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2024-2025学年安徽省县中联盟高二下学期 5月联考
数学试卷(A)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.研究两个分类变量之间的关系时，作出零假设 0并计算得 2 > 0.05，则( )
A.有 99.5%的把握认为 0不成立 B.有 5%的把握认为 0成立
C.有 99.5%的把握认为 0成立 D.有 95%的把握认为 0不成立
2.已知 为等差数列{ }的前 项和，若 2 = 4， 3 = 12，则{ }的公差 =( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3 1.若函数 ( ) = 3
3 4 + 在[0,3]上的最大值为 2，则 =( )
A. 10 223 B. 2 C. 5 D. 3
4.(1 )(1 + )6展开式中 3的系数为( )
A. 5 B. 15 C. 20 D. 35
5.抛掷两枚质地均匀的骰子，一枚红色，一枚蓝色.记事件 :“红骰子的点数小于蓝骰子的点数”，事件
:“两枚骰子的点数之和是 6”，则 ( | ) =( )
A. 15 B.
1 2 5
3 C. 15 D. 12
6.若一个三位数各数位上的数字之和为 10，称这样的三位数为“十全十美数”，则在所有的三位数中“十
全十美数”共有( )
A. 66 个 B. 54 个 C. 42 个 D. 36 个
7.现有甲、乙、丙、丁 4 支球队进行足球比赛，首先采用抽签的方法将 4 支球队分成 2 组进行比赛，获胜
的 2 支球队进入决赛，失败的淘汰，然后再进行一场决赛决出最后的冠军.假设乙，丙，丁这 3 支球队互相
1 2
对决时彼此间的获胜概率均为2，甲与其他 3 队对决时，获胜的概率均为3，每场对决没有平局，且结果相
互独立，则乙队获得冠军的概率为( )
A. 5 227 B. 9 C.
1
6 D.
5
24
8.“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数.
具体数列为 1，1，2，3，5，8， ，即从该数列的第三项开始，每一项等于前两项之和.已知数列{ }为“斐
波那契”数列， 为数列{ }的前 项和，若 2027 = ，则 2025 =( )
A. 2 B. + 2 C. 1 D. + 1
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量 X~N(100,100),则（）(参考数值:随机变量 X~N( , 2),则 P( - < X< + )=0.6826,P( -2 <
X< +2 ) =0.9544, P( -3 < X< +3 )=0.9974)
A. E(X)=100 B. D(X)=10
C. P(X≥90)=0.8413 D. P(X≤120)=0.9987
10.设 是公比为 的无穷等比数列{ }的前 项和，则下列说法正确的是( )
A.对任意正整数 ，数列 ， 2 ， 3 2 是等比数列
B.对任意正整数 ， 2 2 2 + +2 ≥ 2 +1
C. 2 = 17 +1 = 3 1若 16， ，则 = 1 3 +4 2
D.若 1 > 0，且 1，2 3，2
9 7
2成等差数列，则 = 3 + 2 27 5
11.若函数 ( ) = 2 ln2 的两个极值点分别为 1， 2，且 1 < 2，则( )
A. 0 < < 1 B. 1 > C. ( 1) < 1 D.
2
1 2 >
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相，若老师不站两端，则不同的站法种数为 ．
13.已知 是函数 ( ) = + 12
2图象上任意一点，则 到直线 = 1 的距离的最小值为 ．
14.五一长假期间，铁路部门迎来客流量高峰.某高铁站进站口并排有 3 个安检入口，假设每个人在进站时选
1
择每个安检入口的概率都是3，现有三男三女共六位乘客先后通过安检入口进站，则每个安检入口通过的男
乘客人数与女乘客人数均相等的概率为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某同学为了研究两个变量 与 的相关关系，收集到如下表格的 5 组数据：
2 3 4 5 6
2 3 5 6 9
(1)从表格中的 5 组数据中随机抽取 3 组，记 与 相等的组数为随机变量 ，求 的分布列与期望;
(2)根据上表提供的数据，求经验回归直线方程 = + ．

= =1 参考公式： 2 ， = ． =1
2
16.(本小题 15 分)
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已知 是数列{ }的前 项和， + = + 1， 1 = 1．
(1)求{ }的通项公式;
(2)求数列{2 · }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在菱形 中， = 2，∠ = 60 ， 是线段 的中点，将△ 沿 折起到△ 的位置．
(1)若 ⊥ ，证明：平面 ⊥平面 ;
(2)若二面角 是60 ，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
已知直线 经过抛物线 : 2 = 4 的焦点 且与 相交于点 ( 1, 1)与 ( 2, 2)， 为 的准线上一点．
(1)若 ⊥ + ，证明： 点的纵坐标为 1 22 ;
(2)若| | = 2| |，求 的方程;
(3)若 ， ， 的斜率分别为 1， 2， 3，证明： 1， 3， 2成等差数列．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln 2ln| 1| 2 ，其导函数为 ′( )．
(1)讨论 ′( )的单调性;
(2)求 ( )的极值点个数;
(3)求 ( )所有极值点的乘积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.AC
10.
11.
12.72
13. 2
14. 31243
15.解：(1)由题意可得 的所有可能取值为 0，1，2
3
( = 0) = 3 = 1
2 1 1 2
， ( = 1) = 3 2 3 33 10 3 = 5， ( = 2) =
3 2 = ，
35 5 5 10
的分布列为：
( ) = 0 × 1 3 3 610 + 1 × 5 + 2 × 10 = 5．
(2) = 2+3+4+5+6由题意可得 5 = 4 =
2+3+5+6+9
， 5 = 5，
= 2×2+3×3+4×5+5×6+6×9 5×4×5则 4+9+16+25+36 5×16 = 1.7，
所以 = = 5 6.8 = 1.8，
所以 = 1.7 1.8．
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16.解：(1) 因为 + = + 1，所以 +
2 = + ， ①
当 ≥ 2 时， 2 1 + ( 1) = ( 1) 1 + 1， ②
① ②得： 2 2 1 + ( 1) = ( 1) 1 + ( 1)
所以 + 2 1 = ( 1) 1 + 1，
所以 2( 1) = ( 1) ( 1) 1，所以 1 = 2．
因为 1 = 1，所以{ }是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，
所以 = 1 + 2( 1) = 2 1．
(2)因为2 · = (2 1)2 ，
所以 = 1 × 2 + 3 × 22 + 5 × 23 + + (2 1)2 ，
2 = 1 × 22 + 3 × 23 + 5 × 24 + + (2 1)2 +1，
两式相减，得 = 2 + 23 + 24 + + 2 +1 (2 1)2 +1，

4(1 2 ) +1 +1 = 1 2 2 (2 1)2 = (3 2 )2 6，
所以 = (2 3)2 +1 + 6．
17.(1)证明：在△ 中，由余弦定理，得
2 = 2 + 2 2 cos60 = 22 + 12 2 × 2 × 1 × 12 = 3，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ．
将△ 沿 折起后，必有 ⊥ ．
又 ⊥ ， 与 相交， 平面 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：由(1)知 ⊥ ，
所以分别以直线 ， 为 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， ( 3, 0,0)， ( 3, 2,0)．
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由(1)知 ⊥平面 ，所以∠ 为二面角 的平面角，则∠ = 60 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，所以 (0, 12 ,
3
2 ).
设平面 的一个法向量 = ( , , ) = 0, 1 , 3， 2 2 ， = 3, 0,0 ，
1
= 0, 2 ( + 3 ) = 0,则

即 令 = 1，则 = (0, 3, 1)．
= 0, 3 = 0,
| =
= (0,2,0) | = 2 3又 ，所以点 到平面 的距离 | ．| 0+3+1 = 3
18.(1)证明：设点 ， 在 的准线上的射影分别为 ′， ′，线段 的中点为 ，因为 ⊥ ，
所以| | = 12 | | =
1
2 (| | + | |) =
1
2 (| ′| + | ′|)
所以 是梯形 ′ ′ 的中位线，所以 // ′，所以 + 点的纵坐标为 1 22 ．
(2)解：由题意得 (1,0)，由| | = 2| |得 = 2 ，
所以(1 1, 1) = 2( 2 1, 2)，则 1 = 3 2 2， 1 = 2 2，
2 = 4 , 14 2 = 12 8
由 1 1 得， 2 2
, 2 = ,
2 = 4 2 解得
2
2 2 2 = 4 2, 2 =± 2,
所以直线 的斜率为±2 2，则 的方程为 =± 2 2( 1)，即 2 2 ± 2 2 = 0．
= + 1,
(3)证明：设 ( 1, )， 的方程为 = + 1.联立 2 2 = 4 , 整理得 4 4 = 0，
显然 > 0， 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4，
因为 = 1 2 1 ， 2 = ， 3 = ，1+1 2+1 2
( )( +1)+( )( +1)
所以 + = 1 + 2 = 1 2 2 11 2 1+1 2+1 ( 1+1)( 2+1)
( 1 )( 2 +2)+ ( 2 )( 1 +2) 2 1 2 + (2 )( = 1 + 2) 4 ( 1 +2)(
=
2 +2) 2 1 2 +2 ( 1 + 2) + 4
= 8 +(2 ) 4 4 4 (
2+1)
4 2+8 2+4 = 4( 2+1) = ，
又 2 3 = ，即 2 3 = 1 + 2.所以 1， 3， 2成等差数列．
19.解：(1) ( ) = ln 2ln| 1| 2 (0 < < 1 或 > 1)，
所以 ′( ) = ln 2 1 1，令 ( ) = ′( )，
则 ′( ) = 1 2 + ( 1)2 > 0，
所以 ′( )在(0,1)，(1 + ∞)上单调递增．
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2
(2) 1 2因为 ′( 2 ) = 3 1 =
3
2 1 < 0 (
1 2 2
， ′
1
) = 2 1 = 1 > 0，
2 1
1 1
所以 1 ∈ ( 2 , )，使 ′( 1) = 0，
当 ∈ (0, 1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减;当 ∈ ( 1, 1)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，所以 ( )
在(0,1)上有一个极小值点 1．
2
因为 ′( ) = 2 2 2 3 1 < 0， ′( ) = 1 2 1 = 2 1 > 0，
所以 22 ∈ ( , )，使 ′( 2) = 0，
当 ∈ (1, 2)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减;当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，所以
( )在(1, + ∞)上有一个极小值点 2，
所以 ( )在其定义域上存在两个极值点．
(3)由(2)知 1， 2是函数 ′( )
2
的零点，所以 ′( 1) = ln 1 1 1 = 0，1
所以 ′( 1 ) = ln 1
2
1 1 = ln
2 1 1 = ln + 2 + 1 = 0，
1 1
1 1 11 1 1
1
所以 ′( 1) = ′(
1
).1
因为 1 ∈ (0,1)
1
，所以 ∈ (1, + ∞)，且 ′( )在(0,1)，(1, + ∞)上各存在一个零点 1， 2，1
1所以 2 = ，即 1 2 = 1， ( )所有极值点的乘积为 1．1
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