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湘教版2024—2025学年七年级下册期末模拟真题培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将图中的叶子平移后，可以得到的图案是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　）
A． B．
C． D．
3．若与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　）
A．3 B． C．0 D．2
4．已知数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）.
A． B．3 C． D．
5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
6．若2x+5y﹣3=0，则4x 32y的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C． D．﹣
7．如图所示，点P到直线l的距离是（　　）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
8．如图，在四边形 中，要得到 ，只需要添加一个条件，这个条件可以是（　　）
A． B．
C． D．
9．下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（　　）
A．a二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的算术平方根是5，则的立方根是　 　．
12．如图，直线m平移后得到直线n，若，则的度数为　 　．
13．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么　 　．
14．若a＜ ＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为　 　．
15．在中，，，将绕点按逆时针旋转，旋转角为（）得到，与对应，与对应，则线段长度的取值范围为　 　．
16．对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？"为一次操作．如果操作进行了两次就停止，则x的取值范围是　 　
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，．
（1）求的值；
（2）将长方形和长方形如图所示放置，，，、的长分别为、的一半，求图中阴影部分的面积．
18．2023年是农历癸卵年（兔年），兔子生肖挂件成了2023年的热销品．某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件，已知A型号兔子挂件每件的进价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件4件和B型号兔子挂件5件共需330元．
（1）该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定价为60元，40元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过600元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
19．已知实数a的平方根为，，的整数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）若的小数部分为c，求的平方根．
20．“直播带货，助农增收”．前不久，一场由央视携手部分直播平台，以“秦晋之‘好’，晋陕尽美”为主题的合作直播，将我市的部分农产品推向网络，助农增收．已知购买2袋大同黄花、3袋阳高杏脯，共需130元；购买1袋大同黄花、2袋阳高杏脯，共需80元．
（1）求每袋大同黄花和每袋阳高杏脯各多少元；
（2）某公司根据实际情况，决定购买大同黄花和阳高杏脯共400袋，要求购买总费用不超过10000元，那么至少购买多少袋大同黄花？
21．已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数
（1）求 的取值范围
（2）化简：
22．如图，已知AB∥CD.直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB.
（1）若∠B＝20°，求∠DFH的度数；
（2）求证：FH平分∠GFD.
23．光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行.如图标注有∠1 ∠8共8个角，其中已知∠1=64°，∠7=42°.
（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；
（2）直接写出 的度数.
24．如图，已知直线//，点M在直线AB，CD之间，且//．
（1）如图1，若，，请用、表示；
（2）如图2，NB、PN所在直线分别平分、，且//，，求的值．
25．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点．
（1）如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；
（2）如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．
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湘教版2024—2025学年七年级下册期末模拟真题培优卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将图中的叶子平移后，可以得到的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向，
将所示的图案通过平移后可以得到的图案是A，
其它三项皆改变了方向，故错误．
故选：A．
【分析】
平移不改变图形的形状与大小，且对应点的连线平行且相等，或在同一条直线上．
2．如图在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2-b2，
第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
由面积相等可知，a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：A.
【分析】利用大正方形的面积-小正方形的面积表示第一个图形阴影部分的面积，根据矩形的面积计算方法表示出第二个图形阴影部分的面积，由两个图形阴影部分的面积相等即可得出结论.
3．若与的乘积中不含x的一次项，则实数m的值为（　　）
A．3 B． C．0 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵
∵与的乘积中不含x的一次项，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算得到然后结合题意"与的乘积中不含x的一次项"，据此可得到：进而即可求解.
4．已知数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　）.
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
.
故答案为：D.
【分析】根据数a的位置可得-10、a-1<0，然后根据绝对值的性质以及合并同类项法则化简即可.
5．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④
【答案】C
【解析】【分析】此题在于考查同位角的概念，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角，所以①②④符合要求．
【解答】图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点评】判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
6．若2x+5y﹣3=0，则4x 32y的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C． D．﹣
【答案】A
【解析】【解答】解：4x 32y=22x 25y
=22x+5y
=23
=8，
故答案为：A．
【分析】根据同底数幂的乘法法则进行计算即可．
7．如图所示，点P到直线l的距离是（　　）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【答案】B
【解析】【解答】解：∵PB⊥直线l于点B
∴点P到直线l的距离是线段PB的长度
故答案为：B
【分析】根据点到直线的距离（直线外一点到这条直线的垂线段的长度）的定义，即可求解。
8．如图，在四边形 中，要得到 ，只需要添加一个条件，这个条件可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A不可以；∵∠1=∠3，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)，
不能得出AB∥CD，
∴A不可以；
B可以；
∵∠2=∠4，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)；
∴B可以；
C、D不可以；
∵∠B=∠D，不能得出AB∥CD；
∵∠1+∠2+∠B=180°，
∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)，
不能得出AB∥BC；
∴C、D不可以；
故选：B.
9．下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【解析】【解答】解：∵负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，∴①错误；
∵一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个，∴②错误；
∵一个负数有一个负的立方根，∴③错误；
即正确的个数是0个，
故选A．
【分析】根据负数没有平方根，一个正数有两个平方根，0只有一个平方根是0，一个正数的算术平方根只有一个，即可判断①、②；根据一个负数有一个负的立方根，即可判断③．
10．已知a=833，b=1625，c=3219，则有（　　）
A．a【答案】C
【解析】【解答】解：∵a=833=299，b=1625=2100，c=3219=295，
295<299<2100，
c故答案为：C.
【分析】观察a、b、c所表示的幂，底数均为2的的倍数，根据幂的乘方运算法则将它们分别表示为以2为底数的幂，再比较大小即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知的算术平方根是5，则的立方根是　 　．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵的算术平方根是5，
∴，解得：，
∴，
∴的立方根是．
故答案为：4
【分析】根据算术平方根求出x的值，再将x=13代入计算即可。
12．如图，直线m平移后得到直线n，若，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作直线l平行于直线m，
由平移的性质得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行公理及平行线的性质，即可得出∠1、∠2、∠3之间的数量关系，从而求得答案.
13．用“*”表示一种新运算：对于任意正实数a，b都有．例如，那么　 　．
【答案】23
【解析】【解答解：，
故答案为：23．
【分析】首先根据新运算的定义转化成常规运算，再化简二次根式，然后再进行加法运算即可。
14．若a＜ ＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为　 　．
【答案】11
【解析】【解答】解：∵5＜ ＜6，
∴a=5，b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：11．
【分析】根据5＜ ＜6，可得出a、b的值，从而求出a+b的值。
15．在中，，，将绕点按逆时针旋转，旋转角为（）得到，与对应，与对应，则线段长度的取值范围为　 　．
【答案】
【解析】【解答】由题意可知：点E在以C为圆心BC为半径的圆上，如下图：
当点A、E、C在同一直线上且点E在AC之间时，AE存在最小值，
此时
当点A、E、C在同一直线上且点E在线段AC的延长线上时，AE存在最大值，
此时
∴线段AE长度的取值范围为： ，
故答案为： .
【分析】根据题意可知：点E在以C为圆心BC为半径的圆上，当点A，点E，点C在同一条直线上时，AE存在最大和最小值，计算出其值即可.
16．对一个实数x 按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“结果是否大于88？"为一次操作．如果操作进行了两次就停止，则x的取值范围是　 　
【答案】29.5＜x≤49
【解析】【解答】解：前2次操作的结果为2x-10
2（2x-10）-10=4x-30
∵操作两次才能得到输出值
∴
∴29.5＜x≤49
【分析】表示出第一次的输出结果，再由第二次输出的结果即可得到不等式，解出不等式即可。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知，．
（1）求的值；
（2）将长方形和长方形如图所示放置，，，、的长分别为、的一半，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：整理原式，
把，，代入中，
所以；
（2）解：因为，，、的长分别为、的一半，
所以，，
图中阴影部分的面积，
所以把，，，代入上式，
即，
由（1）知，，
所以，
所以图中阴影部分的面积为．
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式整理原式得到，进而将，代入即可求解；
（2）先根据题意得到，，进而得到图中阴影部分的面积，再将，，，代入，进而由（1）知，，然后结合题意即可求解。
18．2023年是农历癸卵年（兔年），兔子生肖挂件成了2023年的热销品．某商店准备购进A，B两种型号的兔子挂件，已知A型号兔子挂件每件的进价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件4件和B型号兔子挂件5件共需330元．
（1）该商店购进A，B两种型号的兔子挂件进价分别为多少元？
（2）该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定价为60元，40元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过600元，则A型号兔子挂件至少要购进多少件？
【答案】（1）解：设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价元，
根据题意得：，
解得，
∴，
即A型号兔子挂件每件进价45元，则B型号兔子挂件每件进价30元；
（2）解：设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件件，
则，
解得，
因此A型号兔子挂件至少要购进21件．
【解析】【分析】（1）设A型号兔子挂件每件进价x元，则B型号兔子挂件每件进价元，根据“A型号兔子挂件每件的进价比B型号兔子挂件高15元，购进A型号兔子挂件4件和B型号兔子挂件5件共需330元”即可列出一元一次方程，进而即可求解；
（2）设购进A型号兔子挂件m件，则购进B型号的兔子挂件件，根据“该商店计划购进A，B两种型号的兔子挂件共50件，且A，B两种型号的兔子挂件每件售价分别定价为60元，40元，假定购进的兔子挂件全部售出，若要商店获得的利润超过600元”即可列出不等式，进而即可求解。
19．已知实数a的平方根为，，的整数部分为b．
（1）求a，b的值；
（2）若的小数部分为c，求的平方根．
【答案】（1）解：∵实数a的平方根为，，
∴，
解得，
∴，
即，
∵的整数部分为b，
∴；
（2）解：∵b，c分别是的整数部分和小数部分，
∴，
∴，
平方根为．
【解析】【分析】（1）先根据平方根的定义即可求出x，进而得到a，再根据无理数的大小估算即可得到b；
（2）根据题意即可得到，进而代入即可求值，再根据平方根即可求解。
20．“直播带货，助农增收”．前不久，一场由央视携手部分直播平台，以“秦晋之‘好’，晋陕尽美”为主题的合作直播，将我市的部分农产品推向网络，助农增收．已知购买2袋大同黄花、3袋阳高杏脯，共需130元；购买1袋大同黄花、2袋阳高杏脯，共需80元．
（1）求每袋大同黄花和每袋阳高杏脯各多少元；
（2）某公司根据实际情况，决定购买大同黄花和阳高杏脯共400袋，要求购买总费用不超过10000元，那么至少购买多少袋大同黄花？
【答案】（1）解：设每袋大同黄花x元，每袋阳高杏脯y元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：每袋大同黄花20元，每袋阳高杏脯30元
（2）解：设购买大同黄花a袋，则购买阳高杏脯（400﹣a）袋，
根据题意，得：20a+30（400﹣a）≤10000，
解得：a≥200，
答：至少购买200袋大同黄花．
【解析】【分析】（1）根据买2袋大同黄花、3袋阳高杏脯，共需130元；购买1袋大同黄花、2袋阳高杏脯，共需80元，列方程组求解即可；
（2）根据购买总费用不超过10000元，列不等式即可求解。
21．已知方程组 的解满足 为非正数， 为负数
（1）求 的取值范围
（2）化简：
【答案】（1）解：解方程组
得
由已知得：
解不等式组得：
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）先求出方程组的解，根据x为非正数，y为负数，组成不等式组，解不等式组，即可解答；（2）根据m的取值范围，绝对值的性质化简，即可解答.
22．如图，已知AB∥CD.直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，∠EFB＝∠B，FH⊥FB.
（1）若∠B＝20°，求∠DFH的度数；
（2）求证：FH平分∠GFD.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∠B＝20°，
∴∠B＝∠BFD＝20°，
∵FH⊥FB，
∴∠BFH＝90°，
∴∠DFH＝∠BFH﹣∠BFD＝70°
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠EFB＝∠B，
∴∠EFB＝∠BFD，
∵∠BFH＝90°，
∴∠BFD+∠DFH＝90°，∠GFH+∠BFE＝90°，
∴∠DFH＝∠GFH，
∴FH平分∠GFD.
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠B＝∠BFD＝20°，由垂线的性质可得∠BFH＝90°，即可求解；（2）由平行线的性质可得∠B＝∠EFB＝∠BFD，由余角的性质可得∠DFH＝∠GFH，可得结论.
23．光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行.如图标注有∠1 ∠8共8个角，其中已知∠1=64°，∠7=42°.
（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；
（2）直接写出 的度数.
【答案】（1）解：如图，
由题意可得AC∥BD，AB∥CD，CD∥EF，
∴同位角有∠1与∠2，∠3与∠4；
内错角有∠5与∠7；
同旁内角有：∠1与∠3
（2）∠2=64°，∠3=116°，∠6=42°，∠8=138°.
【解析】【解答】解：（2）由（1）得∠1和∠2为同位角，∠1和∠3为同旁内角，
∴∠1=∠2=64°，∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-64°=116°，
由题意可得CD∥EF，
∴∠5=∠7，∠5=∠6，∠6+∠8=180°，
∴∠6=42°，
∴∠8=180°-∠6°=138°.
【分析】（1）根据同位角，内错角，同旁内角的定义写出角即可；
（2）根据平行线的性质即可求出 的度数.
24．如图，已知直线//，点M在直线AB，CD之间，且//．
（1）如图1，若，，请用、表示；
（2）如图2，NB、PN所在直线分别平分、，且//，，求的值．
【答案】（1）解：AB∥CD，MN∥CD，∴AB∥CD∥MN，∴∠C＋∠CMN＝180°，∠NMB＝∠B，∴∠CMN＝180° ∠C．∴∠CMB＝∠CMN＋∠NMB＝180° ∠C＋∠B＝180° α＋β．
（2）解：∵NB、PN所在直线分别平分∠ABM、∠DCM，且CM∥NB，∴∠ABN＝∠NBM＝∠CMP，∠DCP＝∠MCP，∵∠P＝90°，∴∠CMP＋∠MCP＝90°，设：∠DCP＝∠MCP＝x，则∠ABN＝∠NBM＝∠CMP＝90°＋x，由（1）知：∠P＝180° ∠ABP＋∠DCP，∴90°＝180° 2（90° x）＋x，解得：x＝30°，则：∠ABM＝120°，∠CMB＝60°，∠DCM＝120°，∴∠DCM：∠CMB：∠ABM＝1：2：2．
【解析】【分析】（1）先求出 AB∥CD∥MN，再求出∠CMN＝180° ∠C ，最后求解即可；
（2）利用平行线的判定与性质，列方程求解即可。
25．已知直线l1∥l2，直线l3与l1、l2分别交于C、D两点，点P是直线l3上的一动点．
（1）如图①，若动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中是否始终具有∠3+∠1＝∠2这一相等关系？试说明理由；
（2）如图②，当动点P在线段CD之外且在CD的上方运动（不与C、D两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由．
【答案】（1）解：∠3+∠1=∠2成立．
如图①，作PE∥l1，
∴∠APE=∠1，
∵ l1∥l2， PE∥ l1，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠3，
∴∠2=∠APE+∠BPE=∠1+∠3；
（2）解：∠3+∠1=∠2不成立，新的结论为∠3-∠1=∠2．
如图②，作PE∥l1，
∴∠APE=∠1，
∵ l1∥l2， PE∥ l1，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠3，
∴∠2=∠BPE-∠APE=∠3-∠1.
【解析】【分析】 (1) 过点P作PE∥l1，根据两直线平行内错角相等得到∠APE=∠1，根据PE∥l2，再根据两直线平行内错角相等得到∠BPE=∠3，从而得到∠BPE+∠APE=∠2，等量代换即可得出结论；
(2)过点P作PE∥l1，根据两直线平行内错角相等得到∠APE=∠1，根据PE∥l2，再根据两直线平行内错角相等得到∠BPE=∠3，从而得到∠BPE-∠APE=∠2，等量代换即可得出结论.
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