居民为疫情地区的人民献爱心活动为了解该社区居民捐款情况，对社区部分捐款户数进行分组统计（统计表如下），数据整理成如图所示的不完整统计图已知A、B两组捐款户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．
捐款分组统计表
组别 捐款额（x）元
A
B
C
D
E
（1）A组的频数是多少？本次调查样本的容量是多少？
（2）求出C组的频数并补全直方图；
（3）若该社区有500户住户，请估计捐款不少于300元的户数是多少？
【答案】（1）解：A组的频数是：（10÷5）×1=2，
调查样本的容量是：（10+2）÷（1-40%-28%-8%）=50；
（2）解：C组的频数是：50×40%=20，
（3）解：估计捐款不少于300元的户数是：
500×（28%+8%）=180户．
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图，条形统计图和统计表中的数据计算求解即可；
（2）先求出 C组的频数是20，再补全条形统计图即可；
（3）根据该社区有500户住户，计算求解即可。
36．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）.
（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；
（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；
（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值.
【答案】（1）解：∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，
∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，
∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，
（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，
∴方程②的根为x1＝，x2＝；
（2）解：∵方程①有一根为x＝r，
∴r2+br+a＝0，
两边同除r2得+1＝0，
∴是方程ax2+bx+1＝0的根，
∴x＝是方程②的根；
（3）解：∵a2b+b＝0，
∴b＝0，
∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，
∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，
∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，
∴ms＝nt，
∴＝1.
【解析】【分析】（1）根据根与系数的关系可得x1+x2=5=-b，x1x2=6=a，据此可得a、b的值，然后代入方程中，利用因式分解法就可求出方程②的根；
（2）将x=r代入方程②中可得 +1＝0，进而可得方程的另一根；
（3）由已知条件可知b＝0，根据根与系数的关系可得m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，然后表示出a、m、s，据此求解.
37．已知一元二次方程mx2＋nx－(m＋n)＝0．
（1）试判断方程根的情况．
（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1 x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵一元二次方程mx2＋nx (m＋n)＝0，
∴Δ＝n2 4m×[ (m＋n)]＝(n＋2m)2≥0，
∴该方程有两个实数根
（2）解：将n＝1代入方程mx2＋nx (m＋n)＝0，得mx2＋x (m＋1)＝0，
∵方程的两根x1，x2满足x1 x2＞1，
∴x1 x2＝ ＞1，
当m＜0时，可得 ＜m＜0，
即m的取值范围是 ＜m＜0．
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程判别式列式，结合完全平方公式的非负性，即可判断方程根的情况；
(2) 将n=1代入原方程，根据一元二次方程根与系数关系，求出x1x2> 1，结合不等式的性质求解，即可得到结果.
38．如图，直线 ，点 ， 分别在直线 ， 上，连接 交直线 于 点， .
（1）尺规作图：在直线 上从左到右依次确定 ， 两点，使得四边形 是矩形(保留作图痕迹，不必写作法及证明)；
（2）在（1）的情况下，若 ， ，求矩形 的周长.
【答案】（1）解：以点E为圆心，AE为半径画圆，与 的两个交点即为B、D，顺次连接四点可得矩形ABCD，画图结果如下所示：（理由：对角线相等且互相平分且相等的四边形是矩形）
（2）解： ，
是等边三角形
又
故矩形 的周长为： .
【解析】【分析】（1）以点E为圆心，AE为半径画圆，与l2的两个交点即为B、D，顺次连接四点可得矩形ABCD；
（2）易得△ABE是等边三角形，则AB=AE=4，利用勾股定理求出AD，进而可得矩形ABCD的周长.
39．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥AC，且，连接EC、ED．
（1）求证：四边形BECO是矩形；
（2）若AC＝2，∠ABC＝60°，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，
∵BE＝ AC，
∴BE＝OC，
∵BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形，
∵∠BOC＝90°，
∴四边形BECO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝2，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝2，
由（1）得：四边形BECO是矩形，
∴BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，
在Rt△DBE中，由勾股定理得：
DE＝＝＝．
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得∠BOC＝90°，OC＝OA＝AC，结合已知条件可得BE＝OC，然后根据矩形的判定定理进行证明；
（2）根据菱形的性质可得AC⊥BD，OB＝BD，OC＝AC＝1，AB＝BC，结合∠ABC＝60°可得△ABC是等边三角形，则BC＝AC＝2，利用勾股定理可得OB，然后求出BD，根据矩形的性质可得BE＝OC＝1，∠DBE＝90°，然后利用勾股定理计算即可.
40．我市在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查.其中A，B两小区分别有300名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：
（信息一）A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：
（信息二）上图中，从左往右第四组的成绩如下：
75 75 79 79 79 79 80 80
81 82 82 83 83 84 84 84
（信息三）A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：
小区 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
A 75.1 x 79 40% 277
B 75.1 77 76 45% 211
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： 　 　；
（2）请估计A小区300名居民成绩能超过平均数的人数.
（3）请从两个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况.
【答案】（1）75
（2）解：根据题意得，300× =144（人），
答：A小区300名居民成绩能超过平均数的人数144人
（3）解：从平均数、中位数、众数、优秀率、方差等方面，选择合适的统计量进行分析，如：
①从平均数看，两个小区的平均数都是75.1，说明这两个小区居民对于垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；
②从方差看， ， ， ，说明A小区的居民之间对垃圾分类知识的掌握差异情况比B小区居民大；
③从中位数看，B小区的中位数是77， ，说明B小区至少有一半的居民成绩高于平均数.
【解析】【解答】解：（1）因为有50名居民，中位数应为第25名和第26名成绩的平均值.
而前三组的总人数为：4+8+12=24（人），所以中位数落在第四组，
第25名的成绩为75分，第26名的成绩为75分，所以中位数为x=75，
故答案为：75；
【分析】（1）将这50数据按从小到大排列后，排第25与26两个位置的数的平均数就是这组数据的中位数；
（2）通过样本来估算整体，用该小区居民的总户数乘以样本中成绩超过平均数的人数所占的百分比即可估算出A小区300名居民成绩能超过平均数的人数 ；
（3） 对数据整体进行分析一般采用从平均数、中位数、众数、优秀率、方差等方面进行分析.
41．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）若∠BAE=30°，AE=3，求菱形ABCD的周长．
（2）作AF⊥CD于点F，连结EF，BD，求证：EF∥BD．
（3）设AE与对角线BD相交于点G，若CE=4，BE=8，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1-S2是的值．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE=30°
∴BE= AB，BE2+AB2=AB
∵AE=3
∴( AB)2+32=AB2
∴AB=2
∴菱形ABCD的周长为2 ×4=8
（2）解：法一：∵菱形ABCD
∴∠ABC=∠ADF，AB=AD=BC=CD
∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴∠AEB=∠AFD=90°
∴△ABE≌△ADF
∴BE=DF
∴CE=CF
∵BC=CD
∴∠CEF=∠CBD=
∴EF∥BD
法二：∵菱形ABCD
∴BC=CD
∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴∠AEC=∠AFC=90°
S菱形ABCD=BC·AE=CD·AF
∴AE=AF
∴∠AEF=∠AFE
∴∠CEF=∠CFE
∵BC=CD
∴∠CEF=∠CBD=
∴EF∥BD
（3）解：连结CG
∵菱形ABCD
∴AD=CD，∠ADB=∠CDB
又∵DG=DG
∴△ADG≌△CDG
∴AG=CG，△ADG与△CDG的面积相等
∴S1-S2=S△CGE
∵CE=4，BE=8
∴AB=BC=12
∵AE⊥BC
∴AE=
设EG=x，则AG=CG= -x
∵AE⊥BC
∴x2+42=( -x)2
解得x= ，即EG=
∴S1-S2=S△CEG= ×4× =
【解析】【分析】（1）利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可得到BE= AB，再利用勾股定理，建立关于AB的方程，解方程求出AB的值，继而可求出菱形的周长。
（2）根据菱形的性质，∠ABC=∠ADF，AB=AD=BC=CD，再利用垂直的定义，可得∠AEB=∠AFD，然后利用全等三角形的判断和性质可证得BE=DF，可推出CE=CF，利用等腰三角形的性质，去证明 ∠CEF=∠CBD，然后利用平行线的判定，可证得结论。
（3）连结CG，利用菱形的性质易证AD=CD，∠ADB=∠CDB，再证明△ADG≌△CDG，利用相似三角形的性质，可知AG=CG，△ADG与△CDG的面积相等，可得到S1-S2=S△CGE，利用勾股定理分别求出AE、EG的长，然后利用三角形的面积公式，就可求出结果。
42．某学校跳绳活动月即将开始，其中有一项为跳绳比赛，体育组为了了解七年级学生的训练情况，随机抽取了七年级部分学生进行1分钟跳绳测试，并将这些学生的测试成绩(即1分钟的个数，且这些测试成绩都在60~180范围内)分段后给出相应等级，具体为：测试成绩在50~90范围内的记为D级，90～120范围内的记为C级，120~150范围内的记为B级，150~180范围内的记为A 级.现将数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图，其中在扇形统计图中A级对应的圆心角为90°，请根据图中的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，求A级所占百分比；
（2）在这次测试中，求一共抽取学生的人数，并补全频数直方图；
（3）在扇形统计图中，求D级对应的圆心角的度数.
【答案】（1）解：∵A级所在扇形的圆心角的度数为90°，
∴A级所占百分比为
（2）解：∵A级有25人，占25%，
∴抽查的总人数为25÷25%=100(人)，
∴D级有100-20-40-25=15(人)，补全的频数直方图如图所示.
（3）解： 级对应的圆心角为： ，
即 级对应的圆心角的度数为 .
【解析】【分析】（1）由A级对应的圆心角的度数除以360°再乘以100%，可以求得A级所占百分比；
（2）根据A级对应的圆心角的度数和对应的频数，可以求得本次调查的总人数，然后用总人数减去A、B、C级的人数，即可求得D级的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据频数分布直方图中的数据，先求得D级所占的百分比，再乘以360°，即可计算出D级对应的圆心角的度数.
43．如图，已知 为坐标原点，四边形 为长方形， ，点 是 的中点，点 在线段 上运动.
（1）写出点 的坐标；
（2）当 是腰长为5的等腰三角形时，求点 的坐标.
【答案】（1）解：∵四边形 为长方形，
∴BC=OA=10，AB=OC=4
∴A（10，0），B（10，4），C（0，4）；
（2）解：∵点 是 的中点，
∴OD=
①当 时，过点P作PE⊥OA于E，PE垂直平分
此时OE= ，PE=OC=4
，不符合题意，舍去；
②当OP= =5时， 点就是以点 为圆心，以5为半径画弧与 的交点，
在 中， ，
则 的坐标是（3，4）；
③当DP= =5时， 点就是以点 为圆心，以5为半径的弧与 的交点，此时点P有两种情况，过 作 于点 ，
在 中， ，
当 在 的左边时， ，
则 的坐标是（2，4）；
当 在 的右侧时， ，
则 的坐标是（8，4），
故 的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）.
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得BC=OA=10，AB=OC=4，从而求出各点坐标；
（2）先求出OD，然后根据等腰三角形腰的情况分 ①当 时， ②当OP= =5时 ， ③当DP= =5时 三 类讨论，分别利用三线合一、勾股定理等知识即可分别求出结论.
44．如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动；同时点F从点B出发沿射线以的速度运动．连接，设运动时间为．
（1）试求当t为何值时，与互相平分；
（2）试求当t为何值时，四边形是菱形．
【答案】（1）解：①当点F在C的左侧时，连接AF、CE，根据题意得：
，，则，
又∵与互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∴，即：，；
②当点F在C的右侧时，与不相交，不符合题意，
综上可得：当时，与互相平分．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，即．
【解析】【分析】（1） 分两种情况：①当点F在C的左侧时，连接AF、CE，可得，，则， 由与互相平分，可证四边形是平行四边形，可得AE=CF，据此建立方程并解之即可；② 当点F在C的右侧时，与不相交，不符合题意；
（2）由菱形的性质可得AC=AE=9，继而得解.
45．如图，已知，P为BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C，D与点B在AP两侧，连接DP，在线段DP上取一点E，使，直线CE与线段AP，AB分别相交于点M，F（点F与点A、B不重合），
（1）求证：；
（2）分别判断CF与AB，CF与BG的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形APCD为正方形，
∴DP平分∠APC，PC＝PA，
∴∠APD＝∠CPD＝45°．
又∵PE＝PE，
∴△AEP≌△CEP（SAS）；
（2）解：CF⊥AB，CF∥BG，理由如下：
∵△AEP≌△CEP，
∴∠EAP＝∠FCP．
∵∠EAP＝∠BAP，
∴∠FCP＝∠BAP．
∵∠FCP＋∠CMP＝90°，∠AMF＝∠CMP，
∴∠AMF＋∠PAB＝90°．
∴∠AFM＝90°，
∴CF⊥AB．
又∵，
∴CF∥BG．
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得PC＝PA，∠APD＝∠CPD＝45°，根据SAS证明△AEP≌△CEP ；
（2）CF⊥AB，CF∥BG，理由：由△AEP≌△CEP可得∠EAP＝∠FCP，利用三角形内角和及对顶角相等可求出∠AFM=∠MPC＝90°， 即得CF⊥AB，由BG⊥AB可得CF∥BG.
46．在菱形 中， .
（1）如图1，点 为线段 的中点，连接 ， .若 ，求线段 的长.
（2）如图2， 为线段 上一点（不与 ， 重合），以 为边向上构造等边三角形 ，线段 与 交于点 ，连接 ， ， 为线段 的中点.连接 ， 判断 与 的数量关系，并证明你的结论.
（3）在（2）的条件下，若 ，请你直接写出 的最小值.
【答案】（1）解：如图1，
连接BD，则BD平分∠ABC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC=120°，
∴∠ABD= ∠ABC=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=4，
∵E是AB的中点，
∴DE⊥AB，
由勾股定理得：DE= ，
∵DC∥AB，
∴∠EDC=∠DEA=90°，
在Rt△DEC中，DC=4，
EC=
（2）解：如图2，
延长CD至H，使DH=CD，连接NH、AH，
∵AD=CD，
∴AD=DH，
∵CD∥AB，
∴∠HDA=∠BAD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴AH=AD，∠HAD=60°，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，∠NAM=60°，
∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM，
∴∠HAN=∠DAM，
在△ANH和△AMD中，
∴△ANH≌△AMD（SAS），
∴HN=DM，
∵D是CH的中点，Q是NC的中点，
∴DQ是△CHN的中位线，
∴HN=2DQ，
∴DM=2DQ.
（3）DM+CN的最小值为2.
【解析】【解答】解：（3）如图2，由（2）知，HN=DM，
∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，
即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，
此时，点D和点Q重合，
即：CN+DM的最小值为CH，
如图3，
由（2）知，△ADH是等边三角形，
∴∠H=60°.
∵AC是菱形ABCD的对角线，
∴∠ACD= ∠BCD= ∠BAD=30°，
∴∠CAH=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ACH中，CH= =2，
∴DM+CN的最小值为2.
【分析】（1）如图1，连接对角线BD，先证明△ABD是等边三角形，根据E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的长；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADH是等边三角形，再由△AMN是等边三角形，得条件证明△ANH≌△AMD（SAS），则HN=DM，根据DQ是△CHN的中位线，得HN=2DQ，由等量代换可得结论.（3）先判断出点N在CD的延长线上时，CN+DM最小，最小为CH，再判断出∠ACD=30°，即可用三角函数求出结论.
47．如图，在长方形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm、s的速度移动.如果P、Q同时出发，用 (秒)表示移动的时间，那么：
（1）如图1，当 为何值时，△QAP为等腰直角三角形
（2）如图2，当 为何值时，△QAB的面积等于长方形面积的
（3）如图3，P、Q到达B、A后继续运动，P点到达C点后都停止运动.当 为何值时，线段AQ的长等于线段CP的长的一半
【答案】（1）解：由题可知：DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，
∵△QAB的面积= （6-t）×12，
依题意得： （6-t）×12= ×6×12，
解得：t=3
（2）解：由题可知：DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，AP=2tcm，
使△QAP为等腰三角形，
∴AQ=AP，
6-t=2t
解得t=2
（3）解：由题可知：AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，
依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半，
∴t-6= （18-2t），
解得：t=7.5
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，根据三角形的面积列方程即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论；（3）根据已知条件得到AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半，列方程即可得到结论．
48．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点（点E，F不与端点重合），且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）线段AF与BE的数量关系为　 　，位置关系为　 　．
（2）若，AE=2，求线段BH的长．
（3）如图②，连接CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，求的值．
【答案】（1）AF=BE；
（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB=90°，，AE=2，
∴，
∵S△ABE=AB AE=BE AP，
∴，
在Rt△ABP中，，
∵∠APB=∠ABC=90°， CH⊥BE，
∴∠ABP+∠HBC=90°，∠HCB+∠HBC=90°，∠CHB=90°，
∴∠ABP=∠HCB，
又∵AB=BC，
∴△ABP≌△BCH（AAS），
∴BH=AP=，
（3）解：在正方形ABCD中，AB=BC，，
∴ ∠CBP=∠QEP，
∵CH⊥BP，点H是BP的中点，
∴PH=BH， CP=BC，
∴∠CBP=∠CPB，
∵∠CPB=∠QPE，
∴∠QPE=∠QEP，
∵
∴∠QAP=∠QPA，
∴QE=QP=QA，
在四边形QABC中，设QP=a，CP=b， 则AB=BC=b，AQ=a，QC=a+b，
∵DC2+DQ2=CQ2，
∴b2+（b-a）2=（a+b）2，
∴b2=4ab， 即b=4a，
∴CP：PQ=4．
【解析】【解答】解：（1）AF=BE，AF⊥BE， 理由：
在正方形ABCD中，AB=DA，∠EAB=∠D=90°，
又∵AE=DF，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，BE=AF，
又∵∠DAF+∠FAB=∠EAB=90°，
∴∠ABE+∠FAB=90°，
∴∠APB=90°，
∴AF⊥BE，
故答案为：AF=BE，AF⊥BE；
【分析】（1）先证出△ABE≌△DAF（SAS），再利用全等三角形的性质求解即可；
（2）根据S△ABE=AB AE=BE AP，求出，再证出△ABP≌△BCH（AAS），可得BH=AP=；
（3）设QP=a，CP=b， 则AB=BC=b，AQ=a，QC=a+b， 利用勾股定理可得DC2+DQ2=CQ2， 将数据代入可得b2+（b-a）2=（a+b）2， 求出b2=4ab， 即b=4a， 再求出CP：PQ=4即可。
49．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，已知 ，这时我们把关于x的形如 二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程” ，必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△ABC的面积.
【答案】（1）解：当a=3，b=4，c=5时，
勾系一元二次方程为
（2）证明：依题意得△=（ ）2-4ab=2c2-4ab，
∵a2+b2=c2，∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，
即△≥0，故方程必有实数根
（3）解：把x=-1代入得a+b= c
∵四边形ACDE的周长是6 ，
即2(a+b)+ c=6 ，故得到c=2，
∴a2+b2=4，a+b=2
∵(a+b)2=a2+b2+2ab
∴ab=2，
故△ABC的面积为 ab=1.
【解析】【分析】（1）由勾股定理和勾股数的意义可求解；
（2）根据一元二次方程的根的判别式计算b2-4ac的值，并结合勾系方程的意义即可求证；
（3）由题意把x=-1代入原方程可求得a+b=c，根据四边形的周长等于四边之和可得关于c的方程，解方程可求得c的值，则a+b的值可求解，结合完全平方公式可求得ab的值，则S△ABC=ab可求解.
50．已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB、OA为边作矩形OBCA，点E、H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处．
（1）如图1，求证：四边形OECH是平行四边形；
（2）如图2，当点B运动到使得点F、G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由；
（3）当点B运动到使得点F，G将对角线OC三等分时，如图3，如图4，分别求点B的坐标．
【答案】（1）证明：如图1，
∵四边形OBCA为矩形，
∴OB∥CA，BC∥OA，
∴∠BOC=∠OCA，
又∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，
∴∠EOC=∠OCH，
∴OE∥CH，
又∵BC∥OA，
∴四边形OECH是平行四边形；
（2）解：点B的坐标是（0， ）；四边形OECH是菱形．理由如下：如图2，∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，∴∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，∵点F，G重合，∴EH⊥OC，又∵四边形OECH是平行四边形，
∴平行四边形OECH是菱形， ∴EO=EC，
∴∠EOC=∠ECO，又∵∠EOC=∠BOE，∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，又∵点A的坐标是（5，0），∴OA=5，∴BC=5，在Rt△OBC中，OB= BC= ，∴点B的坐标是（0， ）；
（3）解：①当点F在点O，G之间时，如图3，∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，∴OF=OB，CG=CA，而OB=CA，∴OF=CG，∵点F，G将对角线OC三等分，∴AC=OF=FG=GC，设AC=m，则OC=3m，在Rt△OAC中，OA=5，∵AC2+OA2=OC2，∴m2+52=（3m）2，解得m= ，∴OB=AC= ，∴点B的坐标是（0， ）；
②当点G在O，F之间时，如图4，
同理可得OF=CG=AC，设OG=n，则AC=GC=2n，在Rt△OAC中，OA=5，∵AC2+OA2=OC2，∴（2n）2+52=（3n）2，解得n= ，∴AC=OB=2 ，∴点B的坐标是（0，2 ）．
【解析】【分析】（1）如图1，根据矩形的性质得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行线的性质得∠BOC=∠OCA，然后根据折叠的性质得到∠BOC=2∠EOC，∠OCA=2∠OCH，故∠EOC=∠OCH，根据平行线的判定定理得OE∥CH，又BC∥OA，于是可根据平行四边形的判定方法得四边形OECH是平行四边形；
（2）如图2，先根据折叠的性质得∠EFO=∠EBO=90°，∠CFH=∠CAF=90°，由点F，G重合得到EH⊥OC，根据菱形的判定方法得到平行四边形OECH是菱形，则EO=EC，根据等边对等角得∠EOC=∠ECO，而∠EOC=∠BOE，根据三角形内角和定理可计算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°，在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OB ，从而得出B点的坐标；
（3）分类讨论：①当点F在点O，G之间时，如图3，根据折叠的性质得OF=OB，CG=CA，则OF=CG，故AC=OF=FG=GC，设AC=m，则OC=3m，在Rt△OAC中，根据勾股定理得出方程，解方程得m的值，从而找到OA=AC的长，得出B点坐标；
②当点G在O，F之间时，如图4，同理可得OF=CG=AC，设OG=n，则AC=GC=2n，在Rt△OAC中，OA=5，根据勾股定理得出方程，解出方程即得出AC=OB的长，进而得出B点的坐标。
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