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【综合题强化训练·50道必刷题】湘教版数学七年级下册期末试卷
1．某次篮球联赛初赛段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格。
（1） 已知甲队在初赛阶段的积分为17分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
2．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用600万元购进A型汽车的数量比600万元购进B型汽车的数量少10辆．
（1）求每辆A型汽车进价是多少万元？
（2）若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共80辆，总费用不超过900万元，那么该公司最多购买A型汽车多少辆？
3．为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．
（1）购买一个甲种足球．一个乙种足球各需要多少钱？
（2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？
4．在中，，若M是BC边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接MN．
（1）如图①，当时，求的大小；
（2）如图②，当时，求的大小；
（3）如图③，求证：．
5．我们知道 是无理数，其整数部分是1，于是小明用 ﹣1米表示 的小数部分．请解答：
（1）如果 的小数部分为a， +2的整数部分为b，求a+b﹣ 的值；
（2）已知10+ =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
6．解下列不等式（组）：
（1） ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解一元一次不等式组，并写出它的整数解．
7．下面是一位病人的体温记录折线图，看图回答下列问题．
（1）护士每隔几小时给病人量一次体温？
（2）这个病人的最高体温是多少摄氏度？最低体温是多少摄氏度？
（3）他在4月8日12时的体温是多少摄氏度？
（4）图中的横线表示什么？
（5）从图中看，这个病人的病情是恶化还是好转？
8．如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）△A1B1C1的面积S△A1B1C1＝　 　．
9．某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成本多元，且投入元生产甲种零部件的件数和投入元生产乙种零部件的件数相同；
（1）求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元
（2）如果两种零部件共生产件，该厂家至少要投入元，那么，甲种零部件至少生产多少件
10．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点坐标分别为： ， ， .
（1）将 经过平移得到 ，若点 的应点 的坐标为（2，5），则点 ， 的对应点 ， 的坐标分别为　 　；
（2）在如图的坐标系中画出 ，并画出与 关于原点 成中心对称的 .
（3）在坐标系中画出 绕点 逆时针旋转90度后所得 ，则 的坐标为　 　.
11．在数学﹑外语、语文，其他学科中，某校七年级开展了同学们最喜欢学习哪一门学科的调查(七年级学生共有200名)，
（1）调查的问题是什么
（2）调查的对象是谁
（3）在被调查的200名学生中，有40人最喜欢学语文，60人最喜欢学数学，80人最喜欢学外语， 余的人选择其他，求最喜欢学数学这门学科的学生人数占学生总数的百分比.
（4）根据调查情况，把七年级的学生最喜欢学习某学科的人数及其占学生总数的百分比填入下表.
　 语文 外语 数学 其他
人数
　
　
　
　
占学生总数的百分比
　
　
　
　
12．某中学计划举行阳光体育运动比赛，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
13．某商店销售、两种商品，售价分别为元/件、元/件．五一期间，该商店决定对这两种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件商品和件商品，根据以上信息，回答下列问题：
优惠方案一：商品超过件后，超出部分五折；否则不打折．商品一律九折
优惠方案二：无论多少，一律八折．
（1）分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）；
（2）当时，说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？
14．在如图所示的网格纸中，建立了平面直角坐标系xOy，点P（1，2），点A（2，5），B（﹣2，5），C（﹣2，3）．
（1）以点P为对称中心，画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点P对称，并写出下列点的坐标：B′　 　，C′　 　；
（2）多边形ABCA′B′C′的面积是　 　．
15．已知5+ 的小数部分为a，5－ 的小数部分为b，求：
（1）a+b的值；
（2）3a－2b的值．
16．如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．
17．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．
18．已知 在数轴上的对应点如图所示，且 ；
（1）根据数轴判断： 　 　0， 　 　0.（填＞，＜，＝）
（2） .
19．已知正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，y的立方根是﹣1.
求：
（1）a的值；
（2）x﹣2y+1的值.
20．【问题背景】
污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买 A，B两种型号污水处理设备共12台，已知 A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
型号 A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3 万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
【问题解决】
（1）求a，b的值；
（2）经预算：治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，通过计算说明该公司有哪几种购买方案；
（3）若要求每月处理的污水量不少于2260 吨，该公司至少需要购买多少台A型设备 并求出此时该公司所花费的钱数．
21．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点 最近时 的值；
（3）从图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．
22．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1=　 　，S2=　 　（只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式　 　；
（3）运动（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．
23．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
（1）若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？
（2）学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数．
24．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起，其中，．
（1）如图1，与的数量关系是_____，理由是______；
（2）如图1，若，求的度数；
（3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线的上方时，探究以下问题：
①当时，求出的度数；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值．
25．解方程
（1）x2﹣49=0．
（2）8x3+125=0．
26．
（1）．
（2）下面是小明同学利用平方与平方根的关系解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
，
解：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
任务一：填空：小明从第 ▲ 步开始出错，错误原因是 ▲ ．
任务二：请直接写出方程正确的解．
27．体考在即，初三（1）班的课题研究小组对本年级530名学生的体育达标情况进行调查，制作出如图所示的统计图，其中1班有50人．（注：30分以上为达标，满分50分）根据统计图，解答下面问题：
（1）初三（1）班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率各是多少？
（2）若除初三（1）班外其余班级学生体育考试成绩在30﹣﹣40分的有120人，请补全扇形统计图；（注：请在图中分数段所对应的圆心角的度数）
（3）如果要求全年级学生的体育达标率不低于90%，试问在本次调查中，该年级全体学生的体育达标率是否符合要求？
28．请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的长．
29．已知AD//BC， AB//CD， E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°.
①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数.
30．“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元
A 15 9 57000
B 10 16 68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
31．新能源汽车因其环保、节能，被越来越多的家庭所喜爱，老宁车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出3辆甲型车和2辆乙型车，销售额为98万元；第二周售出5辆甲型车和4辆乙型车，销售额为174万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）湖湘科技发展有限公司准备向老宁车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共12辆，其购车费用不少于216万元，且不超过225万元，问有哪几种购车方案？
32．“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决。
（1）我们知道 可以得到 。如果 ，求 、 的值.
（2）已知 试问多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量 的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值.
（3）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于　 　.
（4）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
（5）仔细观察图2，写出 三个代数式之间的等量关系.
（6）若 ，求 的值.
33．某中学组织学生前往瓷都景德镇研学．若只租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若只租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）这次研学一共有多少人？
（2）若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
34．已知方程组 的解x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1．
35．把下列各数分别填入相应的集合中：
0， ， ，3.1415926， ，2π， -1，0.13030030003…，0.15，
（1）整数集合：{ …}；
（2）分数集合：{ …}；
（3）有理数集合：{ …}；
（4）无理数集合：{ …}。
36．求下列各式中x的值
（1）4x2﹣121=0
（2） ．
37．某公司有员工50人，为了提高经济效益，决定引进一条新的生产线并从现有员工中抽调一部分员工到新的生产线上工作，经调查发现：分工后，留在原生产线上工作的员工每月人均产值提高40%；到新生产线上工作的员工每月人均产值为原来的3倍，设抽调x人到新生产线上工作．
（1）填空：若分工前员工每月的人均产值为a元，则分工后，留在原生产线上工作的员工每月人均产值是　 　元，每月的总产值是　 　元；到新生产线上工作的员工每月人均产值是　 　元，每月的总产值是　 　元；
（2）分工后，若留在原生产线上的员工每月生产的总产值不少于分工前原生产线每月生产的总产值；而且新生产线每月生产的总产值又不少于分工前生产线每月生产的总产值的一半．问：抽调的人数应该在什么范围？
38．某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要900元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要960元．
（1）求购进甲、乙两种花卉每盆各需多少元？
（2）该花店购进甲，乙两种花卉共100盆，甲种花卉每盆售价20元，乙种花齐每盆售价16元，现该花店把100盆花卉全部售出，若获利超过480元，则至少购进甲种花卉多少盆？
39．判断下面几个抽样调查选择样本的方法是否合适，请说明理由．
（1）估计我国儿童的身高状况，在某幼儿园的一个班级里进行调查；
（2）为了解观众对所观看影片的评价情况，随机调查某电影院单排单号的观众；
（3）某市为了解读者到市图书馆借阅图书的情况，从全年的借阅人数中调查了20天中每天到图书馆借阅图书的人数；
（4）为调查一个学校的学生上学坐班车的情况，抽取初一年级的两个班进行调查．
40．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣4，4），C（3，﹣3）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，并求出平移后图形的面积．
41．对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F（3，4）＝3a+4b．
（1）已知F（1，﹣1）＝﹣1，F（2，0）＝4．
①求a，b的值；
②已知关于p的不等式组 ，求p的取值范围；
（2）若运算F满足 ，请你直接写出F（m，m）的取值范围（用含m的代数式表示，这里m为常数且m＞0）．
42．2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元．
（1）求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价；
（2）看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？
43．点O在直线PQ上，过点O作射线OC，使∠POC=130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处。
（1）如图①所示，将直角三角板AOB的一边OA与射线OP重合，则∠BOC=　 　°。
（2）将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一定角度得到如图②所示的位置，若OA平分∠POC，求∠BOQ的度数。
（3）将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一周，存在某一时刻恰有OB⊥OC，求出所有满足条件的∠AOQ的度数。
44．已知．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明；
（3）如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数．
45．某餐饮公司销售A、B两种套餐，已知购买2份A套餐和3份B套餐共用了84元；1份A套餐和2份B套餐共用了51元．
（1）求A套餐、B套餐的单价各多少元；
（2）某单位从该餐饮公司购买A、B两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最多能购买多少份B套餐．
46．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转.
（1）直接写出∠DPC的度数.
（2）如图②，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？
（3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间.
47．已知 ， ，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧；
（1）保持 不动，将 绕点O旋转至如图2所示的位置，则① =　 　；② =　 　；
（2）若 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转， 按每分钟 的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算 (用t的代数式表示)。
（3）保持 不动，将 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线OE平分 ，射线OF平分 ，求 的大小；
48．将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．
（1）如图②，当　 　时，恰好平分；
（2）如图③，当　 　时，恰好平分；
（3）如图④，当　 　时，恰好平分；
（4）绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
（5）若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
49．图a是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图a中虚线用剪刀把它均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积：
方法1：　 　 （只列式，不化简）
方法2：　 　 （只列式，不化简）
（2）观察图b，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：　 　 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=　 　 ．
50．把一副三角板放成如图所示．
（1）当OD平分∠AOB时，求∠COB；
（2）若摆成如图2，OB、OD重合，OM平分∠AOD，ON平分∠AOC，求∠MON；
（3）将三角板OCD绕O点旋转，把OD旋转到∠AOB的内部或外部，（2）中的条件不变，试问∠MON的角度是否变化？若不变，求出它的值，并说理由．
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【综合题强化训练·50道必刷题】湘教版数学七年级下册期末试卷
1．某次篮球联赛初赛段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得决赛资格。
（1） 已知甲队在初赛阶段的积分为17分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
【答案】（1）解： 设甲队初赛阶段胜x场，则负（10-x）场，
根据题意，得2x+(10-x)=17，
解得x=7，
所以10-x=3，
所以甲队初赛阶段胜7场，负3场.
（2）解： 设乙队在初赛阶段胜a场，则负（10-a）场，
根据题意，得2a+(10-a)＞15，
解得a＞5，
所以如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜6场.
【解析】【分析】（1）设甲队初赛阶段胜x场，则负（10-x）场，则甲队的胜场积分为2x分，负场积分为(10-x)分，根据甲队的胜场积分+甲队的负场积分=17，列出方程求解即可；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，则负（10-a）场，则乙队的胜场积分为2ax分，负场积分为(10-a)分，根据乙队的胜场积分+乙队的负场积分＞15，列出不等式，并求出最小整数解即可。
2．习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用600万元购进A型汽车的数量比600万元购进B型汽车的数量少10辆．
（1）求每辆A型汽车进价是多少万元？
（2）若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共80辆，总费用不超过900万元，那么该公司最多购买A型汽车多少辆？
【答案】（1）每辆A型汽车进价12万元
（2）该公司决定最多购买A型汽车50辆
3．为响应教育部“足球进校园”的号召，大力发展校园足球运动，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共需410元；购买2个甲种足球和5个乙种足球共需530元．
（1）购买一个甲种足球．一个乙种足球各需要多少钱？
（2）学校为开展足球大课间活动，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过6200元，且购买甲种足球的数量不少于乙种足球数量的一半．学校共有几种购买方案？
【答案】（1）购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元；
（2）学校共有四种购买方案
4．在中，，若M是BC边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接MN．
（1）如图①，当时，求的大小；
（2）如图②，当时，求的大小；
（3）如图③，求证：．
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
由旋转的性质可知， ，
∴ ，
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
由旋转的性质可知， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
（3）证明：由（1）得 ，
旋转的性质可知， ， ，
∵ ，
∴ 和 是顶角相等的等腰三角形，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 是等边三角形， 最后根据等边三角形的性质求解即可；
（3）根据旋转的性质求出 ， ， 再求出 ，最后证明即可。
5．我们知道 是无理数，其整数部分是1，于是小明用 ﹣1米表示 的小数部分．请解答：
（1）如果 的小数部分为a， +2的整数部分为b，求a+b﹣ 的值；
（2）已知10+ =x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【答案】（1）解：∵2＜ ＜3， 的小数部分为a，
∴a= ﹣2，
∵3＜ ＜4，
∴5＜ +2＜6，
∵ +2的整数部分为b，
∴b=5，
∴a+b﹣ = ﹣2+5﹣ =3
（2）解：∵2＜ ＜3，10+ =x+y，其中x是整数
∴x=10+2=12，
y=10+ ﹣12= ﹣2，
∴x﹣y=12﹣（ ﹣2）=14﹣ ，
∴x﹣y的相反数是﹣14+
【解析】【分析】（1）先估算出 与 的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可；（2）根据题意的方法，估出 的整数，易得10+ 整数部分，进而可得x、y的值；再由相反数的求法，易得答案．
6．解下列不等式（组）：
（1） ，并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解一元一次不等式组，并写出它的整数解．
【答案】（1）解：去括号，得：2x-11<4x-12+3，
移项，得：2x-4x<-12+3+11，
合并同类项，得：-2x<2，
系数化为1，得：x>-1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解： ，
解不等式①，得x≥- ，
解不等式②，得x< ，
∴原不等式组的解为- ≤x< ，
则不等式组的整数解是-3，-2，-1，0．
【解析】【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得不等式的解集，然后根据解集的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，将解集表示在数轴上即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集，进而找出解集范围内的整数，可得不等式组的整数解.
7．下面是一位病人的体温记录折线图，看图回答下列问题．
（1）护士每隔几小时给病人量一次体温？
（2）这个病人的最高体温是多少摄氏度？最低体温是多少摄氏度？
（3）他在4月8日12时的体温是多少摄氏度？
（4）图中的横线表示什么？
（5）从图中看，这个病人的病情是恶化还是好转？
【答案】（1）解：由折线统计图可以看出：护士每隔12﹣6=6小时给病人量一次体温
（2）解：这个病人的最高体温是39.5摄氏度，最低体温是36.8摄氏度
（3）解：他在4月8日12时的体温是37.5摄氏度
（4）解：图中的横线表示正常体温
（5）解：从图中看，这个病人的病情是好转了
【解析】【分析】（1）由折线统计图可以看出：护士每隔12﹣6小时给病人量一次体温；（2）折线图中最高的点表示温度最高，最低的点表示温度最低，由此即可求出答案；（3）从折线统计图可以看出：他在4月8日12时的体温是37.5摄氏度；（4）37摄氏度表示的是人的正常体温，由此即可求出答案；（5）从图中看，曲线呈现下降的趋势，则这个病人的病情是好转了．
8．如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）△A1B1C1的面积S△A1B1C1＝　 　．
【答案】（1）解：如图即为所求．
（2）解：
（3）7.
【解析】【解答】(3)
故答案为：7.
【分析】（1）先确定点A、B、C关于x轴对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即得△A1B1C1；
（2）根据点A1、B1、C1的位置，直接写出坐标即可.
（3）采用割补法，利用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可.
9．某厂家生产甲、乙两种电动汽车零部件，已知甲种零部件每件的成本比乙种零部件每件的成本多元，且投入元生产甲种零部件的件数和投入元生产乙种零部件的件数相同；
（1）求甲、乙两种零部件每件成本各是多少元
（2）如果两种零部件共生产件，该厂家至少要投入元，那么，甲种零部件至少生产多少件
【答案】（1）甲每件成是元，乙每件成本是元
（2）甲种零部件至少生产件
10．如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点坐标分别为： ， ， .
（1）将 经过平移得到 ，若点 的应点 的坐标为（2，5），则点 ， 的对应点 ， 的坐标分别为　 　；
（2）在如图的坐标系中画出 ，并画出与 关于原点 成中心对称的 .
（3）在坐标系中画出 绕点 逆时针旋转90度后所得 ，则 的坐标为　 　.
【答案】（1）A1（-1，2）、B（3，2）
（2）解：如图所示， 即为所求作，
（3）（-5，2）
【解析】【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求：
A1，B1的坐标分别为（-1，2），（3，2），
故答案为：A1（-1，2），B1（3，2），
（3）如图所示， 即为所求作，
故答案为：
【分析】（1）根据平移的性质画出图形，进而得出坐标即可；（2）根据关于原点O成中心对称的性质画出图形即可；（3）根据旋转的性质画出图形，进而得出坐标即可.
11．在数学﹑外语、语文，其他学科中，某校七年级开展了同学们最喜欢学习哪一门学科的调查(七年级学生共有200名)，
（1）调查的问题是什么
（2）调查的对象是谁
（3）在被调查的200名学生中，有40人最喜欢学语文，60人最喜欢学数学，80人最喜欢学外语， 余的人选择其他，求最喜欢学数学这门学科的学生人数占学生总数的百分比.
（4）根据调查情况，把七年级的学生最喜欢学习某学科的人数及其占学生总数的百分比填入下表.
　 语文 外语 数学 其他
人数
　
　
　
　
占学生总数的百分比
　
　
　
　
【答案】（1）解：调查的问题：在数学，外语、语文、其他学科中，你最喜欢学习哪一门学科
（2）解：调查的对象：某校七年级的全体同学.
（3）解：最喜欢学数学这门学科的学生人数占学生总数的百分比为：
（4）解：最喜欢学语文的人数占学生总数的百分比： ；
最喜欢学数学的人数占学生总数的百分比： ；
最喜欢学外语的人数占学生总数的百分比： ；
最喜欢其他学科的人数占学生总数的百分比： .
如下表：
　 语文 外语 数学 其它
人数 40 80 60 20
占学生总数的百分比 20% 40% 30% 10%
【解析】【分析】（1）根据题目已知的调查的内容，确定调查的问题即可；
（2）调查的对象要全面、准确、具体，依据调查问题中对象是某校七年级学生即可可确定；
（3）根据统计数据中，喜欢数学的人数是60人，再用（60÷200）×100%，即可求得最喜欢学数学这门学科的学生占学生总数的百分比；
（4）根据喜欢某一学科所占学生总数的百分比=喜欢这门学科的人数÷学生总数，代入数据分别求出来，再填表即可.
12．某中学计划举行阳光体育运动比赛，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买根跳绳和个毽子共需元；购买根跳绳和个毽子共需元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元？
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是，且购买的总费用不能超过元；若要求购买跳绳的数量多于根，通过计算说明共有哪几种购买跳绳的方案．
【答案】（1）购买一根跳绳需要6元，一个毽子需要4元
（2）方案一：购买跳绳21根；方案二：购买跳绳22根
13．某商店销售、两种商品，售价分别为元/件、元/件．五一期间，该商店决定对这两种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件商品和件商品，根据以上信息，回答下列问题：
优惠方案一：商品超过件后，超出部分五折；否则不打折．商品一律九折
优惠方案二：无论多少，一律八折．
（1）分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）；
（2）当时，说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？
【答案】（1），
（2）当时，按方案二购买；当时，两种方案都一样；当时，按方案一购买
14．在如图所示的网格纸中，建立了平面直角坐标系xOy，点P（1，2），点A（2，5），B（﹣2，5），C（﹣2，3）．
（1）以点P为对称中心，画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点P对称，并写出下列点的坐标：B′　 　，C′　 　；
（2）多边形ABCA′B′C′的面积是　 　．
【答案】（1）（4，﹣1）；（4，1）
（2）28
【解析】【解答】解：（1.）如图，△A′B′C′即为所求，B′（4，﹣1），C′（4，1）．
故答案为：（4，﹣1），（4，1）；
（2.）∵A′C= =2 ，
∴S多边形ABCA′B′C′=S△ABC+S正方形ACA′C′+S△A′B′C′
= ×2×4+（2 ）2+ ×2×4
=4+20+4
=28．
故答案为：28．
【分析】（1）分别作出各点关于点P的对称点，再顺次连接即可；（2）利用S多边形ABCA′B′C′=S△ABC+S正方形ACA′C′+S△A′B′C′即可．
15．已知5+ 的小数部分为a，5－ 的小数部分为b，求：
（1）a+b的值；
（2）3a－2b的值．
【答案】（1）∵5+ 的小数部分为a，5- 的小数部分为b，
∴a=5+ -8，b=5- -1，
∴a+b=5+ -8+5- -1=1，
即a+b的值是1；
（2）∵5+ 的小数部分为a，5- 的小数部分为b，
∴a=5+ -8，b=5- -1，
∴3a-2b
=3（5+ -8）-2（5- -1）
=-9+3 -8+2
=-17+5 ．
【解析】【分析】（1）根据题目中的数据可以得到a、b的值，从而可以求得题目中的式子的值；（2）根据题目中的数据可以得到a、b的值，从而可以求得题目中的式子的值，本题得以解决．
16．如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．
【答案】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD=∠BCD=45°．
由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．
∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°
（2）解：∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴AC= =4 ．
∵CD=3AD，
∴AD= ，DC=3 ．
由旋转的性质可知：AD=EC= ．
∴DE= =2
【解析】【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．
17．如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE，DE的延长线与AC相交于点F，连接DA、BF，∠ABC=α=60°，BF=AF．
（1）求证：DA∥BC；
（2）猜想线段DF、AF的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）证明：由旋转的性质可知：∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAB=∠ABC，
∴DA∥BC
（2）证明：猜想：DF=2AF，
证明如下：如图，在DF上截取DG=AF，连接BG，
由旋转的性质可知，DB=AB，∠BDG=∠BAF，
在△DBG和△ABF中，
，
∴△DBG≌△ABF（SAS），
∴BG=BF，∠DBG=∠ABF，
∵∠DBG+∠GBE=α=60°，
∴∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=α=60°，
又∵BG=BF，
∴△BGF为等边三角形，
∴GF=BF，
又∵BF=AF，
∴FG=AF，
∴DF=DG+FG=AF+AF=2AF
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得∠DBE=∠ABC=60°，BD=AB，故△ABD为等边三角形，则有∠DAB=60°，从而得∠DAB=∠ABC，故DA∥BC。
（2）在DF上截取DG=AF，连接BG，由旋转的性质可得DB=AB，∠BDG=∠BAF，故△DBG≌△ABF（SAS），根据全等三角形的性质得BG=BF，∠DBG=∠ABF；再由∠DBG+∠GBE=α=60°，等量代换得∠GBE+∠ABF=60°，即∠GBF=60°，故可得△BGF为等边三角形，因而GF=BF，又BF=AF，则FG=AF，故DF=DG+FG=AF+AF=2AF。
18．已知 在数轴上的对应点如图所示，且 ；
（1）根据数轴判断： 　 　0， 　 　0.（填＞，＜，＝）
（2） .
【答案】（1）=；＜
（2）由数轴可知：c－a＞0，c－b＜0，a＋b＝0，c－1＜0
∴
.
【解析】【解答】（1）
由数轴可知：a＜0＜c＜b＜1
∵
∴ ；
【分析】（1）由a、b、c在数轴上的位置可知a＜0＜c＜b＜1，且；则a+b、c-b的符号可判断；
（2）由（1）的结论和绝对值的非负性可去绝对值符号，再合并同类项即可求解.
19．已知正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，y的立方根是﹣1.
求：
（1）a的值；
（2）x﹣2y+1的值.
【答案】（1）解：由题知：∵正数x的两个不同的平方根分别是a+3和2a﹣15，
又依据两个平方根互为相反数；
∴a+3+2a﹣15＝0，
解得：a＝4；
（2）解：由题可得，x＝（a+3）2＝49，y＝（﹣1）3＝﹣1，
∴x﹣2y+1＝49+2+1＝52.
【解析】【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数可列出方程，求解即可；
（2）根据平方根、立方根的概念求出x、y，进而可得x-2y+1的值.
20．【问题背景】
污水治理，保护环境，某市治污公司决定购买 A，B两种型号污水处理设备共12台，已知 A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
型号 A型 B型
价格（万元/台） a b
处理污水量（吨/月） 220 180
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3 万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
【问题解决】
（1）求a，b的值；
（2）经预算：治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，通过计算说明该公司有哪几种购买方案；
（3）若要求每月处理的污水量不少于2260 吨，该公司至少需要购买多少台A型设备 并求出此时该公司所花费的钱数．
【答案】（1）
（2）该公司有4种购买方案：购买A型设备1台，B型设备台；购买A型设备2台，B型设备台；购买A型设备3台，B型设备台；购买A型设备4台，B型设备台
（3）该公司至少需要购买3台A型设备，此时该公司所花费的钱数为45万元
21．如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴－3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．
（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；
（2）从图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点 最近时 的值；
（3）从图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．
【答案】（1）解：题干中对应的三种情况的概率为：
① ；
② ；
③ ；
甲的位置停留在正半轴上的位置对应情况②，故P= ．
（2）解：根据题意可知乙答了10次，答对了n次，则打错了（10-n）次，
根据题意可得，n次答对，向西移动4n，
10-n次答错，向东移了2（10-n），
∴m=5-4n+2（10-n）=25-6n，
∴当n=4时，距离原点最近．
（3）解：起初，甲乙的距离是8，
易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小2，
当甲乙同时答对打错时，二者之间的距离缩小2，
∴当加一位置相距2个单位时，共缩小了6个单位或10个单位，
∴ 或 ，
∴ 或 ．
【解析】【分析】（1）对题干中三种情况计算对应概率，分析出正确的概率即可；硬币朝上为正面、反面的概率均为 ，甲和乙猜正反的情况也分为三种情况：①甲和乙都猜正面或反面，概率为 ，②甲猜正，乙猜反，概率为 ，③甲猜反，乙猜正，概率为 ，（2）根据题意可知乙答了10次，答对了n次，则打错了（10-n）次，再根据平移的规则推算出结果即可；（3）刚开始的距离是8，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到结果；
22．如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请用含a、b的代数式表示：S1=　 　，S2=　 　（只需表示，不必化简）；
（2）以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式　 　；
（3）运动（2）中得到的公式，计算：20152﹣2016×2014．
【答案】（1）a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）
（2）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
（3）解：20152﹣2016×2014
=20152﹣（2015+1）（2015﹣1）
=20152﹣（20152﹣1）
=20152﹣20152+1
=1
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图1阴影部分的面积值为a2﹣b2；
长方形的长和宽分别为（a+b）、（a﹣b），
故图2重拼的长方形的面积为（a+b）（a﹣b）；
2）比较上面的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，
即（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义；
故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积；图2所示的长方形的长和宽分别为（a+b）、（a﹣b），由此可计算出面积；（2）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式；（3）利用平方差公式计算即可．
23．某校为了改善校园环境，丰富学生的课余生活，在暑期对校园环境进行大力改造．现有甲乙两个工程队参与这项改造工程，甲工程队单独完成这一项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
（1）若这项工程由甲乙两队合作完成，完成这项工程最少需要多少天？
（2）学校原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲、乙两工程队共同合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，求乙工程队工作的总天数．
【答案】（1）天
（2）天
24．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起，其中，．
（1）如图1，与的数量关系是_____，理由是______；
（2）如图1，若，求的度数；
（3）如图2，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线的上方时，探究以下问题：
①当时，求出的度数；
②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接角度所有可能的值．
【答案】（1）；同角的余角相等
（2）解：∵，，
∴，
∴；
（3）解：①当时，如图，
过点作，
，
，
，，
，
；
②存在，的度数可能是、、、，
当时，如图所示：
∴，
∴根据解析（1）可知，；
当时，如图所示：
∴；
当时，如图所示：
∴，
∴；
当时，如图所示：
∴，
∴；
综上分析可知，的度数可能是、、、．
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴（同角的余角相等），
故答案为：；同角的余角相等；
【分析】（1）利用已知可证得∠1+∠2=∠2+∠3=90°，利用余角的性质可证得结论.
（2）根据∠3=∠BCE-∠DCE，代入计算求出∠3的度数，然后根据∠2+∠3=90°，可求出∠2的度数.
（3）①当时，过点作，可推出DE排序CF培训AB，利用平行线的性质可求出∠ACF，∠DCF的度数，由此可求出∠DCA的度数；然后根据∠BCD=∠ACD+∠ACB，代入计算求出∠BCD的度数；②分情况讨论：当CE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠BCD的度数；当DE∥BC时，可求出∠BCD的度数；当CD评选AB时，利用平行线的性质可求出∠DCA的度数，据此可求出∠BCD的度数；当DE∥AC时，可得到∠DCA的度数，根据∠BCD=∠ACD+∠ACB，代入计算求出∠BCD的度数；综上所述可得到符合题意的∠BCD的度数.
25．解方程
（1）x2﹣49=0．
（2）8x3+125=0．
【答案】（1）解：x2﹣49=0，
x2=49，
x=±7
（2）解：8x3+125=0，
x3=﹣ ，
x=﹣
【解析】【分析】（1）先求出x2，再根据平方根的定义解答；（2）先求出x3，再根据立方根的定义解答．
26．
（1）．
（2）下面是小明同学利用平方与平方根的关系解方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
，
解：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第二步
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步
任务一：填空：小明从第 ▲ 步开始出错，错误原因是 ▲ ．
任务二：请直接写出方程正确的解．
【答案】（1）解：原式
（2）解：任务一：小明从第三步开始出错，错误原因是，一正个数的平方根有两个；
故答案为：三，一个正数的平方根有两个；
任务二：，
解：，
，
，
解得：或
【解析】【分析】（1）利用绝对值、开方、乘方先计算，再加加减即可；
（2） 任务一：小明从第三步开始出错，开方时漏解；
任务二： 根据平方根的意义解方程即可.
27．体考在即，初三（1）班的课题研究小组对本年级530名学生的体育达标情况进行调查，制作出如图所示的统计图，其中1班有50人．（注：30分以上为达标，满分50分）根据统计图，解答下面问题：
（1）初三（1）班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率各是多少？
（2）若除初三（1）班外其余班级学生体育考试成绩在30﹣﹣40分的有120人，请补全扇形统计图；（注：请在图中分数段所对应的圆心角的度数）
（3）如果要求全年级学生的体育达标率不低于90%，试问在本次调查中，该年级全体学生的体育达标率是否符合要求？
【答案】（1）解：根据条形统计图得：初三（1）班学生体育达标率为0.6+0.3=0.9=90%；
根据扇形统计图得：本年级其余各班学生体育达标率为1﹣12.5%=87.5%；
答：初三（1）班学生体育达标率和本年级其余各班学生体育达标率分别是：90%、87.5%；
（2）解：其余各班的人数为530﹣50=480（人），
30﹣40分人数所占的角度为 ×360°=90°，
0﹣30分人数所占的角度为360×12.5%=45°，
30﹣40分人数所占的角度为360﹣90°﹣45°=225°，
补全扇形统计图，如图所示：
（3）解：由（1）知初三（1）班学生体育达标率为90%，由扇形统计图得到其余各班体育达标率为87.5%＜90%，
则该年级全体学生的体育达标率不符合要求．
答：该年级全体学生的体育达标率不符合要求
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出30分以上的频率，即为初三（1）班的达标率；由扇形统计图中30分以下的频率求出30分以上的频率，即为其余班的达标率；（2）根据30﹣40分的人数除以其余各班的人数求出所占的百分比，乘以360度，求出30﹣40分所占的角度，补全扇形统计图即可；（3）根据其余各班体育达标率小于90%，得到在本次调查中，该年级全体学生的体育达标率不符合要求．
28．请根据如图所示的对话内容回答下列问题．
（1）求该魔方的棱长；
（2）求该长方体纸盒的长．
【答案】（1）解：设魔方的棱长为x cm，可得：x3=216，解得：x=6．答：该魔方的棱长6 cm．
（2）解：设该长方体纸盒的长为y cm，6y2=600，y2=100，y=10．答：该长方体纸盒的长为10 cm．
【解析】【分析】（1）根据正方体的体积=棱长的立方可得=216，由立方根的意义可求得x=6；
（2）根据长方体的体积=长宽高可列方程求解。
29．已知AD//BC， AB//CD， E为射线BC上一点，AE平分∠BAD．
（1）如图1，当点E在线段BC上时，求证：∠BAE=∠BEA．
（2）如图2，当点E在线段BC延长线上时，连接DE，若∠ADE=3∠CDE，∠AED=60°.
①求证：∠ABC=∠ADC；②求∠CED的度数.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA；
（2）证明：①∵AD∥BC
∴∠ADC=∠DCE；
∵AB∥CD
∴∠ABC=∠DCE；
∴∠ABC=∠ADC；
②∵∠ADE=3∠CDE，设∠CDE=x°，
∴∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠DAB=180°-2x°，
由（1）可知：∠DAE=∠BAE=∠BEA=90°-x°，
∵AD∥BC，
∴∠BED+∠ADE=180°，
∵∠AED=60°，
即90-x+60+3x=180，
∴∠CDE=x°=15°，∠ADE=45°，
∵AD∥BC，
∴∠CED=180°-∠ADE=135°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠DAE=∠BEA，由AE平分∠BAD得∠BAE=∠DAE，从而得出结论．（2）①AD∥BC，AB∥CD即可得出结论；②由根据∠ADE=3∠CDE设∠CDE=x°，∠ADE=3x°，∠ADC=2x°，根据平行线的性质得出方程90-x+60+3x=180，求出x即可．
30．“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元
A 15 9 57000
B 10 16 68000
（1）若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
（2）在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
【答案】（1）解：设清理养鱼网箱的人均费用为x元，清理捕鱼网箱的人均费用为y元，
根据题意，得： ，
解得： ，
答：清理养鱼网箱的人均费用为2000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3000元；
（2）解：设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，
根据题意，得： ，
解得：18≤m＜20，
∵m为整数，
∴m=18或m=19，
则分配清理人员方案有两种：
方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱；
方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱.
【解析】【分析】（1）由表格中的信息可得两个相等关系： A村清理养鱼网箱的的费用+清理捕鱼网箱的费用=57000，B村清理养鱼网箱的的费用+清理捕鱼网箱的费用=68000，根据这两个相等关系列方程组即可求解；
（2）设m人清理养鱼网箱，则（40﹣m）人清理捕鱼网箱，由题意可得不等关系：m人清理养鱼网箱的费用+（40﹣m）人清理捕鱼网箱的费用≤102000，清理养鱼网箱人数＜清理捕鱼网箱人数 ，根据这两个不等关系列不等式组即可求解。
31．新能源汽车因其环保、节能，被越来越多的家庭所喜爱，老宁车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出3辆甲型车和2辆乙型车，销售额为98万元；第二周售出5辆甲型车和4辆乙型车，销售额为174万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）湖湘科技发展有限公司准备向老宁车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共12辆，其购车费用不少于216万元，且不超过225万元，问有哪几种购车方案？
【答案】（1）每辆甲型车的售价为22万元，每辆乙型车的售价为16万元
（2）两种购车方案：方案一：购买甲型车4辆，购买乙型车8辆；方案二：购买甲型车5辆，购买乙型车7辆
32．“化归与转化的思想”是指在研究解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决。
（1）我们知道 可以得到 。如果 ，求 、 的值.
（2）已知 试问多项式a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是否与变量 的取值有关？若有关请说明理由；若无关请求出多项式的值.
（3）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于　 　.
（4）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
（5）仔细观察图2，写出 三个代数式之间的等量关系.
（6）若 ，求 的值.
【答案】（1）解：由a2+b2+2a-4b+5=0，得到：（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0，
（a+1）2+（b-2）2=0，
所以有a+1=0，b-2=0，
解得a=-1，b=2
（2）解：多项式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值与变量x的取值无关．理由如下：
∵a= x+2017，b= x+2015，c= x+2016，
∴a-b=2，a-c=1，c-b=1，
∴a2+b2+c2-ab-ac-bc
=（ -ab+ ）+（ -ac+ ）+（ -cb+ ）
=
=
=3．
∴多项式a2+b2+c2-ab-ac-bc的值与变量x的取值无关，且a2+b2+c2-ab-ac-bc的值是3．
（3）a-b
（4）解：方法一：S阴影=S正方形-4S长方形=（a+b）2-4ab=（a-b）2；
方法二：∵分成的四块小长方形形状和大小都一样，
∴每一个小长方形的长为a，宽为b，
∴阴影部分的正方形的边长为（a-b），
∴S阴影=（a-b）2
（5）解：由图2得：（a+b）2-4ab=（a-b）2
（6）解：∵（x+y）2=x2+2xy+y2，
∵x+y=1，x2+y2=25，
∴1=25+2xy，
xy=-12，
∵（x+y）2-4xy=（x-y）2，
∴（x-y）2=1-4×（-12）=49，
∴x-y=±7．
【解析】【分析】（1）直接写出边长：长边一短边=a-b；（2）直接根据边长的平方计算面积或根据面积差计算面积；（3）根据图形利用面积可得结论；（4）结合（3）的结论和完全平方公式，先计算xy的值，再计算（x-y）2的值，最后开方可得结论．
33．某中学组织学生前往瓷都景德镇研学．若只租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若只租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）这次研学一共有多少人？
（2）若该校计划租用A，B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
【答案】（1）这次研学一共有1200人
（2）方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车；方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车
34．已知方程组 的解x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1．
【答案】（1）解：解方程得 ，
由x为非正数，y为负数，得 ，解得：﹣2＜a≤3
（2）解：2ax+x＞2a+1的解为x＜1， 得a< ，
﹣2＜a≤3得a=-1
【解析】【分析】（1）把a作常数，解出x，y的值，根据x为非正数，y为负数．得出关于a的不等式组，求解得出a的取值范围；
（2）根据不等式2ax+x＞2a+1的解为x＜1，故2 a + 1 < 0，求解得出a的取值范围，又﹣2＜a≤3，a为整数，故a=-1。
35．把下列各数分别填入相应的集合中：
0， ， ，3.1415926， ，2π， -1，0.13030030003…，0.15，
（1）整数集合：{ …}；
（2）分数集合：{ …}；
（3）有理数集合：{ …}；
（4）无理数集合：{ …}。
【答案】（1）解：整数集合：{0， ， ，}
（2）解：分数集合：{ ，3.141592 6， }；
（3）解：有理数集合：{0， ， ，3.141592 6， ， ，} ；
（4）解：无理数集合：{ ，2π， -1，0.130 300 300 03}
【解析】【分析】（1）根据整数的定义求解即可；
（2）根据分数的定义求解即可；
（3）根据有理数的定义求解即可；
（4）根据无理数的定义求解即可。
36．求下列各式中x的值
（1）4x2﹣121=0
（2） ．
【答案】（1）解：4x2﹣121=0
4x2=121
x=±
（2）解：
1﹣x=﹣3
x=4
【解析】【分析】（1）根据平方根，即可解答；（2）根据立方根，即可解答．
37．某公司有员工50人，为了提高经济效益，决定引进一条新的生产线并从现有员工中抽调一部分员工到新的生产线上工作，经调查发现：分工后，留在原生产线上工作的员工每月人均产值提高40%；到新生产线上工作的员工每月人均产值为原来的3倍，设抽调x人到新生产线上工作．
（1）填空：若分工前员工每月的人均产值为a元，则分工后，留在原生产线上工作的员工每月人均产值是　 　元，每月的总产值是　 　元；到新生产线上工作的员工每月人均产值是　 　元，每月的总产值是　 　元；
（2）分工后，若留在原生产线上的员工每月生产的总产值不少于分工前原生产线每月生产的总产值；而且新生产线每月生产的总产值又不少于分工前生产线每月生产的总产值的一半．问：抽调的人数应该在什么范围？
【答案】（1）（1+40%）a；（50﹣x）（1+40%）a；3a；3ax
（2）解：由题可得不等式组 （其中a＞0）
解得 ≤x≤14
由于x只能取正整数，
所以抽调的人数应在9﹣14人之间（包括9人和14人）
【解析】【解答】解：（1）根据题意填空：（1+40%）a，（50﹣x）（1+40%）a，3a，3ax．
【分析】（1）因为留在原生产线上工作的员工每月人均产值提高40%；到新生产线上工作的员工每月人均产值为原来的3倍，设抽调x人到新生产线上工作，所以留在原生产线上工作的员工每月人均产值是（1+40%）a，每月的总产值是（50﹣x）（1+40%）a元；到新生产线上工作的员工每月人均产值是3a元，每月的总产值是3ax元；（2）因为留在原生产线上的员工每月生产的总产值不少于分工前原生产线每月生产的总产值；而且新生产线每月生产的总产值又不少于分工前生产线每月生产的总产值的一半，所以有由题可得不等式组 （其中a＞0），解之即可．
38．某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要900元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要960元．
（1）求购进甲、乙两种花卉每盆各需多少元？
（2）该花店购进甲，乙两种花卉共100盆，甲种花卉每盆售价20元，乙种花齐每盆售价16元，现该花店把100盆花卉全部售出，若获利超过480元，则至少购进甲种花卉多少盆？
【答案】（1）解：设购进甲种花卉每盆 元，购进乙种花卉每盆 元.
，解得 .
答：购进甲种花卉每盆15元，购进乙种花卉每盆12元.
（2）解：设购进甲种花卉 盆，则购进乙种花卉 盆.
，解得 .
∵ 为整数，∴ 的最小整数值为81.
∴至少购进甲种花卉81盆.
【解析】【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元；（2）设购进甲种花卉a盆，则购进乙种花卉（100-a）盆，根据“获利超过480元”列出不等式并解答．
39．判断下面几个抽样调查选择样本的方法是否合适，请说明理由．
（1）估计我国儿童的身高状况，在某幼儿园的一个班级里进行调查；
（2）为了解观众对所观看影片的评价情况，随机调查某电影院单排单号的观众；
（3）某市为了解读者到市图书馆借阅图书的情况，从全年的借阅人数中调查了20天中每天到图书馆借阅图书的人数；
（4）为调查一个学校的学生上学坐班车的情况，抽取初一年级的两个班进行调查．
【答案】（1）答：不合适，我国有的儿童没有条件上幼儿园，因此只在幼儿园里抽样调查不具有代表性
（2）答：合适，这是一种随机抽样的方法，具有代表性
（3）答：合适，这是一种随机抽样的方法，具有代表性
（4）答：不合适，一个学校初中生有三个年级，只是初一年级学生不具有代表性
【解析】【分析】根据抽样调查所抽取的样本必须具有广泛性和代表性进行分析．
40．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣4，4），C（3，﹣3）．
（1）画出△ABC；
（2）画出△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，并求出平移后图形的面积．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图，S△A1B1C1面积=7×7﹣ ×2×4﹣ ×3×5﹣ ×7×7﹣2×3
=49﹣4﹣ ﹣ ﹣6
=7
【解析】【分析】（1）根据A，B，C三点坐标描出各点，顺次连接各点即可；（2）根据图形平移的性质画出△A1B1C1，利用正方形的面积减去三个顶点上三角形的面积及矩形的面积即可．
41．对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F（3，4）＝3a+4b．
（1）已知F（1，﹣1）＝﹣1，F（2，0）＝4．
①求a，b的值；
②已知关于p的不等式组 ，求p的取值范围；
（2）若运算F满足 ，请你直接写出F（m，m）的取值范围（用含m的代数式表示，这里m为常数且m＞0）．
【答案】（1）解：①根据题意得：F（1，﹣1）＝a﹣b＝﹣1，
F（2，0）＝2a＝4，
解得：a＝2，b＝3；
②根据F（x，y）＝ax+by，
F（3﹣2p，2）＝2（3﹣2p）+6＝12﹣4p，
F（1，2﹣3p）＝2+3（2﹣3p）＝8﹣9p，
∴ ，
解不等式①得：p≤2，
解不等式②得：p＞1，
故p的取值范围为1＜p ≤2；
（2）解：由题意得 ，
①+②得﹣3＜3（a+b）≤9，
则﹣1＜a+b≤3，
F（m，m）＝am+bm＝m（a+b），
所以﹣m＜m（a+b）≤3m，
故F（m，m）的取值范围是﹣m＜F（m，m）≤3m．
【解析】【分析】（1）①根据定义的新运算F，将F（1，-1）=-1，F（2，0）=4代入F（x，y）=ax+by，得到关于a、b的二元一次方程组，求解即可；②根据题中新定义化简已知不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）由已知条件得出-1＜a+b≤3，由F（m，m）=am+bm=m（a+b），即可得出-m＜m（a+b）≤3m，就可以求得F（m，m）的取值范围．
42．2024年4月在北京师大二附中西城实验学校举办的跳蚤市场活动中，初一7班的小何同学购进2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和残奥会吉祥物“雪容融”作为本次活动的卖品进行销售，售卖所得将进行爱心捐赠，帮助贫困山区的孩子．第一天小何同学将所带的1个“冰墩墩”和3个“雪容融”全部售出，销售总额为96元，其中“冰墩墩”的售价比“雪容融”售价高8元．
（1）求每个“冰墩墩”和“雪容融”的售价；
（2）看到很多同学都非常喜欢“冰墩墩”和“雪容融”，为了捐赠更多，第二天小何同学又带了这两种吉祥物进行售卖，共卖出10个，若这次销售总额不少于268元，求“冰墩墩”至少销售了多少个？
【答案】（1）每个冰墩墩售价是30元；每个雪容融的售价是22元
（2）6个
43．点O在直线PQ上，过点O作射线OC，使∠POC=130°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处。
（1）如图①所示，将直角三角板AOB的一边OA与射线OP重合，则∠BOC=　 　°。
（2）将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一定角度得到如图②所示的位置，若OA平分∠POC，求∠BOQ的度数。
（3）将图①中的直角三角板AOB绕点O旋转一周，存在某一时刻恰有OB⊥OC，求出所有满足条件的∠AOQ的度数。
【答案】（1）40
（2）解：∵OA平分∠POC，
∴∠AOP=∠AOC= ∠POC= ×130°=65°
∴∴∠BOQ=180°-∠AOP-∠AOB=180-65°-90°=25°
（3）解：如图1，当OB在∠POC内部时，则∠AOC=180°，∴∠AOQ=∠POC=130
如图2，当OB在∠POC外部时，则OA与OC重合，
∴∠AOQ=∠COQ=180°-130°=50°
综上所述，∠AOQ的度数为130°或50°
【解析】【解答】(1)∵∠BOC=∠POC-∠AOB
∴∠BOC=130°-90°=40°.
故答案为：40°.
【分析】（1）观察图形可知∠BOC=∠POC-∠AOB，代入计算可求解。
（2）利用角平分线的定义求出∠AOP的度数，再根据∠BOQ=180°-∠AOP-∠AOB，代入计算可求解∠BOQ的度数。
（3）分两种情况讨论：如图1，当OB在∠POC内部时，∠AOQ=∠POC，可求出∠AOQ的度数；如图2，当OB在∠POC外部时，则OA与OC重合，∠AOQ=∠COQ，即可求出∠AOQ的度数。
44．已知．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点F在内且在之间，平分平分，请猜想与的数量关系并证明；
（3）如图3，点M在上，点N在上，点E是上方一点，点G在之间，连接的延长线平分平分，若，求的度数．
【答案】（1）解：延长BA交CE于H，则
∵
∴
∴
（2）解：，理由如下：
∵平分平分，
∴
∵
∴
由（1）可得
∴
（3）解：过G作GK∥AB，则GK∥AB∥CD
设，
∵平分平分，
∴
∴
∵GK∥AB∥CD
∴
∴
根据（1）中的结论可得：
∴
∴
∵
∴
解得
∴
【解析】【分析】（1）延长BA交CE于H，则，根据平行线的性质可得，再利用等量代换可得；
（2）根据角平分线的定义可得，再结合可得，从而可得；
（3）过G作GK∥AB，则GK∥AB∥CD，设，求出，结合可得，所以，再将代入可得，求出x的值，即可得到。
45．某餐饮公司销售A、B两种套餐，已知购买2份A套餐和3份B套餐共用了84元；1份A套餐和2份B套餐共用了51元．
（1）求A套餐、B套餐的单价各多少元；
（2）某单位从该餐饮公司购买A、B两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最多能购买多少份B套餐．
【答案】（1）解：设A套餐的单价为x元，B套餐的单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
∴A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元；
（2）解：设购买B套餐m份，
由题意可得：，
解得：，
∴该单位最多能购买10份B套餐．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 ， 再解方程组即可；
（2）根据某单位从该餐饮公司购买A、B两种套餐共20份，费用不超过330元，列不等式求解即可。
46．如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转.
（1）直接写出∠DPC的度数.
（2）如图②，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？
（3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间.
【答案】（1）解：∠DPC=180°-∠APC-∠BPD=180°-60°-30°=90°
故答案为：90°
（2）解：设旋转的时间是t秒时PC与PB重合，根据题意列方程得
5t-t=30+90
解得t=30
又∵180÷5=36秒
∴30＜36
故旋转的时间是30秒时PC与PB重合
（3）解：设t秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：
①当PD平分∠BPC时，5t-t=90-30，解得t=15
②当PC平分∠BPC时， ，解得t=26.25
③当PB平分∠DPC时，5t-t=90-2×30，解得t=37.5
故15秒或26.25秒或37.5秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角
【解析】【分析】（1）易得∠DPC=180°-∠APC-∠BPD即可求 （2）只需设旋转的时间是t秒时PC与PB重合，列方程解可得 （3）一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：当PD平分∠BPC时；当PC平分∠BPC时；当PB平分∠DPC时，计算每种情况对应的时间即可.
47．已知 ， ，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧；
（1）保持 不动，将 绕点O旋转至如图2所示的位置，则① =　 　；② =　 　；
（2）若 按每分钟 的速度绕点O逆时针方向旋转， 按每分钟 的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算 (用t的代数式表示)。
（3）保持 不动，将 绕点O逆时针方向旋转 ，若射线OE平分 ，射线OF平分 ，求 的大小；
【答案】（1）150°；30°
（2）解：设运动时间为t秒，由题意可知：0当OD与OA相遇时，5t－2t=60，解得：t=20，
∴经过20秒，OD与OA相遇，
①0∠AOD=∠COD+∠AOM－∠MOC=60+2t－5t=60－3t，
∴∠MOC－∠AOD=5t－(60－3t)=8t－60；
②20∠AOD=∠MOC－∠COD－∠AOM=5t－60－2t=3t－60，
∴∠MOC－∠AOD=5t－(3t－60)=2t+60；
（3）解：设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0∵∠BOD=150°－n°，∠AOC=n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOF= (150°－n°)，∠BOE=90°－ n°，
∴∠EOF=∠BOE－∠BOF=15°；
②150°∵∠BOD= n°－150°，∠AOC=n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠BOF= (n°－150°)，∠BOE=90°－ n°，
∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=15°；
③180°∵∠BOD= n°－150°，∠AOC=360°－n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠DOF= (n°－150°)，∠COE= (360°－n°)，
∴∠EOF=∠DOF+∠COD+∠COE=165°；
④330°∵∠BOD=360°－(n°－150°)，∠AOC=360°－n°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠DOF= [360°－(n°－150°)]，∠COE= (360°－n°)，
∴∠EOF=∠DOF－∠COD－∠COE=15°；
综上，∠EOF的大小为15°或165°.
【解析】【解答】解：(1)①∵∠AOB=90°，∠COD=60°，
∴∠AOB+∠COD=90°+60°=150°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠AOC+∠AOD，
∴∠AOC+∠BOC+∠AOC+∠AOD=150°，
∴∠AOC+∠BOD=150°；
②∵∠AOB=90°，∠COD=60°，
∴∠AOB－∠COD=90°－60°=30°，
∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠AOC+∠AOD，
∴∠AOC+∠BOC－(∠AOC+∠AOD)=30°，
∴∠BOC－∠AOD=30°；
【分析】（1）①根据∠AOB及∠COD的度数求出∠AOB+∠COD的度数，然后利用角与角之间的关系进行代换化简即可；②根据∠AOB及∠COD的度数求出∠AOB－∠COD的度数，然后利用角与角之间的关系进行代换化简即可；（2）分情况讨论：OD与OA相遇前及OD与OA相遇后，画出图形，再根据角与角之间的关系进行计算即可；（3）分情况讨论，根据角与角之间的关系进行计算即可.
48．将一副三角尺如图①摆放，，，现将绕点C以/秒的速度逆时针方向旋转，旋转时间为秒．
（1）如图②，当　 　时，恰好平分；
（2）如图③，当　 　时，恰好平分；
（3）如图④，当　 　时，恰好平分；
（4）绕点C旋转到如图⑤的位置，平分，平分，求的度数；
（5）若旋转到如图⑥的位置，（4）中结论是否发生变化？请说明理由．
【答案】（1）4
（2）7
（3）10
（4）解：如图，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴.
（5）解：如图，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【解析】【解答】（1）解：如图，
由题意可得：，而，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：；
故答案为：4；
（2）如图，
∵，平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：7；
（3）如图，
∵，恰好平分，
∴，，
同理：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：10.
【分析】（1）利用角平分线的定义及角的运算和等量代换分析求解即可；
（2）利用角平分线的定义及角的运算和等量代换分析求解即可；
（3）利用角平分线的定义及角的运算和等量代换分析求解即可；
（4）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出即可；
（5）先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出．
49．图a是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图a中虚线用剪刀把它均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积：
方法1：　 　 （只列式，不化简）
方法2：　 　 （只列式，不化简）
（2）观察图b，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：　 　 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（a﹣b）2=　 　 ．
【答案】（1）（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn
（2）（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn
（3）29
【解析】【解答】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）（a-b）2=49-20=29
【分析】（1）根据图形得到长方形的面积是4mn，图b中阴影部分的面积是（m+n）2-4mn或是（m-n）2；（2）根据完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，把公式变形得到（a+b）2=（a-b）2+4ab或（a-b）2=（a+b）2-4ab，得到代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；（3）由（2）得到（a﹣b）2=（a+b）2-4ab，代入代数式的值，求出原式的值.
50．把一副三角板放成如图所示．
（1）当OD平分∠AOB时，求∠COB；
（2）若摆成如图2，OB、OD重合，OM平分∠AOD，ON平分∠AOC，求∠MON；
（3）将三角板OCD绕O点旋转，把OD旋转到∠AOB的内部或外部，（2）中的条件不变，试问∠MON的角度是否变化？若不变，求出它的值，并说理由．
【答案】（1）解：∵OD平分∠AOB，∠AOB=90°
∴∠DOB=∠AOB=45°
∵∠DOC=30°
∴∠COB=∠DOB-∠DOC=45°-30°=15°
（2）解：如图，
∵OM平分∠AOD，ON平分∠AOC
∴∠MOA=∠AOD=45°
∠AON=∠AOC=（90°+30°）=60°
∴∠MON=∠AON-∠AOM=60°-45°=15°
（3）解：把OD旋转到∠AOB的内部时，如图，
∵OM平分∠AOD，ON平分∠AOC
∴∠MOA=∠AOD=（90°-∠BOD）=45°-∠BOD
∠AON=∠AOC=（∠AOB+∠COD-∠BOD）=60°-∠BOD
∴∠MON=∠AON-∠MOA=15°
把OD旋转到∠AOB的外部时，如图，
设∠AOC=α，则∠AOD=360°-30°-α=330°-α
∵OM平分∠AOD，ON平分∠AOC
∴∠MOA=∠AOD=（330°-α）=165°-α
∠AON=∠AOC=α
∠MON=∠MOA+∠AON=165°-α+α=165°
∴∠MON=15°或∠MON=165°
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠DOB的度数，再根据∠COB=∠DOB-∠DOC，就可求出结果。
（2）利用角平分线的定义分别求出∠MOA和∠AON的度数，再求出∠MON的度数。
（3）把OD旋转到∠AOB的内部时，利用角平分线的定义，可推出∠MOA=45°-∠BOD，∠AON=60°-∠BOD，从而可求出∠MON的度数；把OD旋转到∠AOB的外部时，设∠AOC=α，利用角平分线的定义，可表示出∠MOA=165°-α，∠AON=α，再根据∠MON=∠MOA+∠AON，就可得出答案。
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