资源简介

2024-2025学年下学期山东省临沂市沂水县九年级初中学业水平考试数学冲刺模拟试题一
本试卷共4页.满分120分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.若|a|=4，则a的值是(　　)
A.-4 B.4 C. D.-4或4
2.有一个物体，从正面和左面看到的形状都是，从上面看到的形状是，它可能是下列物体中的(　　)
3.据报道，中国科研团队在联合攻关下，成功构建76个光子的量子计算原型机“九章”.实验显示，当求解5 000万个样本的高斯玻色取样时，“九章”仅需200秒，从运算等效来看，“九章”的计算用时仅为“悬铃木”用时的百亿分之一.“百亿分之一”用科学记数法可以表示为　(　　)
A.1×10-9 B.1×10-10 C.1×10-11 D.1×10-12
4.如图，AB∥CD，∠AEF=52°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于(　　)
A.128° B.135° C.148° D.154°
5.估计(2+)的值应在(　　)
A.7和8之间 B.8和9之间 C.9和10之间 D.10和11之间
6.为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间统计表，则所调查学生睡眠时间的众数、中位数分别为(　　)
睡眠时间(小时) 6 7 8 9
人数(人) 6 19 15 10
A.7，7 B.8，8 C.8，7.5 D.7，7.5
7.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y=的图象上.若x1<0A.y1<08.如图，在☉O中，弦AB⊥BC于点B，AB=8，BC=6，D是上一点，弦AB，CD所夹的钝角∠AEC=100°，则劣弧BD的长是(　　)
A.π B.π C.π D.π
9.如图，在等边三角形ABC中，AB=3，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是(　　)
A.2 B.3 C.2 D.
10.若a≠3，则我们把称为a的“差倒数”.例如：4的“差倒数”是=-3，-3的“差倒数”是=.已知a1=6，a2是a1的“差倒数”，a3是a2的“差倒数”，a4是a3的“差倒数”，……依此类推，则a2026的值为(　　)
A.-1 B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11.因式分解：a2-9=__________.
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上.若点C的坐标为(1，0)，∠D=60°，则菱形ABCD的面积为_____.
13.《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗.羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，牛主较羊主多出几何？其意思是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半.”若按此比例偿还，牛主人比羊主人多赔偿斗.
14.如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB=AC.现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E'，BE'与AC边相交于点D，恰好BE'是∠ABC的平分线.若CE=，则BD的长为_____.
15.如图，在△ABC中，分别以点B，C为圆心，大于BC的长为半径画弧，分别交于点M，N，直线MN交AB，BC于点D，E；以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，在∠BAC的内部交于点P，射线AP交直线MN于点Q，交BC于点F.若∠ACB=90°，∠ABC=30°，DE=，则EF的长为___.
16.二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分
对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … t m -2 -2 n …
且当x=-时，对应的函数值y>0.下列结论：①a+b=0；②x=4是关于x的方程ax2+bx+c=t的一个根；③点(x1，y1)和(x2，y2)都在抛物线上，且x1+x2>1，则当x1y2；④3(m+n)>20.其中正确的结论(序号)有________.
三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题每小题3分，共6分)
(1)计算：|2-4|+()-2+4sin60°-.
(2)解方程：=.
18.(本小题满分7分)
2025年，中国载人航天的征程令人期待.神舟二十号、神舟二十一号、天舟九号蓄势待发，昊龙货运航天飞机、轻舟货运飞船也将携手朱雀三号、力箭二号闪亮登场，这些新成员的加入，让中国天宫空间站的发展充满无限的遐想.“航空航天知识”越来越受到人们的关注，某中学采用随机抽样调查的方式，对部分学生航空航天知识的了解程度进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图.
根据图中信息回答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有________人，条形统计图中m的值为________；
(2)求出扇形统计图中“不理解”部分所对应扇形的圆心角的度数；
(3)若从对航空航天知识达到“非常了解”程度的1名男生和3名女生中随机抽取2人参加航空航天知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率.
19.(本小题满分8分)
某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
实践探究活动记录表
活动内容 测量湖边A，B两处的距离
测量工具 测角仪、皮尺等
测量示意图 说明：因为湖边A，B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C.可测量C处到A，B两处的距离.通过测角仪可测得∠A，∠C的度数
测量数据 角的度数 ∠A=30°，∠C=105°
边的长度 BC=40.0米，AC=56.4米
(1)根据以上测量结果，选择适当数据，求出A，B两点之间的距离.(选一种做法完成即可)选取的数据为______________，并写出解题过程.(结果保留整数.参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)
(2)请你设计自己的不同于测量小组的测量方案，并说明理由.
20.(本小题满分9分)
已知某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每星期可卖出300件.为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件降价x元，每星期的销售量为y件，每星期的销售利润为W元.
(1)直接写出y与x的关系式为____________.
(2)若每星期销售利润为6 080元，尽量减少库存，应该如何确定售价？
(3)若该商品按单价不低于进价且不高于58元销售，则售价定为多少，才能使销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？
21.(本小题满分9分)
如图，AB为☉O的直径，C为圆上一点，连接AC，BC，过点B作☉O的切线BD，连接AD交BC于点E，交☉O于点F，连接BF，且AD平分∠BAC.
(1)求证：∠DEB=∠D；
(2)若DE=4，BD=2，求☉O的直径.
22.(本小题满分10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2，6)，B(n，4)，与x轴、y轴分别交于C，D两点.
(1)求k，b，m的值；
(2)若点P在y轴上，当S△POC=S△AOB时，求出点P的坐标；
(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，
F两点，当EF=AB时，求a的值.
23.(本小题满分10分)
问题背景：(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE；
问题探究：(2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD=2CF，EF与BD交于点G，求证：BG=FG；
问题拓展：(3)如图3，在“问题探究”的条件下，连接AG，AD=CD，AG=FG，直接写出的值.
24.(本小题满分13分)
如图1，直线y=-x+4分别与y轴、x轴交于A，B两点，与二次函数y=ax2+bx+18在第二象限交于点C.已知点A为BC的中点，抛物线对称轴为直线x=1，点D为点A关于x轴的对称点，连接BD.
(1)求抛物线的解析式：
(2)如图2，点P是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接AP和BP，点E为y轴上的一个动点，连接CE和PE，当S△ABP=S△ABD时，求点P的坐标及|PE-CE|的最大值；
(3)如图3，点N是直线AB上一动点，连接DN，若2∠AND+∠ABO=90°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
参考答案
1-5 DABDA DABDC
1.D【解析】根据题意可知a=±4.故选D.
2.A【解析】选项A的几何体从正面和左面看到的形状都是，从上面看到的形状是，故选项A符合题意.故选A.
3.B. 【解析】百亿分之一=0.000 000 000 1=1×10-10.故选B.
4.D 【解析】∵AB∥CD，
∴∠FGB+∠GFD=180°，∠AEF=∠EFD=52°.
∵FG平分∠EFD，∴∠GFD=26°，
∴∠FGB=180°-26°=154°.
故选D.
5. A【解析】(2+)=4+.
∵32<()2<42，∴3<<4，
∴3+4<4+<4+4，∴7<4+<8，
∴估计(2+)的值应在7和8之间.故选A.
6.D.【解析】∵7小时出现了19次，出现的次数最多，
∴所调查学生睡眠时间的众数是7.
∵共有50名学生，中位数是第25，26个数的平均数，
∴所调查学生睡眠时间的中位数是=7.5. 故选D.
7.A【解析】∵k2+1>0，
∴反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小.
∵x1<0∴点A(x1，y1)在第三象限，点B(x2，y2)在第一象限，
∴y2>0>y1.故选A.
8.B.【解析】如图，连接OD，OB.
∵AB⊥BC，AB=8，BC=6，
∴AC==10.
∵AB⊥BC，∴AC为☉O的直径，∴OA=OC=5.
∵∠AEC=100°，∴∠BEC=180°-100°=80°，
∴∠BCD=90°-∠BEC=10°，∴∠BOD=2∠BCD=20°，
∴劣弧BD的长为=π.故选B.
【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠BAC=∠BCE=60°.
∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE.
又∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，
∴∠AFE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠AFB=120°，
∴点F在以点O为圆心，OA为半径的弧上运动.
如图，连接OC交☉O于点N.
易得∠AOB=120°，OA=，
∴∠OBA=∠OAB=30°，∴∠OBC=90°，∴OC=2.
当点F与点N重合时，CF的值最小，
最小值为OC-ON=2-=.故选D.
10. C. 【解析】由题知a1=6，a2是a1的“差倒数”，
∴a2==-1，
同理可得a3==，a4==，a5==，a6==，
a7==6，…
∴这列数从a1开始按6，-1，循环出现.
∵2 026÷6=337……4，∴a2 026=.故选C.
11. (a+3)(a-3)
【解析】a2-9=a2-32=(a+3)(a-3).故答案为(a+3)(a-3).
12. 2
【解析】如图，连接AC，∵∠D=60°，四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC=60°，DA=DC=AB=BC，
∴△ACD，△ABC都是等边三角形，∴∠BAC=60°.
∵AO⊥BC，∴∠OAC=∠BAC=30°.
∵点C的坐标为(1，0)，∴OC=1，
∴AC=BC=2OC=2，∴AD=AC=2，
∴AO===，
∴=BC·AO=2×=2.故答案为2.
13.
【解析】设羊主人赔偿x斗.
由题意得x+2x+4x=5，解得x=，
∴4x-x=-=.故答案为.
14. 2【解析】如图，延长CE'，与BA的延长线相交于点F.
由翻折可知∠BE'C=∠E=90°，CE'=CE=.
∵BE'是∠ABC的平分线，∴∠CBE'=∠FBE'.
∵BE'=BE'，∠CE'B=∠FE'B=90°，
∴△BE'C≌△BE'F(ASA)，∴E'F=CE'=，∴CF=2.
∵∠FCA+∠F=90°，∠DBA+∠F=90°，∴∠FCA=∠DBA.
∵∠FAC=∠DAB=90°，AB=AC，
∴△FCA≌△DBA(ASA)，∴BD=CF=2.
故答案为2.
15.1【解析】∵DE⊥BC，∴∠BED=90°，
∴∠ACB=∠BED，∴DE∥AC.
∵BE=EC，∴BD=AD，∴AC=2DE=2.
∵∠B=30°，∴BD=2DE=2，
∴BE=EC===3.
∵∠CAB=90°-30°=60°，AF平分∠CAB，
∴∠CAF=30°，∴AF=2CF.
∵AF2=CF2+AC2，
∴4CF2=CF2+12，∴CF=2(负值已舍去)，
∴EF=CE-CF=3-2=1.故答案为1.
16. ①④
【解析】从表格知，图象经过点(0，-2)，(1，-2)，
∴对称轴为直线x=，∴-=，
∴b=-a，∴a+b=0，故①正确.
从表格知，二次函数的图象经过点(-2，t)，对称轴为直线x=，
∴二次函数的图象也经过点(3，t)，
∴x=3是关于x的方程ax2+bx+c=t的一个根，
故②错误.
∵抛物线经过点(0，-2)，∴c=-2，
∴二次函数的解析式为y=ax2-ax-2.
∵当x=-时，y>0，
∴a+a-2>0，∴a>，
∴y1-y2=-ax1-2-+ax2+2=a(x1-x2)(x1+x2-1).
∵a>0，x1+x2>1，则当x1故③错误.
∵二次函数的解析式为y=ax2-ax-2，
∴当x=-1时，y=2a-2=m，
当x=2时，y=2a-2=n，
∴两式相加得到m+n=4a-4，
∴3(m+n)=12a-12.
∵a>，∴3(m+n)>12×-12=20，
故④正确.故答案为①④.
17. (1)计算：|2-4|+()-2+4sin60°-.
解：(1)原式=4-2+4+4×-3
=4-2+4+2-3
=5.　…………3分
(2)解方程：=.
方程两边都乘x(x+2)得2(x+2)=3x，
解得x=4.　…………4分
检验：当x=4时，x(x+2)≠0，　…………5分
∴x=4是原方程的解.　…………6分
解：(1)60　 10　…………4分
(2)扇形统计图中“不理解”部分所对应扇形的圆心角的度数为360°×=60°.　…………5分
(3)从1名男生和3名女生中随机抽取2人参加航空航天知识竞赛，画树状图
如下.

由树状图可知，所有等可能的结果有12 种，恰好抽到2名女生的结果有
6种，
∴恰好抽到2名女生的概率为=.　…………7分
19.
解：(1)∠A=30°，∠C=105°，BC=40.0米
　…………3分
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠A=30°，∠ACB=105°，∴∠B=45°.
在Rt△BCD中，
CD=BD=BC·sin 45°=40×=20≈28.2.
在Rt△ACD中，∠A=30°，∴AD=CD=20≈49，
∴AB=BD+AD=28.2+49≈77(米).
答：A，B两点之间的距离约为77米.(答案不唯一)　…………5分
(2)先在边上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是AB的长度，如图.
理由：在△ACB和△DCE中，
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴AB=DE.　…………8分
20.解：(1)y=20x+300　…………2分
(2)根据题意得W=(60-40-x)(300+20x)=-20x2+100x+6 000，
∴W=-20(x-2.5)2+6 125，　…………3分
令-20(x-2.5)2+6 125=6 080，
解得x1=1，x2=4.
∵尽量减少库存，
∴x=4，∴60-x=60-4=56，
∴此时售价为56元.　…………4分
(3)根据题意得40≤60-x≤58，
∴2≤x≤20.　…………5分
∵W=-20(x-2.5)2+6 125，-20<0，
∴当x>2.5时，W随x的增大而减小，　…………6分
∴当 x=2.5，销售价为60-x=60-2.5=57.5时，W取得最大值，此时W=6 125(元)，
∴售价定为57.5元，才能使销售该商品每星期获得的利润最大，
最大利润是6 125元.　…………9分
21. (1)证明：∵AB为☉O的直径，
∴∠AFB=90°，∴∠DEB+∠EBF=90°.　…………1分
∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB.　…………2分
∵∠CAD=∠EBF，∴∠EBF=∠DAB.　…………3分
∵BD是☉O的切线，AB为☉O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠D=90°，∴∠EBF+∠D=90°，
∴∠DEB=∠D.　…………4分
(2)解：由(1)知∠DEB=∠D，
∴BE=BD. 　…………5分
∵∠AFB=90°，∴DF=EF=DE=2.
∵BD=2，∴BF==4.　…………6分
∵∠DAB=∠EBF，
∴tan∠DAB=tan∠EBF，∴=，　…………8分
∴=，∴AB=4，
∴☉O的直径为4.　…………9分
22.解：(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2，6)，B(n，4)，∴=6，∴m=12，　…………1分
∴反比例函数的表达式为y=，∴4=，
∴n=3，∴B(3，4)，
∴解得
∴一次函数的表达式为y=-2x+10.　…………3分
(2)对于y=-2x+10，令x=0，则y=10；令y=0，则x=5，
∴C(5，0)，D(0，10).
∵A(2，6)，B(3，4)，
∴S△AOB=S△BOD-S△AOD=OD·(xB-xA)=×10×(3-2)=5.
∵点P在y轴上，∴设P(0，t)，
∴S△POC=×5|t|.　…………4分
∵S△POC=S△AOB=5，∴×5|t|=5，解得t=±2，
∴点P的坐标为(0，2)或(0，-2).　…………6分
(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，
∴直线EF的表达式为y=-2x+10-a，
∴E(，0)，F(0，10-a).　…………7分
∵EF=AB，
∴=×，　…………8分
解得a=或a=.　…………10分
23.
(1)证明：∵点E，F分别是AB和BC的中点，
∴==.　…………2分
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∴=.
∵∠EBF=∠C=90°，∴△BCD∽△FBE.　…………4分
(2)解：【一题多解】
解法一：证明：如图，延长FE与DA的延长线交于点M，过点F作FN⊥AD于点N，则四边形CDNF是矩形.
∵点E是AB的中点，∴AE=BE.　…………5分
∵AM∥BC，∴∠AME=∠BFE，∠MAE=∠FBE，
∴△AME≌△BFE(AAS)，∴AM=BF.　…………6分
∵AD=2CF，CF=DN，∴AN=DN=CF，
∴AM+AN=BF+CF，即MN=BC.
∵FN=CD，∠MNF=∠BCD=90°，
∴△MFN≌△BDC(SAS)，∴∠AMF=∠CBD，
又∵∠AMF=∠BFG，∴∠CBD=∠BFG，
∴BG=FG.　…………7分
解法二：证明：如图，取BD的中点H，连接EH，CH，
∵点E是AB的中点，点H是BD的中点，
∴EH=AD，EH∥AD.
∵AD=2CF，∴EH=CF.　…………5分
∵AD∥BC，∴EH∥CF，
∴四边形EHCF是平行四边形，∴EF∥CH，
∴∠HCB=∠GFB.　…………6分
∵∠BCD=90°，点H是BD的中点，∴CH=BD=BH，
∴∠HCB=∠HBC，∴∠GFB=∠GBF，
∴BG=FG.　…………7分
(3)解：=　…………10分
提示：如图，过点F作FM⊥AD于点M，取BD的中点H，连接AF，EH，则四边形CDMF是矩形，
∴CF=DM.
∵AD=2CF，∴AM=DM=CF.
设CF=a，则AM=DM=CF=a，AD=CD=2a=MF，
∴AF==a.
∵AG=FG，BG=FG，∴AG=BG.
∵点E是AB的中点，∴FE垂直平分AB，
∴BF=AF=a.
∵点H是BD的中点，∴EH是△ABD的中位线，
∴EH=AD=a，EH∥AD∥BC，∴△EGH∽△FGB，
∴===.
24. 解：(1)直线y=-x+4分别与y轴、x轴交于A，B两点，
令x=0得y=4；
令y=0得-x+4=0，解得x=3，
∴A(0，4)，B(3，0).　…………2分
∵点A为BC的中点，点D为点A关于x轴的对称点，
∴点C的坐标为(-3，8)，点D的坐标为(0，-4).
由题意得解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+18. 　…………4分
(2)∵A(0，4)，B(3，0)，D(0，-4)，
∴AD=8，OB=3，
∴S△ABD=AD·OB=×8×3=12.　…………5分
∵S△ABP=S△ABD，∴S△ABP=×12=9.　…………6分
如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q.
设点P的坐标为(x，-x2+x+18)，
∴S△ABP=S梯形PQOA-S△AOB-S△PQB，　…………7分
即(-x2+x+18+4)×x-×3×4-×(x-3)×(-x2+x+18)=9，
整理得x2-4x-12=0，解得x1=-2(舍去)，x2=6，
∴点P的坐标为(6，2).　…………8分
作点C关于y轴的对称点F，连接EF，PF，
则点F的坐标为(3，8)，且CE=EF.
∵|PE-CE|=|PE-EF|≤PF，
∴当P，E，F三点共线时，有最大值，
最大值为=3，
∴|PE-CE|的最大值为3.　…………10分
(3)点N的坐标为(-)或(，-).　…………13分
提示：如图，当点N在点A左侧时，
∵∠OBA+∠OAB=90°，2∠AND+∠OBA=90°，
∴∠OAB=2∠AND，∴∠ADN=∠AND，∴AN=AD=8.
设点N的坐标为(n，-n+4)，
∴n2+(-n+4-4)2=82，
解得n=-或n=(不符合题意，舍去).
∴点N的坐标为(-).
如图，当点N在点A右侧时，作DM=AD，DE⊥BN于点E.
由题意得∠OAB=∠DMA=2∠AND，
∴∠MDN=∠MND，∴AD=DM=MN=8.
∵OA=4，OB=3，∴AB=5.
∵sin∠BAD==，即=，解得DE=，
∴AE==，∴AM=2AE=，
∴AN=+8=，∴AN==，
解得n=或-(不符合题意，舍去)，
∴点N的坐标为(，-).
综上所述，点N的坐标为(-)或(，-).

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