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一次函数与一元一次不等式
一．选择题（共10小题）
1．已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣3x+3的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
2．点（3，m），（4，n）在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，则m、n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n
3．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
4．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+1的图象相交于点P（a，3），则下列说法错误的是（　　）
A．k＞0
B．b＞0
C．关于x的方程kx+b＝3的解是x＝﹣1
D．关于x的不等式kx+b＜﹣2x+1的解集是x＜3
5．一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1
6．已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+b的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法判断
7．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＜4；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
8．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式组的解集为（　　）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0
9．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论：①当x＞0时，y1＞0，y2＞0；②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③；④d＜a+b+c．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为（　　）
A．﹣2＜x＜2 B．﹣2＜x＜0 C．﹣4＜x＜﹣2 D．无法确定
二．填空题（共10小题）
11．如图，一次函数y＝ax+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标是（0，2），则不等式ax+b＜2的解集为　 　．
12．一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），若函数经过点（﹣2，0）和（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集为 　 　．
13．一次函数y1＝kx+b（b＞2）与y2＝mx﹣m交于点A（3，2）．
（1）关于x的方程kx+b＝mx﹣m解为　 　；
（2）函数y1的图象沿y轴向下平移后得到函数y3图象，y3图象与y2图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式y3＜y2＜y1的解集是　 　．
14．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为 　 　．
15．对于三个数a、b、c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如，max{﹣1，2，3}＝3，max{﹣1，2，a}，那么观察图象，可得到max{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最小值为 　 　．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b＞﹣3的解集为　 　．
17．如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是 　 　．
18．一次函数y＝kx+1，当a≤x≤a+4时，y的最大值与最小值的差为8，则k的值为 　 　．
19．已知点（a，b）和（c，d）都在直线y＝﹣x+2上，若b＜d，则a　 　c．（填“＞”“＜”或“＝”）．
20．如图，一次函数y＝ax的图象与直线y＝bx+c交于点（1，2），则关于x的不等式ax≤bx+c的解集为 　 　．
三．解答题（共10小题）
21．定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1，y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．求点P坐标（用p表示）；
（3）在（2）的条件下，若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围．
22．如图，在平面直角坐标系中直线m：y＝kx+b与直线n：y＝2x+8交于点A（﹣1，6），直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点B（2，0）．
（1）求直线m对应的函数表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≥2x+8的解集．
23．已知一次函数y1＝kx+b，y2＝bx﹣2k+3（其中k、b为常数且k≠0，b≠0）
（1）若y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数y1有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
（3）若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
24．如图，直线与直线y2＝2x+6分别与x轴交于点A，B，两直线交于点P．
（1）求直线y1、y2与x轴的交点坐标；
（2）求△ABP的面积；
（3）利用图象直接写出当x取何值时，y1＜y2．
25．如图，直线l1：y＝﹣2x+4与x轴交于点B，OB＝OC，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积；
（3）根据图象，直接写出0≤﹣2x+4＜kx+b的解集．
26．如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）a＝ 　 　，b＝ 　 　；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象，不等式2x+b＜ax﹣3的解集为 　 　．
27．如图，直线l1：y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：ymx﹣m+4与x轴，y轴分别交于点C，D，与直线l1交于点M，点P在直线l2上，过点P作PQ∥y轴，交直线l1于点Q，点D为OB的中点．
（1）①求直线l2的解析式；②求△ACM的面积；
（2）①如果线段PQ的长为，求点P的坐标；
②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果3≤PQ≤7，则符合条件的整点P的个数为 　 　个．
28．如图，直线l1：y1＝kx+a分别交x轴，y轴于点A（﹣2，0），B（0，1）．直线l2：y2＝﹣2x+b分别交x轴，y轴于点C，D，与直线l1相交于点E，已知OBOC．
（1）求直线l1的表达式；
（2）求y1＞y2时，x的取值范围．
29．如图，直线l1：y＝kx+b过点A（0，4），点D（4，0），直线与x轴交于点C，两直线l1，l2相交于点B．
（1）求直线l1的函数关系式；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）根据图象，直接写出的解集　 　．
30．在课堂上学习掌握了函数图象的知识后，小明同学对函数y＝|2x﹣2|的图象与性质进行探究，并解决下列问题．
（1）列表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y a 4 b 0 2 4
表格中：a＝ 　 　，b＝ 　 　．
（2）以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，再把这些点依次连接起来，得到y＝|2x﹣2|的函数图象；
（3）观察y＝|2x﹣2|函数图象，思考回答以下问题：
①特殊点：与y轴的交点坐标是 　 　；
②变化趋势：当x 　 　时，y随x的增大而减小；
③函数值：当0＜x＜3，y的函数值范围是 　 　；
④拓展探究：当x＞3时，kx﹣2k＞|2x﹣2|．则k的取值范围是 　 　．
一次函数与一元一次不等式
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知点A（x1，a），B（x1+1，b）都在函数y＝﹣3x+3的图象上，下列对于a与b的关系判断正确的是（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．无法确定
【分析】根据一次函数的增减性，k＜0，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵一次函数函数的解析式为：y＝﹣3x+3，
∴k＝﹣3＜0，
∴函数y＝﹣3x+3中，y随x的增大而减小，
∵x1＜x1+1，
∴a＞b．
故选A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确利用一次函数的增减性求解是解题关键．
2．点（3，m），（4，n）在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，则m、n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n
【分析】根据一次函数解析式可得其增减性，则可比较m、n的大小．
【解答】解：在函数y＝﹣3x﹣1中，k＝﹣3＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵点（3，m）和点（4，n）都在函数y＝﹣3x﹣1的图象上，且3＜4，
∴m＞n，
故选：A．
【点评】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的增减性是解题的关键．
3．一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则不等式ax+b≥0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【分析】根据函数图象找到一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围即可．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数图象在x轴上方或x轴上时，自变量的取值范围为x≤2，
∴不等式ax+b≥0的解集是x≤2，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，能根据函数图象得出不等式的解集是解题的关键．
4．如图，一次函数y＝kx+b与y＝﹣2x+1的图象相交于点P（a，3），则下列说法错误的是（　　）
A．k＞0
B．b＞0
C．关于x的方程kx+b＝3的解是x＝﹣1
D．关于x的不等式kx+b＜﹣2x+1的解集是x＜3
【分析】运用待定系数法可求出交点坐标，和一次函数图象的解析式，再结合图形分析即可求解．
【解答】解：根据题意，把交点P（a，3）代入一次函数y＝﹣2x+1中得，
﹣2a+1＝3，解得，a＝﹣1，
∴P（﹣1，3），
把点P（﹣1，3）代入一次函数图象y＝kx+b得，﹣k+b＝3，
根据一次函数y＝kx+b的图象可得，k＞0，b＞0，故A，B选项正确，不符合题意；
当x＝﹣1时，kx+b＝3，故C选项正确，不符合题意；
当kx+b＜﹣2x+1时，x＜﹣1，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查两条直线的交点问题，掌握一次函数图象的性质即可求解．
5．一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　）
A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1
【分析】根据题意，将一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）+b，结合一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），得到一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＜0）的图象过点（3，0），根据不等式写出解集即可．
【解答】解：根据题意，将一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象向右平移2个单位得到y＝k（x﹣2）+b，
∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），
∴一次函数y＝k（x﹣2）+b（k＜0）的图象过点（3，0），
∵k＜0，
∴不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是x＜3，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，把点（﹣1，0）代入解析式求得k与b的关系是解题的关键．
6．已知点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+b的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法判断
【分析】由直线y＝﹣2x+b中﹣2＜0可确定函数值y随x的增大而减小，即可得到答案．
【解答】解：∵直线y＝﹣2x+b中﹣2＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵点A（﹣2，m）和点B（3，n）都在直线y＝﹣2x+b的图象上，且﹣2＜3，
∴m＞n，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数图象与性质，涉及一次函数单调性比较函数值，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键．
7．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法：①对于函数y1＝ax+b来说，y随x的增大而增大；②函数y＝ax+d不经过第二象限；③不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＜4；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
对于函数y＝ax+b来说，y随x的增大而增大，故①正确；
a＞0，d＞0，则函数y＝ax+d经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②不正确；
不等式ax﹣d＞cx﹣b可得ax+b＞cx+d，故不等式ax﹣d＞cx﹣b的解集是x＞4，故③错误；
4a+b＝4c+d可以得到a﹣c（d﹣b），故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣2，0），直线y＝2x过点A，则不等式组的解集为（　　）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜﹣1 C．﹣2＜x＜0 D．﹣1＜x＜0
【分析】不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分的自变量的取值范围．
【解答】解：根据题意得到y＝kx+b与y＝2x交点为A（﹣1，﹣2），
解不等式组的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分，
又B（﹣2，0），
此时自变量x的取值范围，是﹣2＜x＜﹣1．
即不等式2x＜kx+b＜0的解集为：﹣2＜x＜﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．根据函数图象即可得到不等式的解集．
9．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论：①当x＞0时，y1＞0，y2＞0；②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③；④d＜a+b+c．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据函数图象直接得到结论；
②根据a、d的符号即可判断；
③当x＝3时，y1＝y2；
④当x＝1和x＝﹣1时，根据图象得不等式．
【解答】解：由图象可得：当x＞0时，结论y1＞0，y2＞0不正确，故①不正确；
由于a＜0，d＜0，所以函数y＝ax+d的图象经过第二，三，四象限，故②正确；
∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为3，
∴3a+b＝3c+d
∴3a﹣3c＝d﹣b，
∴a﹣c（d﹣b），故③正确；
当x＝1时，y1＝a+b，
当x＝﹣1时，y2＝﹣c+d，
由图象可知y1＞y2，
∴a+b＞﹣c+d
∴d＜a+b+c，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
10．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为（　　）
A．﹣2＜x＜2 B．﹣2＜x＜0 C．﹣4＜x＜﹣2 D．无法确定
【分析】令y＝0，求出次函数y＝﹣x﹣2与x轴的交点，结合交点问题与函数图象即可得到答案．
【解答】解：当y＝0时，0＝﹣x﹣2，
解得：x＝﹣2，
∵一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），
∴﹣n﹣2＝﹣4，解得n＝2，
由图象可得，
不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，
故选：A．
【点评】本题考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是熟练掌握图象与不等式之间的关系，求出交点结合图象求解．
二．填空题（共10小题）
11．如图，一次函数y＝ax+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点B的坐标是（0，2），则不等式ax+b＜2的解集为　x＞0　．
【分析】由图象知，位于直线x＝2下方的一次函数图象，图象上点的纵坐标均小于2，则可得不等式的解集．
【解答】解：∵点B的坐标是（0，2），
∴不等式ax+b＜2的解集为x＞0，
故答案为：x＞0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，能利用数形结合求解是解题的关键．
12．一次函数y＝kx+b（k，b为常数且k≠0），若函数经过点（﹣2，0）和（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集为 　x＞0　．
【分析】根据一次函数经过点（﹣2，0）和（0，1），在坐标系中画出一次函数y＝kx+b的函数图象，再根据函数图象找到一次函数值大于1时自变量的取值范围即可．
【解答】解：如图所示，即为一次函数y＝kx+b的函数图象，
由函数图象可知，当一次函数的函数值大于1时自变量的取值范围为x＞0，
∴关于x的不等式kx+b＞1的解集为x＞0，
故答案为：x＞0．
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，能根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解题的关键．
13．一次函数y1＝kx+b（b＞2）与y2＝mx﹣m交于点A（3，2）．
（1）关于x的方程kx+b＝mx﹣m解为　x＝3　；
（2）函数y1的图象沿y轴向下平移后得到函数y3图象，y3图象与y2图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式y3＜y2＜y1的解集是　2＜x＜3　．
【分析】（1）关于x的方程kx+b＝mx﹣m解从形来说，就是直线y1＝kx+b（b＞2）与y2＝mx﹣m交点横坐标，由此即可求解；
（2）由直线y2＝mx﹣m过点A，则可求得其函数解析式，从而求得点B的坐标；画出图形，结合图形即可求得不等式的解集．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b（b＞2）与y2＝mx﹣m交于点A（3，2），
∴关于x的方程kx+b＝mx﹣m解为x＝3；
故答案为：x＝3．
（2）由题意知，直线y2＝mx﹣m过点A，则有3m﹣m＝2，
解得：m＝1；
∴y2＝x﹣1；
令y＝1得x＝2，
∴B（2，1）；
设函数y1沿y轴向下平移后得到函数解析式y3＝kx+b′，
由图象知，当y3＜y2时，解集为x＞2；当y2＜y1时，解集为x＜3，
∴不等式y3＜y2＜y1的解集为2＜x＜3；
故答案为：2＜x＜3．
【点评】本题考查了两直线相交与二元一次方程组解的关系，一次函数与求不等式解集，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键，注意数形结合思想的运用．
14．直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中如图所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为 　x＜﹣1　．
【分析】由图象可以知道，两直线的交点坐标，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＜k1x+b解集．
【解答】解：两条直线的交点坐标为（﹣1，﹣2），且当x＜﹣1时，直线l2在直线l1的下方，故不等式k1x+b＞k2x的解集为x＜﹣1．
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合，运用数形结合的思想解决此类问题．
15．对于三个数a、b、c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如，max{﹣1，2，3}＝3，max{﹣1，2，a}，那么观察图象，可得到max{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最小值为 　1.5　．
【分析】理解题意，再根据数形结合思想求解．
【解答】解：解得：，
∴A（0.5，1.5），
解得：，
∴B（2，3）；
由图象得：当x≤0.5时，max{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2﹣x，
此时2﹣x的最小值为2﹣0.5＝1.5；
当0.5＜x≤2时，max{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝x+1，
此时x+1的极小值为1+0.5＝1.5；
当x＞2时，max{x+1，2﹣x，2x﹣1}＝2x﹣1，
此时2x﹣1的极小值为2×2﹣1＝3；
综上所述：max{x+1，2﹣x，2x﹣1}的最小值为 1.5，
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，理解新定义和数形结合思想是解题的关键．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b＞﹣3的解集为　x＜4　．
【分析】由一次函数y＝kx+b的图象经过（4，﹣3），以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b＞﹣3的解集．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过（4，﹣3），
∴x＝4时，kx+b＝﹣3，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式kx+b＞﹣3的解集为x＜4．
故答案是：x＜4．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17．如图，函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是 　0＞x＞﹣1　．
【分析】利用函数图象得出不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集．
【解答】解：∵函数y1＝﹣2x与y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），
∴关于x的不等式ax+3＞﹣2x＞0的解集是：0＞x＞﹣1．
故答案为：0＞x＞﹣1．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是结合图形得出答案．
18．一次函数y＝kx+1，当a≤x≤a+4时，y的最大值与最小值的差为8，则k的值为 　±2　．
【分析】把x＝a及x＝a+4代入求出y的表达式，由y的最大值与最小值的差为8即可得出结论．
【解答】解：当x＝a时，y＝ak+1；当x＝a+4时，y＝ak+4k+1，
∵当a≤x≤a+4时，y的最大值与最小值的差为8，
∴|ak+1﹣（ak+4k+1）|＝8，
解得k＝±2．
故答案为：±2．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
19．已知点（a，b）和（c，d）都在直线y＝﹣x+2上，若b＜d，则a　＞　c．（填“＞”“＜”或“＝”）．
【分析】分别把点（a，b）和（c，d）代入直线y＝﹣x+2，求出a与c的值，再比较出其大小即可．
【解答】解：∵点（a，b）和（c，d）都在直线y＝﹣x+2上，y随x的增大而减小，
∵b＜d，
∴a＞c．
故答案为：＞．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．
20．如图，一次函数y＝ax的图象与直线y＝bx+c交于点（1，2），则关于x的不等式ax≤bx+c的解集为 　x≤1　．
【分析】根据图象写出y＝bx+c在y＝ax上方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝ax的图象与直线y＝bx+c交于点（1，2），
∴观察图象，当x≤1时，ax≤bx+c，
即不等式ax≤bx+c的解集为x≤1．
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系，关键利用了数形结合的思想．
三．解答题（共10小题）
21．定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1，y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．求点P坐标（用p表示）；
（3）在（2）的条件下，若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围．
【分析】（1）根据的定义新运算的运算规则即可求解；
（2）根据函数图象有交点，联立方程组解方程组，表示出交点的坐标；
（3）根据组合函数的解析式即可求解．
【解答】解：（1）y＝5x+2是函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”，
理由：由函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”为：y＝m（x+1）+n（2x﹣1），
把m＝3，n＝1代入上式，得y＝3（x+1）+（2x﹣1）＝5x+2，
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1，y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）解方程组，得，
∵函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P，
∴点P的坐标为（2p+1，p﹣1），
（3）∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴y＝（m﹣n）x+3pn﹣mp﹣2m，
∵m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（m﹣n）（2p+1）+3pn﹣mp﹣2m，整理，得p﹣1＞（m+n）（p﹣1），
∴p﹣1＜0，p＜1，
∴p的取值范围为p＜1．
【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次不等式，整式的运算，定义新运算，理解定义新运算的运算法则，整式的混合运算是解题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中直线m：y＝kx+b与直线n：y＝2x+8交于点A（﹣1，6），直线m、n分别与x轴交于点B、C，其中点B（2，0）．
（1）求直线m对应的函数表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）直接写出不等式kx+b≥2x+8的解集．
【分析】（1）根据点A（﹣1，6），点B（2，0）在直线m：y＝kx+b上，可以求得直线m的解析式；
（2）把y＝0代入y＝2x+8，求出相应的x的值，从而可以写出点C的坐标，然后根据点B和点A的坐标，即可求得△ABC的面积；
（3）根据图象，可以写出不等式kx+b≥2x+8的解集．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，6），点B（2，0）在直线m：y＝kx+b上，
∴，
解得，
∴直线m对应的函数表达式为y＝﹣2x+4；
（2）把y＝0代入y＝2x+8，得x＝﹣4，
∴点C的坐标为（﹣4，0），
∴BC＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6，
∴S△ABC6×6＝18；
（3）由图象可得，
不等式kx+b≥2x+8的解集为x≤﹣1．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．已知一次函数y1＝kx+b，y2＝bx﹣2k+3（其中k、b为常数且k≠0，b≠0）
（1）若y1与y2的图象交于点（2，3），求k，b的值；
（2）若b＝k﹣1，当﹣2≤x≤2时，函数y1有最大值3，求此时一次函数y1的表达式．
（3）若对任意实数x，y1＞y2都成立，求k的取值范围．
【分析】（1）将（2，3）代入两个解析式，得到关于k，b的二元一次方程组，进行求解即可；
（2）分k＞0和k＜0，两种情况，根据一次函数的增减性，进行判断即可；
（3）根据题意，得到两条直线平行且直线y1在直线y2的上方，进行求解即可．
【解答】解：（1）把（2，3）代入y1，y2，得：
，解得：；
（2）若b＝k﹣1，则：y1＝kx+k﹣1，
①当k＞0时，y随x的增大而增大，
∵﹣2≤x≤2，
∴当x＝2时，y有最大值为2k+k﹣1＝3，解得：；
∴；
①当k＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣2≤x≤2，
∴当x＝﹣2时，y有最大值为﹣2k+k﹣1＝3，解得：k＝﹣4；
∴y1＝﹣4x﹣5
综上：或y1＝﹣4x﹣5．
（3）由题意：两条直线平行且直线y1在直线y2的上方，
∴k＝b，b＞﹣2k+3，
∴k＞﹣2k+3，
∴k＞1．
【点评】本题考查一次函数的综合应用．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
24．如图，直线与直线y2＝2x+6分别与x轴交于点A，B，两直线交于点P．
（1）求直线y1、y2与x轴的交点坐标；
（2）求△ABP的面积；
（3）利用图象直接写出当x取何值时，y1＜y2．
【分析】（1）根据直线与直线y2＝2x+6，分别令y＝0即可求出A，B点坐标，
（2）联立函数解析式求出P点坐标，即可求出面积．
（3）由图可知交点P的右边y1＜y2．
【解答】解：（1）把y＝0代入中得：，
解得x＝2，
所以A（2，0）
把y＝0代入y2＝2x+6中得：2x+6＝0，
解得x＝﹣3，
所以B（﹣3，0）；
（2）∵A（2，0），B（﹣3，0），
∴AB＝2﹣（﹣3）＝5．
解方程，
得x＝﹣2，
把x＝﹣2代入中得：y1＝2，
∴P（﹣2，2），
∴．
（3）由图可知交点P的右边y1＜y2．
即当x＞﹣2时，y1＜y2
【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象和性质，两条直线相交或平行问题，准确求出各点坐标是解题关键．
25．如图，直线l1：y＝﹣2x+4与x轴交于点B，OB＝OC，直线l2：y＝kx+b经过点C，且与l1交于点A（1，2）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）记直线l2与y轴的交点为D，记直线l1与y轴的交点为E，求△ADE的面积；
（3）根据图象，直接写出0≤﹣2x+4＜kx+b的解集．
【分析】（1）先求出直线l1表达式，再求点B坐标，根据OB＝OC，即得点C坐标，结合点A（1，2），即可求出直线l2的解析式；
（2）先求出点D和点E的坐标，再根据三角形的面积公式建立等式，即可作答；
（3）根据图象，要找满足0≤﹣2x+4＜kx+b的解集，只需找到对应的x的范围，满足直线l2的图象在l1的图象上方，且l1的图象在x轴的上方．
【解答】解：（1）∵l1的直线解析式为y＝﹣2x+4，
当y＝0时，x＝2，
∴B（2，0），
∵OB＝OC，
∴C（﹣2，0），
∵l2：y＝kx+b经过点C和点A，
，
解得，
∴l2的直线解析式为；
（2）在直线l1的解析式y＝﹣2x+4中，
当x＝0时，y＝4，
∴E（0，4），
在直线l2的解析式中，当x＝0时，，
∴，
∴，
∴；
（3）由函数图象可知，0≤﹣2x+4＜kx+b的解集为1＜x≤2．
【点评】本题考查了一次函数的图象性质，一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求得两条直线的解析式．
26．如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）a＝ 　1　，b＝ 　﹣1　；
（2）求△ABP的面积；
（3）根据图象，不等式2x+b＜ax﹣3的解集为 　x＜﹣2　．
【分析】（1）将点P（﹣2，﹣5），代入两个函数求出a，b的值；
（2）先求出A，B的坐标，利用三角形的面积公式求出面积即可；
（3）图象法解不等式即可．
【解答】解：（1）把P（﹣2，﹣5）代入y1＝2x+b，得：b＝﹣1；
把P（﹣2，﹣5）代入y2＝ax﹣3，得：a＝1；
故答案为：1，﹣1；
（2）由（1）值：y1＝2x﹣1，y2＝x﹣3，
∴y＝0时，2x﹣1＝0，解得：；x﹣3＝0，解得：x＝3，
∴，
∵P（﹣2，﹣5），
∴；
（3）由图象可知，当x＜﹣2时，直线y2＝x﹣3在直线y1＝2x﹣1的上方，
∴不等式2x+b＜ax﹣3的解集为x＜﹣2．
【点评】本题考查两条直线相交或平行问题，一次函数与一元一次不等式，掌握数形结合的思想是解题的关键．
27．如图，直线l1：y＝﹣x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l2：ymx﹣m+4与x轴，y轴分别交于点C，D，与直线l1交于点M，点P在直线l2上，过点P作PQ∥y轴，交直线l1于点Q，点D为OB的中点．
（1）①求直线l2的解析式；②求△ACM的面积；
（2）①如果线段PQ的长为，求点P的坐标；
②我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果3≤PQ≤7，则符合条件的整点P的个数为 　4　个．
【分析】（1）①根据l1：y＝﹣x+6可得点B坐标，即可得出D坐标，待定系数法即可求直线l2的解析式；②联立两条直线解析式，即可得到点M，将y＝0分别代入两条直线解析式即可求出点A，点C，再根据，即可求解．
（2）①设P点，根据PQ∥y轴，可得Q点（m，﹣m+6），分别讨论当点P在点Q上方，当点Q在点P上方两种情况即可得出P点坐标；②由上可得，分别讨论和两种情况下，3≤PQ≤7的不等式解集，再将m可取的整数分别代入P点中，即可得符合要求点P个数．
【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），
∵点D为OB的中点，
∴D（0，3），
将D（0，3）代入直线l2中，可得3＝﹣m+4，
解得：m＝1，
故；
②联立直线l1和直线l2，即，
解得，
∴点M为（2，4），
将y＝0分别代入l1：y＝﹣x+6和中，即l1：0＝﹣x+6，，
解得：l1：x＝6，l2：x＝﹣6，
∴点A为（6，0），点C为（﹣6，0），
∴AC＝12，
∴．
（2）解：①设P点坐标为，
∵PQ∥y轴，
∴Q点坐标为（m，﹣m+6），
当点P在点Q上方时，
∴，
解得：m＝5，
∴点P的坐标为，
当点Q在点P上方时，
∴，
解得：m＝﹣1，
∴点P的坐标为，
综上可得：P点坐标为或．
②由上可得，
当时，即m≥2时，，
∵3≤PQ≤7，
∴，
解得：，
当时，即m≤2时，，
∵3≤PQ≤7，
∴，
解得：，
∴在和的范围内，m可取的整数有﹣2，﹣1，0，4，5，6，
∵P点坐标为，
∴当m＝﹣2时，，
当m＝﹣1时，，
当m＝0时，，
当m＝4时，，
当m＝5时，，
当m＝6时，，
∴由以上数据进行分析可得：整点P的坐标有（4，5），（6，6），（0，3），（﹣2，2），
∴符合条件的整点P的个数为4个．
故答案为：4．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数与二元一次方程组，不等式组解集的整数解，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键．
28．如图，直线l1：y1＝kx+a分别交x轴，y轴于点A（﹣2，0），B（0，1）．直线l2：y2＝﹣2x+b分别交x轴，y轴于点C，D，与直线l1相交于点E，已知OBOC．
（1）求直线l1的表达式；
（2）求y1＞y2时，x的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求直线l1的表达式；
（2）先求出C点坐标得到b的值，则y2＝﹣2x+6，然后解不等式x+1＞﹣2x+6即可．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
∴直线l1的表达式为y1x+1；
（2）∵B（0，1），
∴OB＝1，
∵OBOC，
∴OC＝3OB＝3，
∴C（3，0），
把C（3，0）代入y2＝﹣2x+b得﹣6+b＝0，
解得b＝6，
∴y2＝﹣2x+6，
解不等式x+1＞﹣2x+6得x＞2，
即y1＞y2时，x的取值范围为x＞2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：通过比较函数值大小得到一元一次不等式，然后解一元一次不等式得到x的取值范围．也考查了待定系数法求一次函数解析式和一次函数的性质．
29．如图，直线l1：y＝kx+b过点A（0，4），点D（4，0），直线与x轴交于点C，两直线l1，l2相交于点B．
（1）求直线l1的函数关系式；
（2）求三角形ABC的面积；
（3）根据图象，直接写出的解集　﹣2＜x＜2　．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）联立函数解析式，求出点B坐标，再求出点C坐标，得到CD的长，最后根据三角形的面积公式计算即可；
（3）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）把A（0，4）和D（4，0）分别代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴直线l1的表达式为y＝﹣x+4；
（2）联立函数式得，
解得，
∴B（2，2），
在中，令y＝0，即，
解得x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴CD＝4﹣（﹣2）＝6，
∴；
（3）由图象可得，不等式的解集为﹣2＜x＜2，
故答案为：﹣2＜x＜2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，三角形的面积，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
30．在课堂上学习掌握了函数图象的知识后，小明同学对函数y＝|2x﹣2|的图象与性质进行探究，并解决下列问题．
（1）列表：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3
y a 4 b 0 2 4
表格中：a＝ 　6　，b＝ 　2　．
（2）以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，再把这些点依次连接起来，得到y＝|2x﹣2|的函数图象；
（3）观察y＝|2x﹣2|函数图象，思考回答以下问题：
①特殊点：与y轴的交点坐标是 　（0，2）　；
②变化趋势：当x 　＜1　时，y随x的增大而减小；
③函数值：当0＜x＜3，y的函数值范围是 　0≤y＜4　；
④拓展探究：当x＞3时，kx﹣2k＞|2x﹣2|．则k的取值范围是 　k≥4　．
【分析】（1）分别将x＝﹣2，x＝0代入函数的解析式，即可求a、b的值；
（2）利用描点法画出函数图象即可；
（3）通过观察图象直接可求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝|﹣4﹣2|＝6，
当x＝0时，y＝|0﹣2|＝2，
故答案为：6，2；
（2）画出函数的图象如图；
!
（3）①特殊点：与y轴的交点坐标（0，2）；
②变化趋势：当x＜1时，y随x的增大而减小；
③函数值：当0＜x＜3，y的函数值范围是0≤y＜4；
④拓展探究：当x＞3时，kx﹣2k＞|2x﹣2|．则k的取值范围是k≥4．
故答案为：（0，2）；＜1；0≤y＜4；k≥4．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，会用描点法画出函数图象，数形结合解题是关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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