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湘教版2024—2025学年八年级下册期末综合素养提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．5，3，4 D．1，，
2．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
3．如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
4．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　）
A．不断增大 B．不断减小
C．先减小后增大 D．不变
5． 对于函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点
B．y的值随x值的增大而增大
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
6．如图，平行四边形的一边在坐标轴上，点B的坐标为，直线：把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点，则k值为（　　）
A． B． C．3 D．
7．小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了8分钟寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，，，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点在线段上平移至点，连接，与直线分别相交于点，点（如图2），则平行四边形的面积为（　　）
A．12 B． C．25 D．
9．关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（　　）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x＝ 时，y＝1
10．如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F当点E从点A向点D移动过程中（点E与点A、点D不重合），四边形AFCE的形状变化依次是（　　）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则　 　．
12．如图，在平行四边形中，于点，是的中点，是的中点，连接.若，，则的长是　 　.
13．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，那么为　 　．
14．已知直线经过点，则的值是　 　．
15．若点A，B在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是　 　．（填“＞”，“＝”或“＜”）．
16．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当　 　时，以点为顶点的四边形为平行四边形．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知一次函数的图象经过和两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，求的值．
18．如下图，在中，，于点，．
（1）求的面积；
（2）求线段的长．
19．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，则矩形的周长为　 　．
20．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为0.7米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.4米到点A，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB为多少米？
21．如图，已知A及B是正方形ABCD的两个顶点，正方形与x轴相交于点E和点G，与y轴相交于点F和点H.
（1）写出点F、C、G、D的坐标.
（2）图中D点在O点的北偏东的方向上，与O点的距离为.请类似的写出点B、点H分别在O点的什么方向上，以及到O点的距离.
22．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用6400元购进甲种水果的数量与用8000元购进乙种水果的数量一样多．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市根据平常的销售情况确定，购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元．购回后，该超市决定将甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里.
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向.
24．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
25．如图，点 、 分别在矩形 的边上，将矩形 沿直线 向上折叠，使得点 落到点 的位置，点 落到点 的位置，连接 、 ， 交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）若 ， ，求线段 的长．
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湘教版2024—2025学年八年级下册期末综合素养提升卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各组数中，不能作直角三角形三边长的是（　　）
A．4，5，6 B．1，1， C．5，3，4 D．1，，
【答案】A
【解析】【解答】解：A.，不符合勾股定理的逆定理， 不能作直角三角形三边长，正确；
B. 1，1，，满足，符合勾股定理的逆定理，不正确；
C. 5，3，4，满足，符合勾股定理的逆定理，不正确；
D. 1，，，满足，符合勾股定理的逆定理，不正确；
故选：A．
【分析】满足满足勾股定理的逆定理就能作直角三角形三边长 ．
2．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】B
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，
∵M，N分别为，的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的性质知，再在中，应用中位线定理即可得．
3．如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端和，然后把中点向上拉升至点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意可知，，，
∵点是的中点，
∴是等腰三角形，，，
根据平面直角坐标系的特点可知，，
∴在，，
∴，
∴橡皮筋被拉长了，
故答案为：．
【分析】本题的问题是“ 橡皮筋被拉长了多少 ”，即ON+AN的长度比OA 长多少。OA长度是12cm，ON和AN可以利用勾股定理求出，最后作差即可。
4．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　）
A．不断增大 B．不断减小
C．先减小后增大 D．不变
【答案】D
【解析】【解答】解：，为的中点，
，
即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变，
故选：D．
【分析】
由题意知，∠AOB=90°，且P为AB的中点。根据直角三角形斜边上的中线性质，有OP=AB。当竹竿顶端沿墙面下滑时，虽然AB的长度保持不变，但AB与墙面的夹角在变化，然而，由于P始终为AB的中点，OP的长度始终等于AB长度的一半，因此，无论竹竿如何滑动，OP的长度保持不变。
5． 对于函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点
B．y的值随x值的增大而增大
C．当时，
D．它的图象经过第一、二、三象限
【答案】C
【解析】【解答】解：A、把点代入得：右边=-2×(-1)+2=4，左边=2，左边≠右边，A不符合题意；
B、k＜0，y的值随x值的增大而减小，B不符合题意；
C：当y=0时，-2x+2=0，x=1，所以，当时，，C符合题意；
D、它的图象经过第一、二、四象限，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据一次函数的图象及性质对选项进行逐一分析即可求解.
6．如图，平行四边形的一边在坐标轴上，点B的坐标为，直线：把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点，则k值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接交直线于点D，
∵直线把平行四边形的面积分成相等的两部分，
∴点D为中点，
∵点B的坐标为，
∴点D的坐标为，
∴3k+b=1，
∵与x轴交于点E，
∴6k+b=0，
解方程组，得，
故答案为：B．
【分析】先说明D为的中点，再根据B点的坐标求得点D的坐标，连同直线与x轴交点E，得到关于k，b的方程组求解．
7．小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，小明取完包裹后随即原路原速度返回，哥哥花了8分钟寄出一个包裹后原路原速度返回，下面的图象表示小明和哥哥之间的距离与时间之间的关系，其中较合理的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】【解答】解：当两人同时去菜鸟驿站时，小明和哥哥之间的距离为0；
当哥哥寄包裹，小明取完包裹原路返回时，小明和哥哥之间的距离逐渐增加；
当哥哥寄出包裹后原路返回时且小明到家之前，小明和哥哥之间的距离保持不变；
当哥哥原路返回时且小明到家之后，小明和哥哥之间的距离逐渐变小，直到为零，
所以符合这一过程的函数图象为：
故答案为：D．
【分析】此函数图象应该分为4段，第一段，两人一同前往菜乌驿站阶段，小明和哥哥一起同速去离家1600米的菜鸟驿站，因为两人速度相同且方向一致，所以在这段时间内两人之间的距离始终为0，也就是说，从出发开始到到达菜鸟驿站这段时间，距离与时间的图象是一条水平线段，且距离为0；第二段，小明返回，哥哥寄包裹阶段，小明取完包裹后随即原路原速度返回，而哥哥花了8分钟寄出一个包裹，在这8分钟内，小明在往家的方向移动，哥哥原地不动，所以两人之间的距离会随着时间的增加而增大，因此， 图象会从距离为0开始，随着时间的推移，距离逐渐增加；第三段，哥哥开始返回阶段，哥哥寄完包裹后开始原路原速度返回，此时， 小明已经在返回的路上，两人速度相同且方向相同，所以两人之间的距离保持不变，图象会在这段时间内保持水平状态；第四段，小明到达家阶段，当小明到达家时，两人的距离会随时间的增大而减小，因为哥哥还在往家走，两人之间的距离逐渐缩短，直到哥哥也回到家，两人距离为0，图象会从两人距离不变的水平状态开始， 随着小明到达家，距离逐渐减小，综上即可判断得出答案.
8．《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，，，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点在线段上平移至点，连接，与直线分别相交于点，点（如图2），则平行四边形的面积为（　　）
A．12 B． C．25 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图1，设正方形的边长为x，
根据题意得，四边形都是矩形，
∴
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为，
∴平行四边形的面积为，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为x，根据题意易证四边形都是矩形，从而根据矩形的性质可证明，然后根据矩形和正方形的性质得，，，
则有，进而得到关于的方程，解方程求出的值，即可求出正方形的面积，最后根据平行四边形的面积为正方形的面积即可求解.
9．关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（　　）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x＝ 时，y＝1
【答案】C
【解析】【解答】解：A、显然当x=0时，y=0，故图象经过原点，不符合题意；
B、k＜0，应y随x的增大而减小，不符合题意；
C、k＜0，图解经过二、四象限，符合题意；
D、把x= 代入，得：y=-1，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用正比例函数的性质和图形逐项判定即可。
10．如图，平行四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，∠ADB=20°，∠ACB=50°，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F当点E从点A向点D移动过程中（点E与点A、点D不重合），四边形AFCE的形状变化依次是（　　）
A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点O是平行四边形ABCD的对角线得交点，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠ACF=∠CAD，∠ADB=∠DBC=20°
∵∠COF=∠AOE，OA=OC，∠DAC=∠ACF
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ADB=∠DBC=20°，∠ACB=50°，
∴∠AFC＞20°
当∠AFC=80°时，∠FAC=180°-80°-50°=50°
∴∠FAC=∠ACB=50°
∴AF=FC
∴平行四边形AECF是菱形
当∠AFC=90°时，平行四边形AECF是矩形
∴综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先判断出点E在移动过程中，四边形AECF始终是平行四边形，当∠AFC=80°时，四边形AECF是菱形，当∠AFC=90°时，四边形AECF是矩形，即可求解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在n边形中，设的外角的度数为α，与不相邻的个内角的和为β．若，则　 　．
【答案】6
【解析】【解答】解：在n边形中，设的外角的度数为α，
则的度数为，
∵与不相邻的个内角的和为β，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：6．
【分析】由多边形的外角与其相邻的内角互补可得∠A=180°- α ，进而根据多边形的内角和为各个内角的度数之和可得该多边形的内角度数为180°- α+β，再根据多边形内角和公式可得该多边形的内角和为(n-2)×180°，根据用两个不同式子表示同一个量，则这两个式子相等，据此建立方程，求解即可.
12．如图，在平行四边形中，于点，是的中点，是的中点，连接.若，，则的长是　 　.
【答案】5
【解析】【解答】解：连接，相交于点O，连接，，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵F是的中点，G是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
即，
∴是直角三角形，
∴，
故答案为：5
【分析】连接，相交于点O，连接，，先根据平行四边形的性质得到，进而根据三角形中位线定理结合题意得到，，，，再根据垂直结合题意得到是直角三角形，从而根据勾股定理即可求出FG.
13．“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它巧妙利用面积关系证明了勾股定理，如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，若大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，那么为　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵大正方形的面积为17，每个直角三角形面积为4，
∴，
∴（a-b）2=a2-2ab+b2=17-2×8=1.
故答案为：1.
【分析】根据直角三角形的面积为4建立方程ab=4，根据勾股定理及正方形面积等于边长平方可得方程a2+b2=17，再根据完全平方公式得出（a-b）2=a2-2ab+b2，代入进行计算，即可得出答案.
14．已知直线经过点，则的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：将x=1代入得
m=1×-2=-2.
故答案为：-2.
【分析】直接将已知的x代入即可得到答案.
15．若点A，B在一次函数（m是常数）的图象上，则，的大小关系是　 　．（填“＞”，“＝”或“＜”）．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一次函数（m是常数） ，
∴，
∴y随x增大而减小，
∵点A，B在一次函数（m是常数）的图象上，
且，
∴
故答案为：＞.
【分析】根据一次函数的性质与系数的关系判断函数的增减性，即可求解本题.
16．在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点从点出发，以个单位每秒的速度沿射线运动，点从点出发，开始以个单位每秒的速度向原点运动，到达原点后立刻以原来倍的速度沿射线运动，若两点同时出发，设运动时间为秒，则当　 　时，以点为顶点的四边形为平行四边形．
【答案】或或
【解析】【解答】解：∵A（4，0），B（-3，2），C（0，2），
∴OA=4，BC=3，BC//x轴，
∵PC//AQ
∴当PC=AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，
①若时，BP=2t，
PC=3-2t，AQ=t，此时3-2t=t，解得t=1；
②若时，BP=2t，
PC=2t-3，AQ=t，此时2t-3=t，解得t=3；
③若时，BP=2t，
PC=2t-3，OQ=3(t-4)，AQ=4-3(t-4)，此时2t-3=4-3(t-4)，解得t=(舍去)；
④若t，BP＝2t，PC=2t-3， OQ=3(t-4)，AQ=3(t-4)-4，此时2t-3=3(t-4)-4，解得t=13；
综上所述，当t为1或3或13时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形；
故答案为：1或3或13.
【分析】
利用A、B、C的坐标可得到OA，BC，的长度，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断以点A，Q， C，P为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论：①若时，；②若；③若时；④若，然后分别解方程即可确定满足条件的t的值．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．已知一次函数的图象经过和两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）解：把和两点坐标代入中得，
，
解得，
一次函数的解析式为：．
（2）解：当时，，
当时，的值为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式；
（2）把代入（1） 中的式子即可求出y值.
18．如下图，在中，，于点，．
（1）求的面积；
（2）求线段的长．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
∴，
∴的面积为．
（2）解：∵在中，，于点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴线段的长为．
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式计算即可；
（2） 根据即可求出CD的长.
19．如图，菱形的对角线相交于点O，E是的中点，于F点，交于点G．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，则矩形的周长为　 　．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
是的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）
【解析】【解答】解：(2)四边形是菱形，，
，，，
，
，，
，
，
是的中点，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：.
【分析】(1)利用三角形中位线定理得到EO||FG，进而证得四边形是平行四边形，再通过垂线的定义证得平行四边形是矩形.
(2)先利用菱形的性质求得菱形的边长，再通过直角三角形的性质得到OE长，利用等面积法求得OG长，然后计算出矩形的周长.
20．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为0.7米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.4米到点A，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB为多少米？
【答案】（1）解：在Rt△ABO中，已知 AB=2.5m，OB=0.7m，
则
∴这个梯子的顶端 A 距地面有 2.4m。
（2）解：由（1）知 OA=2.4，则 OA =2.4-0.4=2m
∵在 Rt△A B O 中，AB=A B =2.5m，且A B 为斜边
∵OB=0.7m
∴BB =OB -OB= 1.5-0.7=0.8m（m）
答：梯足向外移动了0.8m．
【解析】【分析】(1)在Rt△ABO中，利用勾股定理求出AO，即可解答；
(2)先求出OA'的长，在 Rt△A B O 中，根据勾股定理求出OB'，再根据线段和差关系求BB'长即可.
21．如图，已知A及B是正方形ABCD的两个顶点，正方形与x轴相交于点E和点G，与y轴相交于点F和点H.
（1）写出点F、C、G、D的坐标.
（2）图中D点在O点的北偏东的方向上，与O点的距离为.请类似的写出点B、点H分别在O点的什么方向上，以及到O点的距离.
【答案】（1）解：∵已知A及B是正方形ABCD的两个顶点，正方形与x轴相交于点E和点G，与y轴相交于点F和点H.
∴F、C、G、D.
（2）解：解由题意可知：，OH=3，
∴点B在O点的西偏南的方向上，与O点的距离为；点H在O点的正北方向上，与O点的距离为3.
【解析】【分析】（1）根据点F、C、G、D的位置可得对应点的坐标；
（2）根据勾股定理可得OB的值，然后结合方位的表示方法进行解答.
22．某超市计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用6400元购进甲种水果的数量与用8000元购进乙种水果的数量一样多．
（1）求甲、乙两种水果每千克的进价分别是多少元？
（2）该超市根据平常的销售情况确定，购进两种水果共2000千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元．购回后，该超市决定将甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则该超市应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设甲种水果的进价是x元，则乙种水果的进价是元
根据题意，得
解得，
经检验，是原分式方程的解
∴
答：甲、乙两种水果的进价分别是16元 、20元．
（2）解：设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，利润为w元
，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过34200元，
∴
解得，
w随着a的增大而减小
∴当时，w取得最大值
此时，，
答：超市进货甲种水果1450千克，乙种水果550千克，才能获得最大利润 ，最大利润是8550元．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 得 ，再解方程即可；
（2）先求出 ， 再求解即可。
23．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度的比为4：3，货船沿东偏南10°方向航行，2小时后货船到达B处，客船到达C处，若此时两船相距50海里.
（1）求两船的速度分别是多少？
（2）求客船航行的方向.
【答案】（1）解：设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依题意得：
4x﹣3x=5.
解得：x=5，∴4x=20，3x=15.
答：两船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；
（2）解：由题可得：AB=15×2=30，AC=20×2=40，BC=50，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.
又∵货船沿东偏南10°方向航行，∴∠1=10°.
∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1=10°，∴客船航行的方向为北偏东10°方向.
【解析】【分析】（1）设两船的速度分别是4x海里/小时和3x海里/小时，依据客船每小时比货船多走5海里，列方程求解即可；（2）依据AB2+AC2=BC2，可得△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，再根据货船沿东偏南10°方向航行，即可得到客船航行的方向为北偏东10°方向.
24．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EFBC．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
【答案】（1）证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
（2）解：BF＝（AB-AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF＝DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）．
【解析】【分析】 (1) 掌握平行四边形的判定定理，由中位线定理找到需要的条件；
(2) 由(1)的结论出发，根据平行四边形性质、中位线定理、全等带来的等量关系转化，找到和差倍半的关系式。
25．如图，点 、 分别在矩形 的边上，将矩形 沿直线 向上折叠，使得点 落到点 的位置，点 落到点 的位置，连接 、 ， 交 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
由折叠的性质得： ，
，
是等腰三角形
（2）解： 四边形 是矩形， ，
，
由折叠的性质得： ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即
【解析】【解答】（1）证明： 四边形 是矩形，
，
，
由折叠的性质得： ，
，
是等腰三角形
(2)解： 四边形 是矩形， ，
，
由折叠的性质得： ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
即
【分析】（1）证等腰三角形，只需要证底角相等或者任意两边相等，一般优先考虑角
（2）求线段AF，可以直接设AF长为x，之后建立关于x的等量关系式即可.
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