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【综合题强化训练·50道必刷题】湘教版数学八年级下册期末试卷
1．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的B处救人后，还要从（即）高的D处救人．
（1）求．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
2．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
3．为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各农贸市场开设了“爱心助农销售专区”，现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
（1）若该专区从该村购进苹果和橙子各200箱，且全部售出，可获利______元；
（2）为满足市场需求，该专区需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的总利润为W元．
①请求出获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式：
②若此次活动该专区获得总利润不低于25000元，求最多购进苹果的箱数．
4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.
（1）已知∠A=∠B，求证：AD=BC；
（2）已知AD=BC，求证：∠A=∠B.
5．如图， 为平行四边形 的对称中心，对角线 ，过点 作直线 ，分别交 于 ，连接 ．
（1）证明：四边形 是菱形；
（2）若四边形 是正方形且 ，求 的长．
6．小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡底跑到坡顶再原路返回坡底.他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的倍.设两人出发后距出发点的距离为.图中折线表示小亮在整个训练中与的函数关系，其中点在轴上，点坐标为.
（1）小亮下披的速度是　 　
（2）求出所在直线的函数关系式；
7．如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，点A的对应点的坐标为．
（1）请画出平移后的；
（2）写出点，的坐标；
（3）写出中任意一点平移后的对应点为的坐标．
8．在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即三个顶点都在小正方形的顶点处，如图1所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.）
（1）请将△ABC的面积直接填写在横线上　 　.
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为 ，2 （a＞0），请在图②中给出的正方形网格内（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC（其中一条边已经画好），并求出它的面积.
9．研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量/（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/（吨/公顷） 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施肥氮肥呢？
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由．
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
10．已知y与2x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝﹣1.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当y＝1时，求x的值.
11．为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树.已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元.
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵.设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
12．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2，p)在第一象限，直线PA交y轴与点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6，
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标及p的值；
（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式．
13．花卉市场中，某花店出售太阳花和绣球花两种盆栽花卉．若一次购买的绣球花不超过20盆时，按原价销售，超过20盆时，超出的部分可享受一定的折扣，由于太阳花利润很低，所以无对应折扣，均按原价出售．设购买太阳花的总费用为元，购买绣球花的总费用为元，购买花卉的盆数为x盆，其函数图象如图所示．
（1）说明交点A的实际意义；
（2）当一次购买的绣球花超过20盆时，超出的部分打几折？
（3）某花园小区购买了相同盆数的太阳花和绣球花，已知两种花各自的花费相差10元，求该小区购买了多少盆太阳花．
14．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）AE=EF；
（2）BF∥AC．
15．如图，在□中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点.
（1）现有四个等式：①AE=CF；②∠ADE=∠CBF；③DE=BF；④．
请从以上条件中选择一个添加，使四边形DEBF是平行四边形.你添加的是　 　.(只填一个正确的序号）
（2）利用（1）中你选择的条件，证明四边形DEBF为平行四边形.
16．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下到问题：
（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为　 　；
（2）求线段CD的解析式；
（3）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（4）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值及△AOB的面积；
（2）已知点M（3，0），若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．
18．已知正方形 ，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形 的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形 的内等边三角形．
（1）若正方形 的边长为10，点 在边 上．
①当点 为边 的中点时，求作：正方形 的内等边 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；　 　
②若 是正方形 的内等边三角形，连接 ，则线段 长的最小值是　 　，线段 长的取值范围是　 　；
（2） 和 都是正方形 的内等边三角形，当边 的长最大时，画出 和 ，
点 按逆时针方向排序，连接 ．找出图中与线段 相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．
19．公交公司员工小明住在站点的员工宿舍，每天早上去站点上班，站到站唯一一条公交线路示意图如图1，、、、是四个公交站点，其中、两站相距的路程是1200米，为了健身，小明往往沿公交线路步行到站或站后再乘公交车上班.
（1）星期一，小明步行到站上车，记他距站的路程为米，离开站的时间为分，关于的函数图象如图2，求的解析式及公交车的速度；
（2）星期二，小明以与星期一相同出发时间和步行速度步行到站上车，已知公交车无论上行（→）还是下行（→）都每隔10分钟一班，每天始发时间和行车速度保持不变，乘客上下车时间忽略不计；
①通过计算判断小明步行到达站时是否恰好有上行公交车到达站；
②小明到达站所用时间是星期一的1.5倍，求、两站相距的路程；
③若小明步行至站时刚好遇见一辆下行班车，这一趟上班途中，直接写出他遇到下行班车的最短间隔时间.
20．已知：如图，在 中， ， ， 为边 上一点，连接 交 于点 ， .
求证： 平分 .
21．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上的一点，且BD=12cm，CD=16cm．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的周长．
22．
（1）计算；
（2）已知一次函数的图象经过点和点，求此一次函数解析式．
23．甲乙两人进行百米赛跑，甲比乙跑的快，如果两人同时跑，甲肯定赢，现在甲让乙先跑若干米，图中的射线a，b分别表示两人跑的路程与甲追赶时间的关系，根据图象提供的信息，解答问题：
（1）甲让乙先跑了　 　米；
（2）图中两条射线a、b的交点表示的实际意义是什么？
（3）分别求出表示甲、乙的路程与时间的函数关系式；
24．如图，在 中， ， ， ，点 为是边 的中点，点 是边 上一点，连接 并延长至 ，使得 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求 长.
25．如图1，已知平行四边形，点为边的中点，连结并延长交的延长线与点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当时，求的面积．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC 　 　，则△ABC的面积是　 　；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为　 　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
27．某工厂开发生产一种新产品，设生产的产品数量为（件），总销售额为（元），且与之间满足正比例函数关系，当时，；总成本为（元），与之间关系满足表格：
产品数量（件） 1 2 3 4
总成本（元） 15025 15050 15075 15100
（1）分别求出、与之间的函数关系式；
（2）设工厂的总利润为（元），求与的函数关系式；
（3）至少生产并销售多少件产品后，工厂才不会亏损．
28．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”；
（2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长．
29．我们知道一次函数的图象是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画一次函数图象简化成“定两点，画图象”的简易方法，下面就是用这种简易方法画一次函数y＝ x﹣2图象的过程.请你回答下列问题.
（1）列表，把表补充完整；
x … 0 　 　 …
y＝ x﹣2 … 　 　 0 …
（2）描点并连线得（如图）；
（3）请你写出一个点的坐标，要求这个点在一次函数y＝ x﹣2图象上且不在坐标轴上，则这个点的坐标是：　 　.
30．已知y与成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若点在这个函数的图象上，求n的值．
31．已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝1时，求y的值．
32．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，结合图象回答下列问题：
（1）表示乙离开A地的距离与时间关系的图象是　 　(填“l1”或“l2”)；甲的速度是　 　 km/h；乙的速度是　 　km/h；
（2）甲出发后多少时间两人恰好相距5km？
33．甲、乙两个探测气球分别从海拔高度5m和15m处同时出发，甲探测气球以1m/min的速度上升，乙探测气球以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了60min．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔高度y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）分别写出表示两个气球所在位置的海拔高度y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系．
（2）当甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，上升时间是多少
34．公园计划购进A，B两种花卉500株，其中A花卉每株单价为6元，购买B种花卉所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：株）之间函数关系如图：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若B种花卉不超过300株，但不少于A种花卉的数量的四分之一，请你设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用.
35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发.
（1）几秒钟后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒钟后，P、Q间的距离等于5cm？
36．为了解太和县小微企业的用水情况，某部门从该是小微企业中随机抽取100户进行月用水量（单位：吨）调查，按月用水量，进行分组，并绘制了如下频数分布直方图：
（1）求频数分布直方图中m的值．
（2）判断这100户小微企业月用水量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）．
（3）设各组的小微企业月平均用水量（单位：吨）依次分别为75，125，175，225，275，325，根据以上信息估计小微企业用水量的平均值．
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．
38．如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．
（1）求证：DF=EF；
（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．
39．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．
（1）探究发现
△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；
（2）拓展运用
若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；
（3）若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为　 　．
40．如图，BD是 的角平分线，过点D作 交 于点E， 交BC于点F.
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果 ， ，求 的度数.
41．如图所示，在菱形ABCD中，，，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
42．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．
（1）当DM＝2时，依题意补全图1；
（2）在（1）的条件下，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD的数量关系　 　．
43．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E。设CD= ，DF= .
（1）求 与 的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求 的值；
（3）当△FED是直角三角形时，求 的值.
44．已知正方形的对角线，相交于点，过点作直线，分别交，于，两点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作直线的垂线分别交，于，两点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个四边形，使写出的每个四边形的面积都相等且都等于正方形面积的．
45．有这样一个问题：探究函数y 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥3时，y=　 　，当x＜3时，y=　 　；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y 的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程x+a 有唯一解，直接写出实数a的取值范围：　 　．
46．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2 ，延长AD到E，使AE=2AD，连接BE．
（1）求证：△ABE为等边三角形；
（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG=AF；
（3）在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．
47．
（1）如图1，点P为矩形 对角线 上一点，过点P作 ，分别交 、 于点E、F.若 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，则 　 　；
（2）如图2，点 为 内一点（点 不在 上），点 、 、 、 分别为各边的中点.设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求 的面积（用含 、 的代数式表示）；
（3）如图3，点 为 内一点（点 不在 上）过点 作 ， ，与各边分别相交于点 、 、 、 .设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求 的面积（用含 、 的代数式表示）；
（4）如图4，点 、 、 、 把 四等分.请你在圆内选一点 （点 不在 、 上），设 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 .根据你选的点 的位置，直接写出一个含有 、 、 、 的等式（写出一种情况即可）.
48．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠ACB=30° ，AD平分∠BAC， BD= ，点P为线段AC上的一个动点
（1）求AC的长
（2）作△ABC中∠ACB的角平分线CH，求BH的长
（3）若点E在直线1上，且在C点的左侧，PE=PC， AP为多少时，△ACE为等腰三角形
49．如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两直线相交于点 .
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积.
50．在正方形 ABCD 中.
（1）如图 1，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AE、BF 相交于点 O，∠AOB=90°，试判断AE 与 BF 的数量关系，并说明理由；
（2）如图 2，点 E、F、G、H 分别在边 BC、CD、DA、AB 上，EG、FH 相交于点 O，∠GOH=90°，且 EG=7，求 FH 的长；
（3）如图 3，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AE、BF 相交于点 O，∠AOB=90°，若 AB=3， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为 2：3，求△ABO 的周长.
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【综合题强化训练·50道必刷题】湘教版数学八年级下册期末试卷
1．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）．如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的B处救人后，还要从（即）高的D处救人．
（1）求．
（2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方3米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】（1）12米
（2）3米
2．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
【答案】当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为．
3．为了帮助经济相对薄弱村发展经济，将真正的实惠带给消费者，某市在各农贸市场开设了“爱心助农销售专区”，现从某村购进苹果和橙子进行销售，进价分别为每箱40元和60元，该专区决定苹果以每箱60元出售，橙子以每箱88元出售．
（1）若该专区从该村购进苹果和橙子各200箱，且全部售出，可获利______元；
（2）为满足市场需求，该专区需购进这两种水果共1000箱，设购进苹果m箱，获得的总利润为W元．
①请求出获利W（元）与购进苹果箱数m（箱）之间的函数表达式：
②若此次活动该专区获得总利润不低于25000元，求最多购进苹果的箱数．
【答案】（1）
（2）①；②此次活动该专区获得总利润不低于25000元，则最多购进苹果箱
4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD.
（1）已知∠A=∠B，求证：AD=BC；
（2）已知AD=BC，求证：∠A=∠B.
【答案】（1）解：如图，过点C作CE∥DA，交AB于点E
∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵CE∥DA
∴∠A=∠CEB
又∵∠A=∠B
∴∠CEB=∠B
∴EC=BC
∴AD=BC
（2）解：∵CE∥DA，AB∥CD
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD=EC
又∵AD=BC
∴EC=BC
∴∠CEB=∠B
又∵CE∥DA
∴∠CEB=∠A
∴∠B=∠A
【解析】【分析】（1）过C作CE∥DA，可证明四边形ADCE是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，根据DA∥CE，可得∠A=∠CEB，根据等量代换可得∠CEB=∠B，进而得到EC=BC，从而可得AD=BC；（2）根据CE∥DA，AB∥CD，可证明四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AD=EC，再由条件AD=BC可得EC=BC，根据等边对等角可得∠B=∠CEB，再根据平行线的性质可得∠A=∠CEB，利用等量代换可得∠B=∠A.
5．如图， 为平行四边形 的对称中心，对角线 ，过点 作直线 ，分别交 于 ，连接 ．
（1）证明：四边形 是菱形；
（2）若四边形 是正方形且 ，求 的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC
∴∠AEO=∠CFO
∵O为AC的中点
∴OA=OC
在△AOE和△COF中
∴
∴OE=OF
∴四边形AFCE是平行四边形
∵
∴
∵
∴
∴ ，又∵四边形AFCE是平行四边形
∴四边形 是菱形
（2）解：∵四边形AFCE是正方形
∴∠AFC=90°，AF=CF，∠CAF=∠ACF=45
∵
∴
∴∠B=45°
∴ 是等腰直角三角形
∴
又∵
∴
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，证明△AOE≌△COF，结合全等撒娇行的性质，证明四边形AFCE为平行四边形，结合菱形的判定定理，求出答案即可；
（2）根据正方形的性质，判断△ABC为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质，求出AB的值即可。
6．小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡底跑到坡顶再原路返回坡底.他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的倍.设两人出发后距出发点的距离为.图中折线表示小亮在整个训练中与的函数关系，其中点在轴上，点坐标为.
（1）小亮下披的速度是　 　
（2）求出所在直线的函数关系式；
【答案】（1）180
（2）解：，
∴.
设直线的解析式为：，
由题意，得，
解得，
直线的解析式为：.
【解析】【解答】（1）解：∵M（4，0），
由图象得点B的坐标为：（4，480），
∴小亮上坡的速度为：480÷4=120
∴小亮的下坡速度为：120×1.5=180 ；
故答案为：180；
【分析】（1）由图象易得小亮上坡的时候，4分钟跑了480米，从而根据路程除以时间等于速度算出小亮的上坡的平均速度，进而根据下坡的平均速度则是上坡平均速度的1.5倍即可求出小亮小坡的平均速度；
（2）由路程除以速度=时间算出小亮下坡所用时间，从而即可得出点A的坐标为，再利用待定系数法即可求出直线AB的解析式.
7．如图，由平移所得，三个顶点的坐标分别为，，，点A的对应点的坐标为．
（1）请画出平移后的；
（2）写出点，的坐标；
（3）写出中任意一点平移后的对应点为的坐标．
【答案】（1）解：∵，，，点A的对应点的坐标为
∴，，
如图：
即为所求；
（2）解：根据（1）的结论，得：，；
（3）解：根据题意，得：．
【解析】【分析】（1）分别作出A、B、C的对应点即可；
（2）根据（1）的结论，即可得：，；
（3）根据题意即可得解。
8．在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即三个顶点都在小正方形的顶点处，如图1所示，这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.）
（1）请将△ABC的面积直接填写在横线上　 　.
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法，若△ABC三边的长分别为 ，2 （a＞0），请在图②中给出的正方形网格内（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC（其中一条边已经画好），并求出它的面积.
【答案】（1）
（2）解：如图， .
【解析】【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
【分析】（1）由网格图的特征和三角形的构成可求解；
（2）由网格图的特征和勾股定理可求解.
9．研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量/（千克/公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471
土豆产量/（吨/公顷） 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施肥氮肥呢？
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由．
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
【答案】（1）解：上表反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量
（2）解：由表可知：当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是：32.29吨/公顷，
如果不施氮肥，土豆的产量是：15.18吨/公顷
（3）解：当氮肥的施用量是336千克/公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，施肥太多或太少都会使土豆产量减产
（4）解：当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产．
【解析】【分析】（1）上表反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量；
（2）由表可知：当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是：32.29吨/公顷， 如果不施氮肥，土豆的产量是：15.18吨/公顷；
（3）当氮肥的施用量是336千克/公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，施肥太多或太少都会使土豆产量减产；
（4）当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产．
10．已知y与2x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝﹣1.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）当y＝1时，求x的值.
【答案】（1）解：设y＝k（2x﹣3），
把x＝1，y＝﹣1代入得：﹣1＝﹣k，即k＝1，
则y＝2x﹣3，即y＝2x﹣3
（2）解：把y＝1，代入得：1＝2x﹣3，
解得：x＝2
【解析】【分析】（1）设y＝k(2x-3)，将x=1、y=-1代入求出k的值，进而可得y与x的函数关系式；
（2）将y=1代入函数关系式中进行计算就可得到x的值.
11．为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树.已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元.
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵.设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
【答案】（1）解：设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，
根据题意得：，
解得：，
答：桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；
（2）解：设购买桂花树的棵数为n，则购买芒果树的棵数为棵，
根据题意得，
，
∴w随n的增大而增大，
∴当时，元，
此时，
∴当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元.
【解析】【分析】（1）设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，根据桂花树的单价比芒果树的单价多40元可得x=y+40；根据购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元可得3x+2y=370，联立求解即可；
（2）设购买桂花树的棵数为n，则购买芒果树的棵数为(60-n)棵，根据桂花树单价×棵数+芒果树的单价×棵数=总费用可得w与n的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
12．如图，A、B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P(2，p)在第一象限，直线PA交y轴与点C(0，2)，直线PB交y轴于点D，△AOP的面积为6，
（1）求△COP的面积；
（2）求点A的坐标及p的值；
（3）若△BOP与△DOP的面积相等，求直线BD的函数解析式．
【答案】（1）解：作PE⊥y轴于E，如下图所示：
∵P的横坐标是2，则PE=2，
∴
（2）解：由题意知：∵S△AOC=S△AOP-S△COP=6-2=4，
且 ，
故 ，代入OC=2，解得AO=4，
∴A点的坐标为(-4，0)，
设直线AP的解析式是y=kx+b，代入A(-4，0)和C(0，2)，
，解得 ，
∴直线AP的解析式为 ，代入P(2，p)，
∴ ，
故答案为：A坐标为(-4，0)，p=3；
（3）解：设D(0，n)，则OD=n，
∵P(2，3)，且 ， ，
由题意知：△BOP与△DOP的面积相等，
∴3OB=2OD，
又OD=n，故OB= ，
∴ ，
设直线BD的解析式为y=mx+n，代入 ，
∴ ，解得 ，
∴BD的解析式为： ，代入点P(2，3)，
即： ，解得 ，
∴直线BD的解析式为 ，
故答案为： ．
【解析】【分析】(1)已知P的横坐标，即可知道△OCP的边OC上的高长，利用三角形的面积公式即可求解；(2)求得△AOC的面积，即可求得A的坐标，利用待定系数法即可求得AP的解析式，把x=2代入解析式即可求得p的值；(3)根据△BOP与△DOP的面积相等得出3OB=2OD，进而求出B、D两点的坐标，再利用待定系数法求出直线BD的解析式即可．
13．花卉市场中，某花店出售太阳花和绣球花两种盆栽花卉．若一次购买的绣球花不超过20盆时，按原价销售，超过20盆时，超出的部分可享受一定的折扣，由于太阳花利润很低，所以无对应折扣，均按原价出售．设购买太阳花的总费用为元，购买绣球花的总费用为元，购买花卉的盆数为x盆，其函数图象如图所示．
（1）说明交点A的实际意义；
（2）当一次购买的绣球花超过20盆时，超出的部分打几折？
（3）某花园小区购买了相同盆数的太阳花和绣球花，已知两种花各自的花费相差10元，求该小区购买了多少盆太阳花．
【答案】（1）当购买花卉为60盆时，两种花的总费用一样多，都为480元；
（2）超出的部分打七折；
（3）某花园小区购买了5盆或50盆或70盆太阳花．
14．如图，已知E是平行四边形ABCD中BC边的中点，AC是对角线，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）AE=EF；
（2）BF∥AC．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，
，
∴∠ABE＝∠ECF，
又∵E为BC的中点，∴BE＝CE，
又∠AEB＝∠FEC
在△ABE和△FCE中，
，
（2）解：由（1）知：∴AE＝EF，BE＝CE
∴四边形ABFC为平行四边形，
．
【解析】【分析】（1）先求出 BE＝CE， 再利用ASA证明三角形全等，最后证明求解即可；
（2）先求出四边形ABFC为平行四边形， 再证明求解即可。
15．如图，在□中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点.
（1）现有四个等式：①AE=CF；②∠ADE=∠CBF；③DE=BF；④．
请从以上条件中选择一个添加，使四边形DEBF是平行四边形.你添加的是　 　.(只填一个正确的序号）
（2）利用（1）中你选择的条件，证明四边形DEBF为平行四边形.
【答案】（1）①
（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形DEBF为平行四边形.
【解析】【分析】由四边形ABCD为平行四边形可得OB=OD，OA=OC，根据AE=CF结合线段的和差关系可得OE=OF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明.
16．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地如图，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；折线BCD表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象；请根据图象解答下到问题：
（1）货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为　 　；
（2）求线段CD的解析式；
（3）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（4）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
【答案】（1）y=60x
（2）解：设CD段函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
，解得 ，
∴CD段函数解析式：y＝110x 195（2.5≤x≤4.5）
（3）解：解方程组 ，得 ，
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇
（4）解：80÷60＝1 ，即点B的坐标（1 ，0），
∴轿车开始的速度为：80÷（2.5 1 ）＝ （千米/时），
当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150 80＝70＞20，
由题意60x （x 1 ）＝20或60x （110x 195）＝20或110x 195 60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
【解析】【解答】（1）设货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝k1x，
根据题意得5k1＝300，
解得k1＝60，
∴y＝60x，
即货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数式为y＝60x；
故答案为：y＝60x；
【分析】（1）根据题意，设出y与x的解析式，求出答案即可；
（2）同理，利用待定系数法，求出答案即可；
（3）根据题意，将两个方程联立，即可得到此时x的值。
17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝kx+3与x轴相交于点A（2，0），与y轴交于点B．
（1）求k的值及△AOB的面积；
（2）已知点M（3，0），若点P是直线AB上的一个动点，当△PBM的面积与△AOB的面积相等时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将点A（2，0）代入直线y＝kx+3，得0＝2k+3，
解得k＝﹣，
∴y＝﹣x+3．
当x＝0时，y＝3．
∴B（0，3），
∴OB＝3．
∵A（2，0），
∴OA＝2，
∴S△AOB＝OA OB＝×2×3＝3；
（2）解：∵M（3，0），
∴OM＝3，
∴AM＝3﹣2＝1．
由（1）知，S△AOB＝3，
∴S△PBM＝S△AOB＝3；
①当点P在x轴下方时，S△PBM＝S△PAM+S△ABM＝AM OB+ AM |yP|＝×1×3+×1×|yP|＝3，
∴|yP|＝3，
∵点P在x轴下方，
∴yP＝﹣3．
当y＝﹣3时，代入y＝﹣x+3得，﹣3＝﹣x+3，
解得：x＝4．
∴P（4，﹣3）；
②当点P在x轴上方时，S△PBM＝S△APM﹣S△ABM＝ AM |yP|﹣AM OB＝×1×|yP|﹣＝3，
∴|yP|＝9，
∵点P在x轴上方，
∴yP＝9．
当y＝9时，代入y＝﹣x+3得，9＝﹣x+3，
解得：x＝﹣4．
∴P（﹣4，9）．
综上，点P的坐标为（4，﹣3）或（﹣4，9）．
【解析】【分析】（1）将点A（2，0）代入y＝kx+3中可得k的值，进而可得函数关系式，令x=0，求出y的值，可得点B的坐标，根据点A、B的坐标可得OA、OB，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据点M的坐标可得OM＝3，则AM＝1，由（1）知S△AOB＝3，则S△PBM＝S△AOB＝3，①当点P在x轴下方时，S△PBM＝S△PAM+S△ABM，结合三角形的面积公式以及点P的位置可得yP，代入直线解析式中求出x的值，可得点P的坐标；②当点P在x轴上方时，同理求解即可.
18．已知正方形 ，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形 的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形 的内等边三角形．
（1）若正方形 的边长为10，点 在边 上．
①当点 为边 的中点时，求作：正方形 的内等边 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；　 　
②若 是正方形 的内等边三角形，连接 ，则线段 长的最小值是　 　，线段 长的取值范围是　 　；
（2） 和 都是正方形 的内等边三角形，当边 的长最大时，画出 和 ，
点 按逆时针方向排序，连接 ．找出图中与线段 相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．
【答案】（1）解：如图所示，△AEF是内等边三角形； ；；5；5 ≤DF≤10
（2）解：（2） 和 如图所示：
∵ 是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，
∵边AM的长最大，
∴点M在DC上，点N在BC上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL），
∴BN=DM，
∵ 和 是等边三角形，
∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60°，
∴∠DAM=∠PAN，
∴△ADM≌△APN（SAS），
∴DM=PN，
∴NP=DM=BN，即：与线段 相等的线段有BN，DM．
【解析】【解答】解：（1）∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，
∴当BF⊥AF时，BF有最小值，
此时，∵∠FAB＝∠DAB ∠EAF＝30°，
∴BF＝ AB＝5，
∴BF的最小值为5，
当DF⊥AF时，DF有最小值，
此时，∠ADF＝30°，
∴AF＝ AD＝5，DF= ，
当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，
∴线段DF长的取值范围为5 ≤DF≤10，
故答案为：5，5 ≤DF≤10；
【分析】（1）①通过作AD的中垂线，确定点E，再以点A，点E为圆心，AE长为半径画弧，两弧交于点F，连接EF，AF，即△AEF是内等边三角形；②由题意可得点F在与AD成60°的直线AF上移动，则当BF⊥AF时，BF有最小值，当DF⊥AF时，DF有最小值，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，即可求解；（2）根据题意画出图形，分别证明Rt△ADM≌Rt△ABN，△ADM≌△APN，进而即可求解．
19．公交公司员工小明住在站点的员工宿舍，每天早上去站点上班，站到站唯一一条公交线路示意图如图1，、、、是四个公交站点，其中、两站相距的路程是1200米，为了健身，小明往往沿公交线路步行到站或站后再乘公交车上班.
（1）星期一，小明步行到站上车，记他距站的路程为米，离开站的时间为分，关于的函数图象如图2，求的解析式及公交车的速度；
（2）星期二，小明以与星期一相同出发时间和步行速度步行到站上车，已知公交车无论上行（→）还是下行（→）都每隔10分钟一班，每天始发时间和行车速度保持不变，乘客上下车时间忽略不计；
①通过计算判断小明步行到达站时是否恰好有上行公交车到达站；
②小明到达站所用时间是星期一的1.5倍，求、两站相距的路程；
③若小明步行至站时刚好遇见一辆下行班车，这一趟上班途中，直接写出他遇到下行班车的最短间隔时间.
【答案】（1）解：由图象可知，小明步行的速度为（米分），
的解析式为，
公交车的速度为（米分）；
（2）解：①小明步行到达站需要（分，
上行公交车到达站需要（分，
，
小明步行到达站时恰好有上行公交车到达站；
②设小明星期一所用时间为，星期二到达站所用时间为，
由题可知，，
小明到达站所用时间是星期一的1.5倍，
，
解得，
、两站相距的路程是6600米；
③5分钟
【解析】【解答】（2）③每隔10分钟一班，
每辆公交车相距（米，
步行的速度小于坐车时的速度，
最短时间间隔发生在坐车时，
间隔时间为（分钟）.
【分析】（1）根据图象算出小明步行的速度，即可得到OM的解析式，根据图象找到公交车的路程和时间直接计算可求出速度；
（2）①分别计算出小明步行到达C站时间和上行公交车到达C站时间，即可判断求解；
②设小明星期一所用时间为t1，星期二到达D站所用时间为t2，根据“小明到达D站所用时间是星期一的1.5倍”列出关于SCD的方程，解方程求解即可；
③根据“每隔10分钟一班”求出每辆公交车之间的距离，最短时间间隔发生在坐车时，列式计算即可求解．
20．已知：如图，在 中， ， ， 为边 上一点，连接 交 于点 ， .
求证： 平分 .
【答案】证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 .
【解析】【分析】易得∠CFG+∠CAF=90°，则CE⊥AB，得到∠AEC=90°，然后根据三角形内角和定理可得∠AGE+∠BAF=90°，然后根据已知条件可推出∠CAF=∠BAF，据此解答.
21．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上的一点，且BD=12cm，CD=16cm．
（1）求证：△BCD是直角三角形；
（2）求△ABC的周长．
【答案】（1）证明： 在 中， ， ， ．
，
，
是直角三角形；
（2）解：设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
即 ，
，
的周长是 ．
【解析】【分析】（1）求出，再利用勾股定理逆定理得出结论即可；
（2） 设 ，则 ， 根据勾股定理求出x的值，求出AC=AB=15cm，再求出周长即可。
22．
（1）计算；
（2）已知一次函数的图象经过点和点，求此一次函数解析式．
【答案】（1）解：
；
（2）解：设，将点和点代入得，
②-①，得，
，
把代入①，得，
，
∴一次函数解析式为.
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质将其化为最简二次根式，再进行合并同类项即可；
（2）利用待定系数法即可求出该一次函数的解析式.
23．甲乙两人进行百米赛跑，甲比乙跑的快，如果两人同时跑，甲肯定赢，现在甲让乙先跑若干米，图中的射线a，b分别表示两人跑的路程与甲追赶时间的关系，根据图象提供的信息，解答问题：
（1）甲让乙先跑了　 　米；
（2）图中两条射线a、b的交点表示的实际意义是什么？
（3）分别求出表示甲、乙的路程与时间的函数关系式；
【答案】（1）20
（2）解：图中两条射线a、b的交点表示的实际意义是：甲用时8秒追上乙，距离出发点64米；
（3）解：设甲跑的路程与时间之间的关系式为S甲=kt，
把（8，64）代入S甲=kt，得：k=8，
所以，S甲=8t；
设乙跑的路程与时间之间的关系式为S乙=mt+n，
把（8，64），（0，20）代入S乙=mt+n，得：
，解得，
所以，S乙=5.5t+20．
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，射线a是甲的函数图象，射线b是乙的图像，甲让乙先跑了20米，
故答案为：20；
【分析】（1）由图象可得，射线a是甲的函数图象，射线b是乙的图像，甲让乙先跑了20米；
（2）甲用时8秒追上乙，此时距离出发点64米；
（3）利用待定系数法分别求出函数关系式即可.
24．如图，在 中， ， ， ，点 为是边 的中点，点 是边 上一点，连接 并延长至 ，使得 .
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ，求 长.
【答案】（1）证明： 点 是边 的中点，
.
又 ，
四边形 是平行四边形
（2）解： ，四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形.
设 ， 中， ，
，解得 .
，
菱形 面积 ，
【解析】【分析】（1）由线段中点的概念可得BE=FE，然后结合平行四边形的判定定理进行证明；
（2）易得四边形BDFC为菱形，设BD=DF=x，在Rt△ABD中，应用勾股定理可得x的值，接下来由菱形的面积公式就可求得CD的值.
25．如图1，已知平行四边形，点为边的中点，连结并延长交的延长线与点，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）如图2，当时，求的面积．
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
又点E为AD的中点，
AE=DE，
在AEF与DEC中，
≌，
，
又
四边形ACDF是平行四边形
（2）解：四边形ABCD是平行四边形
AD=BC，AB=CD，
CF=BC，AD=CF，
由(1)证得四边形ACDF是平行四边形
四边形ACDF是矩形，
FAC=90°，
CAB=180°FAC=90°，
是直角三角形，
四边形ACDF是矩形，
AF=CD=AB=1，
．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，根据AAS证明△AEF≌△DEC，可得AF=CD，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即证结论；
（2）由平行四边形的性质及已知，可得AD=BC=CF，AB=CD，结合（1）结论可得四边形ACDF是矩形，从而得出∠BAC=∠FAC=90°，AF=CD=AB=1，利用三角形的面积公式即可求解.
26．如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC 　 　，则△ABC的面积是　 　；
（2）若点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为　 　；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为4，求点P的坐标．
【答案】（1）；4
（2）（﹣4，﹣3）
（3）解：∵P为x轴上一点，△ABP的面积为4，
∴ ，∴BP＝8，
∴点P的横坐标为：2+8＝10或2﹣8＝﹣6，
故P点坐标为：（10，0）或（﹣6，0）．
【解析】【解答】解：(1)△ABC的面积=3×4﹣ ；
故答案为：4
（2）点D与点C关于原点对称，则点D的坐标为：（﹣4，﹣3）；
故答案为：（﹣4，﹣3）；
【分析】（1）直接利用三角形ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；
（2）利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案。
27．某工厂开发生产一种新产品，设生产的产品数量为（件），总销售额为（元），且与之间满足正比例函数关系，当时，；总成本为（元），与之间关系满足表格：
产品数量（件） 1 2 3 4
总成本（元） 15025 15050 15075 15100
（1）分别求出、与之间的函数关系式；
（2）设工厂的总利润为（元），求与的函数关系式；
（3）至少生产并销售多少件产品后，工厂才不会亏损．
【答案】（1）解：∵n与x之间满足正比例函数关系，当x=1时，n=40；∴n=40x，设m与x之间关系为m=kx+b，将（1，15025），（2，15050）代入得：，解得，∴m=25x+15000；当时，，当时，符合解析式，答：n=40x，m=25x+15000；
（2）解：根据题意得：w=n-m=40x-（25x+15000）=15x-15000；答：w=15x-15000；
（3）解：当w≥0，即15x-15000≥0时，工厂才不会亏损，解得x≥1000，答：至少生产并销售1000件产品后，工厂才不会亏损．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用利润公式计算求解即可；
（3）根据题意先求出 15x-15000≥0 ，再求解即可。
28．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．
（1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”；
（2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长．
【答案】（1）证明：作于点D，
在中，∵，，由勾股定理可得，∴是“美丽三角形”
（2）解：
①作AC的中线BD，是“美丽三角形”
当BD=AC=时
则CD=
由勾股定理得BC=
②作BC的中线AD，是“美丽三角形”
当BC=AD时
则CD=
在中，由勾股定理得
则，解得CD=4
∴BC=2CD=8
故的长为6或8．
【解析】【分析】（1）作于点D，根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，即可得解；
（2）①作AC的中线BD，是“美丽三角形”，②作BC的中线AD，是“美丽三角形”，利用勾股定理计算即可。
29．我们知道一次函数的图象是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画一次函数图象简化成“定两点，画图象”的简易方法，下面就是用这种简易方法画一次函数y＝ x﹣2图象的过程.请你回答下列问题.
（1）列表，把表补充完整；
x … 0 　 　 …
y＝ x﹣2 … 　 　 0 …
（2）描点并连线得（如图）；
（3）请你写出一个点的坐标，要求这个点在一次函数y＝ x﹣2图象上且不在坐标轴上，则这个点的坐标是：　 　.
【答案】（1）－2；4
（2）解：描点并连线得（如图）；
（3）（2，﹣1）
【解析】【解答】解：（1）列表，把表补充完整；
x … 0 4 …
y＝ x﹣2 … ﹣2 0 …
（3）把x＝2代入y＝ 得，y＝﹣1，
∴点（2，﹣1）在一次函数y＝ 图象上，
故答案：（2，﹣1）；
【分析】（1）将x=0代入函数解析式中可得y的值，将y=0代入函数解析式中可得x的值；
（2）描点、连线即可作出函数的图象；
（3）将x=2代入函数解析式中可得y的值，据此可得点的坐标.
30．已知y与成正比例，且当时，．
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）若点在这个函数的图象上，求n的值．
【答案】（1）解：由 与 成正比例可设：
， ；
将 ， 代入得：
解得：
与的函数解析式为：
整理得：
（2）解：将点 代入中得：
解得：
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将点P的坐标代入可得，再求出n的值即可。
31．已知y是x的一次函数，且当x＝4时，y＝9；当x＝6时，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当x＝1时，求y的值．
【答案】（1）解：设y=kx+b，代入（4，9）和（6，-1）得
，
解得： ，
∴此一次函数的表达式为y=-5x+29
（2）解：将x=1代入y=-5x+29，
得：y=-5×1+29=24
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（4，9）、（6，-1）代入可得k、b的值，进而得到函数表达式；
（2）将x=1代入函数表达式中就可求得y的值.
32．A，B两地相距60km，甲、乙两人从两地出发相向而行，甲先出发．图中表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系，结合图象回答下列问题：
（1）表示乙离开A地的距离与时间关系的图象是　 　(填“l1”或“l2”)；甲的速度是　 　 km/h；乙的速度是　 　km/h；
（2）甲出发后多少时间两人恰好相距5km？
【答案】（1）l2；30；20
（2）解：设甲出发x小时两人相距5km，
则30x+20(x-0.5)+5= 60
或30x+ 20(x-0.5)-5= 60．
解得x=1.3或1.5．
答：甲出发后1.3 h或者1.5 h时，甲、乙相距5 km．
【解析】【解答】解：(1)∵图象l2表示后出发；甲的速度==30（ km/h ），乙的速度==20（ km/h ）.
故答案为：l2，30，20.
【分析】(1)乙后出发，则知l2表示乙离开A地的距离与时间关系的图象；看图象利用速度公式解答即可；
(2)设甲出发x小时两人相距5km，根据他们的路程之和为60，列出关于x的一元一次方程求解即可.
33．甲、乙两个探测气球分别从海拔高度5m和15m处同时出发，甲探测气球以1m/min的速度上升，乙探测气球以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了60min．下图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔高度y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．
（1）分别写出表示两个气球所在位置的海拔高度y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系．
（2）当甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，上升时间是多少
【答案】（1）解：设甲气球在上升过程中的函数解析式为：，将（0，5）和（20，25）代入得，
，
解得：，
∴甲气球在上升过程中的函数解析式为：，
设乙气球在上升过程中的函数解析式为：，将（0，15）和（20，25）代入得，
，
解得：，
∴乙气球在上升过程中的函数解析式为：，
∴综上：，；
（2）解：由初始位置及题图可知，
当x大于20时，甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，
∴，
解得，
∴当甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，上升时间是50min．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求解析式即可；
（2） 由初始位置及题图可知，当x大于20时甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，即得，据此建立方程并解之即可.
34．公园计划购进A，B两种花卉500株，其中A花卉每株单价为6元，购买B种花卉所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：株）之间函数关系如图：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若B种花卉不超过300株，但不少于A种花卉的数量的四分之一，请你设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用.
【答案】（1）解：设y与x的函数关系式为：
将（200，600）代入 得， ，
解得： ，
∴ ；
将（200，600）、（400，1040）代入 得，
解得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设购买B种花卉m株，A种花卉（500-m）株；
由题意得， ，
解得： ，
当 时，两种花卉所需费用为：
当 时，w最小=2400（元）；
当 时，两种花卉所需费用为：
当 时，w最小=2020（元）；
综上，购买B种花卉300株时，总费用最低为2020（元）.
【解析】【分析】（1）由题意可设y与x的函数关系式为： ，结合y与x的函数关系图用待定系数法可求解；
（2）设购买B种花卉m株，A种花卉（500-m）株；由题中的两个不等关系“B种花卉的数量≤300，B种花卉的数量≥A种花卉的数量”可得关于m的不等式组，解之可求得m的范围，结合已知的图象以及一次函数的性质可求解.
35．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发.
（1）几秒钟后，△PBQ的面积等于4cm2？
（2）几秒钟后，P、Q间的距离等于5cm？
【答案】（1）解：设时间为t，
， ， ，
∵ ，∴ ，
整理得 ，解得 ， ，
当 时， ，不成立，舍去，
∴1秒后， 的面积是4 ；
（2）解：设时间为t，
在 中， ，
列式 ，整理得 ，解得 （舍去）， ，
∴2秒后，P、Q间的距离是5 .
【解析】【分析】（1）设时间为t，将BP、BQ用t表示，再根据 的面积是4 列方程求解；
（2）设时间为t，将BP、BQ用t表示，根据勾股定理用 列方程求解.
36．为了解太和县小微企业的用水情况，某部门从该是小微企业中随机抽取100户进行月用水量（单位：吨）调查，按月用水量，进行分组，并绘制了如下频数分布直方图：
（1）求频数分布直方图中m的值．
（2）判断这100户小微企业月用水量数据的中位数在哪一组（直接写出结果）．
（3）设各组的小微企业月平均用水量（单位：吨）依次分别为75，125，175，225，275，325，根据以上信息估计小微企业用水量的平均值．
【答案】（1）解：；
（2）中位数在这组
（3）解：吨，
∴小微企业用水量的平均值为186吨．
【解析】【解答】解：（2）∵，，
∴第50个，51个数据都在这组，
∴中位数在这组；
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）利用中位数的定义求解即可；
（3）利用平均数的计算方法求解即可。
37．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE∥AD．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）连接BE，若∠ABC＝30°，AC＝2，求BE的长．
【答案】（1）证明；∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，
∴AD=BD=CD．
∴四边形ADCE是菱形
（2）解；过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H．
在Rt△ABC中，∠ABC 30°，AC 2，
∴BC ，AB ．
∴AD BC 2，
∵四边形ADCE是菱形，
∴AE AD 2，
∵AE//BC，
∴∠EAH ∠ABC 30°．
在Rt△AEH中，EH ，
AH ．
∴HB AH＋AB ．
在Rt△BEH中，
BE
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，在证明AD=DC，即可求证菱形；
（2）连接BE，过点E作EH⊥BA交BA的延长线于点H，根据已知求出EF的长度，利用勾股定理即可求出BE。
38．如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．
（1）求证：DF=EF；
（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠D=∠B=90°．
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，
∴∠E=∠B=90°，CE=BC，
∴∠D=∠E，AD=CE．
∵∠AFD=∠CFE，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴DF=EF
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ADC=∠B=90°．
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，
∴∠AEC=∠B=90°，CE=BC．
∵∠CAB=30°，
∴∠CAE=30°，
∴CE AC．
∵点G是AC的中点，
∴CE=AG=EG=AD，
∴∠AEG=∠EAG=30°，
∴∠DAE=30°，
∴∠DAE=∠AEG，
∴AD∥GE，
∴四边形ADEG是菱形．
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得到角、边相等，再利用“AAS”证明三角形全等，得到边相等；（2）利用折叠的性质得到30度角，得到边之间的关系，最后利用菱形的判定方法证明即可。
39．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形．
（1）探究发现
△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由；
（2）拓展运用
若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC=30°，AD=3，CD=2，求BD的长；
（3）若△DCE绕点C旋转，△ABC和△DCE的边长分别为1和2，当△BCD的面积最大时，AE的长为　 　．
【答案】（1）解：全等，理由是：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中，，
∴△ACE≌△BCD（ SAS）；
（2）解：如图，由（1）得：△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，
∵△DCE是等边三角形，
∴∠CDE=60°，CD=DE=2，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，
在Rt△ADE中，AD=3，DE=2，
∴，
∴BD=；
（3）
【解析】【解答】解：(3)CD⊥BC时，△BCD的面积最大，
由（1）得△ACE≌△BCD，
∴AE=BD=，
故答案为：．
【分析】（1）先求出 AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ∠CDE=60°，CD=DE=2， 再求出AE的值，最后求出BD的值即可；
（3）利用全等三角形的性质，勾股定理计算求解即可。
40．如图，BD是 的角平分线，过点D作 交 于点E， 交BC于点F.
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果 ， ，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB
∴四边形DEBF是平行四边形
∵DE∥BC
∴∠EDB＝∠DBF
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠DBF＝ ∠ABC
∴∠ABD＝∠EDB
∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形
∴四边形BEDF为菱形；
（2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，
∵四边形BEDF为菱形，
∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝ ∠EDF＝25°．
【解析】【分析】（1）根据直线平行的性质，判定四边形DEBF为平行四边形，继而由平行四边形的性质以及角平分线的性质，证明四边形BEDF为菱形；
（2）根据三角形的内角和定理，即可得到∠ABC为50°，根据菱形的性质，计算得到∠EDF的度数即可。
41．如图所示，在菱形ABCD中，，，△AEF为等边三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
【答案】（1）证明：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，
∴∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∴，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．
（2）四边形AECF的面积不变．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
则S△ABE=S△ACF，
故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值；
作AH⊥BC于H点，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：
，
∴S四边形AECF=S△ABC=；
∵S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=S菱形ABCD-S△AEF ，
∴△CEF的面积随△AEF面积的变化而变化，
∵△AEF为等边三角形，
∴当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，
∵当AE⊥BC时，AE最小，
∴AE的最小值为AH的长，
过点A作AM⊥EF，垂足为M，如图所示：
∵△AEF为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即△CEF的面积的最大值为．
【解析】【分析】（1）连接AC，由菱形的性质可得∠BAC=60°，根据等边三角形的性质可得∠EAF=60°，由角的和差关系可推出∠1=∠3，根据菱形以及平行线的性质可得∠ABC=60°，推出△ABC、△ACD为等边三角形，得到∠4=60°，AC=AB，利用ASA证明△ABE≌△ACF，据此可得结论；
（2）由全等三角形的性质得S△ABE=S△ACF，故S四边形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，作AH⊥BC于H点，易得BH、AH的值，利用三角形的面积公式可得S四边形AECF=S△ABC，由面积间的和差关系可得S△CEF=S四边形AECF-S△AEF=S菱形ABCD-S△AEF ，推出当AE最短时，△AEF的面积最小，则△CEF的面积有最大值，过点A作AM⊥EF，垂足为M，由等边三角形的性质可得AF=EF=AE，∠AEF=60°，然后求出EM、AM的值，据此求解.
42．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．
（1）当DM＝2时，依题意补全图1；
（2）在（1）的条件下，求线段EF的长；
（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD的数量关系　 　．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解：连接BM，如图2，
∵点D与点E关于AM所在直线对称，
∴AE=AD，∠MAD=∠MAE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°，
∵BM=BF，
∴△ADM≌△ABF（SAS），
∴AF=AM，∠FAB=∠MAD，
∴∠FAB=∠NAE，
∴∠FAE=∠MAB，
∴△FAE≌△MAB（SAS），
∴EF=BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=6，
∵DM=2，
∴CM=4，
∴BM= ，
∴EF=
（3）AD=DM或AD=2DM
【解析】【解答】（3）设DM=x（x＞0），则CM=6-x，
∴EF=BM= ，
∵AE=AD=6，AF=AM= ，
∴AF＞AE，
∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=EF，或AF=EF，
①当AE=EF时，有 =6，
解得x=6，
∴DM=6，
∴AD=DM；
②当AF=EF时， = ，
解得，x=3，
∴DM=3，
∵AD=6，
∴AD=2DM，
综上，DM与AD的数量关系为AD=DM或AD=2DM．
故答案为：AD=DM或AD=2DM．
【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；（2）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；
43．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30。点D是AC上的动点，过D作DF⊥BC于F，再过F作FE//AC，交AB于E。设CD= ，DF= .
（1）求 与 的函数关系式；
（2）当四边形AEFD为菱形时，求 的值；
（3）当△FED是直角三角形时，求 的值.
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，
∴∠C=30°，
∵CD=x，DF=y，DF⊥BC．
∴
（2）解：∵四边形AEFD为菱形，
∴AD=DF，
又∵AC=60
∴y=60﹣x
∴方程组 ，解得x=40，∴当x=40时，四边形AEFD为菱形
（3）解：∵△DEF是直角三角形，∴∠FDE=90°，∵FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°，∵DF⊥BC，∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，∴∠DEF=∠EFB=30°，
∴EF=2DF，
∴60﹣x=2y，与 ，组成方程组，得解得x=30，∴当△DEF是直角三角形时，x=30
【解析】【分析】（1）利用直角三角形中30°角的性质即可得出y与x的函数关系式；
（2）利用菱形的性质得出AD=DF，从而可得y=60﹣x，然后解方程组 即可得出x的值；
（3）利用直角三角形的性质得出EF=2DF，即60﹣x=2y，然后解方程组 即可得出x的值．
44．已知正方形的对角线，相交于点，过点作直线，分别交，于，两点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，过点作直线的垂线分别交，于，两点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个四边形，使写出的每个四边形的面积都相等且都等于正方形面积的．
【答案】（1）解：∵正方形 的对角线 ， 相交于点 ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 ．
理由如下：
∵正方形 的对角线 ， 相交于点 ，且对角线 ， 互相平分，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）可知： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可。
45．有这样一个问题：探究函数y 的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y 的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）化简函数解析式，当x≥3时，y=　 　，当x＜3时，y=　 　；
（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数y 的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于的方程x+a 有唯一解，直接写出实数a的取值范围：　 　．
【答案】（1）x；3
（2）解：结合（1）的结论，作图如下：
；
（3）
【解析】【解答】（1）当x≥3时，y
当x＜3时，y
故答案为：x，3；
（3）当 时， 图像如下：
当 时，方程x+a 有唯一解
当 时，方程x+a 有多个解
当 时，方程x+a 无解
故答案为： ．
【分析】（1）根据题意，化简函数解析式即可；
（2）根据化简的解析式画出图象即可；
（3）根据图象即可求得。
46．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，AD⊥BC，BD=2 ，延长AD到E，使AE=2AD，连接BE．
（1）求证：△ABE为等边三角形；
（2）将一块含60°角的直角三角板PMN如图放置，其中点P与点E重合，且∠NEM=60°，边NE与AB交于点G，边ME与AC交于点F．求证：BG=AF；
（3）在（2）的条件下，求四边形AGEF的面积．
【答案】（1）解：AB=AC，AD⊥BC， ∴AB=2AD， ∵AE=2AD， ∴AB=AE， ∴△ABE是等边三角形.
（2）解：∵△ABE是等边三角形， AE=BE， 由(1) ∴∠ABE=∠CAE， ∴∠NEM ∠AEN=∠BEA ∠AEN， ∴∠AEF=∠BEG， 在△BEG与△AEF中， ∴BG=AF
（3）解：由(2)可知： ∴S四边形∵△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=4， ∴S四边形AGEF .
【解析】【分析】（1）由已知可知∠B=∠℃=30，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知AD=2AB，再由已知AE=2AD可知AB=AE，由等腰三角形的性质可知ΔBAE=60，即可判定ABE为等边三角形；
（2）由（1）中的结论可知BE=AE，再由∠EBG=∠EAF=60°，再由已知中的条件可知∠BEG=∠AEF，由ASA判定ΔBEG≌ΔAFE，再由全等三角形的对应边相等即可知道BG=AF；
（3）由（2）中的结论可知ΔAEF≌ΔBEG，所以四边形AGEF的面积等于ΔABE的面积，由已知中的BD的长可求得AE的长，即可求得ΔABE的面积。
47．
（1）如图1，点P为矩形 对角线 上一点，过点P作 ，分别交 、 于点E、F.若 ， ， 的面积为 ， 的面积为 ，则 　 　；
（2）如图2，点 为 内一点（点 不在 上），点 、 、 、 分别为各边的中点.设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求 的面积（用含 、 的代数式表示）；
（3）如图3，点 为 内一点（点 不在 上）过点 作 ， ，与各边分别相交于点 、 、 、 .设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 （其中 ），求 的面积（用含 、 的代数式表示）；
（4）如图4，点 、 、 、 把 四等分.请你在圆内选一点 （点 不在 、 上），设 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 、 、 围成的封闭图形的面积为 ， 的面积为 ， 的面积为 .根据你选的点 的位置，直接写出一个含有 、 、 、 的等式（写出一种情况即可）.
【答案】（1）12
（2）解：如图，连接 、 ，
在 中，因为点E是 中点，
可设 ，
同理， ，
所以 ，
.
所以 ，
所以 ，所以 .
.
（3）解：易证四边形 、四边形 是平行四边形.
所以 ， .
所以 ，
.
（4）解：
答案不唯一，如：
如图1或图2，此时 ；
如图3或图4，此时 .
【解析】【解答】解：（1）过P点作AB∥MN，
∵S矩形AEPM+S矩形DFPM=S矩形CFPN+S矩形DFPM=S矩形ABCD-S矩形BEPN，
又∵
∴
∴
【分析】（1）过P点作AB的平行线MN，根据S矩形AEPM+S矩形DFPM=S矩形CFPN+S矩形DFPM=S矩形ABCD-S矩形BEPN从而得到，S矩形AEPM =S矩形CFPN进而得到 与 的关系，从而求出结果.（2）连接 、 ，设 ， ，根据图形得到 ，求出 ， ，最终求出结果.（3）易知 ， ，导出 ，再由 的关系，即可可求解.（4）连接ABCD的得到正方形，根据（3）的方法，进行分割可找到面积之间的关系.
48．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90° ，∠ACB=30° ，AD平分∠BAC， BD= ，点P为线段AC上的一个动点
（1）求AC的长
（2）作△ABC中∠ACB的角平分线CH，求BH的长
（3）若点E在直线1上，且在C点的左侧，PE=PC， AP为多少时，△ACE为等腰三角形
【答案】（1）解：∵∠ABC=90° ，∠ACB=30°
∴∠BAC=60°，
又∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，BD=
∴AD=2BD=
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴AC=2AB=6
（2）解：如图所示，过H点作HG⊥AC于点G，
在Rt△ABC中，
∵CH平分∠BCA，∴∠HCB=∠HCG
在△HCB和△HCG中
∴△HCB≌△HCG（AAS）
∴BH=HG，CG=BC
设BH=x，则HG=x，AH=3-x，AG=
在Rt△AHG中，
AG +HG =AH ，即
解得
∴BH的长为
（3）解：△ACE为等腰三角形，①若AC=EC，如图所示，由PE=PC可知P点在EC的中垂线上，则作EC的中垂线与AC的交点即为P点，
∵PF为EC的中垂线，∴FC= ，
在Rt△PCF中，∵∠C=30°，∴PC=2PF
设PF=a，则PC=2a，
由勾股定理得 ，解得
∴PC= ，∴
②若AC=AE，如图所示，此时P点与A重合，∴AP=0
③若AE=EC，如图所示，由PE=PC可知P点在CE的中垂线上，所以作EC的中垂线与AC的交点即为P点，
设AE=EC=x，则BE=
在Rt△ABE中，由勾股定理得，
，解得
∴EC=
又∵PM垂直平分EC，∴MC=
在Rt△PMC中，∠C=30°，
设PM=y，则PC=2y，由勾股定理得 ，解得
∴PC=2，此时AP=6-2=4
综上，当AP为 或0或4时，△ACE为等腰三角形
【解析】【分析】（1）易得∠BAD=30°，∴AD=2BD，再由勾股定理求出AB，最后再由30°的直角边是斜边的一半可得AC=2AB.（2）过H点作HG⊥AC于点G，设BH=x，在Rt△AHG中用勾股定理建立方程求解；（3）分三种情况讨论：①AC=EC，②AC=AE，③AE=EC，分别根据题意找出P点的位置，采用（2）的方法建立方程求解.
49．如图，在菱形 中，对角线 与 交于点 ，过点 作 的平行线，过点 作 的平行线，两直线相交于点 .
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ， ，求菱形 的面积.
【答案】（1）证明：∵ ，
∴四边形 是平行四边形
∵四边形ABCD是菱形
∴
∴
∴四边形 是矩形
（2）解：(1)已证四边形 是矩形
∴ ，
∵四边形 是菱形
∴ ，
∴S菱形ABCD
【解析】【分析】（1）由题意根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形；由菱形的对角线互相垂直可得BD⊥AC，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形OCED是矩形；
（2）由（1）可知四边形OCED是矩形；由矩形的性质可得OC=DE，OD=CE，再由菱形的性质可得AC=2OC，BD=2OD，于是根据S菱形ABCD=AC.BD可求解。
50．在正方形 ABCD 中.
（1）如图 1，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AE、BF 相交于点 O，∠AOB=90°，试判断AE 与 BF 的数量关系，并说明理由；
（2）如图 2，点 E、F、G、H 分别在边 BC、CD、DA、AB 上，EG、FH 相交于点 O，∠GOH=90°，且 EG=7，求 FH 的长；
（3）如图 3，点 E、F 分别在 BC、CD 上，AE、BF 相交于点 O，∠AOB=90°，若 AB=3， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为 2：3，求△ABO 的周长.
【答案】（1）解：AE=BF
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF
∵∠AOB=90°
∴∠BAE+∠ABO=90°
∵∠ABO+∠CBF=90°
∴∠BAE=∠CBF
∴△ABE≌△BCF(ASA)
∴AE=BF
（2）解：如下图，过点G作BC的垂线，交BC于点I，过点H作CD的垂线，交CD于点J，GI与JH交于点K，GI与HF交于点L ∵四边形ABCD是正方形，GI⊥BC，HJ⊥CD ∴GI=HJ，∠GIE=∠HJF=90°，∠GKJ=90° ∴∠JHF+∠HLK=90° ∵∠GOH=90° ∴∠IGE+∠GLO=90° ∵∠HLK=∠GLO ∴∠IGE=∠FHJ ∴△IGE≌△JHF(ASA) ∴HF=EG=7
（3）解：∵AB=3，∴正方形ABCD的面积为9∵图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为 2：3∴阴影部分面积为9× ，∴空白部分面积=9－6=3第（1）问已证△ABE≌△BCF∴∴设AO=x，BO=y则 ，即xy=3在Rt△ABO中， 则 ，即 ∴x+y= ∴△ABO的周长=
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；
（2） 过点G作BC的垂线，交BC于点I，过点H作CD的垂线，交CD于点J，GI与JH交于点K，GI与HF交于点L ，得 GI=HJ，∠GIE=∠HJF=90°，∠GKJ=90° ，然后ASA判断出 △IGE≌△JHF ，根据全等三角形的对应边相等可得FH＝GE＝7；
（3）根据正方形的面积和阴影部分的面积可得：空白部分的面积为3，因为△AOB的面积与四边形OECF的面积相等，设AO＝x，BO＝y，则xy＝3，根据勾股定理得： ，进行变形可推导出x+y的值，从而得出△ABO的周长.
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