资源简介

2024-2025 学年湖南省市县级高中教育教学联盟高二下学期五月联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3}， = { |log2 ∈ }，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. {0,2} C. {1,2} D. {1,2,3}
2 .已知 1 = ，则复数 的虚部为( )
A. 12 B.
1 C. 1 D. 12 2 2
3.若向量 = ( , 1)， = (1,0)，且 ⊥ ( 2 )，则 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 12
4.(1 + 5 2 3 )(2 ) 的展开式中 的系数为( )
A. 20 B. 40 C. 40 D. 120
5.已知焦点在 轴上的椭圆，上顶点为 ，左、右焦点分别为 1， 2，经过点 1的直线垂直平分线段 2，
且交椭圆于 ， 两点，△ 的周长为 8，则椭圆的标准方程为( )
2 2 2 2 2
A. 2 + 4 2 = 1 B. + = 1 C. + 216 12 4 = 1 D.

4 + 3 = 1
6.已知等比数列{ }的公比是 ，前 项和为 ， 1 < 0，设甲： < 1，乙：数列{ 2 }是递增数列，则甲
是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知函数 ( ) = 2sin + sin2 1，则下列说法正确的有( )
① ( )的图象关于点(0, 1)中心对称;
② ( )的最小值为 4;
③当 ∈ [ 2 , 2 ]时， ( )的所有极值点按从小到大依次记为 1， 2， ， ，则极值 ( )的和为 4．
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
8.已知函数 ( ) = 3 + + 14， ( ) = ln ， 表示 ， 的最小值，设函数 ( ) =
min{ ( ), ( )}( > 0)，若 ( )有 2 个零点，则 的取值范围为( )
A. ( 5 , 3 ) B. ( 3, 34 4 4 ) C. {
3 3 5
4 } D. { 4 , 4 }
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1页，共 10页
9.已知抛物线 : 2 = 4 1的准线为 ，焦点为 ， 为抛物线 上的动点，过点 作⊙ : ( 2)2 + 2 = 2的一
条切线， 为切点，过点 作 的垂线，垂足为 ，则( )
A.准线 与圆 相切
B.过点 ， 的直线与抛物线 相交的弦长为 5
C.当 ， ， 3三点共线时，| | = 2
D.满足| | = | |的点 有且仅有 2 个
10.已知 ≠ 且 ， 满足 2 + 1 2 + 1 < + ，则下列不等式恒成立的是( )
A. + > 0 B. > 0
C. 2 2 > 3 3 D. + > 1
11.如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， 1 = 2， = 1， ， 分别为 1 1， 的中点， 是侧面
1 1上一动点(含边界)，则下列结论正确的是( )
A.若满足| | = 2| |，则点 的轨迹为圆的一部分
B.若∠ 1 = ∠ 1 ，则点 的轨迹为抛物线的一部分
C. 2以点 为圆心， 3为半径的球与正四棱柱的侧面 1 1 的交线长度为 2
D.以 2为直径的球面与正四棱柱的侧面 1 1 的交线长度为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列{ }的前 项和 = 2 + 2 ，则2 =3 = ．
13.在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于直线 = 对称，若 tan = 2，则
sin( + 3 ) = ．

14.一般地，如果 ( )是区间[ , ]上的连续函数，并且 ′( ) = ( )，那么 ( ) = ( )|

= ( ) ( ).
这个结论叫作微积分基本定理，又叫作牛顿 莱布尼茨公式.从几何上看，如果在区间[ , ]上函数 ( )连续
且恒有 ( ) ≥ 0

，那么定积分 ( ) 表示由直线 = ， = ( ≠ )， = 0 和曲线 = ( )所围成的曲
第 2页，共 10页
+1
边梯形的面积.抛物线 = 2 + 与 轴围成的封闭图形的面积为 ;已知数列{ }满足 = (
1
2 ) ，{ }的前 项和为 ，则 2025 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其中 > ，且(2 ) 1 + cos2 = 2 cosC.
(1)求角 的大小;
(2)若 + = 6，△ 外接圆的半径为 2 2，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
为了丰富学生的课余生活，增强团队协作能力和沟通能力，促进身心健康发展，某校将举行一次篮球赛.某
班准备组建一支 5 人的篮球队参加比赛，其中甲、乙 2 人已入选，现要从含丙、丁、戊的另外 5 人中再选
3 人参赛．
(1)求丙、丁、戊 3 人中入选的人数 的分布列及期望;
(2)现甲、乙、丙、丁、戊 5 人进行传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球
传给另外 4 个人中的任何 1 人，求 次传球后球在甲手中的概率．
17.(本小题 15 分)
在矩形 中， = 2， = 4， ， 分别为 ， 的中点，如图 1.将△ 沿 折起，使得点 到达
3 点 的位置，如图 2，此时二面角 的大小为 4．
(1)证明： ⊥ ．
(2)已知 为 的中点， 为平面 内的一个动点，满足 = 2 且 ， 两点在直线 的异侧，求直线
与直线 所成角的余弦值的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2， ( ) = 1 ln .
(1)设函数 ( ) = ( ) + ( )，试讨论 ( )的单调性;
第 3页，共 10页
(2)若 ( )， ( )的图象存在公切线(与 ( )， ( )的图象均相切的直线)，求实数 的取值范围;
(3)若存在不相等的 3， 4，使 ( 3) + ( 3) = 0， ( 4) + ( 34) = 0，证明： 3 4 > ．
19.(本小题 17 分)
:
2 2
已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过右焦点 2(2 2, 0)的直线 交 的右支
于 ， 两点，且弦 的长度最短为 6 2．
(1)求 的标准方程．
(2)若 1， 2分别为△ 1 2，△ 1 2内切圆的半径，试问 1 2是否为定值 若是，求出该定值;若不是，请
说明理由．
(3)若 | 1|| 2|+| 2|| |1与 的左支交于点 ，求 1| 1|| |
的范围．
2
第 4页，共 10页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4 2 + 4 8
13. 35
14.1 20256； 2026
15.解：(1)因为在△ 中， > ，所以 cos > 0．
由(2 ) 1 + cos2 = 2 cos ，得(2 ) 2cos = 2 cos ，
得 2sin cos sin cos = sin cos ，即 2sin cos = sin ，
1
因为 sin ≠ 0，所以 cos = 2， 为△ 内角，所以 = 3．
(2)由△ 外接圆的半径为 2 2， = 3及正弦定理，得 = 2 6，
1 2+ 2 24
由余弦定理得2 = 2 ，所以 =
2 + 2 24，由 + = 6，得 = 4，
= 1 sin = 1 × 4 × 3所以 △ 2 2 2 = 3．
16.解：(1)由题意可知 的所有可能取值为 1，2，3，
1 2
( = 1) = 3 2 = 3
2 1 3
则 3
2 6
3 10， ( = 2) = 3 = 10， ( = 3) =
3 1
3
=
5 5 5 10
，
所以 的分布列为：
1 2 3
3 6 1
10 10 10
第 5页，共 10页
故 E( ) = 310 +
12
10 +
3
10 = 1.8．
(2)设 次传球后球在甲手中的概率为 ，则 1 = 0．
1 1 1
由题意可知 +1 = 4 (1 ) = 4 4 ，
1 1 1
变形可得 +1 5 = 4 ( 5 )，
则数列{
1 1 1
5 }是以 1 5 = 5为首项，
1
4为公比的等比数列，
1所以 5 =
1 × ( 1 ) 1 1 1 15 4 ，所以 =
1
5 5 × ( 4 ) ．
17.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ．∵ = = 2，∴ ⊥ ．
又 ⊥ ，∴ = 2 2.连接 .又 = = 2， ⊥ ，∴ = 2 2.又 = 4，
∴ 2 + 2 = 2，∴ ⊥ .又 为 的中点，∴ // ，∴ ⊥ ．
又 ∩ = ， ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
(2)解：过点 作 ⊥ ，垂足为 .由(1)得 ⊥平面 ，又 平面 ，
∴平面 ⊥平面 .又平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ 为二面角 3 的平面角，∴ ∠ = 4．
又 = 2，∴ = 1，又 = 2，∴ = 3．
∵ 在平面 内，∴ 在以 为圆心， 3为半径的圆上．
∵ ， 两点在直线 的异侧，∴点 在弦 所对的优弧上．
以 ， 的方向分别为 轴、 轴的正方向，过点 作 的平行线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设∠ = ，tan = 2，则 (0,0,0)， (0,0,1)， (1,0,0)， (1 + 2, 2 2, 0)， ( 3cos , 3sin , 0)，
∈ ( , 2 )，
∴ = ( 3cos , 3sin , 1)， = ( 2, 2 2, 0)，
第 6页，共 10页
∴ |cos < ， > | = | | = | 6cos +2 6sin | = | 30sin( + ) | = 32× 10 2 10 2 10 2 |sin( + )|
(其中 sin = 5，cos = 2 5 )， + ∈ ( + , 2 + ).5 5
∵ tan = 2，∴ ∈ (
, 4 3 )，又 ∈ (0,

6 )，∴ + ∈ (

4 , 2 )，
2 + > 3 又 ，∴当 + =
3
2 2或 2时，直线 与直线 所成角的余弦值取得最大值
3．
2
18.(1)解： ( ) = ( ) + ( ) = 2 + 1 ln ( > 0)，
2
′( ) = 2 1 2 1． =
当 ≤ 0 时， ∈ (0, + ∞)， ′( ) < 0，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递减;
当 > 0 时， ′( ) = 0 解得 = 2 ，2
∵ ∈ (0, 2 )， ′( ) < 0， ∈ ( 2 , + ∞)， ′( ) > 0，2 2
∴ ( )在(0, 2 )上单调递减，在( 2 , + ∞)上单调递增；2 2
(2)解：设 ( )， ( )的图象与它们公切线的切点坐标分别为( 1, 21)，( 2, 1 ln 2).
由 ( ) = 2， ( ) = 1 ln 1，知 ′( ) = 2 ， ′( ) = ，
则 ( )的图象在点( 1, 21)处的切线方程为 = 2 21( 1) + 1，
( )的图象在点( 2, 1 ln
1
2)处的切线方程为 = ( 2) + 1 ln 2．2
∵这条直线相同，∴它们具有相同的斜率和纵截距，
∴ 2 1 =
1 2
①， = 2 ln ②．2 1 2
≠ 0 1结合 ① ②，有 且 4 =
2
2(2 ln 2)( 2 > 0)．
设 ( ) = 2(2 ln )，则 ′( ) = 2 (2 ln ) 2 1 = (3 2ln )．
3 3
令 ′( ) < 0，得 > 2;令 ′( ) > 0，得 0 < < 2，
第 7页，共 10页
3 3
∴ ( ) 3 3在(0, 2)上单调递增，在

( 2, + ∞)上单调递减，且 ( 2) = ．2
作出 ( )的大致图象，如图 1 所示．
∵ ( )的图象与直线 = 14 有交点，
3 1
∴ 1 ，解得 > 0 或 ≤ ，4 ≤ 2 2 3
∴ ( ∞, 1实数 的取值范围为 2 3 ] ∪ (0，+∞);
(3)证明：不妨设 0 < 3 < 4．
∵存在 3， 4，使 ( 3) + ( 3) = 0， ( 4) + ( 4) = 0，
∴ 2 23 = ln 3 1 ①， 4 = ln 4 1 ②，
∴ = ln 3 1 ln 4 1
2
=
2 ．3 4
设 ( ) = ln 1 3 2ln 2 ，则 ′( ) = 3 ，
∴ ( ) 3 3在(0, 2)上单调递增，在( 2, + ∞)上单调递减，且 ( ) = 0， ( )的大致图象如图 2 所示．
3 3 3 3
记 ( ) = ( ) ( ) ， ∈ ( , 2)，则 ′( ) = ′( ) + 2 ′( ) = (3 2ln )(
1 3 6 ) > 0，
3 3 3∴ ( )在( , 2)上单调递增， ( ) = ( ) ( 2 ， ) < ( ) = 0
3
∴ ( 4) = ( 3) < ( ).3
3 3
又 34， ∈ ( 2, + ∞)， ( )在( 2, + ∞)上单调递减，3
3∴ 34 > ，即 3 4 > ．3
第 8页，共 10页
2
19.解：(1)由已知得 = 2 2，2 = 6 2， ∴
2 = 3 2 ，
又 2 + 2 = 8，∴ 2 = 2， 2 = 6，
∴ 的标准方程为
2 2 ；
2 6 = 1
(2)如图所示，设△ 1 2内切圆的圆心为 1，△ 1 2内切圆的圆心为 2，
圆 1与 轴相切于点 ，
由(1)易知|| 1| | 2|| = || 1| | 2|| = 2 = 2 2，
∴点 的横坐标即 1的横坐标 2，同理 2的横坐标也为 2，
∴ 1， 2， 三点共线且垂直于 轴， 1 2平分∠ 2 1， 2 2平分∠ 2 1，
∴ ∠ 1 2 2 = 90 ，
∴在 △ 2 1 2中， 1 2 = 22，∴ 1 2 = 2；
(3)已知 1( 2 2, 0)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3, 3)， 1 = 1 ， 2 = 2 ，
∵直线 交双曲线 的右支于 ， 两点，∴ < 0， > 0，
2 2 = 1+ 31+ , 1 + 3 = 2 2(1 + ) ①,则 + 即 ，0 = 1 3 + 1+ 1 3
= 0 ②.
2 2 2 2 2 2又 1
2
1 ， 3 3
6 = 1 ③ 2 6 =
2 ④，
2 2 2 2 2 2
由 ③ ④，得 1 3
2
1 3
6 = 1
2，
将 ① ②代入，化简得 1 =
2
3 2 ( 1) ⑤，
| | 2 2 +5
再将 ① ⑤联立得 = 2 2 1+5，∴ 1| | = | | = =
1 ，
3 1 3
同理可得 = 2 2 1 5；3
第 9页，共 10页
由题意 > 0，∴ = 2 2 1 5 > 0，3 1 >
5 2，
4
∴ | 2| 2 2 1 5| 2|
= | | = 3 ，
∴ | 1|| 2|+| 2|| 1| | 1|| ||| | = | | +
| 2| = 2 2 1+5| | 3 +
2 2 1 5 = 4 2 1，
1 2 1 2 3 3
又 ∈ ( 5 21 , + ∞)，4 ∴
4 2 1
3 ∈ (
10 , + ∞)，3
∴ | 1|| 2|+| 2|| 1| 10| 1|| 2|
∈ ( 3 , + ∞).
第 10页，共 10页

展开更多......

收起↑